Lineare Abbildung - imng

Lineare Abbildung
Eine Abbildung L : V ↦−→ W zwischen K-Vektorräumen V und W heißt
linear, wenn sie folgende Eigenschaften besitzt:
Additivität:
L(u + v) = L(u) + L(v)
Lineare Abbildung 1-1

Lineare Abbildung
Eine Abbildung L : V ↦−→ W zwischen K-Vektorräumen V und W heißt
linear, wenn sie folgende Eigenschaften besitzt:
Additivität:
L(u + v) = L(u) + L(v)
Homogenität:
L(λv) = λL(v)
Lineare Abbildung 1-2

Lineare Abbildung
Eine Abbildung L : V ↦−→ W zwischen K-Vektorräumen V und W heißt
linear, wenn sie folgende Eigenschaften besitzt:
Additivität:
L(u + v) = L(u) + L(v)
Homogenität:
L(λv) = λL(v)
Dabei sind u, v ∈ V und λ ∈ K beliebige Vektoren bzw. Skalare.
Lineare Abbildung 1-3

Lineare Abbildung
Eine Abbildung L : V ↦−→ W zwischen K-Vektorräumen V und W heißt
linear, wenn sie folgende Eigenschaften besitzt:
Additivität:
L(u + v) = L(u) + L(v)
Homogenität:
L(λv) = λL(v)
Dabei sind u, v ∈ V und λ ∈ K beliebige Vektoren bzw. Skalare.
Insbesondere gilt L(0 V ) = 0 W und L(−v) = −L(v).
Lineare Abbildung 1-4

Beispiel:
(i) Drehung:
L(⃗v 2 )
L(⃗v 1 )
L(⃗v)
L(3⃗v)
⃗v 1 ⃗v 2
L(⃗v)
⃗v
⃗v
3⃗v
Vertauschbarkeit von Addition und skalarer Multiplikation ̌
Lineare Abbildung 2-1

(ii) Spiegelung:
⃗v 1 ⃗v 2
⃗v
3⃗v
⃗v
L(⃗v)
L(⃗v 1 )
L(⃗v)
L(3⃗v)
L(⃗v 2 )
Vertauschbarkeit ̌
Lineare Abbildung 2-2

(iii) Verschiebung:
Lineare Abbildung 2-3

(iii) Verschiebung:
nicht linear, denn für
T : (x 1 , x 2 ) ↦→ (x 1 + 1, x 2 )
und
v 1 = (1, 0), v 2 = (0, 1), λ = 2
gilt
T (v 1 + v 2 ) = (2, 1) ≠ (3, 1) = T (v 1 ) + T (v 2 )
T (λv 1 ) = (3, 0) ≠ (4, 0) = λT (v 1 ) ,
Lineare Abbildung 2-4

(iii) Verschiebung:
nicht linear, denn für
T : (x 1 , x 2 ) ↦→ (x 1 + 1, x 2 )
und
v 1 = (1, 0), v 2 = (0, 1), λ = 2
gilt
T (v 1 + v 2 ) = (2, 1) ≠ (3, 1) = T (v 1 ) + T (v 2 )
T (λv 1 ) = (3, 0) ≠ (4, 0) = λT (v 1 ) ,
d.h. T ist weder additiv noch homogen
Lineare Abbildung 2-5

Beispiel:
Abbildungen reeller Funktionen
Lineare Abbildung 3-1

Beispiel:
Abbildungen reeller Funktionen
Abbildung additiv homogen
f ↦→ f ′ Lineare Abbildung 3-2

Beispiel:
Abbildungen reeller Funktionen
Abbildung additiv homogen
f ↦→ f ′
X
Lineare Abbildung 3-3

Beispiel:
Abbildungen reeller Funktionen
Abbildung additiv homogen
f ↦→ f ′ X X
f ↦→ |f |
Lineare Abbildung 3-4

Beispiel:
Abbildungen reeller Funktionen
Abbildung additiv homogen
f ↦→ f ′ X X
f ↦→ |f | –
Lineare Abbildung 3-5

Beispiel:
Abbildungen reeller Funktionen
Abbildung additiv homogen
f ↦→ f ′ X X
f ↦→ |f | – –
f ↦→ ∫ 1
0 f Lineare Abbildung 3-6

Beispiel:
Abbildungen reeller Funktionen
Abbildung additiv homogen
f ↦→ f ′ X X
f ↦→ |f | – –
f ↦→ ∫ 1
0 f X Lineare Abbildung 3-7

Beispiel:
Abbildungen reeller Funktionen
Abbildung additiv homogen
f ↦→ f ′ X X
f ↦→ |f | – –
f ↦→ ∫ 1
0 f X X
f ↦→ max f
Lineare Abbildung 3-8

Beispiel:
Abbildungen reeller Funktionen
Abbildung additiv homogen
f ↦→ f ′ X X
f ↦→ |f | – –
f ↦→ ∫ 1
0 f X X
f ↦→ max f –
Lineare Abbildung 3-9

Beispiel:
Abbildungen reeller Funktionen
Abbildung additiv homogen
f ↦→ f ′ X X
f ↦→ |f | – –
f ↦→ ∫ 1
0 f X X
f ↦→ max f – –
f ↦→ f (0)
Lineare Abbildung 3-10

Beispiel:
Abbildungen reeller Funktionen
Abbildung additiv homogen
f ↦→ f ′ X X
f ↦→ |f | – –
f ↦→ ∫ 1
0 f X X
f ↦→ max f – –
f ↦→ f (0)
X
Lineare Abbildung 3-11

Beispiel:
Abbildungen reeller Funktionen
Abbildung additiv homogen
f ↦→ f ′ X X
f ↦→ |f | – –
f ↦→ ∫ 1
0 f X X
f ↦→ max f – –
f ↦→ f (0) X X
f ↦→ (max f + min f )/2
Lineare Abbildung 3-12

Beispiel:
Abbildungen reeller Funktionen
Abbildung additiv homogen
f ↦→ f ′ X X
f ↦→ |f | – –
f ↦→ ∫ 1
0 f X X
f ↦→ max f – –
f ↦→ f (0) X X
f ↦→ (max f + min f )/2 –
Lineare Abbildung 3-13

Beispiel:
Abbildungen reeller Funktionen
Abbildung additiv homogen
f ↦→ f ′ X X
f ↦→ |f | – –
f ↦→ ∫ 1
0 f X X
f ↦→ max f – –
f ↦→ f (0) X X
f ↦→ (max f + min f )/2 – X
Lineare Abbildung 3-14

Beispiel:
Abbildungen reeller Funktionen
Abbildung additiv homogen
f ↦→ f ′ X X
f ↦→ |f | – –
f ↦→ ∫ 1
0 f X X
f ↦→ max f – –
f ↦→ f (0) X X
f ↦→ (max f + min f )/2 – X
additive aber nicht homogene Abbildung:
nicht homogen, da
T : f ↦→ Re f ,
T (if ) ≠ iT (f )
f komplexwertig
Lineare Abbildung 3-16