Die Eulersche Zahl als Grenzwert einer Folge und einer Reihe - imng

Die Eulersche Zahl als Grenzwert einer Folge und einer
Reihe
Die Eulersche Zahl
e = 2, 71828182845905 . . .
lässt sich als Grenzwert einer Folge und einer Reihe darstellen:
(
lim 1 + 1 ) n
= e =
n→∞ n
∞∑
n=0
1
n! .
Die Eulersche Zahl e als Grenzwert einer Folge und einer Reihe - 1-1

Beweis:
(i) Konvergenz der Reihe:
Die Eulersche Zahl e als Grenzwert einer Folge und einer Reihe - 2-1

Beweis:
(i) Konvergenz der Reihe:
1/n! ≤ 2 1−n Die Eulersche Zahl e als Grenzwert einer Folge und einer Reihe - 2-2

Beweis:
(i) Konvergenz der Reihe:
1/n! ≤ 2 1−n
=⇒
n∑
n=0
majorisiert durch geometrische Reihe
1
n!
Die Eulersche Zahl e als Grenzwert einer Folge und einer Reihe - 2-3

Beweis:
(i) Konvergenz der Reihe:
1/n! ≤ 2 1−n
=⇒
n∑
n=0
majorisiert durch geometrische Reihe
bezeichne Reihenwert mit e
1
n!
Die Eulersche Zahl e als Grenzwert einer Folge und einer Reihe - 2-4

(ii) obere Abschätzung für die Folge:
Die Eulersche Zahl e als Grenzwert einer Folge und einer Reihe - 2-5

(ii) obere Abschätzung für die Folge:
für n ≥ k ≥ 0
( n
k
) 1
n k = 1 n n − 1
k! n n
· · · n − k + 1
n
≤ 1 k!
Die Eulersche Zahl e als Grenzwert einer Folge und einer Reihe - 2-6

(ii) obere Abschätzung für die Folge:
für n ≥ k ≥ 0
( n
k
) 1
n k = 1 n n − 1
k! n n
· · · n − k + 1
n
≤ 1 k!
binomische Formel =⇒
(
a n = 1 + 1 ) n
=
n
n∑
( ) n 1
k n k ≤
k=0
n∑
k=0
1
k! ≤ e
Die Eulersche Zahl e als Grenzwert einer Folge und einer Reihe - 2-7

(ii) obere Abschätzung für die Folge:
für n ≥ k ≥ 0
( n
k
) 1
n k = 1 n n − 1
k! n n
· · · n − k + 1
n
≤ 1 k!
binomische Formel =⇒
(
a n = 1 + 1 ) n
=
n
n∑
( ) n 1
k n k ≤
k=0
n∑
k=0
1
k! ≤ e
Grenzwertbildung
lim n→∞ a n ≤ e
Die Eulersche Zahl e als Grenzwert einer Folge und einer Reihe - 2-8

(iii) untere Abschätzung für die Folge:
Die Eulersche Zahl e als Grenzwert einer Folge und einer Reihe - 2-9

(iii) untere Abschätzung für die Folge:
für n > N mit N beliebig aber fest gewählt
a n =
n∑
( n
k
k=0
) 1
n k ≥ N ∑
k=0
1 n n − 1
k! n n
· · · n − k + 1
n
≥
N∑
k=0
1
k!
( n − N
n
) N
Die Eulersche Zahl e als Grenzwert einer Folge und einer Reihe - 2-10

(iii) untere Abschätzung für die Folge:
für n > N mit N beliebig aber fest gewählt
a n =
n∑
( n
k
k=0
) 1
n k ≥ N ∑
Grenzwertbildung
k=0
lim a n ≥ lim
n→∞ n→∞
1 n n − 1
k! n n
N∑
k=0
· · · n − k + 1
n
(
1
1 − N ) N
=
k! n
≥
N∑
k=0
N∑
k=0
1
k!
1
k!
( n − N
n
) N
Die Eulersche Zahl e als Grenzwert einer Folge und einer Reihe - 2-11

(iii) untere Abschätzung für die Folge:
für n > N mit N beliebig aber fest gewählt
a n =
n∑
( n
k
k=0
) 1
n k ≥ N ∑
Grenzwertbildung
k=0
lim a n ≥ lim
n→∞ n→∞
N → ∞: rechte Seite → e
1 n n − 1
k! n n
N∑
k=0
· · · n − k + 1
n
(
1
1 − N ) N
=
k! n
≥
N∑
k=0
N∑
k=0
1
k!
1
k!
( n − N
n
) N
Die Eulersche Zahl e als Grenzwert einer Folge und einer Reihe - 2-12

(iii) untere Abschätzung für die Folge:
für n > N mit N beliebig aber fest gewählt
a n =
n∑
( n
k
k=0
) 1
n k ≥ N ∑
Grenzwertbildung
k=0
lim a n ≥ lim
n→∞ n→∞
1 n n − 1
k! n n
N∑
k=0
N → ∞: rechte Seite → e
(iv) Kombination der Abschätzungen:
· · · n − k + 1
n
(
1
1 − N ) N
=
k! n
≥
N∑
k=0
N∑
k=0
1
k!
1
k!
( n − N
n
) N
Die Eulersche Zahl e als Grenzwert einer Folge und einer Reihe - 2-13

(iii) untere Abschätzung für die Folge:
für n > N mit N beliebig aber fest gewählt
a n =
n∑
( n
k
k=0
) 1
n k ≥ N ∑
Grenzwertbildung
k=0
lim a n ≥ lim
n→∞ n→∞
1 n n − 1
k! n n
N∑
k=0
· · · n − k + 1
n
(
1
1 − N ) N
=
k! n
N → ∞: rechte Seite → e
(iv) Kombination der Abschätzungen:
bereits gezeigt
lima n ≥ e, lima n ≤ e,
≥
N∑
k=0
N∑
k=0
1
k!
1
k!
( n − N
n
) N
Die Eulersche Zahl e als Grenzwert einer Folge und einer Reihe - 2-14

(iii) untere Abschätzung für die Folge:
für n > N mit N beliebig aber fest gewählt
a n =
n∑
( n
k
k=0
) 1
n k ≥ N ∑
Grenzwertbildung
k=0
lim a n ≥ lim
n→∞ n→∞
1 n n − 1
k! n n
N∑
k=0
· · · n − k + 1
n
(
1
1 − N ) N
=
k! n
N → ∞: rechte Seite → e
(iv) Kombination der Abschätzungen:
bereits gezeigt
lima n ≥ e, lima n ≤ e,
Wegen lima n ≤ lima n folgt
lima n = lima n
≥
N∑
k=0
N∑
k=0
1
k!
1
k!
( n − N
n
) N
und damit a n → e.
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