Fehlerfortpflanzung - imng

Fehlerfortpflanzung
Bezeichnet ∆x = ˜x − x den absoluten Fehler eines Messwerts oder einer
Näherung ˜x ≈ x so gilt für eine stetig differenzierbare Funktion f
|∆y| = |f ′ (t)||∆x| = |f ′ (x)||∆x| + o(∆x)
mit ∆y = f (˜x) − f (x) und t zwischen x und ˜x.
Fehlerfortpflanzung - 1-1

Fehlerfortpflanzung
Bezeichnet ∆x = ˜x − x den absoluten Fehler eines Messwerts oder einer
Näherung ˜x ≈ x so gilt für eine stetig differenzierbare Funktion f
|∆y| = |f ′ (t)||∆x| = |f ′ (x)||∆x| + o(∆x)
mit ∆y = f (˜x) − f (x) und t zwischen x und ˜x.
Entsprechend gilt für den relativen Fehler
(
|∆y|
= |f ′ (x)| |x| ) |∆x|
+ o(∆x)
|y|
|y| |x|
falls x, y ≠ 0. Der Ausdruck in Klammern wird als Konditionszahl c r von f
an der Stelle x bezeichnet.
Fehlerfortpflanzung - 1-2

Durch Vernachlässigung des Terms o(∆x) lässt sich die Verstärkung des
Fehlers näherungsweise abschätzen:
|∆y| ≈ |f ′ (x)||∆x| .
Fehlerfortpflanzung - 1-3

Durch Vernachlässigung des Terms o(∆x) lässt sich die Verstärkung des
Fehlers näherungsweise abschätzen:
|∆y| ≈ |f ′ (x)||∆x| .
Statt exakter Ableitungswerte können auch geeignete Schranken
verwendet werden:
|∆y| ≤ c a |∆x| , c a ≥ max
|t−x|≤|∆x| |f ′ (t)| .
Entsprechend ist c r = c a
|x|
|y|
eine Schranke für die Verstärkung des relativen
Fehlers.
Fehlerfortpflanzung - 1-4

Beispiel:
Messung eines Winkels ϑ ∈ (0, π/2) aus dem Verhältnis der Katheten des
Steigungsdreiecks:
ϑ = arctan(y/x)
(x fest)
Fehlerfortpflanzung - 2-1

Beispiel:
Messung eines Winkels ϑ ∈ (0, π/2) aus dem Verhältnis der Katheten des
Steigungsdreiecks:
ϑ = arctan(y/x)
(x fest)
(i) absoluter Fehler:
Fehlerfortpflanzung - 2-2

Beispiel:
Messung eines Winkels ϑ ∈ (0, π/2) aus dem Verhältnis der Katheten des
Steigungsdreiecks:
ϑ = arctan(y/x)
(x fest)
(i) absoluter Fehler:
Verstärkungsfaktor c a ≥ Maximum von
∣ ∣ dϑ
∣∣∣ ∣ dy ∣ = 1/x ∣∣∣
1 + y 2 /x 2 =
∣ x ∣∣∣
∣x 2 + y 2
Fehlerfortpflanzung - 2-3

Beispiel:
Messung eines Winkels ϑ ∈ (0, π/2) aus dem Verhältnis der Katheten des
Steigungsdreiecks:
ϑ = arctan(y/x)
(x fest)
(i) absoluter Fehler:
Verstärkungsfaktor c a ≥ Maximum von
∣ ∣ dϑ
∣∣∣ ∣ dy ∣ = 1/x ∣∣∣
1 + y 2 /x 2 =
maximal für y = 0 c a = 1/|x| und
|∆ϑ| ≤ |1/x| |∆y|
∣ x ∣∣∣
∣x 2 + y 2
Fehlerfortpflanzung - 2-4

Beispiel:
Messung eines Winkels ϑ ∈ (0, π/2) aus dem Verhältnis der Katheten des
Steigungsdreiecks:
ϑ = arctan(y/x)
(x fest)
(i) absoluter Fehler:
Verstärkungsfaktor c a ≥ Maximum von
∣ ∣ dϑ
∣∣∣ ∣ dy ∣ = 1/x ∣∣∣
1 + y 2 /x 2 =
maximal für y = 0 c a = 1/|x| und
|∆ϑ| ≤ |1/x| |∆y|
größere Ungenauigkeiten für kleines x
∣ x ∣∣∣
∣x 2 + y 2
Fehlerfortpflanzung - 2-5

(ii) relativer Fehler:
Fehlerfortpflanzung - 2-6

(ii) relativer Fehler:
Verstärkungsfaktor (Schranke für die Konditionszahl):
c r = max
dϑ y
y ∣ dy ϑ∣ = max
x y
y ∣x 2 + y 2 ϑ∣
Fehlerfortpflanzung - 2-7

(ii) relativer Fehler:
Verstärkungsfaktor (Schranke für die Konditionszahl):
c r = max
dϑ y
y ∣ dy ϑ∣ = max
x y
y ∣x 2 + y 2 ϑ∣
|ϑ| ≥ | sin ϑ|, sin ϑ = y/ √ x 2 + y 2 =⇒
∣ x ∣∣∣∣
c r ≤
√ ≤ 1
∣ x 2 + y 2
Fehlerfortpflanzung - 2-8

(ii) relativer Fehler:
Verstärkungsfaktor (Schranke für die Konditionszahl):
c r = max
dϑ y
y ∣ dy ϑ∣ = max
x y
y ∣x 2 + y 2 ϑ∣
|ϑ| ≥ | sin ϑ|, sin ϑ = y/ √ x 2 + y 2 =⇒
∣ x ∣∣∣∣
c r ≤
√ ≤ 1
∣ x 2 + y 2
keine Verstärkung des relativen Fehlers:
|∆ϑ|
|ϑ|
≤ |∆y|
|y|
Fehlerfortpflanzung - 2-9