Absolut konvergente Reihen - imng

Absolut konvergente Reihen
Konvergiert
∞∑
|a n |,
n=0
so bezeichnet man die Reihe ∑ n a n als absolut konvergent.
Absolut konvergente Reihen - 1-1

Absolut konvergente Reihen
Konvergiert
∞∑
|a n |,
n=0
so bezeichnet man die Reihe ∑ n a n als absolut konvergent.
Aus dieser stärkeren Form der Konvergenz folgt, dass die Reihe auch bei
einer beliebigen Änderung der Summationsreihenfolge konvergent ist.
Absolut konvergente Reihen - 1-2

Beweis:
Cauchy-Kriterium =⇒
∃n ε : |a m+1 | + · · · + |a n | < ε für m, n > n ε (m < n)
Absolut konvergente Reihen - 2-1

Beweis:
Cauchy-Kriterium =⇒
∃n ε : |a m+1 | + · · · + |a n | < ε für m, n > n ε (m < n)
Dreiecksungleichung Abschätzung für die Differenzen der
Partialsummen:
|s n − s m | = |a m+1 + · · · + a n | ≤ |a m+1 | + · · · + |a n | < ε für m, n > n ε
Konvergenz von ∑ k a k
Absolut konvergente Reihen - 2-2