Eigenwerte und Eigenvektoren - imng

4.4 Normalformen
4.4.1 Eigenwerte und Eigenvektoren
Eigenwert, Eigenvektor und Eigenraum
Eigenvektor v zum Eigenwert λ einer quadratischen Matrix A
Av = λv, v ≠ 0
Eigenraum: V λ = Kern(A − λE)
Ähnlichkeitstransformation
Basiswechsel
A → B = Q −1 AQ
erhält Eigenwerte
v Eigenvektor von A ⇔ w = Q −1 v Eigenvektor von B
Charakteristisches Polynom
p A (λ) = det(A − λE) =
a 11 − λ a 12 . . . a 1n
a 21 a 22 − λ . . . a 2n
. . . . . .
∣ a n1 a n2 . . . a nn − λ
= (λ 1 − λ) · · · (λ n − λ)
∣
Eigenwerte λ k : Nullstellen von p A
n∑
λ k = Spur A,
k=1
n∏
λ k = det A
k=1
Eigenvektoren v: nicht-triviale Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystems
(A − λE)v = 0
Konstruktion einer Basis für den Eigenraum V λ = Kern(A − λE) durch Transformation auf Zeilenstufenform
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Algebraische und geometrische Vielfachheit
algebraische Vielfachheit m λ : Ordnung der Nullstelle des charakteristischen Polynoms
p A (λ) = det(A − λE n )
geometrische Vielfachheit d λ : Dimension des Eigenraums V λ = Kern(A − λE n )
Beziehungen zwischen m und d
d λ ≤ m λ ,
∑
m λ = n,
λ
d λ = n − Rang(A − λE)
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