Hesse-Normalform einer Ebene - imng

Hesse-Normalform einer Ebene
Der Ortsvektor ⃗x eines Punktes X auf einer Ebene durch P orthogonal zu
einem Normalenvektor ⃗n erfüllt
⃗x · ⃗n = d,
ÒÒ½ Ò
d = ⃗p · ⃗n .
È
ÈËÖÖÔÐÑÒØ×
Ç
Hesse-Normalform einer Ebene 1-1

Bei der Normalform wird dabei |⃗n| = 1 und d ≥ 0 angenommen. In diesem
Fall ist d der Abstand der Ebene zum Ursprung. Der Normalenvektor zeigt
vom Ursprung in Richtung der Ebene.
Hesse-Normalform einer Ebene 1-2

Beispiel:
Ebene E durch P = (1, 2, 3) mit normierten Normalenvektor
⃗n = (2, 2, 1) t /3
Hesse-Normalform einer Ebene 2-1

Beispiel:
Ebene E durch P = (1, 2, 3) mit normierten Normalenvektor
⃗n = (2, 2, 1) t /3
Abstand zum Ursprung:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1
d = ⎝2⎠ · 1 2
⎝2⎠ = 3
3
3 1
Hesse-Normalform einer Ebene 2-2

Beispiel:
Ebene E durch P = (1, 2, 3) mit normierten Normalenvektor
⃗n = (2, 2, 1) t /3
Abstand zum Ursprung:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1
d = ⎝2⎠ · 1 2
⎝2⎠ = 3
3
3 1
Normalform
E :
2
3 x 1 + 2 3 x 2 + 1 3 x 3 = 3
Hesse-Normalform einer Ebene 2-3

Beispiel:
Ebene E durch P = (1, 2, 3) mit normierten Normalenvektor
⃗n = (2, 2, 1) t /3
Abstand zum Ursprung:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1
d = ⎝2⎠ · 1 2
⎝2⎠ = 3
3
3 1
Normalform
X = (4, 0, 1) ∈ E:
E :
2
3 x 1 + 2 3 x 2 + 1 3 x 3 = 3
⃗x · ⃗n = 1 (8 + 0 + 1) = d
3
Hesse-Normalform einer Ebene 2-4

Beispiel:
Ebene E durch P = (1, 2, 3) mit normierten Normalenvektor
⃗n = (2, 2, 1) t /3
Abstand zum Ursprung:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1
d = ⎝2⎠ · 1 2
⎝2⎠ = 3
3
3 1
Normalform
X = (4, 0, 1) ∈ E:
X = (0, 0, 0) /∈ E:
E :
2
3 x 1 + 2 3 x 2 + 1 3 x 3 = 3
⃗x · ⃗n = 1 (8 + 0 + 1) = d
3
⃗x · ⃗n = 0 ≠ d
Hesse-Normalform einer Ebene 2-5

Beispiel:
Umrechnen von Ebenendarstellungen
Hesse-Normalform einer Ebene 3-1

Beispiel:
Umrechnen von Ebenendarstellungen
(i) Ebene durch den Punkt P, aufgespannt durch zwei nicht parallele
Vektoren ⃗u,⃗v
Hesse-Normalform einer Ebene 3-2

Beispiel:
Umrechnen von Ebenendarstellungen
(i) Ebene durch den Punkt P, aufgespannt durch zwei nicht parallele
Vektoren ⃗u,⃗v
Parameterdarstellung
E : ⃗x = ⃗p + s⃗u + t⃗v,
s, t ∈ R
Hesse-Normalform einer Ebene 3-3

Beispiel:
Umrechnen von Ebenendarstellungen
(i) Ebene durch den Punkt P, aufgespannt durch zwei nicht parallele
Vektoren ⃗u,⃗v
Parameterdarstellung
E : ⃗x = ⃗p + s⃗u + t⃗v,
s, t ∈ R
weitere Punkte Q, R ∈ E:
⃗q = ⃗p + ⃗u,
⃗r = ⃗p + ⃗v
Hesse-Normalform einer Ebene 3-4

Beispiel:
Umrechnen von Ebenendarstellungen
(i) Ebene durch den Punkt P, aufgespannt durch zwei nicht parallele
Vektoren ⃗u,⃗v
Parameterdarstellung
E : ⃗x = ⃗p + s⃗u + t⃗v,
s, t ∈ R
weitere Punkte Q, R ∈ E:
⃗q = ⃗p + ⃗u,
⃗r = ⃗p + ⃗v
normierter Normalenvektor:
⃗u × ⃗v
⃗n = σ
|⃗u × ⃗v|
σ ∈ {−1, 1} d = ⃗p · ⃗n ≥ 0 Hesse-Normalform ⃗x · ⃗n = d
Hesse-Normalform einer Ebene 3-5

(ii) Ebene durch drei Punkte P, Q und R, die ein echtes Dreieck bilden
Hesse-Normalform einer Ebene 3-6

(ii) Ebene durch drei Punkte P, Q und R, die ein echtes Dreieck bilden
Drei-Punkte-Form
E : [ ⃗x − ⃗p,⃗q − ⃗p,⃗r − ⃗p ] = 0
Hesse-Normalform einer Ebene 3-7

(ii) Ebene durch drei Punkte P, Q und R, die ein echtes Dreieck bilden
Drei-Punkte-Form
E : [ ⃗x − ⃗p,⃗q − ⃗p,⃗r − ⃗p ] = 0
Vektoren, die E aufspannen:
⃗u = −→ PQ,
⃗v = −→ PR
Hesse-Normalform einer Ebene 3-8

(ii) Ebene durch drei Punkte P, Q und R, die ein echtes Dreieck bilden
Drei-Punkte-Form
E : [ ⃗x − ⃗p,⃗q − ⃗p,⃗r − ⃗p ] = 0
Vektoren, die E aufspannen:
⃗u = −→ PQ,
⃗v = −→ PR
Konstruktion der Hesse-Normalform wie in (i)
Hesse-Normalform einer Ebene 3-9

(iii) Ebene durch einen Punkt P und einen Normalvektor ⃗n
Hesse-Normalform einer Ebene 3-10

(iii) Ebene durch einen Punkt P und einen Normalvektor ⃗n
Hesse-Normalform
E : ⃗x · ⃗n 0 = d, d = ⃗p · ⃗n 0
mit ⃗n 0 = σ · ⃗n/|⃗n|, σ ∈ {−1, 1} d ≥ 0
Hesse-Normalform einer Ebene 3-11

(iii) Ebene durch einen Punkt P und einen Normalvektor ⃗n
Hesse-Normalform
E : ⃗x · ⃗n 0 = d, d = ⃗p · ⃗n 0
mit ⃗n 0 = σ · ⃗n/|⃗n|, σ ∈ {−1, 1} d ≥ 0
Vektoren, die E aufspannen:
⃗u = ⃗n × ⃗x,
⃗v = ⃗n × ⃗u
mit ⃗x ≠ λ⃗n
Hesse-Normalform einer Ebene 3-12

(iii) Ebene durch einen Punkt P und einen Normalvektor ⃗n
Hesse-Normalform
E : ⃗x · ⃗n 0 = d, d = ⃗p · ⃗n 0
mit ⃗n 0 = σ · ⃗n/|⃗n|, σ ∈ {−1, 1} d ≥ 0
Vektoren, die E aufspannen:
⃗u = ⃗n × ⃗x,
⃗v = ⃗n × ⃗u
mit ⃗x ≠ λ⃗n
Konstruktion der Drei-Punkte-Form wie in (i)
Hesse-Normalform einer Ebene 3-13

Beispiel:
Ebene durch die Punkte
P = (7, 2, 0), Q = (1, −6, 2), R = (−1, −8, 3)
Hesse-Normalform einer Ebene 4-1

Beispiel:
Ebene durch die Punkte
P = (7, 2, 0), Q = (1, −6, 2), R = (−1, −8, 3)
Drei-Punkte-Form:
⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤
7 1 7 −1 7
E : ⎣⃗x − ⎝2⎠ , ⎝−6⎠ − ⎝2⎠ , ⎝−8⎠ − ⎝2⎠⎦ = 0
0 2 0 3 0
Hesse-Normalform einer Ebene 4-2

Beispiel:
Ebene durch die Punkte
P = (7, 2, 0), Q = (1, −6, 2), R = (−1, −8, 3)
Drei-Punkte-Form:
⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤
7 1 7 −1 7
E : ⎣⃗x − ⎝2⎠ , ⎝−6⎠ − ⎝2⎠ , ⎝−8⎠ − ⎝2⎠⎦ = 0
0 2 0 3 0
Differenzen der Ortsvektoren Richtungen, die die Ebene aufspannen:
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⃗u = −→ −6
PQ = ⎝−8⎠ , ⃗v = −→ −8
PR = ⎝−10⎠
2
3
Hesse-Normalform einer Ebene 4-3

Beispiel:
Ebene durch die Punkte
P = (7, 2, 0), Q = (1, −6, 2), R = (−1, −8, 3)
Drei-Punkte-Form:
⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤
7 1 7 −1 7
E : ⎣⃗x − ⎝2⎠ , ⎝−6⎠ − ⎝2⎠ , ⎝−8⎠ − ⎝2⎠⎦ = 0
0 2 0 3 0
Differenzen der Ortsvektoren Richtungen, die die Ebene aufspannen:
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⃗u = −→ −6
PQ = ⎝−8⎠ , ⃗v = −→ −8
PR = ⎝−10⎠
2
3
Parameterdarstellung der Ebene
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
7 −6 −8
E : ⃗x = ⎝2⎠ + s ⎝−8⎠ + t ⎝−10⎠ ,
0 2 3
s, t ∈ R
Hesse-Normalform einer Ebene 4-4

Normalenvektor:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−24 + 20 −4
⃗n = ⃗u × ⃗v = ⎝−16 + 18⎠ = ⎝ 2 ⎠
60 − 64 −4
Hesse-Normalform einer Ebene 4-5

Normalenvektor:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−24 + 20 −4
⃗n = ⃗u × ⃗v = ⎝−16 + 18⎠ = ⎝ 2 ⎠
60 − 64 −4
Normierung:
σ = −1
⃗n 0 = σ 6
⎛ ⎞
−4
⎝ 2 ⎠ , σ ∈ {−1, 1}
−4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
7 −2/3
d = ⃗p · ⃗n 0 = ⎝2⎠ · σ ⎝ 1/3 ⎠ = 4 > 0
0 −2/3
Hesse-Normalform einer Ebene 4-6

Normalenvektor:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−24 + 20 −4
⃗n = ⃗u × ⃗v = ⎝−16 + 18⎠ = ⎝ 2 ⎠
60 − 64 −4
Normierung:
σ = −1
Hesse-Normalform:
⃗n 0 = σ 6
⎛ ⎞
−4
⎝ 2 ⎠ , σ ∈ {−1, 1}
−4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
7 −2/3
d = ⃗p · ⃗n 0 = ⎝2⎠ · σ ⎝ 1/3 ⎠ = 4 > 0
0 −2/3
E : 2 3 x 1 − 1 3 x 2 + 2 3 x 3 = 4
Hesse-Normalform einer Ebene 4-7