Übersicht Formale Semantik Idee: Definiere Effekte

(State→ State, v) ist eine ccpo
Beweis des Lemmas:
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• Theorem: (State→ State, v) ist eine kettenvollständige
partiell geordnete Menge.
• Die kleinste obere Schranke tY einer Kette
Y ist definiert durch:
– (tY) s = g s falls g s ≠ undef für ein g ∈ Y
– (tY) s = undef sonst
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Dr. Sabine Glesner
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Drei Schritte zum Beweis:
• 1. Schritt: Definiere g 0 folgendermaßen:
– g 0 s = g s falls g s ≠ undef für ein g ∈ Y
– g 0 s = undef sonst
und zeige, dass g 0 wohldefiniert ist.
• 2. Schritt: Zeige, dass g 0 eine obere
Schranke von Y ist.
• 3. Schritt: Zeige, dass g 0 die kleinste obere
Schranke von Y ist.
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Definition: Monotone Funktionen
Beispiel: Monotone Funktionen
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• (D,v) und (D´,v´) seien ketten-vollständige
partiell geordnete Mengen und f:D→D´ eine
(totale) Funktion.
• f ist monoton, wenn:
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Beispiele: f 1 , f 2 : P({a,b,c}) → P({d,e})
X
{a,b,c}
f 1
X
{d,e}
f 2
X
{d}
Frage:
Welche Funktion ist
monoton, welche nicht?
– d 1 v d 2 implies f d 1 v´ f d 2
{a,b} {d}
{d}
f_1 macht a und b zu d,
c zu e.
{a,c}
{d,e}
{d}
⇒ f 1
ist monoton.
{b,c}
{d,e}
{e}
{a}
{d}
{d}
Gegenbeispiel:
{b}
{d}
{e}
{b,c} ⊆ {a,b,c}, aber
{c}
{e}
{e}
¬ (f 2
{b,c} ⊆ f 2
{a,b,c})
{}
{}
{e}
⇒ f 2
ist nicht monoton.
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Dr. Sabine Glesner
HPS WS 2002/03 Dr. Sabine Glesner