Ãbersicht Formale Semantik Idee: Definiere Effekte

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Fall A: Schleife terminiert Ausführung von while b do S ausgehend vom Zustand s 0 Es gibt Zustände s_1, s_2, …, s_n,so dass B«b¬s i = tt wenn i
Fall C: Schleife terminiert global nicht Fazit: Anforderungen an FIX 25 Ausführung von while b do S ausgehend vom Zustand s 0 Es gibt Zustände s_1, s_2, …, s_n,so dass B«b¬s i = tt und S«S¬s i = s i+1 für alle i Sei g ein Fixpunkt von F. Dann gilt für alle i g s i = g s i+1 Wir könnten im Prinzip jeden Fixpunkt wählen, aber unsere Erfahrung mit Programmen zeigt, dass die Schleife kein Ergebnis liefert, wenn sie nicht terminiert. Deswegen sollte in diesen Fällen das Ergebnis undef sein. HPS WS 2002/03 Dr. Sabine Glesner 26 • Der gesuchte Fixpunkt sollte ein Fixpunkt des Funktionals F sein. • Er sollte sowenig Funktionswerte definieren wie möglich. Der Fixpunkt sollte also nur die Resultate der Schleife festlegen, die tatsächlich bei der Ausführung der Schleife erzielt werden. • Formal: Sei g_0 der angestrebte Fixpunkt und g ein beliebiger anderer Fixpunkt des Funktionals F. Dann gilt für alle Zustände s: – F g 0 = g 0 – Ist F g = g und g 0 s = s´, dann ist g s = s´. HPS WS 2002/03 Dr. Sabine Glesner Fixpunkt-Theorie Partiell geordnete Mengen (D,v) 27 Unser Programm im folgenden: Entwicklung einer Theorie, die die Existenz und Eindeutigkeit der angestrebten Fixpunkte garantiert • Partiell geordnete Mengen • Im besonderen: Ordnung auf partiellen Funktionen • Eindeutigkeit eines kleinsten Elements, falls es existiert, von partiell geordneten Mengen • kleinstes Element der Funktionen, die von Zuständen in Zustände abbilden • <strong>Formale</strong> Definition der Anforderungen an FIX F • Vollständige partiell geordnete Mengen • Ketten und ihre kleinsten oberen Schranken • Ketten-vollständige partiell geordnete Mengen • Monotone und stetige Funktionen: haben kleinste Fixpunkte HPS WS 2002/03 Dr. Sabine Glesner 28 • Eine Menge D mit einer Ordnung v ist eine partielle Ordnung, wenn gilt: – v ist reflexive: d v d für alle d ∈ D, – v ist transitive: d 1 v d 2 und d 2 v d 3 impliziert d 1 v d 3 für alle d 1 , d 2 , d 3 ∈ D, und – v ist antisymmetrisch: aus d 1 v d 2 und d 2 v d 1 folgt d 1 = d 2 . • Theorem: Wenn eine partiell geordnete Menge (D, v) ein kleinstes Element hat, dann ist es eindeutig und wird mit ⊥ bezeichnet. HPS WS 2002/03 Dr. Sabine Glesner
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