Übersicht Formale Semantik Idee: Definiere Effekte

Beispiel: Potenzmengen
Partielle Ordnung auf Funktionen
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Sei S≠ ∅ und die Potenzmenge P(S) = {K | K⊆ S}.
Es gilt: (P(S), ⊆) ist eine partiell geordnete Menge.
Beispiel: S = {a, b, c}.
größtes Element
{a, b, c}
{a, b}
{a}
Solche Diagramme nennt
man Hasse-Diagramme.
HPS WS 2002/03
{a, c}
{b}
∅
{b, c}
{c}
kleinstes Element
Dr. Sabine Glesner
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• Sei State → State = {f | f: State → State} die Menge
aller (partiellen und totalen) Funktionen, die
Zustände in Zustände abbilden.
• g 1 v g 2 gdw. g 1 s = s´impliziert g 2 s = s´ für alle s,s´
• Theorem: (State → State, v) ist eine partiell
geordnete Menge. Die partielle Funktion ⊥
definiert durch ⊥ s = undef für alle s ist das
kleinste Element von State → State.
• Beweis: Übungsaufgabe
HPS WS 2002/03
Dr. Sabine Glesner
Beispiel: Partiell geordnete Funktionen
Charakterisierung der partiellen Ordnung
• g 1 s = s für alle s
• g 2 s = s falls s x ≥ 0, g 2 s = undef sonst
• g 3 s = s falls s x = 0, g 3 s = undef sonst
• g 4 s = s falls s x · 0, g 4 s = undef sonst
Partielle Ordnung:
g 1
• Sei State → State = {f | f: State → State} die Menge
aller (partiellen und totalen) Funktionen, die
Zustände in Zustände abbilden.
• Definition: graph(g) = { (x,y) | g(x)=y }
• Lemma:
g 1 v g 2 genau dann, wenn graph(g 1 ) ⊆ graph(g 2 ).
g 2 g 4
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g 3
HPS WS 2002/03 Dr. Sabine Glesner
HPS WS 2002/03
Dr. Sabine Glesner
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