Transformation kartesischer Koordinaten K K - Fakultät Informatik ...

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Richter, M.: Grundwissen Mathematik für Ingenieure, Ergänzungen 1
Transformation kartesischer Koordinaten
Das kartesische Koordinatensystem K werde durch Drehung und Verschiebung in das
Koordinatensystem K überführt.
P ✉
♣
♣♣
♣♣
K
x 3 ♣ ♣
⃗x
x 1
⃗e 1 ♣ ♣♣♣♣♣♣♣
x
x 3
2
⃗e ♣ ♣ ⃗e 3 3 ⃗e 2
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⃗v
⃗e 2
⃗e
x 2
1
♣
♣♣♣♣ ♣
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x 1
⃗x
K
♣ ♣
Dann gilt A · ⃗x = ⃗x −⃗v , wobei in der i-ten Spalte der Matrix A die Richtungskosinus
des Vektors ⃗e i (i = 1; 2; 3) bzgl. K stehen.
Eigenschaften: 1. Da die Matrix A invertierbar ist, folgt ⃗x = A −1 (⃗x − ⃗v) .
2. Das Koordinatensystem werde um die x 3 −Achse um den Winkel ϕ gedreht. Dann
gilt:
⎛
cos(ϕ) cos( π + ϕ) 0 ⎞ ⎛
⎞
cos(ϕ) − sin(ϕ) 0
2
A = ⎝ cos( π − ϕ) cos(ϕ) 0 ⎠ = ⎝ sin(ϕ) cos(ϕ) 0 ⎠ ,
2
0 0 cos(0)
0 0 1
wobei im letzten Schritt der Additionssatz für die Kosinusfunktion (Satz 1.10, S. 50)
cos( π 2 ± ϕ) = cos(π 2 ) cos(±ϕ) − sin(π ) sin(±ϕ) = ∓ sin(ϕ)
2
verwendet wurde. Man überprüft leicht die Beziehung
⎛
cos(ϕ) sin(ϕ)
⎞
0
A −1 = ⎝ − sin(ϕ) cos(ϕ) 0 ⎠ .
0 0 1
3. Eine (räumliche) Drehung eines Koordinatensystems mit der Matrix lässt sich auf drei
Drehungen um die Koordinatenachsen zurückführen. Die Matrizen, die bei jeder Drehung
um eine Koordinatenachse entstehen, lassen sich analog zur Eigenschaft 2 berechnen.

Richter, M.: Grundwissen Mathematik für Ingenieure, Ergänzungen 2
( 5
)
Beispiel: Das kartesische Koordinatensystem K im R 2 wird um den Vektor ⃗v =
2
1
π
verschoben und um den Winkel
3 gedreht.
(1) Wie lauten die Koordinaten des Punktes P = P (2; 3) aus K in dem transformierten
Koordinatensystem?
(2) Stellen Sie die Funktion y = f(x), x ∈ D , die in K gegeben ist, in dem transformierten
Koordinatensystem dar.
( 5
) (
Lösung: ⃗v =
2 2
, ⃗x = , ϕ = 1 3)
π ♣ ♣
3 .
( (
cos
π
) (
3 cos π + ))
( π 1
√ )
⃗e 2
− 1 ⃗e
3 2 2 2 3
1
♣
A =
cos ( )
π
6
cos ( )
π
3
=
√
1
2 3
1
2
x 2
⃗e 2 ϕ
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⃗e 1 x 1
(
(1) A ∣ (
) 1
√ ) (
−
2 ∣⃗x 1 2 3 −
1
1
√ )
− 1 2
2 2 3 −
1
2
− ⃗v = √ −→
√
1
2 3
1
2
0 2 2 + 1 2 2 3
( √ )
3 −
1 ( )
4 1, 482
−→ ⃗x = √ ≈
1 + 1 4 3 1, 433
(( ) ) ( 1
)
1 ( )
x
(2) ⃗x = A −1 2 2√
3 x −
5
− ⃗v =
·
2
f(x)
− 2√ 1 3
1 f(x) − 1
( √ 2
x + 3f(x) −
= 1 5
− √ )
3
2
2
− √ √
3x + f(x) + 5 , x ∈ D. (∗)
2 3 − 1
Mit (∗) wird in dem transformierten Koordinatensystem eine (ebene) Kurve in Parameterdarstellung
beschrieben, wobei x der Parameter ist. (Siehe Seiten 163ff.) ◭