Mathematik I ¨Ubungsblatt 12 - Fakultät Informatik/Mathematik ...

Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Wintersemester 2011/12
Fakultät Informatik/Mathematik
Prof. Dr. B. Jung
Aufgabe 1:
Bestimmen Sie die Asymptoten:
Mathematik I
Übungsblatt 12
y 1 = f 1 (x) = x2 + 8
x + 4 , y 2 = f 2 (x) = 2x3 + x 2 + 1
x 2 , y 3 = f 3 (x) = 1 + sin x
+ 2
x
Aufgabe 2:
Gegeben sind die Funktionen
f 1 (x) = e − 1
x 2 , f 2 (x) = 1
sin x , f 3(x) = e 1
x−4 .
Bestimmen Sie jeweils die Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist (Definitionslücken). Berechnen
Sie an diesen Stellen den links- und den rechtsseitigen Grenzwert der Funktion. Entscheiden Sie, ob und ggf.
wie diese Definitionslücken behoben werden können.
Aufgabe 3:
Wo besitzen die folgenden Funktionen Nullstellen, Pole und hebbare Definitionslücken:
a) f 1 (x) = x2 − 2x
2x
b) f 2 (x) = x2 + x − 2
(x − 1) 2 c) f 3 (x) = x3 + x 2 − 2x
x − 2
Aufgabe 4:
Bilden Sie von den folgenden Funktionen jeweils die erste Ableitung (der entstehende Ausdruck ist ggf. zu
vereinfachen):
a) f(x) = x · e x · sin x b) g(t) = 3t2 − 1
c) f(x) = √ sin x
1 + t 2
d) f(x) = √ x + sin(2x) e) g(x) = arcsin(2x) f) h(x) = ln
(x + √ )
1 + x 2
g) f(x) = x cos x (für x > 0) h) f(x) = x x sin x (für x > 0)
Aufgabe 5:
Für folgende Auslenkungen x(t) sind jeweils die Geschwindigkeiten v(t) = ẋ(t) zu bestimmen:
a) x(t) = a · sin(ωt + ϕ) (ungedämpfte Schwingung)
b) x(t) = c · e −δt · sin(ωt + ϕ) (gedämpfte Schwingung)
c) x(t) = c · e −ρt (aperiodische Kriechbewegung)
d) x(t) = c · e −ρt · (1 + ρt) (aperiodischer Grenzfall).
Dabei sind a die Amplitude, ω die Kreisfrequenz, ϕ die Phasenverschiebung und ρ das logarithmische Dekrement,
und es gilt: ω, δ, ρ > 0.
Zusatzaufgabe:
Die Fallgeschwindigkeit v beim freien Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes kann nach der folgenden
Formel berechnet werden:
v(s) =
√
mg
k
(
1 − e − 2ks
m
)
(s ≥ 0),
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wobei s: Fallweg, m: Masse des fallenden Körpers, g: Erdbeschleunigung an der Erdoberfläche,
k: Reibungskoeffizient). Berechnen Sie daraus die Fallbeschleunigung a = a(s) nach der Formel: a = v · dv
ds .
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