Ubungsblatt 13 - Fakultät Informatik/Mathematik - Hochschule für ...

Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Sommersemester 2011
Fachkultät Informatik/Mathematik
Prof. Dr. B. Jung
Mathematik II
Übungsblatt 13
Aufgabe 1:
Ein Blech der Breite b soll durch Hochbiegen der seitlichen Enden zu einer trapezförmigen Rinne (gleichschenkliges
Trapez) mit möglichst großem Querschnitt A verformt werden. Mit welcher Länge x und unter
welchem Winkel α müssen die Enden abgebogen werden?
Aufgabe 2:
Berechnen Sie die Scheitelpunkte der Ellipse x 2 + xy + y 2 = 5 (d.h. die Punkte mit größtem oder kleinstem
Abstand zum Koordinatenursprung) .
Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die extremwertverdächtigen Stellen der Funktion f(x, y) = x 2 + y 2 unter der Nebenbedingung
x 3 + y 3 + 1 = 0 . Dabei ist die Lagrange-Methode zu verwenden.
Zusatz: Weisen Sie nach, dass tatsächlich Extrema vorliegen.
Aufgabe 4:
Lösen Sie die folgenden exakten Differentialgleichungen (vorher: Überprüfung der Integrabilitätsbedingung):
a) (2xe y − 1) dx + x 2 e y dy = 0
b) (3x 2 y − 1) dx + (x 3 + 2y sin(2y)) dy = 0
Aufgabe 5:
Ein Thermistor oder Heißleiter ist ein Halbleiter, dessen elektrischer Widerstand R mit zunehmender absoluter
Temperatur T nach der Gleichung
R(T ) = A · e B T
stark abnimmt. Bestimmen Sie mit den Methoden der Ausgleichsrechnung die Parameter A und B für einen
Heißleiter, bei dem die folgenden Messwerte gefunden wurden:
T [K] 293.15 313.15 333.15 353.15 373.15
R[Ω] 510 290 178 120 80
Hinweis: Logarithmieren Sie beide Seiten der Gleichung, führen Sie geeignete Hilfsvariable ein und berechnen
Sie dann die entsprechende Ausgleichsgerade.
Aufgabe 6:
Gegeben seien 6 Punkte der Ebene laut Tabelle:
x -2 0 3 4 6 9
y -33 -18 0 2 8 16
Gesucht ist die Ausgleichsparabel zu diesen Punkten.

Ergebnisse
Dezimalzahlen sind jeweils auf drei Nachkommastellen gerundet.
Aufgabe 1: x = b 3 , α = 60◦
Aufgabe 2: Scheitelpunkte:
(√ √ (√ √ 5
3 , 5 5
, −
3)
3 , − 5
, (
3) √ 5, − √ 5), (− √ 5, √ 5)
Aufgabe 3: extremwertverdächtige Stellen: (0, −1), (−1, 0),
(
)
− √ 1 , − 1 3 3
2 √ 2
Aufgabe 4:
a) x 2 e y − x = C (C ∈ R)
b) x 3 y − x − y cos(2y) + 1 2
sin(2y) = C (C ∈ R)
Aufgabe 5: A = 0.095, B = 2515.353
Aufgabe 6: Koeffizienten in der Parabelgleichung: a 0 = −18.364, a 1 = 6.467, a 2 = −0.302
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