3-zeit-Teil2.pdf

3.4 Signalanalyse mittels Fouriertransformation
3.4.1 Eigenschaften von Fourierreihen und -transformierten
3.4.1.1 Vergleich Fourierreihe - Fouriertransformation
Fouriertransformation (allg. Version, wenn
nichts über Periodizität bekannt ist):
Fourierreihe: x(t) periodisch
+∞
∫
−∞
1
j
= ω
ω t
x(t) X( )e dω
2π
x(t) =
+∞
∑
n=−∞
X e
j n ω0
t
n
+∞
= ∫
−∞
-jω
t
X ( ω)
x( t)e
dt
=
X( ω)
e
Betrags- bzw. Amplitudenspektrum: X( ω )
Phasenspektrum:
ϕ( ω )
jϕ
n
1
= x(t)e dt
T
∫ =
X
0
T
X
e
−jnω
t
jϕ n
n
Betragsspektrum : X n ;
Phasenspektrum :
ϕ n
Dimensionsanalyse:
[ X(ω) ] = [ x(t) ] [ t ] [ X n ] = [ x(t) ] [ t ] / [ T ] = [ x(t) ]
Also gilt auch : X(ω) period. Sign. = X(nω 0 ) ≠ X n (Weiteres s.u.)

jω0 t − jω0
t
Beispiel : Gegeben : x(t) = 1 + cos ω 0 t = 1 + ( e + e ) / 2
Lösungswege :
1) Fourierreihe :
x(t)
=
∞
∑
n= −∞
X e n
jnω
0
t
1a) Koeffizienten-Vergleich : Gleichanteil X 0 = 1 ; X 1 = X -1 = ½
Betragsspektrum : reell; Phasenspektr. : ϕ n = 0
X n
1
1/2 1/2
-1
1
ω / ω
0

1b) Rechnung mit Fourierreihe
T
1
X
n
= ∫ (1+
cosω
0
t)e
T
1
=
T
0
T
∫
0
− jnω
t
0
dt
( 1+
cos ω t ) (cos nω
0t
+ sin n
0t
0
ω
)dt
Ausmultiplizieren: cos x cos nx = ½ [ cos (n-1)x + cos (n+1)x ]
cos x sin nx = ½ [ sin (n-1)x + sin (n+1)x ]
Gliedweises Integrieren über diese Terme liefert mit
T
T
1
1
⎧0
n ≠ 0
∫ sin(
nω0t)
dt=
0
T , ∫ cos( nω0t)
dt=
⎨
T
0
⎩1
n=
0
0
Beiträge 1/2, wenn : cos ( ... ) ≡ 1 , d.h. ( ... ) ≡ 0, d.h. n = ± 1 ,
Beiträge „0“ sonst.
Ergebnis : Lösung aus 1a) wird reproduziert.

liefert Terme der Form:
2) Rechnung mit Fouriertransformation
X( ω)
∞
∫
−∞
∞
jω
−
= ∫ (1 + e
0 t
- jω0t
jωt
/ 2 + e / 2 ) e dt
−∞
j(y−y
0 )x
e dx=
2πδ
(y−y0)
(s.u.)
(Dirac'sche Delta - "Funktion" )
1 1
X( ω ) = 2π
δ(
ω ) + δ(
ω−ω0 ) + δ(
ω+
ω0
)
Damit: ⎩⎨⎧
2 2 ⎭ ⎬⎫
∞
Probe : Einsetzen in Fourier - Rücktransformation liefert mit ∫ δ( ω )dω
=1
−∞
Weiterhin gilt : δ( ω ) = δ ( 2π ) = 1
f
2π δ (f )
1 1
(f) = δ (f) + δ (f −f0)
+ δ (f + f )
⎩⎨⎧
2 2 ⎭⎬⎫
X
0
Frequenz : 0 f 0 -f 0
"Peakstärke" : 1 1/2 1/2
wieder x(t).

Mathematischer Einschub: Delta - Funktion
Fouriertransformation, Einsetzen der Transformationsgleichungen ineinander :
x(t)
⎜
∫ ∫
X(ω)
∞ ∞
∞
∞
∞
1
−jω
t' ⎟ jω
t
1 jω
(t−t')
= x(t')e dt' e d = dt'x(t') d e = dt'x(t') f ( t,
t'
)
2π
−∞
⎛
⎜
⎝
−∞
⎞
⎟
⎠
ω
∫
−∞
2π
Damit die rechte Seite der Gl. wieder x(t) ergibt, muss gelten:
f ( t,
t'
) =
1
2π
dω
e
jω(t−t')
mit der Eigenschaft:
∞
∫
−∞
Analog gilt: 2π
dt
e
∞
∫
-∞
1
∞
jt(
ω −ω'
)
∫
−∞
∫
−∞
= δ(t−t')
ω
δ(t−t')x(t')dt'
= x(t)
= δ(
ω −ω')
∫
−∞

Periodische Funktionen: Vergleich Fouriertransformierte - Fourierreihe
1) Fouriertransformation :
+∞
∫
−∞
-jω
t
X( ω)
= x( t)e
dt
Fourierreihe
x(t)
=
+ ∞
∑
n = −∞
X e
j nω0
t
n
Einsetzen von x(t) liefert für eine period.
Funktion:
∞
∑
X( ω) = 2π X δ( ω− nω ) = X δ(f −nf )
n=−∞
n 0
n 0
n=−∞
∞
∑
2) Andererseits folgt für eine periodische
Funktion:
Allg. Lösung:
X( ω)
=∫
T
-jω
t
x( t)e
dt
Vergleich mit der Fourierreihe
1
∫
− jnω0
t
X
n
= x(t)e
T
T
liefert :
X 1 T X( n )
n = ω=
ω 0
.
.
dt

3.4.1.2 Energiebeziehungen: Parsevalsche Gleichung
- x ( t ) : Feldgröße
E : Energie- (bzw. Leistungs-)größe ( E
Beispiele : Akustik :
E ∫
- Definition:
W
Ak
2
∝ W ) Es gilt i.a. : E x ∆ t
∝ %
P I ~ p
2
∝ ∝ ∝
Wechselstrom : P U I ∝ U
Ak
∞
2
= x (t)dt
−∞
el
=
% % % 2
∞
∫
∫ ∫
jωt
- Berechnung : E= x(t) x(t ) dt = dω
X ( ω)
[ e x(t) dt ]
−∞
1
2π
1) x(t) einmal durch FT ausdrücken und einsetzen;
2) t-abhäng. Terme zusammenfassen, t - Integration ausführen [...] : X(-ω);
3) Es gilt : X(-ω) = X*(ω) , damit: X(ω) X*(ω) = ⏐X(ω)⏐ 2 .
∞
−∞
∞
−∞

∞
−∞
∞
∞
2 1
2
2
E= ∫ x (t)dt = ∫ X( ω)
dω
= ∫ X(f) df
2π
−∞
−∞
Aussage :
Die Energie des Signals erhält man durch Integration (bzw. Summation bei
Fourierreihen) über die Quadrate des Betragsspektrums.
Def.: Energiespektrum SE
S ( ω) = X( ω)
E 2
1 E
E= S ( ω)dω
2π
∞
∫
−∞

Periodische Funktion x(t) / Fourierreihe:
Für eine Periode T folgt:
E
T
=
∫
T
x
2
(t)dt=
T
∞
∑
n= −∞
Anmerkung: Für die Leistung gilt : P = E T / T , also:
X
n
2
x(t) =
∑ ∞
X n
n=−∞
jn 0 t
e ω
2
2 2
%x = E / T = X = X + 2 X
T
∞
∞
∑ n − ∑
n= −∞
n=
1
n
2
Energie des Signals = Summe der Energien der Teilvorgänge n
(Effektivwert) 2 = Summe der Quadrate der Fourierkoeffizienten
(Vgl. auch: "energetische" Pegeladdition, z.B. bei Berechnung des Gesamtpegels aus Terzpegeln))
Für reelle Aufbaufunktionen gilt mit Xn = c
n
/ 2 (n ≠ 0):
∞
2 2 cn
%x = x−
+ = x−
+
2
n=
1
2
∞ 2
2 an
∑ ∑
n=
1
+ b
2
2
n

Anwendung : Filterung von Signalen
a) Periodische Signale
- Effektivwert des ungefilterten Signals:
~ 2 2
∑ ∞
Anteile im Spektrum bei : ω = 0, ω = ω n = n ω 0
x
=
X
−
+
2
n=
1
X
n
2
- Vom Filter durchgelassen: ω 1 < ω < ω 2 (TP : ω 1 = 0; HP: ω 2 → ∞ )
~ 2
Effektivwert des durchgelass. Anteils: x D
⇒ Summation über n mit ω 1 /ω 0 < n < ω 2 /ω 0
Gesamt :
2 2
x~ =
D
+
x~
Weggeschnitten :
~ 2
x W ( n < ω1 /ω 0 , n > ω 2 /ω 0 )
- Beispiel : HP, ω H = 3,5 ω 0 (weggeschnitten : n < 4)
2
~ 2 2 ⎛
2
2 ⎞ 2 1 2
xW
= x
_
+ 2 x
1
+ x
2
+ x
3
= x
_
+ c1
+ c2
⎜⎝
⎟⎠ 2
∞
∞
2
2 1 2 2 2
x~
D
= 2 ∑ x
n
= ∑ cn
= x~ − x~
W
2
n = 4
n = 4
x~
2
W
( + )
2 2
c
3

) Allgemeines Signal
- ungefiltertes Signal, Zeitraum T
E
T
=
∞
∫
−∞
x
2
1
(t)dt =
2π
∞
∫
−∞
X
T
∞
2 1
2
( ω ) dω
= ∫ X
T
( ω ) dω
π
0
- gefiltertes Signal, durchgelassener Anteil
E T,d
1 ω2
2
T ~ 2
2
X ( ) d x T ( x~ x~ 2
T
ω ω =
D
=
T
−
T ,W
ω
=
π
∫
1
)

Leistungsspektrum :
1
S( ω)
= X( ω)
2π
w(
f ) =
2 X( f )
2
2
( f
≠0),
w(
0)
=
X( 0)
2

3.4.1.3 Verschiebungssatz, Symmetrien
1) Verschiebungssatz
Verschiebung von x(t) um ∆t in positiver t – Richtung: x' (t) = x ( t - ∆t )
Fouriertransformierte :
X'( ω)
=
= e
∞
∫
−∞
x(t−∆t)e
∞
− jω ∆t
∫
−∞
x(t')e
− jω
t
dt
− jω
t'
dt'
= e
t' = t−∆t
− jω ∆t
X( ω)
Speziell gilt :
X'( ω ) = X( ω )
Phasenspektrum :
x(t) → φ x'(t) → φ - ω ∆t
Das Betragsspektrum / Energiespektrum wird durch eine zeitliche
Verschiebung nicht verändert !
Zeitl. Verschiebungen
- sind ohne Belang, wenn es sich um stationäre (quasistation.) Signale handelt und
Effektivwerte gemessen werden (Betragsspektrum)
- sind von Bedeutung, wenn Momentanwerte von Interesse sind (zeitl. Verschiebung
entspricht Phasenverschiebung) (Messung der Schallintensität : p 1 (t) und p 2 (t))

a) Allgemein gilt :
X(
−ω
) = X *( ω)
X
2) Symmetrien
= X *, X ( −ω
) = X ( ) ⇒ X = X
bzw. n n n
-n
n −n
-
ω
1
x(t) =
2π
+ X( −
jω
t
−jω
t
b) Weiterhin gilt :
( ω ω ) ω
∞
∫
0
,
X(
X( ω)
=
)e
X *( ω)
)e
⇒
X( ω)
=
d
X( −ω
)
c) Sei speziell X (ω) = X (-ω):
X(ω) ist reell !
∞
1
x(t)
= ∫ X( ω)cosω
t dω
= x( −t)
π
0
d) Sei speziell X (ω) = - X (-ω):
X(ω) ist rein imaginär !
∞
j
x(t)
= ∫ X( ω)sinω
t dω
=−x(
−t)
π
0
x(t)
X(ω)
reell. gerade unger. reell imag. gerade unger.
X X X X
X X X X

Weitere Eigenschaften der Fouriertransformation :
1) z(t) = x(t) + y(t) : Z(ω) = X(ω) + Y(ω) (Linearität)
Aber : Linearität gilt nicht für Betrags- und Leistungsspektrum !!!
2) z(t) = x(a t) : Z(ω) = X(ω/a) /⏐a⏐
bzw. :
z(t) = x(t/a) / ⏐a⏐ : Z(ω) = X(a ω)
Zeitdehnung entspricht Stauchung im Frequenzbereich und umgekehrt !
3) Differentiation / Integration: Multiplikation / Division mit jω im Frequenzbereich
d
z(t) =
dt
z(t) =
t
∫
0
n
n
x(t) ⇔
Z( ω)
= (jω
)
X( ω)
x(t')dt ⇔ Z( ω)
=
jω
n
X( ω)

3.4.2 Beispiele für Fourierreihen und Fouriertransformierte
1) Überlagerung harmonischer Schwingungen
x(t)
N
∞
− jω
t
= ∑ xicos(
ωit+
ϕi),
X( ω)
= ∫ x(t)e dt
i=
1
−∞
Linearität: Überlagerung der FT aller Schwingungen (vgl. 3.4.1.1) liefert
⎧ 1
X( ω)
= 2π
⎨
⎩ 2
⎧ 1
X(f) = ⎨
⎩ 2
1
X(f) =
2
w(f) =
N
∑
i=
1
i=
1
N
N
∑
∑
i=
1
x
(x
i=
1
x
i
N
∑
i
x
jφ
i
− jφi
( e δ(
ω−ω
) + e δ(
ω+
ω ))
jφ
i
− jφi
( e δ(f
−f
) + e δ(f
+ f ))
( δ(f
−f
) + δ(f
+ f ))
2
i
i
/2) δ (f −f
i
i
)
i
i
i
i
⎫
⎬
⎭
i
⎫
⎬
⎭

2) Dirac - Stoß (Impuls)
x(t) = x
X( ω)
=
0
X( ω)
= x
δ (t−t
∞
∫
−∞
x
0
0
0
)
δ (t−t
0
= const.
3) Konstante
x(t) = x 0
X(ω) = 2π x 0 δ(ω)
)e
− jω
t
dt = x
0
e
− jω
t
0
4) Kamm - Funktion : Folge von
Dirac - Stößen
∞
x(t) = x
0 ∑ δ(t − nt
0
) , Periode t0
= 2 π / ω 0
n= −∞
x(t) :
gerade Funktion , nur cos ... - Anteile in
Reihenentwicklung
Fouriertransformation (ohne Beweis):
∞
2π
x
X( )
n 2 0
π
ω = ∑ δ( ω − )
t
t ,
X(f)
=
x
t
0 n= −∞
∑ ∞
0
δ(f
−n/t0)
0 n = −∞
Linien der Höhe x 0 / t 0 bei f = n f 0 = n / t 0 :
0
δ(t)
FT
⎯→
const. ; const.
FT
⎯ → δ( ω)
Kammfunktion in t
⇔ Kammfunktion in f

5) Rechteck – Funktion
x
x0
τ
∆ t
t
⎪
⎧ τ τ
x ∆t−
≤t≤∆t+
x(t)
=
0
⎨ 2 2
⎪⎩ 0
sonst
a) ∆t = 0 :
ωτ
τ / 2
sin
− jω
t
X ( ) x e dt x 2 ωτ
0
ω = ∫ 0
=
0τ
= x
0τSi
ωτ
−τ
/ 2
2
2
b) Allg. : X(ω) = X 0 (ω) e -jω ∆t (Verschiebungssatz)
X(
ω ) = X ( ω)
= x0τ
Si( ω /2)
0
τ
- 1. Maximum : ω = 0 : Si(0) = 1
(Hauptmax.)
- 1. Nullstelle : ωτ/2 = π : ω 1 = 2π / τ
2. Nullstelle : ωτ/2 = 2π : ω 2 = 4π / τ
usw.
- τ ⇒ ω i : Breite des Spektrums
nimmt zu.
Je schmaler der Impuls, umso
größer ist die zur Übertragung
notwendige Bandbreite.

x0
x
6) Periodische Wiederholung von Rechteckimpulsen
. . . . . .
0
τ
∆ t
t
∞
x(t) = ∑ x
1
(t −n∆
t) x
1: Rechteckimpuls, vgl. 6) 5)
n= −∞
Fourierreihe : (x(t): Periode ∆t = 2π / ω 0 ; gerade Funktion)
X
n
1
=
∆ t
∫
∆t
x(t)cos( ω nt)dt
Integrationsbereich z.B. : - τ/2 < t < τ/2 ( x(t) = x 0 )
0
X
n
sin n ω0
τ
x 2 x
t n t Si n 0
τ
0
τ ω0
τ
= =
∆ ω0
τ ∆ 2
2
(Linienspektrum: ω ω n = n ω 0 )
Tastverhältnis : ε = τ/∆t < 1; Gleichwert :
sin ( nπ ε
n
x
0
= x 0
ε ⇒Spektrum:
= Si (nπε
) =
π ε
x
x
n )
0

Anmerkungen und Beispiele zum periodischen Rechteckimpuls :
1.Maximum: ω = 0 ⇒ F H (0) = 1
Näherungsweise Bestimmung der Lage weiterer
Maxima aus: sin (...) = 1
ω/ω 0 = (k + ½) / ε (k = ...-2, -1, 0, 1, 2, ...)
Lage der Linien : n = ω / ω 0
a) Hüllfunktion für Linien :
π ε
sin ( ω )
ω0
FH
( ω ) =
π ε
ω
ω
b) Extrema der Hüllfunktion :
0
Minima : sin (…) = 0 ⇒ F H = 0 (Nullstellen)
ω/ω 0 = k / ε (k = ...-2, -1, 1, 2, ...)
Sei ε = 1/m 0 (m 0 = 1, 2, ...) : ω min = k m 0 ω 0
(d.h.: ω min = m 0 ω 0 , 2 m 0 ω 0 , 3 m 0 ω 0 ...)
Positionen der Min. sind Vielfache von ω 0
c) Positionen der Linien : ω = n ω 0
Es liegen Linien in Minima von F H ⇒ Wert 0; Anzahl der Linien zwischen Minima: m 0 -1 .

Bsp.: 1)
ε = ½, (m 0 = 2) :
jeweils 1 Linie zw. Minima;
ε = 1/2
Minima (Nullstellen) : ω/ω 0 = { 2, 4, ...}
Linien (Wert ≠ 0): ω/ω 0 = { 0, 1, 3, 5, ...}
ε = 1/4
Bsp.: 2)
ε = ¼ , (m 0 = 4):
jeweils 3 Linien zw. Minima;
Minima (Nullst.): ω/ω 0 = { 4, 8, 12, ...}

7) Spektrum eines Modellimpulses
Besser als δ - Impuls / Rechteckfunktion an
reale Situationen (z.B. Schlag mit
Impulshammer) angepasst:
⎧ π t
x cos − / 2 ≤ t ≤ / 2
x( t ) =
0
τ τ
⎪⎨ τ
⎪⎩ 0
sonst
(„abgeschnittene“ Cosinusfunktion)
X ( ω)
=
X(
ω)
τ / 2
∫
−τ
/ 2
=
⎛ π t
x0 cos ⎜
⎝ τ
⇓ π / τ = ω 0
2x
ω
0
0
2
0
2
ω − ω
⎞
⎟
⎠
e
⎛ π
cos
⎜
⎝ 2
− jω
t
ω
⎟ ⎞
ω0
⎠
dt
1) Nullstellen : cos (...) = 0 ⇒ ω = (2n + 1 ) ω 0
(Anmerk.: ω = ω 0 ⇒Grenzwert 0/0
2π
x0
⇒ lim X ( ω)
= ≠ 0 )
ω →ω0
4ω
2) ω = 0 : |X(0)| = 2 x 0 / ω 0
3) Maxima (cos(...) = ± 1) : ω → ω n = 2 n ω 0
⇓
2 x0 / ω0
X n( ωn)
= n=
1, 2, 3, ...
2
4n
− 1
Pegeldifferenz der Maxima:
2
X n 4 m −1
∆ Lnm
= 20 lg dB = 20 lg dB
2
X
4 n −1
m
m
fm
≈ 40 lg dB = 40 lg dB
n
fn
L (f) auf logar. Frequenzskala:
Gerade durch Maxima mit Pegelabfall
40 dB / Frequenzdekade
0

Übersichtstabelle:
Weitere Beispiele und Zusammenfassung

3.4.3 Periodische / aperiodische Vorgänge
x0
τ
Linienspektrum einer period. Rechteckfunktion:
X n = Si(n ω
0
τ /2)
T
Amplitudenspektrum eines Rechteckimpulses: X( ω ) = x τ Si( ω τ/2)
Das Amplitudenspektrum des Einzelimpulses
ist die Hüllkurve für das Linienspektrum
der periodischen Funktion.
Spektralanalyse Einzelimpuls (Dauer τ):
Messtechnisch schwierig realisierbar
⇓
Deshalb : periodische Wiederholung,
Periode T > τ
⇓
Linienspektrum
⇓
Faustregel: τ / T < 1/5 (Linien dicht)
(ε klein)
0

3.4.4 Kurzzeit - Spektralanalyse: Fensterfunktionen und Faltung
- Bisher :
−∞ ≤ t ≤ ∞ (bzw. −T/2 ≤ t ≤ T/2)
Messung : x(t) ;
Berechnung : X(ω)
- Praxis :
- unendlich lange Messzeit nicht
möglich;
- oft von Interesse : zeitliche Veränderung
des Spektrums X(ω,t), z.B. :
− τ ≤ t ≤ τ → X( ω,
0 )
τ ≤ t ≤ 3 τ → X( ω,
2 τ ) usw.
Quasistationäre Spektren
Anwendungsbeispiele :
zeitlich veränderliche Signale
Charakteristische Zeiten :
ca. 10 ms … einige Sekunden
Analysefenster der Länge 2τ : t-τ ... t+τ τ ;
τ ; Fensterfunktion : h(t)

Einfachster Fall für h(t): apruptes Ein- bzw. Ausschalten (Rechteckfenster)
⎧1
−τ
≤t≤τ
h(t) = ⎨
⎩0
sonst
h
x
Analysiertes Signal : x'(t) = x(t) h(t)
x'
t
Anmerkung : „Abschneiden“ und Fensterfunktion
„Abschneiden“ im Zeitbereich Fensterung
X
+ τ
-jω
t
2τ ( ω)
= ∫ x( t)e
d
−τ
t
+∞
∫
−∞
-jω
t
X ' ( ω)
= x'( t)e
dt
x'(t) = x(t) h(t)
⎧1
−τ
≤t≤τ
h(t) = ⎨
⎩0
sonst
X 2τ
( ω)
= X '( ω)
≠ X ( ω)
(Ausnahme: Transientes Signal)
„Abschneiden“(Fenster.) im Zeitbereich Zusatzterme im Frequenzbereich

Fouriertransformation des gefensterten Signals:
x'(t) = x(t) h(t)
2
Einsetzen der FT von x und h :
z.B.:
∞ ∞
⎛ 1 ⎞
2
x' (t) =
⎜⎜ X( ω1)H(
ω2)e
2π
⎟⎟ ∫ ∫
⎝ ⎠ −∞ −∞
+∞
∫
−∞
1
j
= ω
ω 1t
x( t)
X(
1)e
dω
2π
j( ω 1 +ω )t
dω1
dω
2
Substitution : ω = ω 1 + ω 2
∞
∞
1
jω
t
1
x' (t) = dω
e X'( ω)
, X'( ω)
dω1
X( ω1)H(
ω ω1)
X( ω)*H(
ω)
2π
∫
=
− =
2π
∫
Faltung
− ∞
−∞
Zeitbereich : Produkt
⇓
Frequenzbereich : Faltung (und umgekehrt)

Faltung : Eigenschaften und Rechenregeln
∞
Sei
1
C(ω) = A(ω) * B(ω) = dω
1
A( ω1)B(
ω −ω
1
)
2π
∫
−∞
∞
1
a) Substitution ω - ω1 = ω' : C ( ω)
= dω'
A( ω −ω'
)B( ω'
)
2π
∫
∞
∞
1
A
b) A(ω) = A0 = const.: C( ω ) = ∫ dω'
A( ω−ω'
)B( ω'
) = ∫ B( ω'
) d '
2
2
C(ω) = const. (analog für B = const.)
π
−∞
−∞
0
ω
c) A(ω) = A 0 δ(ω - ω 0 ) (analog für B) : C(ω) = ( A 0 / 2π ) B(ω - ω 0 )
(Spektrum der 2. Funktion, verschoben um ω 0 )
π
−∞
Analog : Faltung im Zeitbereich
ω ⇒ t , ω 1 , ω’ ⇒ τ

Beispiele
a) Harmonisches Signal x(t), beliebiges Fenster
x(t) = xˆ cos ˆt, ω
X( ω)
= xˆ π
{ δ(
ω−
ˆ) ω + δ(
ω+
ˆ) ω }
xˆ
Damit (siehe Rechenrege l c) :X'( ω)
= { H( ω−
ˆ) ω + H( ω+
ˆ) ω }
2
Ergebnis: Spektren der Fensterfunktion, zentriert bei ± $ω .
b) Rechteckfenster und harmonisches Signal
Aus: a) Einsetzen von H(ω)
{ Si( ( ω−
ˆ ω ) τ) +Si( ( ω ˆ ω τ)
}
X'(
ω ) = ˆ xτ
+ )
⇒ 2 Spaltfunktionen bei ± $ω
- Hauptmax. bei ursprünglichen Linien von X(ω)
- Weitere Nebenmaxima:
( 2n + 1) π
ω = ± ˆ ω ±
( n = 1, 2,
2τ
.. )

Folgen der Fensterung
- Anstelle Linienspektrum von x(t): kontinuierliches Spektrum, neue Anteile
- Ursache der Veränderung des Spektrums:
h(t) hat Sprünge bei +/- τ → x'(t) kann Sprünge bei +/- τ haben
Folge : zusätzliche Beiträge im Spektrum bei ω
≠ $ ω
Forderung : Fensterfunktion so wählen, dass Sprünge möglichst vermieden werden
und gleichzietig innerhalb des Fensters x(t) möglichst wenig verfälscht wird.
- Einfluss d. zeitlichen Position des Fensters: Verschiebung des Fensters um t 0
1 t
0−τ
≤t≤t
0
+ τ
h(t) =
⎩⎨⎧
0
sonst
Verschiebungssatz: H( ω) = H 0 ( ω) e
H
H
=
H e
0 0
=
jϕ
− jω
t 0
(H 0 : Fenster bei t 0 = 0)
j( ϕ − ω t 0 )
H e
Das Betragsspektrum ändert sich nicht.
0

Zusammenfassung:

Weitere Anmerkungen zu harmonischem Signal und Rechteckfenster:
Beiträge im Spektrum :
X' ( ω)
sin( ω m ˆ ω ) τ
=
= Si( ( ω m ˆ ω ) τ)
2xˆ τ ( ω m ˆ ω ) τ
X'( ω)
2xˆ τ
Hauptmaxima bei ω = +/- ωˆ ⇒ = 1
Nebenmax. bei
ω = ω = ˆ ω ± ∆ω
i
(2i
+ 1) π
ω = ˆ
i
ω ±
2 τ
i
∆ωi
τ = π + iπ
2
i = 1,2,3,...
Es gilt für die Dämpfung a i der i-ten
Nebenmaxima bzgl. des Hauptmax.:
i 1 2 3 4 5
a i in dB 13,5 17,9 20,8 23,0 24,8
ω = ω ... Nebenmax.;
1
i
X`(
ω1)
ai=−10lg
⋅
X`(
ω )
dB
Si((
i + 1/ 2) π )
= −10lg
⋅
1
1
= −10lg
⋅
(( i + 1/ 2) π )
2
2
2
2
2
ω = ˆ ω ... Hauptmax.
2
Si(
∆ω
i
τ)
= = −10lg
⋅
2
Si (0)
dB
sin(( i + 1/ 2) π )
dB = −10lg
⋅
2
(( i + 1/ 2) π )
dB=
9,9dB + 20lg(i + 1/2) dB
2
2
dB

Beispiele für Fensterfunktionen

Fensterfunktionen :
a) Rechteck
Breite : Zeitbereich T = 2τ
Frequenzbereich : Position der 1. Nullstelle : f 0 = ∆f = 1 / 2τ
Breite des Hauptmax. ∆f max = 2 ∆f = 1 / τ
(Breite des Hauptmax. zwischen den Nullstellen)
3 - dB - Breite 0,89 ∆f
Höchstes Nebenmax. (bzgl. Haupmax.): - 13 dB
Abfallrate der Nebenmax.: 20 dB / Frequenzdekade
Anwendung :
- transiente Signale ( Dauer < T );
- Signale, die nur Komponenten enthalten, die mit Analysatorlinien übereinstimmen
(Ordnungsanalyse von Maschinen: Analysator wird mit Drehzahl getaktet);
- Pseudorauschen;
- ( Stochastische Signale)

) Hanning – Fenster (Julius von Hann)
h(t) = 0,5 + 0,5 cos ( πt / τ) = cos 2 [ πt / (2τ) ] für -τ < t < τ , ( 0 sonst)
(Vgl.mit Rechteckfenster gleicher Dauer: Für Amplitudengleichheit ist Wichtung mit Faktor 2 notwend.)
Breite : Zeitbereich T = 2τ
Frequenzbereich : ∆f = 1 / 2τ
Breite des Hauptmax. ∆f max = 4 ∆f
3 - dB - Breite 1,44 ∆f
Höchstes Nebenmax. (bzgl. Haupmax.): - 32 dB (deutl. niedriger als bei Rechteckfenster)
Abfallrate der Nebenmax.: 18 dB / Oktave
Anwendung :
- periodische Signale;
- Systemanregung mit Rauschen;
- Transienten mit t < T (lineare Mittelung und 67 ... 75% Überlappung der Fenster);
- ist in vielen Fällen "Standardfenster".
-
Achtung : Für konsequente Echtzeitanalyse sind mindestens 2/3 Überlappung
aufeinanderfolgender Fenster notwendig !

c) Hamming - Fenster
h(t) = 0,54 + 0,46 cos ( πt / t ) für -τ < t < τ (Vgl.: Hanning ⇒ beide Vorfaktoren 0,5)
(Vergleich mit Rechteckfenster gleicher Dauer: Für Amplitudengleichheit ist Wichtung mit Faktor 1,85 notwendig.)
Breite : Zeitbereich T = 2τ
Frequenzbereich : ∆f = 1 / 2τ
Breite des Hauptmax.: ∆f max = 4 ∆f; 3 - dB – Breite:
1,30 ∆f
Höchstes Nebenmax. (bzgl. Haupmax.): - 43 dB; Abfallrate der Nebenmax.:6 dB/Okt.
Anwendung: Alternativ zum Hanning-Fenster
d) Flat - Top - Fenster
h(t) = 1 - 1,93 cos(π t /τ ) +1,29 cos(2 π t /τ) - 0,388 cos(3 π t /τ) + 0,0322 cos(4 π t /τ) ; (0 < t < 2τ)
(ist bereits gewichtet bzgl. Amplitude des Rechteck-fensters : Faktor 4,64; d.h. hmax = h(τ) = 4,64)
Breite : Zeitbereich T = 2τ
Frequenzbereich : ∆f = 1 / 2τ
Breite des Hauptmax.: ∆f max = 10 ∆f ; 3 - dB – Breite: ca. 4 ∆f
Anwendung : Kalibrierung ;

FFT vs t
Signal : Sweep, 100 ... 1000 Hz, t = 1 s ; FFT-Parameter: N = 4096, f s = 44,1 kHz )
Verschiedene Fenster :
Hanning, Hamming, Blackman, Flat Top, Keiser-Bessel, Rechteck

Amplituden- und Energiekorrektur
Wenn h(t) ≠ 1 : Verfälsch. der Amplitude; Forderung :
Amplitude / Energie soll im zeitlichen Mittel (über eine Fensterlänge) korrekt sein
a) Amplituden- und Energiekorrektur b) Überlappung der Fenster (s.o.)
Vergleichswert : Rechteckfenster „RECHT“
1) Amplitudenkorrektur des Fensters „WIN“ 2) Energiekorrektur des Fensters „WIN“
ac =
∫
h
RECHT
Fenster
∫
h
WIN
Fenster
( t ) dt
( t ) dt
ec
=
∫
h
Fenster
∫
Fenster
2
RECHT
h
2
WIN
( t)
dt
( t)
dt
=
⎧1,633
⎨
⎩1,292
Hanning
Hamming

3.4.5 "Unschärfe - Relation" bei Analysen
Zeitbereich Frequenzbereich
δ - Impuls: ∆t → 0 Konstante : ∆f → ∞
Sinus: ∆t → ∞ diskr. Spektrallinien: ∆f → 0
Fenster : ∆t = 2 τ
Sinus : ∆t = 2 τ Hauptmax.: ∆f max ≈ 1/τ = 2/∆t
⇓ ⇓
Allgemein : ∆t ∆f = const.
⇓
Wenn die Fensterbreite wächst, so
nimmt die Analysierschärfe im
Frequenzbereich zu !