Vektorräume

Vektorräume1 Vektorräume und Unterräume1.1 Die De…nition des VektorraumesDe…nition 1 Ein Vektorraum V über einem Körper K ist eine nichtleereMenge, deren Elemente addiert und mit Zahlen aus K multipliziert werdenkönnen, sodass Summe und Produkt wieder Elemente aus V sind und folgendeAxiome gelten:(V1) Für je drei Elemente x; y; z 2 V gilt (x + y) + z = x + (y + z) :(V2) Für alle x; y 2 V gilt x + y = y + x:(V3) Es existiert ein Element 0 2 V , sodass für alle x 2 V stets 0 + x = xgilt.(V4) Zu jedem Element x 2 V existiert ein x 2 V , sodass x + ( x) = 0gilt.(V5) Für alle 2 K und x; y 2 V gilt (x + y) = x + y:(V6) Für alle ; 2 K und x 2 V gilt ( + ) x = x + x:(V7) Für alle ; 2 K und x 2 V gilt () x = (x) :(V8) Für alle x 2 V gilt 1x = x, wobei 1 das Einselement des Körpers Kbezeichnet.Wir bezeichnen einen Vektorraum mit (V; K; +; ) oder (wenn der Körperund die Operationen aus dem Zusammenhang klar sind) kurz mit V . Hierbeisind + : V V ! V und : K V ! V binäre Operationen. Die ersteOperation ist die Vektoraddition, die zweite die skalare Multiplikation.Die Elemente aus V heißen auch Vektoren. Elemente aus dem Körper Knennen wir auch Zahlen oder Skalare. Das durch Axiom (V3) geforderteneutrale Element bezüglich der Vektoraddition nennen wir den Nullvektordes Vektorraumes.Bemerkung 2 Im Gegensatz zu den aus der Schule (aus dem Physikunterricht)bekannten Vektoren, sind Vektoren hier im Allgemeinen keine Pfeile1

oder Elemente des zwei- oder dreidimensionalen reellen Raumes. Vektorensind einfach Elemente einer Menge V , die (nach Festlegung eines Körpersund geeigneter Operationen) den acht Axiomen der De…nition des Vektorraumesgenügen. Das erscheint am Anfang sicher etwas abstrakt, wird sich aberspäter als ein äußerst leistungsfähiges und weitreichendes Konzept erweisen.Wir bezeichnen im Folgenden Vektoren meist mit fett gedruckten Buchstaben,Zahlen durch griechische oder lateinische Kleinbuchstaben.Beispiel 3 Die MengeR n = f(x 1 ; :::; x n ) j x i 2 R für i = 1; :::; ngist zunächst kein Vektorraum, sondern ein Punktmenge. Wir können aberdamit einen Vektorraum über den Körper R, den wir ebenfalls mit R n bezeichnen,durch Einführung geeigneter Operationen bilden. Für zwei Elementex = (x 1 ; :::; x n ) und y = (y 1 ; :::; y n ) de…nieren wir die Vektoraddition durchx + y = (x 1 + y 1 ; :::; x n + y n ) :Für 2 R und x 2 R n erklären wir die skalare Multiplikation durchx = (x 1 ; :::; x n ) :Man kann sich leicht überzeugen, dass diese beiden Operationen alle Axiomedes Vektorraumes erfüllen. Der so gebildete Vektorraum ist der n-dimensionalereelle Vektorraum.Für einen Vektor x = (x 1 ; :::; x n ) 2 R n nennen wir x 1 ; :::; x n die Komponenten.Wir werden im Folgenden die Komponenten im Allgemeinen mit denselbenBuchstaben wie den Vektor bezeichnen. So sind zum Beispiel a 1 ; :::; a ndie Komponenten eines Vektors a 2 R n . Der Nullvektor des R n ist der Vektor0 = (0; :::; 0), dessen Komponenten ausschließlich Nullen sind. Wir werdenim Folgenden Vektoren des R n in Zeilenform,oder in Spaltenformx = (x 1 ; :::; x n )0Bx = @1x 1C. Ax nschreiben. Wir sprechen dann auch von Zeilenvektoren oder Spaltenvektoren.2

Beispiel 4 Der n-dimensionale komplexe Vektorraum C n ist analogzum R n de…niert, nur dass jetzt alle Komponenten der Vektoren wie auchder Körper des Vektorraumes komplex sind.Beispiel 5 Es sei V die Menge aller unendlichen Folgen reeller Zahlen. ZweiFolgen x = (x 0 ; x 1 ; x 2 ; :::) und y = (y 0 ; y 1 ; y 2 ; :::) werden komponentenweiseaddiert, das heißtx + y = (x 0 + y 0 ; x 1 + y 1 ; x 2 + y 2 ; :::) :Die skalare Multiplikation der Folge x = (x 0 ; x 1 ; x 2 ; :::) mit der reellen Zahl ist durchx = (x 0 ; x 1 ; x 2 ; :::)erklärt. Mit diesen Operationen ist der Folgenraum ein Vektorraum über R.Der Nullvektor ist in diesem Falle die Nullfolge(0; 0; 0; :::) :Beispiel 6 Es sei M eine nichtleere Menge und R (M) die Menge aller aufM de…nierten reellwertigen Funktionen. Die Summe zweier Funktionen f; g 2R (M) wird folgendermaßen de…niert:(f + g) (x) = f (x) + g (x) für alle x 2 MDie Kommutativität und Assoziativität dieser Addition folgt sofort aus derentsprechenden Eigenschaften der reellen Zahlen. Somit gelten die Axiome(V1) und (V2). Die Funktion f 0 : M ! R, de…niert durch f 0 (x) = 0 für allex 2 M ist der Nullvektor. Damit gilt auch (V3). Für jedes f 2 R (M) sei fdie Funktion aus R (M) mit ( f) (x) = f (x) für alle x 2 M. Dann giltf + f = f 0 und somit (V4). Wenn wir die Multiplikation einer Funktionf 2 R(M) mit einer reellen Zahl durch (f) (x) = f(x) für alle x 2 Mde…nieren, so lässt sich auch leicht die Gültigkeit der Axiome (V5) bis (V8)nachweisen. Damit ist R(M) ein Vektorraum.Es gibt auch Vektorräume, die nur endlich viele Vektoren enthalten. Dasfolgende Beispiel beschreibt einen solchen Vektorraum. Hierbei verwendenwir den endlichen Körper F 3 aus Beispiel ?? zur Konstruktion.Beispiel 7 Es seiV 2 (F 3 ) =x1x 2j x 1 ; x 2 2 F 3:3

1.2 UnterräumeDe…nition 9 Es sei V ein Vektorraum über dem Körper K. Eine TeilmengeW V ist ein Unterraum von V , wenn W bezüglich der in V de…niertenOperationen selbst ein Vektorraum über K ist.Es wäre praktisch recht mühsam, durch Überprüfung der acht Vektorraumaxiomenachzuweisen, dass eine gegebene Teilmenge eines Vektorraumesein Unterraum ist. Der folgende Satz vereinfacht diese Aufgabe erheblich.Satz 10 (Unterraumkriterium) Es sei V ein Vektorraum über dem KörperK und W eine nichtleere Teilmenge von V . W ist genau dann ein Unterraumvon V , wenn für je zwei Vektoren x; y 2 W und für jedes 2 Kauch (x + y) 2 W gilt.Beweis. Angenommen W ist ein Unterraum von V . Dann bildet W einenVektorraum. Folglich dürfen die Operationen Vektoraddition und skalareMultiplikation nicht aus W herausführen. Aus x; y 2 W folgt demnachx + y 2 W; und aus x 2 W und 2 K folgt x 2 W . Damit gilt aberauch (x + y) 2 W .Es sei nun, umgekehrt, W eine Teilmenge von V , sodass für alle x; y 2 Wund für alle 2 K stets (x + y) 2 W gilt. Da W nichtleer ist gibt es einenVektor x 2 W . Dann gilt für jedes 2 K auch (x + x) 2 W , insbesonderealso 0 (x + x) 2 W , wobei 0 das Nullelement aus K ist. Es sei x + x = y,womit dann 0y 2 W oder auch (0 + 0) y 2 W gilt. Nach Axiom (V6) giltweitehin0y = (0 + 0) y = 0y + 0y:Da andererseits aber auch 0y = 0+0y gilt, folgt aus Satz 8 schließlich 0y = 0.Folglich liegt der Nullvektor in W . Mit x 2 W folgt auch ( 1) (0 + x) =( 1) x 2 W . Da( 1) x + x = ( 1) x + 1x = ( 1 + 1) x = 0x = 0gilt, ist ( 1) x = x der zu x inverse Vektor. Folglich ist auch Axiom (V4)erfüllt. Die weiteren Axiome des Vektorraumes übertragen sich direkt von Vauf W , da W eine Teilmenge von V ist.Beispiel 11 Es seien 1 ; 2 ; 3 gegebene reelle Zahlen Dann ist die MengeW = x = (x 1 ; x 2 ; x 3 ) j x 2 R 3 , 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 05

eine Teilmenge des reellen Vektorraumes R 3 . Es seien x; y 2 W und 2 R.Dann folgt (x + y) = (x 1 + y 1 ; x 2 + y 2 ; x 3 + y 3 )und 1 (x 1 + y 1 ) + 2 (x 2 + y 2 ) + 3 (x 3 + y 3 )= 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 1 y 1 + 2 y 2 + 3 y01 031= @ 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x | {z } 3A + @ 1 y 1 + 2 y 2 + 3 y 3A = 0:| {z }=0=0Folglich gilt auch (x + y) 2 W . Damit ist W ein Unterraum des R 3 .De…nition 12 Es sei V ein Vektorraum über K und x 1 ; :::; x n 2 V sowie 1 ; :::; n 2 K. Dann heißt der VektornX i x ii=1eine Linearkombination der Vektoren x 1 ; :::; x n .Satz 13 Es sei V ein Vektorraum über K und X = fx 1 ; :::; x n g V . Dannist die Menge( nX)W = i x i j 1 ; :::; n 2 Ki=1aller Linearkombinationen von Vektoren aus X der kleinste Unterraum vonV , der alle Vektoren aus X enthält.Beweis. Wir zeigen zunächst, dass W ein Unterraum von V ist. Es sei a; b 2W . Dann gibt es Zahlen 1 ; :::; n und 1 ; :::; n aus K, sodassa =nX i x i und b =i=1gilt. Dann folgt für ein beliebiges 2 K (a + b) = =nX i x ii=1nX i x i +i=1!nX i x ii=1nX ( i + i ) x i 2 W;i=16

da auch (a + b) eine Linearkombination von x 1 ; :::; x n ist. Nach Satz 10 istW ein Vektorraum, das heißt ein Unterraum von V .Wir nehmen nun für den zweiten Teil des Beweises an, dass U ein Unterraumvon V ist, der alle Vektoren aus X enthält. Dann muss nach Satz 10 U mitjedem Vektor x auch jedes Vielfache der Form x enthalten. Für je zweiVektoren x; y 2 U muss auch x + y 2 U gelten. Damit folgt aber sofort, dass,wenn eine Menge von Vektoren in U liegt, so ist auch jede Linearkombinationdieser Vektoren in U enthalten. Da U die Menge X enthält, liegt folglich auchW in U. Damit ergibt sich, dass W der kleinste Unterraum ist, der X enthält.Wir nennen den im letzten Satz eingeführten Unterraum aus allen Linearkombinationeneiner Menge X von Vektoren aus V den von X aufgespanntenUnterraum (oder lineare Hülle von X). Dieser Unterraum wird mitspan (X) bezeichnet.Satz 14 Es seien V ein Vektorraum und U sowie W Unterräume von V .Dann ist auch U \ W ein Unterraum von V .Der Beweis dieses Satzes ist sehr einfach. Der Leser kann ihn als Übung selbstausführen.Bemerkung 15 Die Vereinigung von zwei Unterräumen ist im Allgemeinenkein Unterraum.1.3 Lineare UnabhängigkeitDe…nition 16 Eine Menge X = fx 1 ; :::; x n g von Vektoren eines VektorraumesV über K heißt linear unabhängig, wenn die GleichungnX i x i = 0 (1)i=1nur die triviale Lösung 1 = 2 = ::: = n = 0 besitzt. Andernfalls heißtdie Menge X linear abhängig.Wir können damit auch sagen: Die Vektoren x 1 ; :::; x n sind linear abhängiggenau dann, wenn sich der Nullvektor als Linearkombination dieser Vektorendarstellen lässt. Die Lösung 1 = 2 = ::: = n = 0 der Gleichung (1)heißt trivial, weil diese Lösung unabhängig von den gegebenen Vektorenstets existiert. Aus der De…nition der linearen Unabhängigkeit kann mansehr schnell einige Folgerungen erhalten.7

Satz 17 Es sei X = fx 1 ; :::; x n g eine Menge von linear abhängigen Vektoren.Dann gibt es einen Vektor x j 2 X, der sich als Linearkombination deranderen Vektoren darstellen lässt.Beweis. Da die Vektoren x 1 ; :::; x n linear abhängig sind, besitzt die Gleichung(1) eine Lösung, in der nicht alle i gleich null sind. Es sei zum Beispiel j 6= 0. Dann folgtnX j x j + i x i = 0und somiti=1i6=jx j = 1 nX i x i : ji=1i6=jDie folgenden Sätze ergeben sich direkt aus der De…nition der linearen Unabhängigkeit.Satz 18 Es sei X = fx 1 ; :::; x n g eine Menge linear unabhängiger Vektoreneines Vektorraumes V und Y X. Dann ist auch Y eine linear unabhängigeMenge.Hierbei vereinbaren wir, dass die leere Menge stets eine linear unabhängigeMenge ist.Satz 19 Eine Menge von Vektoren, die den Nullvektor enthält, ist stets linearabhängig.Beispiel 20 Die Vektoren0 1 01x 1 = @ 2 A ; x 2 = @321110A und x 3 = @3411Ades R 3 sind linear abhängig. Eine nichttriviale Lösung der Gleichung0 1 0 1 0 1 0 1 1@ A + 2@ A + 3@ A = @ A1232113410008

eziehungsweise des Gleichungssystems 1 + 2 2 3 3 = 02 1 2 + 4 3 = 03 1 + 2 + 3 = 0ist 1 = 1, 2 = 2, 3 = 1. Es gilt folglichx 1 2x 2 x 3 = 0:Wir können zum Beispiel x 3 als Linearkombination von von x 1 und x 2 darstellen:x 3 = x 1 2x 22 Elementare Vektorrechnung im R 32.1 Die geometrische Darstellung von VektorenIn diesem Abschnitt wollen wir den dreidimensionalen reellen Vektorraumetwas genauer untersuchen. Dieser Vektorraum ermöglicht insbesondere vieleanschauliche geometrische Darstellungen von Operationen mit Vektoren.Einen Vektor x = (x 1 ; x 2 ; x 3 ) 2 R 3 können wir in einem dreidimensionalenKoordinatensystem als Pfeil veranschaulichen. Die Abbildung 1 zeigt einex3x2xx1Abbildung 1: Darstellung eines Vektorssolche Darstellung. Die Komponenten x 1 , x 2 , x 3 des Vektors …nden wir als9

Projektionen des Pfeils auf die Koordinatenachsen. Die Länge des Pfeils …ndenwir mit dem Satz des Pythagoras:qkxk = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3Wir nennen die Zahl auch die Norm des Vektors x.Bemerkung 21 In einigen Büchern wird diese Zahl auch der Betrag desVektors x genannt und mit jxj bezeichnet. Ebenso sind für Vektoren des R 3selbst viele andere Bezeichnungen im Gebrauch. In der Physik wird häu…g diePfeilschreibweise ~x verwendet. Insbesondere in älterer Literatur …ndet manauch die Frakturschreibweise x für Vektoren.Es sei x 2 R 3 ein gegebener Vektor. Die skalare Multiplikation x entsprichtdann der Verlängerung ( > 1) oder Verkürzung (0 < < 1) des Pfeils,der x repräsentiert. Im Falle < 0 ändert sich außerdem der Richtungssinndes Pfeils. Alle Vektoren der Form x, 2 R, liegen auf einer gemeinsamenGeraden.yx + y3 3x3x2x + y2 2x + yxx1x + y1 1Abbildung 2: Die Summe von VektorenDie Addition von Vektoren kann ebnefalls als Addition von Pfeilen dargestelltwerden. Die Summe x + y ergibt sich, indem der y repräsentierende10

Pfeil am Ende von x angesetzt wird. Abbildung 2 zeigt die Konstruktion desSummenpfeils.Einen Vektor der Norm 1 bezeichnen wir auch als Einheitsvektor. DreiEinheitsvektoren besitzen eine besonders einfache Darstellung:0 1 0 1 0 1100e 1 = @ 0 A ; e 2 = @ 1 A ; e 3 = @ 0 A001Diese Einheitsvektoren werden wir auch die Standardeinheitsvektoren des R 3nennen. Für jeden Vektor x 2 R 3 gibt es eine eindeutig bestimmte Darstellungals Linearkombination dieser Vektoren:x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3Man sagt auch fe 1 ; e 2 ; e 3 g bildet eine Basis des R 3 . Den allgemeinen Begri¤der Basis eines Vektorraumes werden wir später de…nieren. Jedem Vektorx 2 R 3 (außer dem Nullvektor) kann durch Normierung ein Einheitsvektore x = 1kxk x;dessen Richtung mit der Richtung von x übereinstimmt, zugeordnet werden.2.2 Skalarprodukt und Vektorproduktyx ­ yxx + yAbbildung 3: Von x und y aufgespanntes ParallelogrammFür je zwei Vektoren x; y 2 R 3 de…nieren wir das Skalarprodukt durchhx; yi = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 :Folgerung 22 Es seien x; y; z 2 R 3 und 2 R. Dann gilthx; yi = hx; yiundhx + y; zi = hx; zi + hy; zi :11

Wir erhalten weiterhin sofort aus der De…nition des Skalarproduktes.kxk 2 = hx; xi :Um eine geometrische Interpretation des Skalarproduktes zu erhalten, berechnenwirkx + yk 2 kx yk 2 = hx + y; x + yi hx y; x yi= (x 1 + y 1 ) 2 + (x 2 + y 2 ) 2 + (x 3 + y 3 ) 2 (x 1 y 1 ) 2 (2)(x 2 y 2 ) 2 (x 3 y 3 ) 2= 4 (x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 )= 4 hx; yi :Damit folgt hx; yi = 0 genau dann, wenn kx + yk 2 = kx yk 2 . Abbildung3 zeigt uns, dass die Vektoren x + y und x y als Diagonalen eines Parallelogrammsinterpretiert werden können. Diese Diagonalen sind genau danngleich lang, wenn das Parallelogramm ein Rechteck ist. In diesem Falle stehendie Vektoren x und y senkrecht aufeinander. Zwei Vektoren mit dieserEigenschaft heißen auch orthogonal. Wir schreiben dafür x ? y (lies: „xorthogonal y“ oder „x steht senkrecht auf y“). Aus der Rechnung (2) folgt,dass x ? y genau dann gilt, wenn hx; yi = 0.ye yαλe ye x­ λe xxAbbildung 4: Zum SkalarproduktSchauen wir uns nun Abbildung 4 an. Sie zeigt zwei Vektoren x und y,die einen Winkel einschließen. Wir sehen ebnefalls die beiden zugehörigenEinheitsvektoren e x und e y . Vom Einheitsvektor e y fällen wir das Lot aufx. Vom Ursprung zum Fußpunkt dieses Lotes messen wir die Länge . DerVektor e y e x in Richtung des Lotes steht dann senkrecht auf x. Da dieHypotenuse des dargestellten rechtwinkligen Dreiecks die Länge 1 besitzt,folgt = cos :Weiterhin gilthe x ; e y e x i = 0:12

Durch Anwendung von Folgerung 22 erhalten wiroder, da e x ein Einheitsvektor ist,he x ; e y i he x ; e x i = 0he x ; e y i = :Ersetzen wir durch cos und die Einheitsvektoren durch x und y, so folgtschließlichhx; yicos =kxk kyk :Wir können folglich das Skalarprodukt auch aus den Normen und dem eingeschlossenenWinkel der beiden Vektoren berechnen:hx; yi = kxk kyk cos Für zwei Vektoren x; y 2 R 3 heißt der Vektor01x 2 y 3 x 3 y 2x y = @ x 3 y 1 x 1 y 3Ax 1 y 2 x 2 y 1das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt von x und y. Im Gegensatz zumSkalarprodukt ist das Resultat des Kreuzproduktes wieder ein Vektor, nichteine Zahl.Wir untersuchen zunächst das Kreuzprodukt linear abhängiger Vektoren desR 3 . Wenn einer der Vektoren x oder y der Nullvektor ist, so ist das Kreuzproduktx y o¤ensichtlich auch der Nullvektor. Es seien x 6= 0 und y 6= 0linear abhängige Vektoren des R 3 . Dann gibt es eine Zahl 2 R, sodassy = x gilt. Damit folgt0x y = x (x) = @1 0x 2 x 3 x 3 x 2x 3 x 1 x 1 x 3A = @x 1 x 2 x 2 x 1Es seien nun x; y 2 R 3 Vektoren, sodass x y = 0 gilt. Dann folgtoder (für y 1 6= 0, y 2 6= 0, y 3 6= 0)x 2 y 3 = x 3 y 2x 3 y 1 = x 1 y 3x 1 y 2 = x 2 y 1x 1y 1= x 2y 2= x 3y 3:130001A :

Damit folgt aber y = x für ein 2 R, das heißt, x und y sind linearabhängig. Man sieht leicht, dass diese Beziehung auch dann gültig bleibt,wenn y i = 0 für i = 1; 2 oder 3 gilt.Folgerung 23 Das Kreuzprodukt x y der Vektoren x; y 2 R 3 liefert genaudann den Nullvektor, wenn x und y linear abhängig sind.Die Berechnung des Skalarproduktes von x und x y lieferthx; x yi = x 1 (x 2 y 3 x 3 y 2 ) + x 2 (x 3 y 1 x 1 y 3 ) + x 3 (x 1 y 2 x 2 y 1 ) = 0:Analog sieht man auch, dass hx y; xi = 0 gilt. Folglich ist das Kreuzproduktx y orthogonal zu x und zu y.yαxhAbbildung 5: Zur Norm des KreuzproduktesEs sei der von den Vektoren x und y eingeschlossene Winkel. Die Normdes Kreuzproduktes ergibt sich aus der Rechnungkx yk 2 = hx y; x yi= (x 2 y 3 x 3 y 2 ) 2 + (x 3 y 1 x 1 y 3 ) 2 + (x 1 y 2 x 2 y 1 ) 2= x 2 1y2 2 + x 2 2y1 2 + x 2 1y3 2 + x 2 3y1 2 + x 2 2y3 2 + x 2 3y222 (x 2 x 3 y 2 y 3 + x 1 x 3 y 1 y 3 + x 1 x 2 y 1 y 2 )= x 2 1 + x 2 2 + x3 2 y21 + y2 2 + y32 (x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 ) 2= hx; xi hy; yi hx; yi 2= kxk 2 kyk 2 kxk 2 kyk 2 cos 2 = kxk 2 kyk 2 1 cos 2 = kxk 2 kyk 2 sin 2 :Wir erhalten damit schließlichkx yk = kxk kyk sin :Folglich ist die Norm des Kreuzproduktes x y gleich dem Flächeninhaltdes von den Vektoren x und y aufgespannten Parallelogramms. Abbildung 514

x yxyAbbildung 6: Die Richtung des Kreuzproduktesverdeutlicht diesen Zusammenhang. Die Höhe h des dargestellten Parallelogrammsist durch h = kyk sin gegeben.Die Richtung des Vektors x y lässt sich mit der „Rechte-Hand-Regel“ bestimmen:Die Vektoren x, y und xy zeigen in dieser Reihenfolge in Richtungvon Daumen, Zeige…nger und Mittel…nger der rechten Hand. Eine andere Vorstellungder Richtung ermöglich die Rechtsschraube: Der Kopf einer Schraubeliege in der von x und y aufgespannten Ebene. Wenn man den Vektor x soin dieser Ebene dreht, dass er schließlich in Richtung von y zeigt, so würdesich dabei eine Rechtschraube in Richtung von x y bewegen. Abbildung 6zeigt die Richtung des Kreuzproduktes.Satz 24 Das Kreuzprodukt erfüllt für alle x; y; z 2 R 3 und für alle 2 Rdie folgenden Eigenschaften:(1) x y = (y x) ;(2) x (y + z) = x y + x z;(3) (x y) = (x) y;(4) x (y z) = hx; zi y hx; yi z:Der Beweis aller Beziehungen dieses Satzes kann durch direktes Nachrechnenaus der De…nition des Kreuzproduktes und des Skalarproduktes gewonnenwerden.cbahAbbildung 7: Ein Spat15

Ein von drei Vektoren a; b; c 2 R 3 aufgespannter Spat (oder Parallel‡ächneroder Parallelepiped) ist ein Körper, der von sechs Parallelogrammenals Seiten‡ächen begrenzt wird. Je zwei gegenüberliegende Parallelogrammesind kongruent und liegen parallel zueinander. Ein Quader ist ein Spezialfalleines Spates, für welches alle Seiten‡ächen Rechtecke sind. Abbildung 7 zeigteinen Spat. Der Flächeninhalt der Grund‡äche dieses Spates istA = ka bk :Die Höhe h auf der Grund‡äche erhalten wir als Projektion des Vektors c aufdie Normale der Grund‡äche. Ein Einheitsvektor in Richtung der Normalenistn =a bka bk :Damit gilth = jhc; nij = c;a b =ka bk1jhc; a bij :ka bkDer Betrag ist hier erforderlich, da das auftretende Skalarprodukt auch negativwerden kann (zum Beispiel, wenn a und b vertauscht auftreten). DasVolumen des Spates ist folglichV = Ah = jha b; cij :Den Ausdruck (a; b; c) = ha b; ci nennen wir auch das Spatprodukt derVektoren a; b; c. Wir sagen, die Vektoren a; b; c bilden in dieser Reihenfolgeein Rechtssystem, wenn (a; b; c) > 0 gilt. Im Falle (a; b; c) < 0 sprechenwir von einem Linkssystem. Die Eigenschaft, eine Rechtssystem oderein Linkssystem zu bilden, heißt auch die Orientierung der Vektoren. DieOrientierung erlaubt die Unterscheidung spiegelsymmetrischer Figuren. Sieunterscheidet zum Beispiel Rechtsschrauben und Linksschrauben im Raum.Das Spatprodukt ist genau dann gleich null, wenn die beteiligten Vektorenlinear abhängig sind. In diesem Falle liegen alle Vektoren in einer Ebene –dasVolumen ist folglich gleich null. Beim Vertauschen von genau zwei Vektorenändert das Spatprodukt das Vorzeichen:(a; b; c) = (b; c; a) = (c; a; b) = (b; a; c) = (c; b; a) = (a; c; b)2.3 Geraden und EbenenGeometrische Objekte wie Punkte, Geraden und Ebenen werden axiomatischin der Euklidischen Geometrie de…niert. Wir wollen hier die Vektoralgebra16

nutzen, um diese Objekte zu beschreiben. Einen Punkt im R 3 können wirdurch einen Ortsvektor, das heißt durch einen Vektor, der auf diesen Punktzeigt beschreiben. Eine Gerade ist eine Punktmenge im R 3 , die wir folgendermaßenerhalten. Es seien a; b 2 R 3 , b 6= 0, zwei gegebene Vektoren.Dann ist eine Gerade durch den Punkt a mit dem Richtungsvektor b diePunktmengefa + b j 2Rg :Wir schreiben dafür im Folgenden auchg : x = a + b; 2 R:Hierbei ist g eine Bezeichnung für die Gerade. Der Vektor x durchläuft inAbhängigkeit des Parameters alle Punkte der Geraden. Statt „der Vektorx erfüllt die Geradengleichung“ sagen wir auch „der Punkt x liegt auf derGeraden“.Bemerkung 25 Wenn der Punkt x auf der Geraden g liegt, so heißt diesnicht, dass der Vektor x auf der Geraden liegt. Ein Vektor liegt nur dannauf der Geraden, wenn er ein skalares Vielfaches des Richtungsvektors derGeraden ist. Tatsächlich ist es daher besser, Punkte und Vektoren wohl zuunterscheiden.gabxAbbildung 8: Parameterdarstellung einer GeradenDie Abbildung 8 zeigt diese Parameterdarstellung einer Geraden. Die Parameterdarstellungeiner Geraden ist nicht eindeutig: Wir können den Richtungsvektorb durch einen beliebigen Vektor b mit 2 R ersetzen. Ebensokann der Vektor a auf einen beliebigen Punkt der Geraden zeigen.Zwei Geraden g 1 und g 2 stimmen genau dann überein, wenn es zwei verschiedenePunkte x 1 und x 2 gibt, die auf beiden Geraden liegen. Zwei nicht17

cbEaxAbbildung 9: Ebene in Parameterdarstellungnx­aEaxAbbildung 10: Ebene in Normaldarstellungübereinstimmende Geraden g 1 und g 2 heißen parallel, wenn die Richtungsvektorenvon g 1 und g 2 übereinstimmen. Zwei nicht übereinstimmende Geradeng 1 und g 2 mit den Parameterdarstellungeng 1 : x = a + b; 2 R;g 2 : y = c + d; 2 Rschneiden sich im Punkt x s , wenn dieser Punkt auf beiden Geraden liegt. Indiesem Falle gibt es Parameterwerte und , so dassa + b = c + dgilt. Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden ist der von denRichtungsvektoren der Geraden eingeschlossene Winkel, es giltcos =hb; dikbk kdk :Es seien a, b und c Vektoren des R 3 , so dass b und c linear unabhängig sind.Dann ist die Parameterdarstellung durchE : x = a + b + c; ; 2 R18

gegeben. Hierbei sind und reelle Parameter. Der Vektor a ist ein Ortsvektorauf einen festen Punkt der Ebene. Man sagt, die Vektoren b und cspannen die Ebene E auf. Abbildung 9 illustriert die Parameterdarstellungder Ebene. Die Parameterform der Ebene lässt sich auch als lineares Gleichungssystemdarstellen:x 1 = a 1 + b 1 + c 1x 2 = a 2 + b 2 + c 2x 3 = a 3 + b 3 + c 3Wenn man hier die erste Gleichung nach au‡öst, das Ergebnis in die zweiteGleichung einsetzt und diese nach au‡öst, um schließlich und indie letzte Gleichung einzusetzen, so folgt die parameterfreie Darstellung derEbene(b 2 c 3 b 3 c 2 ) x 1 + (b 3 c 1 b 1 c 3 ) x 2 + (b 1 c 2 b 2 c 1 ) x 3 =a 1 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 a 1 b 3 c 2 a 2 b 1 c 3 a 3 b 2 c 1 : (3)Wir führen nun folgende Abkürzungen ein = a 1 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 a 1 b 3 c 2 a 2 b 1 c 3 a 3 b 2 c 1 ;n 1 = b 2 c 3 b 3 c 2 ;n 2 = b 3 c 1 b 1 c 3 ;n 3 = b 1 c 2 b 2 c 1 :Damit gilt insbesondere0n = @1n 1n 2A = b c.n 3Die Gleichung (3) erhält damit die Formodern 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 = hn; xi = :Das ist die Normalform. Der Vektor n ist der Normalenvektor oder kurzdie Normale der Ebene. Man spricht auch von der hessischen Normalform(nach Otto Hesse 1 ), wobei man hier meist voraussetzt, dass derNormalenvektor ein Einheitsvektor ist.1 Otto Hesse (1811 - 1874): deutscher Mathematiker, arbeitete in der Algebra undanalytischen Geometrie.19

Wir können die Normalform auch direkt ableiten, ohne die Parameterformzu verwenden. Betrachten wir dazu die Abbildung 10. Für einen beliebigenPunkt der Ebene, gegeben durch seinen Ortsvektor x, liegt der Di¤erenzvektorx a in der Ebene. Der Normalenvektor n steht senkrecht auf der Ebene.Wir können insbesondere n so wählen, dass n = bc gilt, wobei b und c dieVektoren sind, welche die Ebene aufspannen. Aus der Orthogonalität von nund x a folgthn; x ai = 0:Setzen wir hn; ai = so gilt auch hn; xi = , womit wir wieder die Normalformerhalten haben.3 Basis und DimensionWir betrachten nun wieder einen beliebigen Vektorraum V über einen KörperK. Unser Ziel ist es nun, eine Menge X von Vektoren aus V zu …nden, sodasswir jeden Vektor aus V als Linearkombination von Vektoren aus X darstellenkönnen. Außerdem fordern wir, dass diese Menge X so klein wie möglich seinsoll.Es seien x 1 , ..., x n linear unabhängige Vektoren aus V . Wir wissen, dass danndie Gleichung 1 x 1 + ::: + n x n = 0nur die triviale Lösung 1 = ::: = n = 0 besitzt. Der von x 1 ; :::; x n aufgespannteUnterraum von V sei W . Wir wählen nun einen weiteren Vektor x n+1 ,der linear abhängig von x 1 ; :::; x n ist. Dann existieren Zahlen 1 ; :::; n 2 K,sodassnXx n+1 = i x ii=1gilt. Es sei y 2 V ein Vektor, der sich durchXn+1y = i x ii=120

als Linearkombination der Vektoren x 1 ; :::; x n+1 darstellen lässt. Dann folgtnXy = i x i + n+1 x n+1==Folglich gilt auch y 2 W oderi=1nX i x i + n+1i=1nXi=1nX i x ii=1 i + n+1 ixi :span (fx 1 ; :::; x n g) = span (fx 1 ; :::; x n+1 g) :De…nition 26 Eine Menge B = fb 1 ; :::; b n g von linear unabhängigen Vektoreneines Vektorraums V über K ist eine Basis von V , wenn V = span (B)gilt.Beispiel 27 Es sei V = R n . Dann bilden die Standardeinheitsvektoren0 1 0 1 0 1100010e 1 =; eB C 2 =; :::; eB C n =B C@0. A @0. A @0. A001eine Basis. Die GleichungnX i e i = 0i=1hat nur die Lösung 1 = ::: = n = 0. Folglich sind e 1 ; :::; e n linear unabhängig.Andererseits lässt sich jeder Vektor x 2 R n als Linearkombination vone 1 ; :::; e n darstellen, da das GleichungssystemnXx = i e istets die eindeutige Lösungi=1x 1 = 1x 2 = 2.x n = nbesitzt. Somit gilt auch R n = span (fe 1 ; :::; e n g).21

Bemerkung 28 Man kann zeigen, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt.Da der Beweis dieser Behauptung jedoch im Fall unendlicher Basen etwasanspruchsvoller ist, verzichten wir hier darauf.Satz 29 Es sei B = fb 1 ; :::; b n g eine Basis des Vektorraumes V über K undx 2 V . Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes n-Tupel ( 1 ; :::; n ) 2 K n mitx =nX i b i :i=1Beweis. Die Existenz eines solchen n-Tupels folgt direkt aus der De…nitionder Basis. Es bleibt die Eindeutigkeit zu zeigen. Dazu nehmen wir an, es gibteine weitere Darstellung von x als Linearkombination der Basisvektoren inder FormnXx = 0 ib i :Dann folgtodernX i b ii=1i=1nX 0 ib i = x x = 0i=1nX( i 0 i) b i = 0:i=1Da aber die Basisvektoren b 1 ; :::; b n linear unabhängig sind, kann diese Gleichungnur die triviale Lösung besitzen, das heißt i 0 i = 0 oder i = 0 ifür i = 1; :::; n. Folglich stimmen beide Darstellungen überein.Beispiel 30 Die Vektoren0 1 01a = @ 1 A ; b = @110210A ; c = @1211Abilden eine Basis des R 3 . Um dies zu sehen, wählen wir einen beliebigenVektor x 2 R 3 und zeigen, dass x stets eindeutig als Linearkombination derBasisvektoren darstellbar ist. Es seix = a + b + c22

oder:x 1 = + x 2 = + 2x 3 = + 2 + Dieses Gleichungssystem hat die eindeutige Lösung: = 4 3 x 1 x 2 + 2 3 x 3 = =13 x 1 + 1 3 x 323 x 11 + x 23 x 3Insbesondere folgt aus x = 0 auch = 0, = 0, = 0. Damit sind a, b undc linear unabhängig.Satz 31 Eine Menge X = fx 1 ; :::; x n g von Vektoren eines Vektorraums Vist genau dann eine Basis von V , wenn X eine minimale Menge mit derEigenschaft span (X) = V ist.Beweis. Es sei X eine Basis von V . Dann gilt span (X) = V . Angenommen,es gibt eine Menge Y X mit span (Y ) = V . Dann gibt es einen Vektorx 2 X nY , der als Linearkombination von Vektoren aus Y darstellbar ist. Daskann aber nicht sein, da X als Basis stets eine Menge linear unabhängigerVektoren bildet. Folglich ist X minimal.Sei nun, umgekehrt, X eine minimale Menge mit der Eigenschaft span (X) =V . Es bleibt zu zeigen, dass X eine linear unabhängige Menge ist. Angenommen,es gibt einen Vektor x j 2 X der als Linearkombination der anderenVektoren aus X darstellbar ist. Dann folgt aber, dass jeder Vektor y 2 V ,der als Linearkombination von Vektoren aus X darstellbar ist, auch als Linearkombinationvon Vektoren aus X n fx j g darstellbar ist. Damit wäre aberX keine minimale Menge. Folglich ist X linear unabhängig.Aus diesem Satz erhalten wir sehr schnell einige Folgerungen.Folgerung 32 Es sei B = fb 1 ; :::; b n g eine Basis der Vektorraums V . Dannist eine Menge X V mit jXj > jBj stets linear abhängig.Folgerung 33 Es sei B eine Basis des Vektorraums V mit jBj = n. Dannenthält jede Basis von V genau n Vektoren.23

De…nition 34 Ist V ein Vektorraum, der eine unendliche linear unabhängigeMenge enthält, so heißt V ein unendlichdimensionaler Vektorraum.Andernfalls sprechen wir von einem endlichdimensionalen Vektorraum.Wenn V eine Basis mit genau n Vektoren besitzt, so sagen wir V besitzt dieDimension n. Wir schreiben dafür dim V = n.Folgerung 35 Ist W ein Unterraum des Vektorraums V , so gilt dim W dim V .Beispiel 36 Es sei l 2 der Vektorraum aller unendlichen Folgen reeller Zahlen.Dann bilden die Folgen(1; 0; 0; 0; :::)(0; 1; 0; 0; :::)(0; 0; 1; 0; :::) eine Basis dieses Raumes, die abzählbar viele Elemente umfasst. Damit istl 2 ein unendlichdimensionaler Vektorraum.Ist fb 1 ; :::; b n g eine Basis von V , so bildet jedes n-Tupel (b 1 ; :::; b n ) ein Koordinatensystemin V . Im Gegensatz zur Basis ist für ein Koordinatensystemdie Reihenfolge der Basisvektoren wesentlich. Es sei x 2 V mit derDarstellungx = 1 b 1 + ::: + n b n ;wobei hier die Indizierung die Reihenfolge der Basisvektoren im Koordinatensystemangibt. Dann heißen die Zahlen i 2 K, i = 1; :::; n, die Koordinatendes Vektors x. Das n-Tupel = ( 1 ; :::; n ) 2 K n heißt auch derKoordinatenvektor von x.Beispiel 37 Es sei V der Vektorraum der Polynome vom Grade n mitKoe¢ zienten aus K in einer Variablen, das heißtV = f 0 + 1 t + ::: + n t n j i 2 Kg :Es gilt V = span (1; t; t 2 ; :::; t n ). Da die Polynome 1; t; t 2 ; :::; t n linear unabhängigin V sind, ist f1; t; t 2 ; :::; t n g eine Basis und (1; t; t 2 ; :::; t n ) einKoordinatensystem von V . Der Koordinatenvektor ist dann ( 0 ; 1 ; :::; n ).Satz 38 Es sei V ein Vektorraum der Dimension n. Dann ist jede maximaleMenge linear unabhängiger Vektoren aus V eine Basis von V .24

Beweis. Es sei X = fx 1 ; :::; x n g eine maximale Menge linear unabhängigerVektoren aus V und y 2 V ein beliebiger Vektor. Dann ist fx 1 ; :::; x n ; ygeine linear abhängige Menge. Folglich lässt sich y als Linearkombination vonVektoren aus fx 1 ; :::; x n g darstellen. Da diese Folgerung unabhängig von derWahl von y ist, bildet X eine Basis.Satz 39 Es sei B = fb 1 ; :::; b n g eine Basis des endlichdimensionalen VektorraumsV über dem Körper K und x 2 V , x 6= 0; ein weiterer Vektor.Dann gibt es einen Basisvektor b j 2 B, sodass auch (B n fb j g) [ fxg eineBasis von V ist.Beweis. Da B eine Basis ist, gibt es Zahlen 1 ; :::; n 2 K, sodassx =nX i b ii=1gilt. Weil x nicht der Nullvektor ist, können nicht alle dieser Zahlen gleichnull sein. Es sei also zum Beispiel j 6= 0. Dann erhalten wirb j = 1 j0B@xnXi=1i6=j i b i1CA :Für einen beliebigen Vektor y 2 V mit der Basisdarstellungy =nX i b ii=1folgt danny =0nX i b i + j B@x ji=1i6=jnXi=1i6=j i b i1CA :Das bedeutet aber, dass jeder Vektor aus V auch als Linearkombinationvon Vektoren der Menge B 0 = fb 1 ; :::; b j 1 ; b j+1 ; :::; b n ; xg darstellbar ist.Folglich ist auch B 0 eine Basis von V .Als Verallgemeinerung dieses Satzes erhalten wir den folgenden Satz vonErnst Steinitz 2 .2 Ernst Steinitz (1871 - 1928) war ein deutscher Mathematiker, der in Breslau undBerlin in verschiedenen Gebieten der Algebra (Ring- und Körpertheorie) arbeitete.25

Satz 40 (Austauschsatz von Steinitz) Es sei V ein Vektorraum über Kund B = fb 1 ; :::; b n g eine Basis von V . A sei eine Menge von m linearunabhängigen Vektoren aus V . Dann existiert eine Teilmenge C B, jCj =m, sodass B 0 = (B n C) [ A wieder eine Basis von V ist.Beweis. Wir wenden schrittweise Satz 39 auf die Vektoren von A an. Nach mSchritten sind dann alle Vektoren aus C gegen Vektoren aus A ausgetauscht.Satz 39 ist in jedem Falle anwendbar, da die linear unabhängige Menge Anicht den Nullvektor enthält. Für den ersten Vektor a 1 2 A können wir denSatz direkt anwenden, wobei wir wieder den Basisvektor b j ersetzen. Wählenwir nun a 2 2 A und stellen diesen als Linearkombination von Vektoren ausfb 1 ; :::; b j1 ; b j+1 ; :::; b n ; a 1 gdarstellen. Da a 2 und a 1 linear unabhängig sind, muss in dieser Linearkombinationwenigstens ein Vektor b k , k 6= j, auftreten. Folglich können wir b kdurch a 2 ersetzen. Diese Konstruktion lässt sich fortsetzen bis m Vektorenaus B durch A ersetzt wurden. Diese m Vektoren bilden die Menge C.4 AufgabenAufgabe 1 Zeige, dass eine Gerade im R 3 genau dann ein Unterraum desR 3 ist, wenn diese Gerade den Nullvektor enthält.Aufgabe 2 In welchem Punkt und unter welchem Winkel schneiden sich dieGeraden?0 1 0 13 4g 1 : x = @ 4 A + @ 1 A ; 2 R1 00g 2 : x = @17510A + @12631A ; 2 RAufgabe 3 Im R 3 ist durch x = (1; 2; 2) T + (2; 1; 4) T ; 2 R; 2 R;eine Ebene gegeben. Wie lautet die Gleichung einer auf dieser Ebene senkrechtstehenden Geraden, die durch den Punkt (3; 1; 6) T verläuft?26

Aufgabe 4 Bestimme die Gleichung einer Ebene, welche die Gerade0 11031x = @ 52A + @ 21A ; 2 Renthält und die senkrecht zur Ebeneverläuft.2x 1 4x 2 + 2x 3 = 9Aufgabe 5 Welchen Flächeninhalt besitzt das von den Vektoren a = (1; 2; 5)und b = (2; 3; 1) aufgespannte Dreieck?Aufgabe 6 Im R 3 be…ndet sich eine Kugel mit dem Mittelpunkt m 1 = (1; 2; 3)und dem Radius 5. Eine zweite Kugel, ebenfalls mit dem Radius 5 besitzt denMittelpunkt m 2 = (1; 10; 9). Diese Kugel berührt die erste Kugel in genaueinem Punkt. Bestimme die Gleichung der Ebene, die beide Kugeln im Berührungspunktder Kugeln tangiert.Aufgabe 7 Es sei fe 1 ; e 2 ; e 3 g die Standardbasis des R 3 . Ein Vektor a 2 R 3mit kak = 4 schließt mit dem Vektor e 1 einen Winkel von 60 ein. DieProjektion von a auf eine Gerade in Richtung von e 3 liefert 2e 3 .Bestimme den Vektor a.Aufgabe 8 Es sei fa; b; cg eine Orthonormalbasis des R 3 . Bestimme dieGleichung einer Geraden durch den Ursprung des R 3 , welche die beiden EbenenE 1 : x = a + b; ; 2 R undE 2 : x = a + c; ; 2 Rjeweils unter einem Winkel von 45 schneidet.Aufgabe 9 Bestimme die Gleichung der Ebene, die senkrecht zu den Ebenen:0 100 110 10E 1 : x = @ 0 A + @10 A + @21 A ; ; 2 R1undsteht und durch den Punkt P = (1;E 2 : x 1 x 2 + x 3 1 = 01; 1) verläuft.27

Aufgabe 10 Beweise oder widerlege die folgenden Aussagen:(a) Für alle a; b 2 R 3 gilt ka bk 2 + jha; bij 2 = kak 2 kbk 2 .(b) Für alle a; b; c 2 R 3 gilt (a b) c c (b a) = 0.Aufgabe 11 Eine Gerade g verläuft parallel zu den beiden Ebenen:und0E 2 : x = @2; 5; 0). Bestimme die Parameterdarstellung der Gera-durch den Punkt P (den g.E 1 : 2x 1 + x 2 4x 3 = 010010A + @21010A + @3011A ; ; 2 RAufgabe 12 Welches Volumen besitzt der von den Vektoren a = (1; 0; 0) ;b = (1; 1; 0) und c = (1; 1; 1) aufgespannte Parallel‡ächner (Spat)?Aufgabe 13 Bestimme einen Vektor im R 3 , der orthogonal zu den drei Vektoren0 120 110 10a = @ 1 A ; b = @01 A ; c = @23 A4ist.Aufgabe 14 Bestimme einen Vektor x 2 R 3 mit kxk = 1, der orthogonalzum Vektor a = (1; 2; 3) und orthogonal zum Vektor b = (1; 1; 1) ist.Aufgabe 15 Die Vektoren a; b 2 R 3 schließen einen Winkel von 30 ein.Außerdem gilt ha; ai = 1 und ha; bi = 2. Bestimme die Norm des Vektors b.Aufgabe 16 Für die drei Vektoren a; b; c 2 R 3 gelteBestimme ka + b + ck.ha; bi = 0; ha; ci = 0; hb; ci = 0ha; ai = 1; hb; bi = 1; hc; ci = 1:Aufgabe 17 Bestimme die Parameterdarstellung einer Ebene durch die PunkteA = (1; 1; 1), B = (2; 1; 6) und C = ( 1; 5; 7). Liegt der Punkt D =( 2; 3; 0) in dieser Ebene?28

Aufgabe 18 Unter welchem Winkel schneiden sich die Ebenen0 1 0 1 0 10 21E 1 : x = @ 1 A + @ 1 A + @ 3 A ; ; 2 R0 3 2undE 2 : x 1 2x 2 + x 3 = 4 ?Wie lautet die Gleichung der Schnittgeraden?Aufgabe 19 In welchem Punkt schneidet die Gerade0 1 0 11 4g : x = @ 1 A + @ 0 A ; 2 R1 2die durch die Gleichungbestimmte Ebene?5x 1 + 2x 2 + x 3 = 6Aufgabe 20 Welchen Abstand hat der Punkt (3; 1; 2) von der Ebene 4x 1 +2x 2 2x 3 = 4 ?Aufgabe 21 Es sei fe 1 ; e 2 ; e 3 g die Standardbasis des R 3 . Ein Vektor a 2 R 3mit kak = 4 schließt mit dem Vektor e 1 einen Winkel von 60 ein. DieProjektion von a auf eine Gerade in Richtung von e 3 liefert 2e 3 .Bestimme den Vektor a.Aufgabe 22 Es seien a; b; c 2 R 3 und x = a+b, y = a+c, z = b+c. Zeige,dass wenn a; b; c linear unabhängig sind, auch x; y; z linear unabhängigeVektoren sind.Aufgabe 23 Sind die Vektoren0 1 010B 0C@ 0 A ; B@0des R 5 linear abhängig?110001 0CA ; B@29111001 0CA ; B@111101CA

Aufgabe 24 Es sei V der Vektorraum der Polynome vom Grade 3 mitreellen Koe¢ zienten in einer reellen Unbestimmten. Sind in V die Polynome:linear unabhängig?p 1 = t 3 + t 2 + 3t + 1p 2 = t 3 t 2 + 4t + 2p 3 = 2t 3 4t 2 + 9t + 530