Blatt 7

LINEARE ALGEBRA II
SOMMERSEMESTER 2010
Übungsblatt 7
PROF. DR. JÜRGEN KLÜNERS
DAVID HUSERT
FRIEDRICH PANITZ
Abgabe bis zum 04.06.2010 um 9 Uhr in den Briefkästen Nr.16/18 in D1.
Aufgabe 1 (4 Punkte).
Bestimmen Sie mit Orthonormalisierungsverfahren von E. Schmidt eine Orthonormalbasis
aus den folgenden Basen B des dazugehörigen Vektorraums V .
a) V = ⎧R 3 ⎛euklidisch ⎞ ⎛ ⎞mit ⎛ dem ⎞⎫Standardskalarprodukt und der Basis
⎨ 1 1 0 ⎬
B = ⎝1⎠,
⎝0⎠,
⎝1⎠
⎩
⎭ .
0 1 1
b) V = ⎧C 3 ⎛unitär ⎞ ⎛mit ⎞dem⎛
Standardskalarprodukt ⎞⎫
und der Basis
⎨ 1 0 i ⎬
B = ⎝0⎠,
⎝−i⎠,
⎝1⎠
⎩
⎭ .
i 1 0
Aufgabe 2 (4 Punkte).
Sei V ein C-Vektorraum mit zwei hermiteschen Formen 〈·,·〉 f ,〈·,·〉 g : V ×V → C.
Zeigen Sie, dass 〈·,·〉 f = 〈·,·〉 g genau dann gilt, wenn 〈v,v〉 f = 〈v,v〉 g für alle v ∈ V .
Aufgabe 3 (4 Punkte).
Seien K ein Körper, n ∈ N und V ein n-dimensionaler K-Vektorraum mit Skalarprodukt 〈·,·〉.
Weiter seien U 1 ,U 2 ≤ V .
Zeigen Sie
a) U 1 ≤ U 2 ⇔ U ⊥ 1 ≥ U⊥ 2 ,
b) (U ⊥ 1 )⊥ = U 1 ,
c) (U 1 +U 2 ) ⊥ = U ⊥ 1 ∩U⊥ 2 ,
d) (U 1 ∩U 2 ) ⊥ = U ⊥ 1 +U⊥ 2 . (bitte wenden)

Aufgabe 4 (4 Punkte).
Gegeben sei der reelle Vektorraum R n , n ∈ N, mit der Standardbasis S = {s 1 ,...,s n }.
a) Sei 〈·,·〉 : R n × R n → R eine symmetrische Bilinearform. Zeigen Sie, dass die durch
A = D S (〈·,·〉) := ( 〈 s i ,s j
〉
)i, j ∈ R n×n definierte Matrix symmetrisch ist.
b) Sei A ∈ R n×n eine symmetrische Matrix. Zeigen Sie, dass die durch
〈·,·〉 A : R n × R n → R, (x,y) ↦→ x tr Ay
definierte Abbildung eine symmetrische Bilinearform ist.
c) Zeigen Sie, dass die Zuordnungen
bijektiv und zueinander invers sind.
〈·,·〉 ↦→ D S (〈·,·〉) und A ↦→ 〈·,·〉 A