2. Abschattung Kosmischer Strahlung durch den Mond in IceCube

Untersuchungen mit Graphik-Prozessoren (GPU)
zur Messung der Abschattung kosmischer
Strahlung durch den Mond in IceCube
von
René Reimann
Bachelorarbeit in P H Y S I K
vorgelegt der
Fakultät für Mathematik, Informatik und
Naturwissenschaften
der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen
im
Juli 2011
angefertigt am
III. Physikalischen Institut B
Prof. Dr. Christopher Wiebusch

Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung 1
2. Abschattung Kosmischer Strahlung durch den Mond in IceCube 3
2.1. Kosmische Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2. Abschattung durch den Mond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3. Nachweisprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4. IceCube-Detektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5. Mondfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3. Mondschattenanalyse 8
3.1. Ungebinntes log-Likelihood-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2. Signalmodell und Hintergrundverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3. Cut-Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4. Komplexität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4. Berechnungen mit Graphik Prozessoren (GPU) 12
4.1. Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2. Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3. CUDA-Maschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.4. GPU-Strategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.5. Minimierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5. Test des Verfahrens 20
5.1. Genauigkeit des Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.2. Ergebnisse und Vergleich der Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.3. Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6. Weiterführende Untersuchungen 33
6.1. Symmetrischer vs. elliptischer Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.2. Die Energieabhängigkeit des Mondschatten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7. Zusammenfassung und Ausblick 38
A. Anhang 39
A.1. Zur Toleranzstudie mit Brent Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
A.1.1. Toleranz von 100 in n s mit Brent Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . 40
A.1.2. Toleranz von 10 in n s mit Brent Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
A.1.3. Toleranz von 1 in n s mit Brent Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
A.1.4. Toleranz von 0,1 in n s mit Brent Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A.1.5. Differenzplots für verschiedene Toleranzen in n s mit Brent Algorithmus . . 44
A.2. Zur Toleranzstudie mit erweitertem Brent Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . 45
A.2.1. Toleranz von 100 in n s mit erweitertem Brent Algorithmus . . . . . . . . . 45
A.2.2. Toleranz von 10 in n s mit erweitertem Brent Algorithmus . . . . . . . . . . 46
A.2.3. Toleranz von 1 in n s mit erweitertem Brent Algorithmus . . . . . . . . . . . 47
A.2.4. Toleranz von 0,1 in n s mit erweitertem Brent Algorithmus . . . . . . . . . . 48
A.2.5. Signifikanzplots für verschiedene Toleranz mit erweitertem Brent Algorithmus 49
René Reimann
iii

Inhaltsverzeichnis
A.2.6. Differenzplots für verschiedene Toleranzen in n s mit erweitertem Brent Algorithmus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
A.3. Untersuchungen mit elliptischem Signalmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
A.4. Untersuchungen mit NChannel Schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
A.4.1. Untersuchungen für Events mit niedrigem NChannel . . . . . . . . . . . . . 53
A.4.2. Untersuchungen für Events mit hohem NChannel . . . . . . . . . . . . . . . 54
A.4.3. Signifikanzplots mit NChannel Schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
A.5. Fitergebnisse für n s -Landschaften der On-Source Region . . . . . . . . . . . . . . . 56
Literaturverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Tabellenverzeichnis
I
III
VII
iv
RWTH Aachen

1. Einleitung
Um astrophysikalische Prozesse und Objekte zu untersuchen und zu verstehen, benötigt man Informationen
über ihr Verhalten und ihre Eigenschaften. Da diese Objekte viele Lichtjahre von der
Erde entfernt sind, ist die einzige Möglichkeit, Informationen von ihnen zu erhalten, die Untersuchung
der Strahlung, die sie aussenden. Diese Teilchen werden kosmische Boten genannt. Es
handelt sich dabei um hadronischen Teilchen wie Protonen und Atomkernen, sowie Photonen und
Neutrinos.
Neutrions sind in der Astrophysik von besonderer Bedeutung, denn sie enthalten die besten
Informationen über die Richtung ihrer Quelle. Aufgrund ihrer schwachen Wechselwirkung durchqueren
sie auch interstellaren Staub – im Gegensatz zu Photonen – nahezu ohne Abschwächung. Da
Neutrinos keine Ladung tragen, werden sie auch nicht durch kosmische Magnetfelder abgelenkt,
wie es bei den meisten stabilen Hadronen der Fall ist.[1] Dies ist in Abbildung 1.1 schematisch
verdeutlicht.
Abbildung 1.1.: Kosmische Botenteilchen auf dem Weg zur Erde. Geladene Teilchen (blau) verlieren
ihre Richtungsinformation. Photonen (gelb) können absorbiert werden. Neutrinos
(rot) wechselwirken nur sehr schwach.[1]
René Reimann 1

Einleitung
Neutrinos werden in vielen astrophysikalischen Prozessen erzeugt. Die Vermessung dieser Neutrinos
macht Rückschlüsse auf die zugrundeliegende Physik möglich. Durch Fusionsprozesse werden sie
in jedem Stern erzeugt. Bei einer Sternmasse von etwa dem vierfachen der Sonnenmasse durchläuft
ein Stern eine Supernova. Der innere Kern wird sich nach der Explosion wieder zusammen ziehen.
Da aufgrund des enormen gravitativen Drucks Elektronen und Protonen zusammengedrückt werden,
bilden sich Neutronen und Neutrinos. Somit können sie Informationen über Neutronensterne
und schwarze Löcher übermitteln.[2]
Hochenergetische Neutrinos werden auch in hochenergetischen hadronischen Teilchenreaktionen
der kosmischen Strahlung produziert. Besonders Pionen- und Kaonen-Produktionen sind hierbei
von Bedeutung. Pionen zerfallen bevorzugt zu Myonen, da die Elektronproduktion aufgrund der
Helizität stark unterdrückt ist. Die Myonen zerfallen weiter in Elektron und Neutrino. Somit ergibt
sich ein Neutrinoverhältnis von (¯ν e : ¯ν µ : ¯ν τ ) = (ν e : ν µ : ν τ ) = (1 : 2 : 0), da Tauneutrinos
bevorzugt durch D ± S -Zerfälle entstehen, wobei der Wirkungsquerschnitt für D± S
-Produktionen bei
niedrigen Energien selbst sehr gering ist. [3] Somit können auch über viele andere Quellen Informationen
durch Neutrinos zu uns auf die Erde gebracht werden.
IceCube wurde 2001 geplant um Punktquellen hochenergetischer Neutrinos wie Gamma Ray
Bursts (GRB), Active Galactic Nuclei (AGN) oder Supernovae zu suchen. Weiterhin erhofft man
sich, Informationen über Weakly Interacting Massive Particles (WIMPs) zu erhalten. Zudem motivierte
die Suche nach magnetischen Monopolen und weiteren exotischen Teilchen, sowie nach
weiteren unerwarteten Phänomenen.[4]
Um die Position einer Punktquelle korrekt und um die Genauigkeit der Position angeben zu
können, ist es wichtig, die Winkelauflösung und die Systematik des Detektors zu kennen. Da es
bis zum jetzigen Zeitpunkt keine Standardkerze für Neutrino-Punktquellen gibt, kann die Winkelauflösung
mithilfe von Monte-Carlo-Simulationen bestimmt werden. Hierbei treten jedoch viele
Unsicherheiten auf, wenn die Monte-Carlo-Simulation den Detektor nicht richtig beschreibt.
Der Nachweis von Neutrinos erfolgt wegen des geringen Wirkungsquerschnittes indirekt über
Einfangreaktionen. Hierbei kann man zwischen Wechselwirkungen mit neutralem (NC) und geladenem
(CC) Strom unterscheiden.
ν + N → ν + X (NC) (1.1)
ν + N → l + X (CC) (1.2)
Hierbei steht ν für das Neutrino, N für den Kern, durch den das Neutrino eingefangen wird, l für
das zugehörige geladene Lepton und X für die hadronische Kaskade.
Da der IceCube-Detektor Neutrinos über Leptonen aus der geladene Wechselwirkung detektiert,
werden auch Leptonen aus Luftschauern, die durch hochenergetische kosmische Strahlung
erzeugt werden, gemessen. Für die meisten Messungen in IceCube bilden Myonen ein großes Untergrundsignal,
doch für die Bestimmung der Winkelauflösung bieten sie die einzige experimentelle
Möglichkeit.
Auch für die kosmische Strahlung ist noch keine Standartkerze bekannt, doch bildet der Mond
durch Abschattung der kosmischen Teilchen eine Senke. Da für eine Punktquellensuche auch eine
Punktsenke analysiert werden kann, bietet der Schatten des Mondes in der kosmischen Strahlung
die Möglichkeit, die Winkelauflösung des IceCube-Detektors zu ermitteln.
In dieser Arbeit soll der Schatten des Mondes in der kosmischen Strahlung untersucht werden.
Hierzu wird im zweiten Kapitel die kosmische Strahlung, der Detektor und die Datennahme vorgestellt.
Im dritten Kapitel wird die Analysemethode erklärt. Kapitel vier bietet einen Einblick in
die Umsetzung der Analyse auf einer Graphikkarte. In Kapitel fünf wird zunächst die Analyse getestet,
bevor in Kapitel sechs einige Untersuchungen mithilfe dieser Methode durchgeführt werden.
Kapitel sieben zieht ein Fazit und gibt einen Ausblick für weitere Analysen.
2 RWTH Aachen

2. Abschattung Kosmischer Strahlung durch
den Mond in IceCube
2.1. Kosmische Strahlung
Die kosmische Höhenstrahlung wurde von Victor F. Hess 1912 in einem Ballonexperiment unerwartet
entdeckt. Er wollte mit seinem Ballonexperiment zeigen, dass die Strahlenbelastung mit dem
Abstand zur Erdoberfläche abnimmt, fand jedoch, dass sie ab einigen Kilometern Höhe wieder
zunahm. In den Folgejahren untersuchte er die Eigenschaften der kosmischen Höhenstrahlung [5]
und es wurden viele bis dahin unbekannte Teilchen in ihr gefunden, die heute unter dem Zoo der
Elementarteilchen bekannt sind.[6]
Die kosmische Höhenstrahlung besteht bei geringer Energie zu etwa 90% aus Protonen und zu
etwa 9% aus Heliumkernen. Der Rest sind schwere Kerne bis hin zu Eisen, sowie Anti-Protonen.[7]
[8, Kapitel 2]
Das Energiespektrum aller Teilchen der kosmischen Höhenstrahlung folgt einem Potenzgesetz.
N(E) ∝ E −γ (2.1)
Der Spektrale Index γ hat für verschiedene Energien einen unterschiedlichen Wert (siehe Tabelle
2.1). [[8]]
Tabelle 2.1.: Spektrale Indize für verschiedene Energien der kosmischen Strahlung
E < 10 15.5 eV γ = −2.7
10 15.5 eV < E < 10 17.7 eV γ = −3
10 17.7 eV < E < 10 18.5 eV γ = −3.1
10 18.5 eV < E γ = −2.7
Die Übergänge in diesem Spektrum haben traditionell die Namen „knee“, „dip“ und „ankle“.
Teilchen mit Energien oberhalb von 10 19.5 eV sollten nach dem sogenannte GZK-Cutoff nicht auftreten.
Er wurde von Greisen, Zatsepin und Kuzmin 1966 eingeführt. Hierbei geht man davon aus,
dass die hochenergetischen Protonen mit Photonen der 2,7 K Hintergrundstrahlung wechselwirken
und somit nach
γ + p → ∆ + → pπ 0
γ + p → ∆ + → nπ + (2.2)
weniger energiereiche Pionen, Protonen und Neutronen erzeugen. [7] [8, Kapitel 2 & 6]
Die unterschiedlichen Spektralen Indize lassen auf unterschiedliche Herkunft, Entstehung und
Beschleunigung schließen. Es wird vermutet, dass Teilchen mit Energien unter 10 15.5 hauptsächlich
aus unserer Milchstraße kommen. Teilchen mit noch höheren Energien kommen von außerhalb
unserer Galaxie. Als Quellen für kosmische Strahlung kommen z.B. Supernovae Explosionen, Pulsare,
Aktive Galaktische Kerne (AGN), rotierende schwarze Löcher, Gamma Ray Bursts (GRB)
in Frage. Eine mögliche Erklärung des Beschleunigungsmechanismus kann durch den nach Enrico
Fermi benannte Fermi Mechanismus erster Art beschrieben werden.[8, Kapitel 3] [9]
Würde die kosmische Strahlung ohne Abschirmung und Abschwächung auf die Erdoberfläche einfallen,
so könnte es nicht zu lebenden Organismen, wie wir sie kennen, auf der Erde kommen. Erst
durch die Erdatmosphäre, die in etwa 15-20 km Höhe beginnt, wird die Strahlung so abgeschwächt,
René Reimann 3

Abschattung Kosmischer Strahlung durch den Mond in IceCube
dass Leben auf unserem Planeten möglich ist. Die primär einfallenden Teilchen stoßen mit Atomen
und Molekülen in den oberen Schichten der Atmosphäre zusammen. Zum Großteil wird dadurch
die obere Schicht der Atmosphäre ionisiert. Hochenergetische Teilchen erzeugen durch ihren Stoß
verschiedene andere Teilchen, mit weniger Energie, die dann weiter zur Erde rasen und gegebenenfalls
auch stoßen. Dadurch entsteht ein lawinenartiger Schauer von Myonen, Elektronen, Photonen,
Neutrinos und verschiedenen anderen Teilchen.[10]
Elektronen verlieren aufgrund der Bremsstrahlung soviel Energie, dass sie die Erde nur mit
niedrigen Energien erreichen.
Myonen zerfallen im Ruhesystem nach einer Halbwertszeit von 2.197 µs [15], erreichen aufgrund
der Zeitdilatation bzw. aufgrund der Längenkontraktion (hängt vom Bezugssystem ab) den Erdboden
und zerfallen nicht vorher. Ihnen geht auf dem Weg durch die Atmosphäre etwa 2 GeV verloren.
Myonen die in der Atmosphäre aufgrund von Schauern entstehen werden atmosphärische Myonen
genannt.
2.2. Abschattung durch den Mond
Der Mond ist der einzige Trabant der Erde. Er hat einen Radius von 1737.1 km und umkreist die
Erde in einer mittleren Entfernung von 378000 km in 27.32 Tagen. Der Mond hat eine elliptische
Laufbahn mit einer Exzentrität von 0.05 und einem Winkel von 5.15 ◦ zur Ekliptic. Somit hat der
Mond von der Erdoberfläche aus gesehen einen Winkelradius von 0.246 ◦ bis 0.258 ◦ .[11]
Der Mond hat eine Masse von 7.349 · 10 22 kg und somit eine Dichte von 3350 kg / m 3 . [12] Bei
einer solchen Dichte werden kosmische Strahlen auf wenigen km abgebremst. Folglich können sie den
Mond nicht durchdringen und der Mond hinterlässt einen Schatten in der kosmischen Strahlung.
Der Schatten des Mondes in der kosmischen Strahlung kann versetzt zu der wahren Mondposition
sein. Dies liegt daran, dass die kosmische Strahlung hauptsächlich aus geladenen Teilchen besteht,
die von Magnetfeldern zwischen Erde und Mond abgelenkt werden.
Diese Ablenkung konnte beispielsweise im ARGO Experiment für niederenergetische Teilchen
gezeigt werden.[13]
2.3. Nachweisprinzip
IceCube ist ein Neutrino Observatorium, mit einem Detektorvolumen von 1 km 3 klarem antarktischen
Eis an der „Amundsen-Scott South Pole Station“ am geographischen Südpol.
Im Eis lösen Elektronen aufgrund der starken Bremsstrahlung einen elektromagnetischen Schauer
aus.
Myonen, die etwa 200 mal schwerer sind [15], strahlen kaum Bremsstrahlung ab. Sie können
über den Cherenkov-Effekt nachgewiesen werden. Hierbei liegt die Geschwindigkeit des Myons,
das nahezu Vakuumlichtgeschwindigkeit hat, über der Lichtgeschwindigkeit im Eis. Somit werden
die Atome nahe der Teilchenspur polarisiert und strahlen Licht ab. Dieses Licht hat die Form eines
Kegels und wird Cherenkov-Kegel genannt. Für den Cherenkov-Kegel gilt allgemein die Beziehung
2.3.
cos ϑ C = (nβ) −1 (2.3)
Der Öffnungswinkel ergibt sich für Eis mit einem Brechungsindex von n=1.32 und Myonen mit
Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit β ≈ 1 zu ϑ C ≈ 41 ◦ . Das Cherenkov-Licht breitet
sich im Eis aus und ist auch in einigen Metern Entfernung noch gut sichtbar.[14]
Tau-Leptonen haben die Eigenschaft, dass sie nach sehr kurzer Zeit zerfallen. Ihre Lebensdauer
beträgt 0.29 ps.[15] Demnach lassen sie sich anhand des hadronischen Schauers am Startpunkt und
eines weiteren Schauers am Endpunkt ihrer Flugbahn erkennen. Die Lebensdauer ist so kurz, dass
sowohl Start-, als auch Endpunkt, abhängig von der Energie, nur einige Meter auseinander liegen
können. Für niederenergetische Tau-Leptonen liegen die zwei Schauer sogar ineinander.
4 RWTH Aachen

2.4. IceCube-Detektor
2.4. IceCube-Detektor
Der IceCube-Detektor ist ein Nachfolger des „Antarctic Muon And Neutrino Detector Arrays“
(AMANDA), das von 1994 bis 2008 Daten sammelte. Der IceCube-Detektor wurde im arktischen
Sommer 2010/2011 fertig gestellt und besteht jetzt aus 86 Strings mit jeweils 60 Digitalen Optischen
Modulen (DOM), die das Cherenkov-Licht von Myonen mit Energien überhalb von 10 GeV
detektieren.
Der Großteil von IceCube liegt in einer Tiefe von 1450 m bis 2450 m im klaren antarktischen
Eis (siehe Abbildung 2.1). Er besteht aus 5160 Digitalen Optischen Modulen welche auf 86 Strings
aufgeteilt sind. Ein Digitales Optisches Modul (DOM) besteht aus einem empfindlichen Photomultiplier
und einer zugehörigen Ausleseelektronik. Diese Strings sind in einem annähernd hexagonalen
Gitter auf einem Gebiet von 1 km 2 verteilt. Ein String besteht aus 60 DOMs, die jeweils einen
Abstand von 17 m haben. [16]
In den Vorjahren wurden bereits Daten mit dem unvollständigen Detektor genommen. Diese
Daten, sowie der Detektor in seinen verschiedenen Ausbaustadien, werden durch die Anzahl an
Strings charakterisiert. 2005 wurde ein Teststring betrieben. Im arktischen Sommer 2005-2006
kamen acht Strings hinzu. Diese Konfiguration wird IC9 genannt. Die folgenden Konfigurationen
sind IC22, IC40, IC59 und IC79. Der vollständige Detektor wird IC86 genannt. Für IC22, IC40,
IC59 und IC79 wurden die Daten eines Jahres gesammelt. Dabei ist zu beachten, dass nur IC86
und IC79 einen symmetrischen Aufbau in Azimut hat. [16]
In dieser Arbeit werden, soweit nicht anders erwähnt, Daten von IC59 verwendet.
2.5. Mondfilter
Aufgrund einer enormen Datenmenge, die in IceCube produziert wird, müssen die Daten bereits
am Südpol vorselektiert werden, bevor sie über einen Satelliten, mit begrenzter Bandbreite, auf die
nördliche Halbkugel übertragen werden. Hierzu werden zunächst Qualitätsschnitte auf die Daten
angewendet. Die Anzahl der getroffenen Strings (NString) muss größer gleich drei und die Anzahl
der getroffenen DOMs (NChannel) muss größer gleich zwölf sein. Aus diesem Grund kann eine
Online-Spurrekonstruktion durchgeführt werden, bei der die mittlere Winkelauflösung hinreichend
gut ist.
Diese Spurrekonstruktion basiert auf einer Maximum Likelihood Methode. Die Spur wird so rekonstruiert,
dass die Ankunftzeiten und Amplituden von Licht in den DOMs am besten beschrieben
werden. Hierbei hat der Zeitunterschied zwischen theoretisch erwarteter Ankunftszeit durch das
Modell in Abbildung 2.2 und der gemessenen Ankunftszeit den größten Einfluss.[18]
Um den Schatten des Mondes zu beobachten, werden nur Daten aus Richtung des Mondes
benötigt. Da der Mond nicht still steht, sondern täglich etwa einmal über den gesamten Horizont
wandert und zudem seine Deklination ändert, müssen die Daten in Relativkoordinaten
δ azimuth = (ϕ event − ϕ moon ) · sin(ϑ event ) (2.4)
δ zenith = ϑ event − ϑ moon (2.5)
gegeben werden. Das die Differenz in Azimut mit dem Sinus des Zenitwertes multipliziert wird,
führt zu einer korrekten Skalierung für eine kartesische Darstellung.
Die Deklination des Mondes schwankt zwischen -25 ◦ bis +25 ◦ . Da für zu geringe Winkel der
Weg durch die Atmosphäre und das Eis, für die kosmische Strahlung, immer länger wird, ist für
sehr kleine Deklinationen die Datennahme nicht sinnvoll. Der Mondfilter selektiert Daten, wenn
der Mond höher als 15 ◦ am Horizont steht. Dies ist an etwa 8 Tagen im Monat der Fall.
Da nur Daten in der Nähe des Mondes von Interesse sind, jedoch auch Off-Source-Regionen beobachtet
werden müssen, selektiert der Mondfilter Events, die in einem Fenster von ±40 ◦ in Azimut
multipliziert mit dem Sinus des Zenit und ±10 ◦ in Zenit um den Mond detektiert werden.[19]
Eine Offline-Spurrekonstruktion basiert ebenfalls auf der oben beschriebenen Likelihood Maximierung,
wird jedoch durch mehrfache Iteration eine andere, meist näher an der Wahrheit liegende
René Reimann 5

Abschattung Kosmischer Strahlung durch den Mond in IceCube
Abbildung 2.1.: IceCube-Detektor am geographischen Südpol. Die verschiedenen Detektorkomponenten
sind eingezeichnet. Die unterschiedlichen Farben der Strings zeigen das
Jahr der Inbetriebnahme an.[17]
Spur finden. Um die resultierende Spur wird auf zwei Kreisen an je acht Punkten die Likelihoodfunktion
berechnet. Durch diese Punkte wird eine Paraboloidfunktion gefittet. Die Schärfe des
Paraboloids gibt Auskunft über die Güte der Rekonstruktion. In dieser Analyse wird die Likelihood
Rekonstruktion SPE (Single Photo-Elektron) verwendet.[20]
Die rekonstruierte Paraboloidfunktion hat die Parameter σ 1 , σ 2 und α. Hierbei ist σ 1 die größere
Halbachse der 1-Sigma-Ellipse. α ist der Winkel von der Azimut-Achse bis zu σ 1 (siehe Abbildung
2.3).[21]
Da die Online und Offline-Rekonstruktion unterschiedliche δ azimuth und δ zenith Werte ergeben
können, kann es sein, dass Spuren, die übertragen worden sind außerhalb bzw. Spuren, die nicht
übertragen worden sind innerhalb des Mondfensters liegen. Um diese Randeffekte zu minimieren,
wird ein Fenster von ±36 ◦ in Azimut multipliziert mit Sinus des Zenits und ±8 ◦ in Zenit um
den Mond gewählt. Für die Analyse werden eine On-Source und zwei Off-Source Regionen wie in
Abbildung 2.4 definiert. Jede Region ist 8 ◦ in Zenit und 8 ◦ in Azimut/sin ϑ groß. Die On-Source
Region enthält 22198152, die Off-Source 1 Region 22174047 und die Off-Source 2 Region 22143731
Events für IC59.
6 RWTH Aachen

2.5. Mondfilter
Abbildung 2.2.: Zur Rekonstruktion der Myonspur wird der Unterschied der theoretisch zu erwartenen
und gemessenen Ankunftszeit ermittelt. Die Likelihoodfunktion zur Berechnung
der Spur basiert zum Großteil auf diesem Zeitunterschied.[18]
Abbildung 2.3.: Zur Definition von σ 1 , σ 2 und α. [21]
Abbildung 2.4.: Fenster des Mondschattenfensters (rot) und Definition der Off-Source Regionen
(gelb) und der On-Source Region (grau). Für die Analyse wurden nur Daten aus
dem blauen Fenster verwendet.[11]
René Reimann 7

Mondschattenanalyse
3. Mondschattenanalyse
3.1. Ungebinntes log-Likelihood-Verfahren
In dieser Arbeit wird das ungebinnte Likelihood-Verfahren zur Rekonstruktion des Mondschattens
der kosmischen Strahlung verwendet, wie es in der Diplomarbeit „Measurements of the Shadowing
of Cosmic Rays by the Moon with the IceCube Neutrino Observatory“ von Jan Blumenthal
behandelt wurde.[11]
Das Verfahren basiert auf einer Methode zur Punktquellensuche für Neutrinos [22]. In dieser
Methode wird nach dem optimalen Schätzer für die Anzahl von Source-Events n s gesucht. Bei der
Mondschatten Analyse sucht man nicht nach einer Neutrinoquelle, sondern beobachtet eine Senke
für kosmische Strahlung. Folglich kann n s als Anzahl der abgeschatteten Events bezeichnet werden.
Gibt es eine Schätzung für den Hintergrund und ein Modell für das Signal bzw. die Senke, so
kann eine Likelihoodfunktion aufgestellt werden. Durch diese Likelihoodfunktion soll die Anzahl
von abgeschatteten Events ermittelt werden, für die die Kombination von Hintergrund bzw. Signal
am besten die gegebenen Daten beschreibt. Da es sich bei Hintergrund- und Signalverteilung um
Wahrscheinlichkeitsdichten handelt, sollten beide Funktionen seperat normiert sein.
Für ein Event ist die Likelihoodfunktion L i entweder mehr dem Signal oder Hintergrund ähnlich.
Auf Grund dessen ergibt sich eine Likelihoodfunktion für ein Event mit der Signalverteilung an
einer bestimmten Position ⃗x:
L i (⃗x, n s ) = n (
s
N S i(⃗x) +
1 − n s
N
)
B i (⃗x) (3.1)
Hierbei ist N die Anzahl der Gesamtevents und sorgt für die korrekte Normierung der Likelihoodfunktion.
Insgesamt ergibt sich für N Events eine Likelihoodfunktion für die der Schatten eine Stärke n s
hat und um ⃗x von der nominellen Position verschoben ist.
L(⃗x, n s ) =
N∏
L i (⃗x, n s ) (3.2)
i=1
Das n s , welches diese Funktion maximiert, ist der beste Schätzer für die Beschreibung der Daten
mit diesem Modell. Um die Berechnung zu vereinfachen kann der Logarithmus dieser Funktion
verwendet werden, da es sich hierbei um eine monotone Funktion handelt und somit das Maximum
nicht verschiebt. Da für Computer meist ein Minimierungsalgorithmus verwendet wird, kann das
Maximum durch Hinzufügen eines Minuszeichens in ein Minimum umgewandelt werden. Also ergibt
sich:
− log L(⃗x, n s ) = −
N∑
i=1
( ns
(
log
N S i(⃗x) +
1 − n s
N
) )
B i (⃗x)
Es sei darauf hingewiesen, dass die negative log-Likelihoodfunktion (− log L) eine Funktion in
⃗x und n s ist. Für jedes beliebige ⃗x kann sie in n s minimiert werden. Die Minimierung ist eine
konkrete Zuweisung, daher erhält man eine Funktion, die nur von ⃗x abhängt. Diese Funktion ist
jedoch nicht beziehungsweise sehr schwer analytisch aus der − log L-Funktion berechenbar, sondern
muss an jedem Punkt einzelnd ausgewertet werden. Deswegen ist eine kontinuierliche Darstellung
schwierig bzw. bei unendlich vielen Punkten unmöglich. Daher muss zur Analyse des Mondschatten
eine Auswahl an Punkten dieser Funktion ausreichen.
(3.3)
8 RWTH Aachen

3.2. Signalmodell und Hintergrundverteilung
Hierzu wird die − log L-Funktion auf einem Grid in der ⃗x-Ebene berechnet. Jeder Gridpunkt
hat darum die Koordinaten δ zenith = ϑ Moon − ϑ grid und δ azimuth = (ϕ Moon − ϕ grid ) · sin(ϑ grid ).
Als Konsequenz ergibt sich eine Landschaft in n s und in − log L.
Für eine gute Auflösung in den Landschaften werden 128 x 128 (16384) Gridpunkte berechnet.
Um Randeffekte zu vermeiden wird die − log L nur in einem 4 ◦ x 4 ◦ großen Fenster berechnet,
wobei jedoch die Daten aus einem 8 ◦ x 8 ◦ großen Fenster stammen. Da auch der Punkt (0,0)
berechnet werden soll, muss das Grid um 1 2 · 4◦
128
in negative Zenit- und Azimutrichtung verschoben
werden. Exemplarisch ist auch ein grobes Grid, wie es in der Arbeit von Jan Blumenthal verwendet
wurde, in Abbildung 3.1 gezeigt.
Abbildung 3.1.: Links: Ein Gridfenster um den Mond mit 31 x 31 Punkten in Zenit und Azimut
wie es in [11] benutzt wurde. Rechts: Ein Gridfenster um den Mond mit 128 x
128 Punkten in Zenit und Azimut wie es in dieser Arbeit benutzt wird. Das Grid
enthält den Punkt (0,0).
3.2. Signalmodell und Hintergrundverteilung
Hintergrundverteilung
Für die Hintergrundverteilung wird ein Seperationsansatz gewählt:
B i (δ zen , δ azi ) = B(δ zen,i ) · B(δ azi,i ) (3.4)
Obwohl die Azimutverteilung allein aufgrund der Detektorgeometrie nicht flach ist, wird dieser
Effekt bei einem kompletten Mondzyklus annähernd herausgemittelt, da es sich bei δ azimuth
um Relativkoordinaten handelt. Dies ist nur möglich, wenn die Datennahme über den kompletten
Mondzyklus stattfindet. Dies kann aufgrund von Umbauphasen, Updates, Ausfällen oder Ähnlichem
nicht der Fall sein. Jedoch wurden die Daten für jeden Mondzyklus der untersuchten IC59
Daten in über 90% der Zeit genommen. Auch durch Betrachten wurde auf eine flache Verteilung
geschlossen. Insofern lässt sich eine Gleichverteilung in Azimut rechtfertigen. [11]
In Zenit ist die Hintergrundverteilung nicht annähernd flach. Dies ist durch den unterschiedlich
langen Weg, bei verschiedenen Zenitwinkeln, für Myonen durch die Atmosphäre und das Eis zu
begründen. Demnach wird für größere Zenitwinkel ein geringerer Fluss erwartet [23] und auch
René Reimann 9

Mondschattenanalyse
beobachtet (siehe Abbildung 3.2). Für die Hintergrundverteilung wird die Zenitverteilung aus einem
bzw. beiden Off-Source Bereichen erstellt und normiert. Für die Berechnung werden die Werte für
die Zenitverteilung interpoliert.[11]
Abbildung 3.2.: Normierte Hintergrundverteilung in Zenit. Für die Berechnung des − log L-Wertes
wird die Verteilung in Radiant umgerechnet.
Signalmodell
Für das Signalmodell stehen σ 1 , σ 2 und α aus der Rekonstruktion zur Verfügung. Hieraus wird
eine elliptische Gaussverteilung für das Signalmodell angenommen.
S el,i (∆ϕ g , ∆ϑ g , ∆ϕ i , ∆ϑ i ) = Ae −(a(∆ϕi−∆ϕg)2 +2b(∆ϕ i−∆ϕ g)(∆ϑ i−∆ϑ g)+c(∆ϑ i−∆ϑ g) 2 )
A =
1
2πσ 1 σ 2
a = cos2 α
2σ1
2 + sin2 α
2σ2
2
b = sin(2α)
4σ 2 1
c = sin2 α
2σ 2 1
− sin(2α)
4σ 2 2
+ cos2 α
2σ 2 2
(3.5)
Als eine Vereinfachung dient eine symmetrische Gaussverteilung. Sie sollte in guter Näherung
das Signal beschreiben. Daher wird sie auch häufig in anderen IceCube-Analysen verwendet.
S sym,i (∆ϕ g , ∆ϑ g , ∆ϕ i , ∆ϑ i ) = Ae − (∆ϕ i −∆ϕg )2 +(∆ϑ i −∆ϑg ) 2
2σ 2
σ =
A =
√
σ
2
1 + σ 2 2
1
2πσ 2
2
(3.6)
10 RWTH Aachen

3.3. Cut-Parameter
3.3. Cut-Parameter
Um für eine korrekte Normierung der Signalverteilung zu sorgen, muss ein Schnitt auf den Fehler
des Paraboloids durchgeführt werden. Dadurch wird garantiert, dass bei allen Events die Ausläufer
der Wahrscheinlichkeitsverteilung, nach wenigen Grad Abweichung vom Mittelwert, vernachlässigbar
sind. Weiterhin ist es aus numerischen Gründen notwendig, dass dieser Fehler nicht zu klein
wird. Da dieser Schnitt nur sehr wenige Events betrifft, spielt er eine untergeordnete Rolle. Für
das Analyseverfahren des Mondschattens, das in dieser Arbeit verwendet wird, wurden die Cut-
Parameter von Jan Blumenthal bereits zu 0.075 ◦ < σ < 1.5 ◦ bestimmt.[11] σ ist definiert in Formel
3.7.
Als Qualitätsmerkmal der Rekonstruktion wird ein reduzierter log-Likelihood rlogl angegeben.
Hierbei wird der log-Likelihood der Rekonstruktion durch die Anzahl der Freiheitsgrade geteilt.[21]
Die Schnitte werden analog zu den rlogl-Cuts aus [11] zu 6.5 < rlogl < 8 entnommen.
3.4. Komplexität
Auch nach den Cuts verbleiben etwa 11 Millionen Events für die Berechnung des Mondschattens
aus den IC59 Daten übrig. Demzufolge besteht die Berechnung der − log L-Funktion aus über
11 Millionen Summanden, deren Berechnung jeweils eine Berechnung der Signalverteilung und
der Hintergrundverteilung beinhaltet. Um die − log L-Funktion für n s zu minimieren, muss die
− log L-Funktion an mehreren Stellen ausgewertet werden und somit die enorm große Summe
berechnet werden. Die Anzahl der Funktionsaufrufe hängt von dem Minimierungsbereich, dem
Minimierungsverfahren, der Toleranz und der Position des Minimums ab. Doch auch im besten
Fall müssen etwa 20 Funktionsaufrufe durchgeführt werden.
Dieser Rechenaufwand, der auf einer 64 Bit CPU mit 3 GHz etwa 20 Minuten dauert, muss für
jeden Gridpunkt aufgewendet werden, um die resultierenden Landschaften zu erhalten. Um nun
feine Auflösungen zu erhalten, benötigt man eine alternative Methode, um den Rechenaufwand
möglichst schnell zu bewältigen. Daher wird in dieser Arbeit ein Graphik-Prozessor (GPU) zur
Berechnung eingesetzt. Dieser soll im folgenden Kapitel beschrieben und dessen Verwendung bei
der Analyse erklärt werden.
René Reimann 11

Berechnungen mit Graphik Prozessoren (GPU)
4. Berechnungen mit Graphik Prozessoren
(GPU)
4.1. Motivation
Graphik-Prozessoren (GPU) wurden für Videospiele konzipiert. Bei den modernen Spielen soll die
Landschaft möglichst realistisch dargestellt werden. Sie wird aus einer großen Anzahl von Pologonen
zusammengesetzt, deren Oberflächen mit vielen unterschiedlichen Texturen belegt werden. Um die
Informationen über die Pologonen und Texturen schnell zu verwenden, ist ein schneller Speicher
und schnelle Prozessoren nötig.
Da für jedes Pixel des Bildes die Informationen benötigt werden und die Berechnung weitgehend
unabhängig ist, sollten die einzelnen Berechnungen möglichst parallel durchgeführt werden.
Graphikkarten erfüllen die Herausforderung der Parallelität und des schnellen Speichers. Daraus
entsteht eine enorme Beschleunigung bei bestimmten Berechnungen, wie in Abbildung 4.1 zu sehen
ist. CUDA ist eine spezielle Sprache, die nur auf NVIDIA-Graphikkarten läuft und Hardwareoptimiert
ist. Es ist zu beachten, dass „OpenGL“ hier für die Verwendung der Programmiersprache
GLSL steht, die für graphische Nutzung entwickelt wurde, und nicht für die mit CUDA konkurrierende
mächtigere GPGPU-Programmiersprache OpenCL.
Abbildung 4.1.: Vergleich von Berechnungsgeschwindigkeit zwischen einer CPU und einer GPU
unter Verwendung der Programmiersprachen CUDA und OpenGL (GLSL) am
Beispiel eines Scan-Algorithmus. Die verwendete GPU ist eine GeForce 8800 GTX
und die verwendete CPU ist ein Intel Core2-Duo Extreme 2.93 GHz. [29]
Zudem entwickeln sich die Videospiele immer schneller weiter, so dass ein ständiger Entwicklungsprozess
stattfindet. Da Videospiele inzwischen Massenprodukte sind, werden auch Graphikkarten
in Massen von der Industrie hergestellt. Hierbei kommt es zwar zu kleinen Produktionsfehlern,
diese werden aber oft in Kauf genommen, da in einem Spiel die winzigen resultierenden Fehler
kaum auffallen. Dadurch ist eine GPU preiswert in der Anschaffung.[30]
12 RWTH Aachen

4.2. Funktion
Seit einigen Jahren werden Graphikkarten auch außerhalb ihres ursprünglichen Verwendungszwecks
eingesetzt. Aufgrund des schnellen Speichers und der hohen Parallelität, die sie bieten, sind
sie für Teile rechenaufwändiger Programme oder Berechnungen von großem Nutzen.
4.2. Funktion
In dieser Arbeit wird die von der Firma NVIDIA entwickelte Sprache CUDA benutzt, um die
Berechnungen zur Mondschattenanalyse auf einer GPU durchzuführen. CUDA ist eine Erweiterung
der Programmiersprache C. Die Strukturen und Begriffe sind teilweise CUDA-spezifisch, lassen sich
jedoch meist auch auf andere Sprachen übertragen.
Ein Programm, das auf der GPU ausgeführt wird, wird Kernel genannt. Ein Kernel erzeugt
ein Grid von Threads, die den Programmcode des Kernels parallel durchlaufen. Threads sind in
Blöcken organisiert. In einem Block ist es möglich, Daten zwischen Threads auszutauschen. Ein
Block kann bis zu drei Dimensionen haben, das heißt, dass die Threads in einem Block drei Indize
bekommen, durch die sie im Programmcode unterschieden werden können. Diese Dimensionen
können bei der Programmierung festgelegt werden und an das entsprechende Problem angepasst
werden.
Auch Blöcke haben zwei Indize, um im Programmcode unterschieden zu werden (siehe Abbildung
4.2 links). Diese Indize können über BlockIdx und ThreadIdx abgerufen werden.
Die Anzahl der Blöcke, die parallel ausgeführt werden, hängt von der Anzahl der Kerne der
verwendeten Graphikkarte ab. Jedoch muss dies nicht bei der Programmierung berücksichtigt
werden, da die GPU die Aufrufe selbst übernimmt. Hierbei gibt es keine festgelegte Reihenfolge.
Folglich kann es sein, dass Programme auf unterschiedlichen Graphikarten unterschiedlich schnell
laufen (siehe Abbildeung 4.2 rechts).
Abbildung 4.2.: Links: Organisation von Threads und Blocks auf einem Grid.[31] Rechts: Aufrufe
von Blöcken in unterschiedlichen Maschinen.[32]
Jeder Thread hat einen kleinen Speicher für lokale Variablen. Dieser Speicher ist in der Graphikkarte
dicht an den Prozessor gebaut, um einen schnellen Zugriff zu erlauben. Zudem gibt es
René Reimann 13

Berechnungen mit Graphik Prozessoren (GPU)
pro Block einen begrenzten Shared Memory, um Daten zwischen Threads auszutauschen. Threads
können nicht ohne weiteres Daten mit Threads in anderen Blöcken austauschen.
Um Daten für alle Threads zugänglich zu machen, gibt es den Global Memory. Das Lesen oder
Schreiben von Daten auf den Global Memory dauert jedoch etwa 200 mal so lange wie der Zugriff
auf Shared oder Local Memory. Zudem gibt es extra Textur und Constant Memory, von denen
die Daten nur gelesen werden können. Dabei handelt es sich jedoch nur um eine andere Methode
Global Memory anzusprechen. Da diese Speicher speziell für viele gleichzeitige Zugriffe konzipiert
wurden, gibt es keine Kollisionen, wenn mehrere Threads gleichzeitig auf die Daten zugreifen (siehe
Abbildung 4.3).
Abbildung 4.3.: Struktur des Speichers in einer GPU.[31]
Ist es notwendig, z.B. beim Austausch von Daten über den Shared Memory, dass an einer bestimmten
Stelle des Programms alle Threads in einem Block die gleiche Stelle erreicht haben, so
kann dies durch den CUDA Befehl __syncthreads erzwungen werden.
Um die Daten und die Ergebnisse zwischen GPU und CPU auszutauschen, benötigt man ein C-
oder C++-Programm (CUDA Toolkit 3.2 mit Shader Model 2.0), das diese Aufgabe übernimmt.
In CUDA wird die CPU immer als „host“ und die GPU als „device“ bezeichnet. Die CPU kann
mit den CUDA Befehlen cudaMalloc(), cudaMemcpy() und cudaFree() Speicher auf dem device
reservieren, zwischen device und host kopieren und auf dem device wieder freigeben. Der Aufruf
der Kernels geschieht mit der CUDA-Syntax KernelName >() vom
host aus (siehe Abbildung 4.4).
Der Kernel muss mit dem Prefix __global__ ausgestattet werden, um vom host aus aufgerufen
werden zu können. Werden im Kernel Unterfunktionen verwendet, müssen diese mit __device__
deklariert werden. Funktionen auf dem host sollten mit __host__ versehen werden. Dies ist jedoch
nicht zwingend notwendig, da dies der Default-Wert ist.
4.3. CUDA-Maschine
Für diese Thesis wurde die CUDA-Maschine im Rechnerraum des Physikzentrums der RWTH
Aachen benutzt. Dieser Rechner ist mit drei baugleichen GeForce GTX 480 (GPUs) von Point of
View [33] ausgestattet. Bei der CPU handelt es sich um einen Intel Core i7-980X EE, betrieben
bei 3,59GHz. Die CPU besitzt sechs Kerne und unterstützt zusätzlich HyperThreading, so dass
14 RWTH Aachen

4.4. GPU-Strategie
Abbildung 4.4.: Skizze zur Kommunikation zwischen CPU und GPU.[30]
insgesammt zwölf virtuelle Kerne zur Verfügung stehen. Zur Analyse wurde immer nur eine GPU
verwendet.
4.4. GPU-Strategie
In diesem wie auch in den folgenden Abschnitten ist mit Grid, so lange nicht explizit anders
angegeben, immer das Grid zur Berechnung der − log L-Funktion, wie in Abbildung 3.1 dargestellt,
gemeint.
Eine zentrale Bedeutung bei einer schnellen, jedoch sorgfältigen Analyse spielt der Einsatz der
GPU-Rechenleistung. Hierzu ist es wichtig, den „bottleneck“, also die Schwachstelle der Hardware
zu kennen und die Vorteile der GPU auszunutzen.
Die Analyse besteht aus mehreren Teilen. Zuerst müssen die Daten eingelesen werden, anschließend
muss für jeden Gridpunkt die Minimierung der − log L-Funktion erfolgen und schließlich muss
das Gesamtergebnis gespeichert und dargestellt werden. Da die GPU weder Daten selbstständig
einlesen noch auslesen kann, müssen diese Schritte von der CPU bewältigt werden.
Für die Berechnung der n s -Minima jedes Gridpunktes gibt es nun verschiedene Möglichkeiten,
um die Parallelität der GPU auszunutzen.
1. Da die Berechnung der − log L-Funktion aufgrund der enormen Summe über Events sehr
lange dauert und einzelne Teilsummen gleichzeitig durchgeführt werden können, kann jeder
Thread eine Teilsumme berechnen und anschließend die Gesamtsumme gebildet werden.
Hierdurch wird die Zeit der Berechnung eines Funktionsaufruf deutlich verkleinert. Jedoch
muss die Minimierung auf den einzelnen Gridpunkten sequenziell erfolgen.
Somit wird die Minimierung von der CPU durchgeführt und die GPU berechnet ausschließlich
− log L-Werte.
2. Für jeden Gridpunkt ist die Minimierung unabhängig von anderen Gridpunkten. Für viele
Gridpunkte ist es daher sinnvoll, dass jeder Thread für sich eine Minimierung durchführt und
dabei die nötigen Funktionsaufrufe auch alleine berechnet. Da die GPU aufgrund ihrer Speicherverwaltung
dafür gemacht ist, dass viele Threads gleichzeitig auf Daten zugreifen, wird es
hier, bei geeigneter Programmierung, keine Kollisionen oder Geschwindigkeitseinbußen beim
Funktionsaufruf geben.
Daher führt jeder Thread sowohl − log L-Berechnung als auch Minimierung durch. Die CPU
wird für diese Strategie kaum benötigt.
René Reimann 15

Berechnungen mit Graphik Prozessoren (GPU)
3. Bei einer kleinen Anzahl von Punkten gibt es zudem die Möglichkeit, beide zuvor beschriebenen
Strategien zu kombinieren. Da Threads innerhalb eines Blocks über den shared-Memory
kommunizieren können, ist es möglich die Minimierung der − log L-Funktion pro Gridpunkt
auf einem Block durchzuführen. Hierbei übernimmt ein Thread pro Block die Minimierungsrechnungen.
Alle weiteren Threads berechnen bei Funktionsaufrufen Teilsummen der − log L-
Funktion, um somit gemeinsam schneller die Gesamtsumme zu errechnen.
Folglich macht jeder Block die Minimierung und jeder Thread im Block hilft bei der − log L-
Berechnung. Auch hier wird die CPU kaum benötigt.
Strategie 3 bietet gegenüber der zweiten Strategie für hinreichend viele Gridpunkte keinen Vorteil,
da einige Blöcke warten müssten, bis die ersten Blöcke fertig berechnet wurden. Weiterhin ist die
Strategie 2 speziell für große Summen in Funktionsaufrufen geeignet und ist am einfachsten zu
implementieren.
Für diese Arbeit wird Strategie 2 implementiert, da die Analyse mit vielen Gridpunken (16384)
durchgeführt wird.
Zur Umsetzung wird ein C++-Programm mit ROOT-Funktionen erstellt. In diesem Programm
werden die Daten, die im ROOT-Format vorhanden sind, zunächst eingelesen und eine Hintergrundverteilung
bestimmt. Für die Ereignisse, für die die Qualitätskriterien (siehe Abschnitt 3.3)
erfüllt sind, werden die Daten in einem Array gespeichert. Hierbei werden je Event die Werte
δ azimuth , δ zenith (siehe Gleichung 2.5), der Wert der Background-Verteilung für diese Winkel
und die benötigten Fehler auf die Schätzung gespeichert. Von diesem Programm aus wird eine C-
Funktion aufgerufen, die als Schnittstelle dient. Als Parameter dienen die Arrays mit den Daten der
Events, sowie einige Hilfsparameter um die Minimierung durchzuführen und später die Ergebnisse
zu erhalten.
Die C-Funktion ist der Teil des Programms, der die Schnittstelle zwischen CPU und GPU darstellt.
Ihre Aufgabe ist es, Speicher auf der GPU zu reservieren, die übergebenen Daten auf den
Speicher in der GPU zu kopieren und die Grid- und Blockdimensionen festzulegen. Anschließend
ruft sie den Kernel auf, der die Berechnungen auf der GPU durchführt. Nach Beendigung des Kernels
wird in dieser Funktion das Ergebnis der Berechnung von der GPU auf den Hauptspeicher des
Computers zurück kopiert und der Speicher auf der GPU freigegeben.
Damit der Kernel für jeden Thread eine Minimierung auf einem eigenen Gridpunkt ausführen
kann, wird mithilfe der CUDA-Konstanten BlockIdx.x, BlockIdx.y und ThreadIdx.x ein
eindeutiger Index für diesen Thread berechnet. Aus diesem Index wird zum einen durch eine ganzzahlige
Division und zum anderen durch eine Modulo-Operation die Position des Gridpunktes
berechnet.
Jeder Thread berechnet nun nach dem in Abschnitt 4.5 beschriebenen Minimierungsverfahren
das n s , für das die − log L-Funktion den minimalen Wert, am entsprechenden Gridpunkt, annimmt.
Beim Funktionsaufruf wird eine __device__-Funktion aufgerufen, die die Berechnung der − log L-
Funktion auf dem Thread durchführt.
Der n s -Wert und der Wert der − log L-Funktion am Ort des Minimums sowie die Anzahl der
Iterationen werden in je einem Array im Global Memory der GPU gespeichert. Die Position im
Array, an der die Daten gespeichert werden, entspricht dem einmaligen Index, den jeder Thread
besitzt. Durch den CUDA-Funktionsaufruf __syncthreads() wird die Berechnung eines Blocks
erst weiter fortgesetzt, wenn alle Threads fertig berechnet wurden. Da die Anzahl der Iterationen
annähernd gleich groß sein sollte, wird an dieser Stelle kaum Zeit verloren.
Die Ergebnisse werden an die C-Funktion zurückgegeben und von dort aus weiter an das Hauptprogramm.
Hier können die Ergebnisse aus den Arrays aufgrund ihres Indexes an die korrekten
Stellen in Histogramme geschrieben und in Dateien gespeichert werden.
Die resultierenden Ergebnisse können anschließend einer weiteren Analyse unterzogen und graphisch
dargestellt werden.
Das Programm, sowie der CPU- und GPU-Einsatz, ist schematisch in Abbildung 4.5 dargestellt.
Der Programm-Code ist unter http://code.icecube.wisc.edu/svn/sandbox/reimann/ verfügbar.
16 RWTH Aachen

4.5. Minimierungsverfahren
Abbildung 4.5.: Schematischer Programmaufbau. Der Einsatz von CPU und GPU ist zu sehen und
durch die rote Linie getrennt. Die grauen Kästchen stellen die Unterprogramme
dar.
4.5. Minimierungsverfahren
Um den besten Schätzer für n s zu bekommen, muss die − log L-Funktion in Bezug auf n s an den
jeweiligen Gridpunkten minimiert werden. Für die Berechnung des Minimums muss ein Minimierungsalgorithmus
verwendet werden. Das Verfahren ist ein erweiterter Brent-Algorithmus und wird
im Folgenden vorgestellt.
Die − log L-Funktion ist aufgrund der endlichen Summe über die Events eine diskrete und sehr
komplizierte Funktion, somit kann für diese keine einfache analytische Ableitung bestimmt werden.
Aus diesem Grund muss ein Minimierungsalgorithmus verwendet werden, der ohne Ableitungen
auskommt.
Das grundlegende Prinzip aller Algorithmen, die hier behandelt werden, beruht auf dem gleichen
Verfahren (siehe Abbildung 4.6). Es werden die obere und untere Grenze der Minimierung, sowie
ein weiterer dritter Punkt in dem Minimierungsintervall gegeben. Die Grenzen sollten das Minimum
umschließen, sonst wird der Algorithmus auf eine der Grenzen konvergieren. Die Funktion muss
zunächst nur an dem dritten Punkt ausgewertet werden. Je nach Minimierungsverfahren (siehe
die folgenden Abschnitte) wird ein vierter Punkt im Intervall gewählt und an diesem Punkt die
Funktion ausgewertet.
Nun kann entschieden werden, in welchem Bereich das Minimum liegen kann, bzw. in welchem
Bereich es nicht liegt. Hierbei gibt es genau 24 Möglichkeiten. Bei jeder dieser Möglichkeiten kann
eine der Grenzen verschoben werden, sodass sich der Wertebereich verkleinert. Wenn A, B, C, D
die Funktionswerte für die n s -Werte mit a < b < c < d sind, kann bei A > B < C < D somit c
als obere Grenze gewählt werden. Für den Fall, das A < B < C > D kann b oder c durch a bzw.
d ersetzt werden.
Nun kann ein neuer vierter Punkt gewählt werden, um den Bereich weiter zu verkleinern. Dieses
Verfahren wird so oft wiederholt, bis eine vorgegebene Breite, auch Toleranz genannt, des
Wertebereiches erreicht ist. Als Schätzung für das Minimum wird die Stelle mit dem kleinsten
Funktionswert gewählt.
René Reimann 17

Berechnungen mit Graphik Prozessoren (GPU)
Abbildung 4.6.: Schema zur Verdeutlichung des Minimierungsalgorithmus. In diesem Fall wird die
Obergrenze im nächsten Iterationsschritt als c gewählt.
Die Wahl des vierten Punktes hat entscheidene Bedeutung für das Konvergenzverhalten bzw.
für die Konvergenzgeschwindigkeit.
Bei der Methode „golden section“ wird der vierte Punkt im Verhältnis des Goldenen Schnittes
im größeren der beiden Bereiche gewählt. Der goldene Schnitt ist die positive Lösung der Gleichung
Φ 2 − Φ − 1 = 0. Der Wert ist 1+√ 5
2
≈ 1.618. Das Verhältnis des goldenen Schnitts wird vom
Menschen als harmonisch empfunden und wird daher schon seit der Antike in Musik und Kunst
verwendet. Das Verhältnis ist auch in der Biologie oft zu finden und hat zahlreiche interessante
mathematische Eigenschaften, auf die hier nicht näher eingegangen werden kann. Dieses Minimierungsverfahren
hat ein lineares Konvergenzverhalten. Durch das Verhältnis des Goldenen Schnittes
wird die Effizienz der Minimierung optimiert.[24]
Eine weitere Methode ist die Parabel-Interpolation. Hierbei wird davon ausgegangen, dass eine
Funktion in der Nähe des Minimums immer durch eine Funktion zweiten Grades approximiert
werden kann. Dies ist für hinreichend glatte Funktionen der Fall. Eine Parabel ist durch drei
Wertepaare festgelegt. Als vierter Punkt wird nun der Scheitelpunkt der Parabel gewählt. Dies
kann zu einem sehr schnellen Konvergenzverhalten führen, wenn die Funktion wirklich annähernd
parabelförmig ist. Jedoch kann es auch zu sehr kleinen Schrittweiten und zu Extrapolationen, also
berechneten Punkten außerhalb der Grenzen, kommen.
Brent hat 1972 diese beiden Verfahren zu einem optimierten Verfahren vereint.[25] Hierbei wird
für die ersten Schritte die „golden section“ Methode benutzt. Im Weiteren wird jedes Mal der
Scheitelpunkt der Parabel berechnet. Bringt dieses Verfahren eine schnellere Konvergenz, also
angemessene Schrittweiten, im Gegensatz zu dem „golden section“-Verfahren, wird die Parabelinterpolation
vorgezogen.
Wie bereits von N. Ghosh und W. W. Hager beschrieben, kommt es beim Brent-Algorithmus
zu numerischen Instabilitäten, wenn die Abbruchstoleranz zu klein gewählt wurde.[26] Dies wurde
auch in dieser Arbeit beobachtet (siehe Abschnitt 5.1). Daher wird eine Erweiterung des Brent-
Algorithmus verwendet. Sie besteht auf der Grundlage der GSL-Funktion quad_golden, in der
eine sichere Schrittweite verwendet wird. Das bedeutet, dass im Zweifelsfall die Schrittweite der
vorherigen Iteration verwendet wird. [27] [28]
Um die Berechnung des Minimums mit möglichst wenigen Funktionsaufrufen zu berechnen, muss
ein angemessener Wertebereich sowie eine realistische Toleranz angegeben werden. Hierbei muss be-
18 RWTH Aachen

4.5. Minimierungsverfahren
achtet werden, dass der Wertebereich das Minimum umschließen muss, und dass die Toleranz klein
genug sein muss, um die physikalische Bedeutung nicht zu verfälschen. In der − log L-Landschaft
sollte es aufgrund der Toleranz keine größeren Abweichungen als 0.5 zum wahren Wert geben. Da
die − log L-Landschaft eine Funktion von n s ist, kann die Abbruchbedingung in beiden Variablen
verfasst werden. Da jedoch die − log L-Landschaft keinen physikalischen Inhalt trägt, wird die
Abbruchbedingung auf den n s -Bereich gewählt. Eine genauere Studie zur Toleranzgröße wird in
Abschnitt 5.1 durchgeführt.
René Reimann 19

Test des Verfahrens
5. Test des Verfahrens
In diesem Kapitel soll das Verfahren anhand seiner Ergebnisse getestet werden. Die direkten Ergebnisse
sind die Landschaften, die sich durch Berechnung der minimalen n s und der − log L-Werte
jedes einzelnen Gridpunktes, wie in Abbildung 3.1 dargestellt, ergeben.
5.1. Genauigkeit des Verfahrens
„single precision“ vs. „double precision“
GPUs sind darauf spezialisiert möglichst schnell viele Pixel, beispielsweise für ein Computerspiel,
zu berechnen. Hierbei kommt es nicht auf die einwandfreie Berechnung an, da die Pixel nach kurzer
Zeit wieder überschrieben werden. Weiterhin sind diese Berechnungen nur auf „single precision“
Berechnungen optimiert. Eine „double precision floating point“ Berechnung benötigt wesentlich
mehr Zeit.
Um zu prüfen, ob eine „floating point“ Berechnung ausreichend ist, wird die Analyse sowohl
mit „floating point“ als auch mit „double precision floating point“ berechnet. Hierbei wurde eine
symmetrische Gaussverteilung als Signal und als Daten die On-Source Region gewählt.
Die resultierenden n s -Landschaften sind in Abbildung 5.1 zu sehen. Auf der oberen Hälfte von 5.1
sieht man das Ergebnis der „floating point“ Analyse. In den beispielhaft eingekreisten Bereichen
sind klare unstetige Gridpunkte zu erkennen. Dies darf aufgrund der Korrelation benachbarter
Gridpunkte nicht der Fall sein und ist auf der unteren Hälfte von 5.1 auch nicht zu sehen.
Diese unstetigen Gridpunkte entstehen aufgrund der großen − log L-Werte, die sich jedoch nur
in letzten Ziffern unterscheiden. Ein „single precision“-Wert hat etwa sieben signifikante Ziffern,
ein „double precision“-Wert hingegen 16. Somit muss für eine korrekte Berechnung − log L-Werte
und deren Werte im Minimierungsalgorithmus als „double precision“ berechnet und gespeichert
werden.
Test des Minimierungsalgorithmus
Um die korrekte Berechnung des Minimums durch den Brent-Algorithmus zu untersuchen, wird
die Analyse für mehrere Toleranzen auf n s durchgeführt, da der Brent-Algorithmus selbst von
der Toleranz abhängt. Die Differenz der resultierenden n s -Landschaften sollte bei einem korrekten
Verhalten in der Größenordnung der größeren Toleranz liegen, da für diese die Berechnung mit
kleinerer Toleranz annähernd als Wahrheit angesehen werden kann.
Beispielhaft ist die Differenz der n s - Landschaften mit einer Toleranz von 0.1 und 1 in Abbildung
5.2 zu sehen. Auf der linken Seite in Abbildung 5.2 ist die Absolutdifferenz der n s -Landschaften
zu erkennen. Die Differenzen sind auf der rechten Seite in einem Histogramm eingetragen. Weiter
Differenz-Landschaften befinden sich im Anhang unter A.1.4.
Die Differenzen in der n s - Landschaft sind deutlich größer als O(1). Daher wird die Berechnung
mit einer Erweiterung des Brent-Algorithmus, wie in Abbschnitt 4.5 beschrieben, durchgeführt.
Mit diesem Algorithmus erhalten wir für die Absolutdifferenz der n s -Landschaften für Toleranzen
von 0.1 und 1 die in Abbildung 5.3 zusehende Verteilung. Die weiteren Landschaften befinden sich
im Anhang A.2.6.
Die maximalen Differenzen sind in diesem Fall wesentlich kleiner und liegen in einer akzeptablen
Größenordnung. Daher wird für die folgenden Analysen immer der erweiterte Brent-Algorithmus
verwendet.
Da der wahre Wert für das Minimum unbekannt ist und die Differenz der n s -Landschaften größer
eins ist, kann hier eine Quelle für einen systematischen Fehler sein.
20 RWTH Aachen

5.1. Genauigkeit des Verfahrens
Abbildung 5.1.: n s - Landkarte für eine floating point Berechnung (oben) und eine double precision
Berechnung (unten). Beispielhaft sind Bereiche mit unstetigen Gridpunktübergängen
gezeigt.
Spektrum der n s -Verteilung
Um zu überprüfen, ob nur bestimmte diskrete Werte für n s bevorzugt werden, werden die n s -Werte
aus der n s -Landkarte in ein Histogramm eingetragen. Dieses Histogramm ist in Abbildung 5.4 für
eine Analyse mit symmetrischer Gaussverteilung und einer Toleranz von 1 in n s dargestellt.
Es ergibt sich ein Spektrum mit vielen schmalen Peaks. Die breiten Peaks in dieser Verteilung
stammen von Plateaus fast konstanter n s -Werte in der n s -Landschaft und sind kein Hinweis auf
ein Fehlverhalten des Minimierungsalgorithmus. Es ist eine Korrelation zwischen benachbarten
Gridpunkten zu erkennen. Die Spikes bzw. die sehr scharfe Peaks hängen wahrscheinlich mit dem
Minimierungsalgorithmus zusammen. Hierbei werden wahrscheinlich einzelne Werte aufgrund der
„golden section“ Methode bevorzugt, die jedoch sehr kleine Abstände, etwa 10 in n s , haben.
René Reimann 21

Test des Verfahrens
Abbildung 5.2.: Links: Landschaft der absoluten n s Differenzen zwischen einer Minimierung mit
einer Toleranz von 0.1 und 1 in n s , berechnet mit dem Brent Algorithmus.
Rechts: Die Häufigkeitsverteilung der absoluten Differenzen in n s für die beiden
Toleranzen.
Abbildung 5.3.: Links: Landschaft der absoluten n s Differenzen zwischen einer Minimierung mit einer
Toleranz von 0.1 und 1 in n s , berechnet mit dem erweiterten Brentalgorithmus.
Rechts: Die Häufigkeitsverteilung der absoluten Differenzen in n s für die beiden
Toleranzen.
Einflüsse durch die GPU
Bei der Produktion von GPUs wird der Geschwindigkeitsvorteil im Gegensatz zur Präzision bevorzugt.
Deshalb können leicht fehlerhafte Berechnungen durchgeführt werden. Dies sind meistens
Memory Fehler und somit Hardware abhängig. Um den Einfluss durch die verwendete GPU zu
quantifizieren, wird eine identische Analyse auf allen drei GPUs, die auf der in Abschnitt 4.3
beschriebenen Maschine vorhanden sind, durchgeführt. Damit die Unterschiede sichtbar werden,
wurden von den Ergebnissen Differenzplots, sowohl in der n s - als auch in der − log L-Landschaft,
erstellt.
Das Ergebnis dieser Differenzplots ist equivalent zu null. Es gibt an keinem einzigen Gridpunkt
eine Differenz, die nicht null ist. Dies ist für die n s - und die − log L-Landschaft der Fall. Da
aus diesen Landschaften alle weiteren zur Analyse verwendeten Größen berechnet werden, gibt es
22 RWTH Aachen

5.1. Genauigkeit des Verfahrens
Abbildung 5.4.: Häufigkeitsverteilung für absolute n s Werte bei einer Minimierung mit einer Toleranz
von 1 in n s .
keinen Hardware bedingten Einfluss.
Die GPUs der unter 4.3 beschriebenen Maschine sind zum Zeitpunkt der Berechnungen ein
halbes Jahr alt gewesen. Es ist möglich, dass durch den Gebrauch der GPUs zu einem späteren
Zeitpunkt doch ein Hardware Effekt erkennbar wird.
Toleranz
Die Wahl der Toleranz hat entscheidenden Einfluss auf die Rechenzeit. Hierbei muss ein Kompromiss
zwischen genauer Berechnung und Verschwendung von Rechenzeit gefunden werden.
Die Zeit, die für eine Analyse benötigt wird, ist in Abhängigkeit von der Toleranz in n s in Tabelle
5.1 dargestellt.
Tabelle 5.1.: Rechenzeit bei gegebener Toleranz auf n s für eine Analyse mit einer symmetrischen
Gausssignalverteilung.
Toleranz auf n s Rechenzeit in min
100 45
10 67
1 94
0.1 211
Die Rechenzeit ist vor allem durch die Iterationen, die für die Minimierung der − log L-Funktion
an einem Gridpunkt benötigt werden, gegeben. Bei einer optimalen Auslastung müssten alle Gridpunkte
gleich viele Iterationen durchlaufen, um nicht auf andere Berechnungen zu warten.
In Abbildung 5.5 ist eine Landschaft dargestellt, an der man die Anzahl der Iterationen, die für
die Minimierung an dem jeweiligen Gridpunkt benötigt wurden, ablesen kann.
Auf der linken Seite von Abbildung 5.5 ist gut zu erkennen, dass die meisten Gridpunkte 19
Iterationen benötigen, und dass die restlichen Gridpunkte mit abweichenden Iterationen in der
Größenordnung von zwei berechnet werden. Für die Iterationslandschaft bei einer Toleranz von 0.1
in n s ist dies nicht der Fall. Die meisten Punkte benötigen etwa 20 Iterationen, jedoch gibt es vereinzelt
Punkte, an denen 50 Iterationen benötigt werden, um das Minimum zu finden. Dies erklärt
René Reimann 23

Test des Verfahrens
Abbildung 5.5.: Landschaft der Iterationen, die für die Minimierung der − log L-Funktion benötigt
wurden. Links: Berechnung mit einer Toleranz von 1 in n s . Rechts: Berechnung
mit einer Toleranz von 0.1 in n s .
die enorme Rechenzeitverlängerung. Obwohl nur wenige Punkte so viele Iterationen durchlaufen,
müssen jedoch die anderen Threats bei der Berechnung am Ende auf diese warten.
Um nun den Einfluss der Toleranzen auf die Landschaften selbst zu untersuchen, wurde die
Analyse für Toleranzen von 0.1, 1, 10 und 100 in n s durchgeführt. In Abbildung 5.6 ist die Differenz
der n s -Landschaften für Toleranzen von 1 und 10 in n s dargestellt. Weitere Differenzplots sind im
Anhang A.2.6 zu sehen.
Abbildung 5.6.: Landschaft der absoluten n s Differenz für Minimierungen mit einer Toleranz von
1 und 10 in n s .
Da eine Abweichung von 20 in n s schon sehr groß ist, muss die Toleranz wesentlich kleiner als 10
in n s sein. Da n s die Anzahl der abgeschatteten Events durch den Mond darstellt, hat diese Größe
eine physikalische Bedeutung und kann theoretisch nur ganzzahlige Werte annehmen. Daher ist
es nicht notwendig n s kleiner als mit einer Toleranz von 1 zu berechnen. Hierfür spricht auch der
enorm große Rechenzeitzuwachs von einer Toleranz von 1 zu 0.1 in n s . Somit wird für die folgenden
Auswertungen, soweit nicht anders erwähnt, die Toleranz auf 1 in n s gesetzt.
24 RWTH Aachen

5.2. Ergebnisse und Vergleich der Analyse
5.2. Ergebnisse und Vergleich der Analyse
Zum Test der Mondschattenanalyse auf einer GPU sollen die erziehlten Ergebnisse mit den Berechnungen
auf einem CPU Cluster verglichen werden. Die Abbildungen und Berechnungen mit CPU
Clustern stammen alle aus [11] von Jan Blumenthal. Alle Landschaften aus den GPU Analysen
befinden sich im Anhang.
Off-Source Bereiche
Zunächst sollen die Off-Source Bereiche untersucht werden und aus den Fluktuationen in n s ein
RMS auf die Berechnungen zum Mondschatten berechnet werden.
In Abbildung 5.7 sind zunächst die n s Landschaften für eine Berechnung mit einer GPU dargestellt.
Auf den ersten Blick ist eine Landschaft mit einem n s um null für Off-Source Region 1 und
2 zu erkennen. Hierbei ist zu beachten, dass aus Konsistenz mit der On-Source Region die Werte
der Farbskala von 9000 bis -9000 gehen.
Abbildung 5.7.: n s Landschaften von Off-Source 1 (links) und Off-Source 2 (rechts) bei einer Toleranz
von 1 in n s .
Die zugehörigen − log L-Landschaften sind in Abbildung 5.8 dargestellt. Hier sind die Fluktuationen
besser zu erkennen, weil die Farbskala an die minimalen und maximalen Werte angepasst
wurde.
Abbildung 5.8.: − log L-Landschaften von Off-Source 1 (links) und Off-Source 2 (rechts) bei einer
Toleranz von 1 in n s .
René Reimann 25

Test des Verfahrens
In den Histogrammen in Abbildung 5.9 wurden die berechneten n s Werte aus den n s -Landschaften
eingetragen. Ein Grund für die Spikes bzw. die scharfen Peaks in der Verteilung wurde bereits in
Abschnitt 5.1 diskutiert. Für Off-Source Region 1 erkennt man eine Asymmetrie mit einer Verschiebung
zu leicht negativen n s . Dies zeigt auch der Mittelwert an, doch die Werte sind wesentlich
kleiner als der RMS von 565. Für Off-Source Region 2 ergibt sich eine symmetrische Verteilung.
Der Mittelwert liegt bei -11 und somit nahe dem erwarteten Wert von null. Der RMS ergibt sich
zu 683. Die Asymmetrie hängt damit zusammen, dass die Werte in der zweidimensionalen Landschaft
korreliert sind. Daher wird auch der RMS anstatt einer Gaussfitbreite zur Charakterisierung
verwendet.
Abbildung 5.9.: n s Histogramme von Off-Source 1 (links) und Off-Source 2 (rechts) bei einer Toleranz
von 1 in n s .
Bei den Berechnungen mit CPU Clustern wurde in der Off-Source Region 1 ein RMS von 565 und
in Off-Source Region 2 ein RMS von 681. Dies ist ein konsistentes Ergebnis. Die feinere Auflösung
im Histogramm, durch die die Asymmetrie sichtbar wird, war mit der Berechnung auf dem CPU
Cluster nicht möglich, weil hierfür zu wenig Einträge vorhanden waren.
Die Fluktuationen in den Off-Source Regionen entsprechen auch den Fluktuationen auf die
Messung des Mondschattens, demzufolge wird ein statistischer Fehler von σ stat = 565+683
2
= 624
angenommen.
On-Source n s -Landschaft
Um nun auch die On-Source Regionen zu vergleichen, werden die Landschaften einer GPU und
einer CPU Berechnung gegenüber gestellt. Die n s -Landschaften sind in Abbildung 5.10 zu sehen.
Hierbei ist zu beachten, dass die Landschaft auf der linken Seite von Abbildung 5.10 mit 31 x
31 Gridpunkten berechnet wurde. Die n s Landschaft auf der rechten Seite wurde mit 128 x 128
Gridpunkten erstellt und ist in einem einfachen Histogramm dargestellt.
Auf den ersten Blick erkennt man kaum einen Unterschied und die Analysen sehen konsistent
aus. Daher wird zur besseren Bewertung die Differenz der Landschaften berechnet. Hierzu wird
auf einem Grid mit einem Gridpunktabstand von 0.0625 ◦ die Differenz berechnet. Für die GPU
Berechnung wird der direkt berechnete Wert verwendet, wobei für die CPU Berechnung der Wert
interpoliert wird. Da der Interpolation am Rand des Grids zu wenig Punkte zur Verfügung stehen,
wird die Differenzlandschaft nicht für die äußeren fünf Reihen betrachtet. Die resultierende
Landschaft ist in Abbildung 5.11 dargestellt.
Im zentralen Bereich des Mondschattens ist ein deutlicher Unterschied von bis zu 250 in n s zu
erkennen. Auch gibt es drei Spots, in denen eine negative Differenz zu erkennen ist. Dies lässt auf
eine inkonsistente Berechnung im Bereich des Mondschattens schließen.
Um den Grund der Inkonsistenz zu ermitteln, wird die Landschaft noch einmal in der Zenit-
Azimut-Ebene in Abbildung 5.12 dargestellt.
26 RWTH Aachen

5.2. Ergebnisse und Vergleich der Analyse
Abbildung 5.10.: n s Landschaften der On-Source Region. Links: Berechnet mit einem CPU Cluster
und 31 x 31 Gridpunkten [34]. Rechts: Berechnung mit einer GPU und einem Grid
von 128 x 128.
Abbildung 5.11.: Landschaft der n s Differenzen, bei der Berechnung mit einem CPU-Cluster und
einer GPU. Zur Berechnung wurden die Werte der CPU Berechungn an der jeweiligen
Stelle interpoliert. Es ist eine starke Differenz im Zentrum zu erkennen.
René Reimann 27

Test des Verfahrens
Abbildung 5.12.: Landschaft der n s Differenzen, bei der Berechnung mit einem CPU-Cluster und
einer GPU. Zur Berechnung wurden die Werte der CPU Berechnung an der jeweiligen
Stelle interpoliert. Es ist ein klares Muster zu erkennen.
In dieser Abbildung ist eine klare Struktur zu erkennen. Es gibt ein gitterförmiges Muster, das
über die ganze Landschaft gezogen ist. Auf diesem Gitter haben die n s Differenzen Werte nahezu
null, was man an der hellblauen bis helltürkisen Farbe erkennt. Die gitterförmigen Linien haben
genau den Abstand von zwei Gridpunkten bei einer Berechnung mit einem 31 x 31 Grid. Die
Kreuzungspunkte liegen genau auf den mit dem CPU Cluster berechneten Gridpunkten.
Daraus lässt sich schließen, dass die Berechnungen konsistente Ergebnisse liefern, jedoch die
Interpolation der n s Landschaft in den Zwischenräumen im zentralen Bereich nicht die berechneten
Werte beschreibt. Dies liegt möglicherweise daran, dass die Interpolation von einem linearen
Gradienten in der Landschaft ausgeht, dies jedoch nicht der Fall ist.
Neben den Landschaften sind auch die Positionen der minimalen n s , für die Bestimmung der
Mondposition, von Interesse.
In [11] wurde, mit einer CPU Analyse und einem 31 x 31 Grid, das minimale n s am Punkt
(∆ϕ, ∆ϑ) = (0, 0) mit einem Wert von -8660 gefunden. Für die GPU Analyse mit einem 128 x
128 Grid liegt das minimale n s bei (∆ϕ, ∆ϑ) = (0, 0) mit einem Wert von -8653. Somit stimmen
die Positionen genau überein und die berechneten Werte unterscheiden sich um 7. Dies ist in der
Größenordnung, bei der die Minimierung abbricht, wie es in Abbschnitt 5.1 beschrieben wurde.
Folglich ist auch dieses Ergebnis konsistent.
Eine weitere Eigenschaft des Mondschattens ist seine Breite. Um diese zu messen, muss eine
Funktion an die n s Landschaft gefittet werden. Als Funktion wird eine elliptische Gaussfunktion
28 RWTH Aachen

5.2. Ergebnisse und Vergleich der Analyse
mit skalierbarer Höhe und einem konstanten Offset, wie in Gleichung 5.1 beschrieben, gewählt.
f el = scale · Ae −(a(∆ϕi−∆ϕg)2 +2b(∆ϕ i−∆ϕ g)(∆ϑ i−∆ϑ g)+c(∆ϑ i−∆ϑ g) 2) + offset
A =
1
2πσ 1 σ 2
a = cos2 α
2σ1
2 + sin2 α
2σ2
2
b = sin(2α)
4σ 2 1
c = sin2 α
2σ 2 1
− sin(2α)
4σ 2 2
+ cos2 α
2σ 2 2
(5.1)
Diese Funktion wird nur in einem zentralen Bereich von 2 ◦ x 2 ◦ an die Daten gefittet, um wirklich
das Signal zu fitten. Für die Mondschattenanalyse mit einer GPU ergeben sich als Fitparameter
die Werte in Tabelle 5.2. Da der Fit mit ROOT durchgeführt wurde, jedoch keine individuellen
statistischen Fehler für die n s -Werte gegeben werden, sind die von ROOT angegebenen Fehler auf
die Fitparameter nicht vertrauenswürdig und werden deswegen in den Tabellen weggelassen.
Tabelle 5.2.: Ergebnis eines Fits von Funktion 5.1 an die n s Landschaft einer GPU Analyse im
zentralen 2 ◦ x2 ◦ bereich.
δ azi [deg] -0.034
δ zen [deg] 0.048
σ 1 [deg] 0.850
σ 2 [deg] 0.743
α [rad] 1.673
scale -9034
offset 8.35
Die Fehler auf δ azi , δ zen , σ 1 und σ 2 werden aufgrund des Gridpunktabstands von 0.0625 ◦ gleichverteilt
zu 0.018 ◦ angenommen. Da der Mondschatten annähernd rund ist, ist α beliebig, so dass
hierin ein sehr großer Fehler liegt.
Eine andere Schätzung für die Fehler auf δ azi und δ zen erhält man durch Signifikanzplots, die
weiter unten besprochen werden. Die 1-Sigma-Ellipse in diesen Plots sollten den 39% Konfidenzbereich
beschreiben.
Die berechneten δ azi und δ zen Werte liegen innerhalb eines Gridpunktabstandes zu (0,0) und
stimmen insoweit mit den vorherigen Ergebnissen überein. Die berechneten Breiten von 0.850 ◦
und 0.743 ◦ liegen in der gleichen Größenordnung, wie die Werte 0.83 ◦ und 0.91 ◦ , die in [11] für die
Landschaft eines 31 x 31 Grids bei einer CPU Analyse berechnet wurden. Dass die berechneten
Breiten um etwa 0.1 ◦ unterschiedlich sind, hängt wahrscheinlich mit der Auflösung sowie mit der
Größe des Fitbereichs zusammen.
On-Source − log L-Landschaft
Nun sollen auch die − log L-Landschaften verglichen werden. Die − log L-Landschaft, mit den Werten
zur GPU Analayse ist in Abbildung 5.13 oben dargestellt. Hierbei wird − log L aufgetragen,
weil bei dieser Berechnung ein Minimierungsalgorithmus verwendet wurde.
In Abbildung 5.13 unten ist die − log L-Landschaft der CPU-Cluster Analyse dargestellt. Hierbei
wurde die log L maximiert. Aus diesem Grund unterscheiden sich die Farbskalen durch ein Minus.
Da aufgrund der verschiedenen Auflösungen kaum Unterschiede erkennbar sind und die Hauptstrukturen
sich gleichen, muss die Darstellung anders erfolgen.
René Reimann 29

Test des Verfahrens
Abbildung 5.13.: − log L-Landschaft für die On-Source Region, berechnet mit einer GPU (oben)
und einem Grid von 128 x 128, sowie einer Toleranz von 1 in n s . Unten ist die
− log L-Landschaft der On-Source Region für eine CPU-Berechnung mit einem
Grid von 31 x 31 dargestellt[11].
Signifikanz
Aus der − log L-Landschaft lässt sich eine Signifikanz Landschaft berechnen.
L − L 0 = σ2
(5.2)
2
Folglich kann man jedem Likelihoodwert L eine Signifikanz σ zuweisen. Hierbei ist L 0 der Minimale
− log L-Wert.
σ = √ 2 · (L − L 0 ) (5.3)
Die so berechnete Signifikanz gibt an wie stark die Abweichung vom minimalen n s Wert ist. Für
die On-Source Region beschreibt das minimale n s die Position des Mondes. Deswegen gibt hier die
Signifikanzlandschaft an, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich der Mond nicht an dieser Position
befindet.
30 RWTH Aachen

5.2. Ergebnisse und Vergleich der Analyse
Für die GPU Analyse ist diese Landschaft für den On-Source Bereich in Abbildung 5.14 oben
dargestellt. Der Großteil der beobachteten Landschaft schließt mit 16 Sigma aus, dass an dieser
Stelle die Position des Mondschattens ist.
Abbildung 5.14.: Signifikanz-Landschaft für die Position des Mondes, berechnet mit einer GPU
(oben) auf einem 128x128 Grid und mit einer CPU (unten) auf einem 31x31 Grid
[34].
In Abbildung 5.14 unten ist die Signifikanz Landschaft für die CPU-Analyse dargestellt.
Auch diese Landschaften zeigen eine hohe Übereinstimmung und somit auch eine konsistente
Beschreibung.
Alternativ könnte eine Signifikanz-Landschaft aus der n s -Landschaft berechnet werden. Hierbei
teilt man den Wert der n s -Landschaft durch die oben (Abschnitt 5.2) berechneten statistische
Unsicherheit σ stat [11].
René Reimann 31

Test des Verfahrens
Fazit
Insgesamt kann eine recht konsistente Beschreibung der Analyse mit einer GPU und mit einem
CPU-Cluster nachgewiesen werden.
5.3. Performance
Zwischen einer Mondschattenanalyse mit CPU und GPU ist ein klarer Performanzunterschied zu
erkennen. Jedoch kann dieser schlecht direkt verglichen werden, da es unterschiedliche Vorraussetzungen
gibt.
Bei einer CPU Analyse wurde die Berechnung des minimalen − log L-Werte für jeden Gridpunkt
sequentiell berechnet. Die Rechenzeit auf einer 64 Bit CPU mit 3 GHz beträgt etwa 20 Minuten pro
Gridpunkt.[11] Auch bei Berechnungen auf einem Cluster mit etwa 500 Computern benötigt die
Analyse im Optimalfall bei einem Grid mit 31x31 Gridpunkten etwa eine Stunde. Der Optimalfall,
das alle Computer eines Clusters gleichzeitig frei sind und nur für die Analyse verwendet werden
können, tritt selten auf. Die Rechendauer hängt stark von der Auslastung des Clusters ab und
beträgt in der Regel einige Stunden. Aus diesem Grund ist es nicht möglich hohe Auflösungen in
der Analyse zu erreichen. Würde die Analyse für ein 31x31 Grid auf einer einzigen CPU berechnet,
so würde die Rechendauer etwa 450 Stunden (18,75 Tage) betragen.
Die Mondschattenanalyse auf einer GPU wurde mit einem Grid von 128x128 durchgeführt. Dies
ist möglich, da diese Rechnungen parallel ausgeführt werden. Hierbei kommt es nicht auf einige
Gridpunkte mehr oder weniger an, da sich die Rechenzeit erst verlängert, wenn die Anzahl der
Blöcke dadurch größer als das nächste Vielfache der Kerne auf der verwendeten Graphikkarte
wird.
Die Verwendung einer einzigen GPU bietet die Möglichkeit diese Analyse innerhalb von eineinhalb
Stunden durchzuführen. Hierbei wird kein Cluster benötigt. Jedoch hängt die Rechenzeit
stark von der Genauigkeit der Minimierung ab. Die genauen Rechenzeiten für unterschiedliche
Toleranzen sind in Tabelle 5.1 aufgeführt. Zudem sind auf der unter Abbschnit 4.3 beschriebenen
Maschine drei Graphikkarten installiert. Darum können drei Analysen, beispielsweise für On-Source
und Off-Source 1 und 2, gleichzeitig durchgeführt werden.
Somit wird im Regelfall die Analyse mit einer GPU wesentlich schneller sein als mit CPU Clustern.
Um nun die Vorteile der Berechnung der Mondschattenanalyse auf Graphikkarten auszunutzen,
werden im folgenden Kapitel zwei kleine Untersuchungen durchgeführt.
32 RWTH Aachen

6. Weiterführende Untersuchungen
6.1. Symmetrischer vs. elliptischer Gauss
In vielen IceCube-Anwendungen wird für Berechnungen das genäherte Signalmodell (siehe Abschnitt
3.2) mit einem gemittelten Fehler benutzt. Das Signalmodell mit mehr Information ist das
Modell mit einer elliptischen Gaussverteilung. Dies liegt daran, dass es eine gewisse Verteilung des
Rotationswinkel α gibt, die nicht gleichverteilt ist, und dass die Exzentrizität nicht immer null ist.
Die Verteilung von α ist in Abbildung 6.1 dargestellt. In diesem Abschnitt soll daher der Einfluss
des verwendeten Signalmodells untersucht werden.
Abbildung 6.1.: Verteilung von α der Paraboloid Rekonstruktion. Es ist zu beachten, dass die y-
Achse nicht bei 0 beginnt.
In Abbildung 6.2 ist die Landschaft der minimalen n s Werte links, für einer Berechnung mit
elliptischem und symmetrischem Signalmodell, zu sehen. Auf der rechten Seite ist die Landschaft
der zugehörigen − log L-Werte dargestellt.
Um die Breite des Schattens zu ermitteln, wird in einem zentralen Bereich von 2 ◦ x2 ◦ die Funktion
5.1 an die n s Landschaft gefittet. Die resultierenden Fitparameter sind in Tabelle 6.1 aufgeführt.
Die Position des Mondes wird anhand des minimalen n s für das elliptische Signalmodell abgelesen
und liegt auf dem Gridpunkt (0,0.0625) mit einem n s Wert von -8129.68. Der minimale − log L-
Wert liegt ebenfalls auf dem Gridpunkt (0,0.0625).
Für das symmetrische Signalmodell ergibt sich die Position des Mondes aus der n s -Landschaft
zu (0,0) bei einem Minimalen n s von -8707.8 und aus der − log L-Landschaft zu (0,0.0625). Da dies
benachbarte Gridpunkte sind, kann es sein, dass die wahre Mondposition im Zwischenraum liegt.
Die Verwendung des elliptischen und des symmetrischen Signalmodells lässt sich optisch nicht signifikant
unterscheiden. Ein Unterschied ist kaum zu erkennen und lässt keine der beiden Versionen
bevorzugt erscheinen.
René Reimann 33

Weiterführende Untersuchungen
Abbildung 6.2.: Berechnung der n s Landschaft (links) und der − log L-Landschaft (rechts) bei einer
Toleranz von 1 in n s und unter Verwendung eines elliptischen Signalmodels (oben)
und eins symmetrischen (unten).
Tabelle 6.1.: Ergebnis eines Fits mit der Funktion 5.1 an die n s Landschaft mit elliptischem und
symmetrischem Signalmodell.
elliptisch symmetrisch
δ azi [deg] -0.0019 -0.0334
δ zen [deg] 0.0515 0.0480
σ 1 [deg] 0.7167 0.8496
σ 2 [deg] 0.8548 0.7431
α [rad] 1.797 0.029
scale -8663 -9034
offset 6.45 8.4
Die minimalen n s Werte unterscheiden sich um einen Gridpunkt. Die minimalen − log L-Werte
sind am gleichen Gridpunkt. Dies lässt darauf schließen, dass auch die Position im Rahmen der
Unsicherheit benachbarter Gridpunkte ebenfalls konsistent ist.
Der Schatten des Mondes hat in beiden Analysen eine annähernd gleiche Breite. Der Winkel
zwischen der Azimutachse und σ 1 ist stark unterschiedlich. Dies liegt jedoch daran, dass bei den
Berechnungen die Werte von σ 1 und σ 2 getauscht wurden. Insofern sollte α ell − α sym ≈ π 2 gelten.
Außerdem ist der Schatten annähernd kreisförmig und folglich ist α für keine Richtung ausgezeichnet.
Nur die Skalierung des Signals ist um einige 100 in n s unterschiedlich. Dies wurde bereits in der
34 RWTH Aachen

6.2. Die Energieabhängigkeit des Mondschatten
Arbeit von Jan Blumenthal festgestellt.[11] Doch dieser Unterschied in der Berechnung ist nicht
sehr signifikant. Folglich hat die Berechnung mit elliptischem oder symmetrischen Signalmodell
keinen Einfluss auf viele Eigenschaften, wie Form, Position und Breite.
6.2. Die Energieabhängigkeit des Mondschatten
In diesem Abschnitt soll die Energieabhängigkeit des Mondschattens qualitativ erfolgen. Eine quantitative
Analyse benötigt wesentlich genauere und differenziertere Analysen.
Die Anzahl der DOMs, die Cherenkov-Licht detektieren, hängen von der Energie der Myonen
ab. Darum ist die Anzahl der getroffenen DOMs, NChannel genannt, eine Schätzung der Energie.
Für die gesamten Daten von IC59 hat NChannel die Verteilung in Abbildung 6.3. Für NChannel
kleiner 12 wurden die Events bereits weggeschnitten (siehe 2.5).
Abbildung 6.3.: Verteilung von NChannel der mit IC59 und Mondschattenfilter regestrierten
Events.
Die Energie hängt mit dem Impuls des Teilchens zusammen. Da die Ablenkung in kosmischen
Magnetfeldern ebenfalls impulsabhängig ist, sollte der Schatten des Mondes für kleine NChannel
stärker verformt oder verschoben sein als für große NChannel. Weiterhin ist die Rekonstruktion der
Spur für große NChannel besser, da es mehr Freiheitsgrade gibt. Folglich ist auch die Unsicherheit
auf die Spur-Rekonstruktion besser und es kommt zu kleineren Verschmierungen als für kleine
NChannel.
Um diese Effekte zu untersuchen, wird der Datensatz in zwei Hälften aufgeteilt. Als Grenze
dient der Median der NChannel-Verteilung, der aus den Daten zu NChannel Median = 21 bestimmt
wurde. Die n s -Landschaften für die Off-Source Regionen 1 und 2 sind in den Abbildungen A.15,
dargestellt. Für die On-Source Region ist die n s -Landschaft in Abbildung 6.5 zu sehen. Auch die
− log L-Landschaften sind für die Off-Source Regionen 1 und 2 in den Abbildungen A.15, sowie für
die On-Source Region in Abbildung 6.6, zu sehen. In Abbildung 6.4 ist weiterhin die n s -Verteilung
von Off-Source Region 1 für große und kleine NChannel gezeigt.
In den Off-Source Bereichen sind starke Unterschiede zu sehen, so dass noch nicht einmal große
Plateau an den gleichen Stellen liegen. Auch sind die Farbskalen für die − log L-Landschaften
unterschiedlich gewählt wurden, da die Werte stark verschieden waren. Die Streuung der n s -Werte
ist für große NChannel etwas kleiner als für kleine NChannel.
René Reimann 35

Weiterführende Untersuchungen
Abbildung 6.4.: Histogramm der n s -Werte der Off-Source Region 1 für große (links) und kleine
(rechts) NChannel.
Abbildung 6.5.: n s -Landschaft der On-Source Region. Links berechnet für NChannel größer
NChannel Median und rechts für NChannel kleiner NChannel Median .
Abbildung 6.6.: − log L-Landschaft der On-Source Region. Links berechnet für NChannel größer
NChannel Median und rechts für NChannel kleiner NChannel Median .
Auch für die On-Source Region ist ein Unterschied erkennbar. Für große NChannel sieht der
Schatten des Mondes wesentlich kreisförmiger aus als für kleine. Auch ist der Mondschatten für
36 RWTH Aachen

6.2. Die Energieabhängigkeit des Mondschatten
große NChannel deutlich kleiner und schärfer. Das ist auch aufgrund einer besseren Rekonstruktion
zu erwarten. Die Mondposition ist in beiden Fällen nicht von (0,0) verschoben.
An die On-Source n s -Landschaften mit großen und kleinen NChannel wird die Funktion (5.1)
im zentralen Bereich gefittet. Die Fitergebnisse befinden sich in Tabelle 6.2.
Tabelle 6.2.: Fitergebnisse der Funktion (5.1) im zentralen Bereich von 2 ◦ x 2 ◦ der n s -Landschaft
der On-Source Region.
kleine NChannel große NChannel
δ azi [deg] -0.21 -0.0043
δ zen [deg] -0.038 0.062
σ 1 [deg] 0.74 0.80
σ 2 [deg] 1.02 0.71
α [rad] 1.97 -0.36
scale -3731 -5234
offset -9.7 24.0
Bei den Fitergebnissen sind die Werte für σ 1 und σ 2 vertauscht. Da der Schatten annähernd
kreisförmig ist, gibt es für der Winkel α keine ausgezeichnete Richtung und die Werte lassen
sich schwer vergleichen. Es ist zu erkennen, dass δ zen gut übereinstimmt. δ azi weist einen kleinen
Unterschied auf, wobei die Mondposition für kleine NChannel stärker verschoben ist. Dies ist jedoch
noch kein signifikanter Unterschied. Um die Verschiebung des Mondschattens für kleine NChannel
durch das Erdmagnetfeld nachzuweisen, sind weitere Untersuchungen nötig. Auch ist für kleine
NChannel die Breite größer.
Die Signifikanz nach Gleichung 5.3 ist für die On-Source Region in Abbildung 6.7 dargestellt.
Abbildung 6.7.: Signifikanz-Landschaft der On-Source Region. Links berechnet für NChannel größer
NChannel Median und rechts für NChannel kleiner NChannel Median .
Obwohl für die Berechnung mit großen NChannel 28% weniger Events zur Verfügung standen als
für kleine NChannel, da NChannel Median aufgerundet wird, wird hierbei eine größere Signifikanz
erzielt.
Der scharfe Schatten und die größere Signifikanz entsprechen der Erwartung, dass für große
NChannel die Rekonstruktion bessere Ergebnisse liefert.
René Reimann 37

Zusammenfassung und Ausblick
7. Zusammenfassung und Ausblick
In dieser Bachelorarbeit mit dem Titel „Untersuchungen mit Graphik-Prozessoren (GPU) zur Messung
der Abschattung kosmischer Strahlung durch den Mond in IceCube“ wurde die Mondschattenanalyse
aus [11] auf Graphikprozessoren implementiert, um die Rechenzeit und die Auflösung
zu verbessern. Hierzu wurde der Vorteil der GPU, die parallele Berechnung vieler Threads bzw.
Gridpunkte, verwendet.
Als Minimierungsalgorithmus wurde eine Erweiterung des Brentalgorithmus gewählt. Ein Einfluss
der verwendeten Hardware konnte auf die Analyse des Mondschattens ausgeschlossen werden.
Ein Vergleich mit einer Mondschattenanalyse auf CPUs wurde gemacht. Hierbei wurden die
Fitergebnisse für On-Source und Off-Source verglichen. Es wurden durchweg konsistente Ergebnisse
mit den Analysen aus [11] von Jan Blumenthal erzielt.
Ein Performanzvergleich zwischen der GPU Analyse und der CPU-Cluster Analyse wurde besprochen.
Die GPU Analyse ist nicht nur wesentlich schneller, sondern bietet auch eine höhere
Auflösung.
Die Analyse mithilfe der GPU wurde für zwei Untersuchungen verwendet. So konnten keine signifikanten
Unterschiede zwischen symmetrischen und elliptischen Gausssignalmodell festgestellt
werden. Die Energieabhängigkeit wurde kurz qualitativ anhand eines NChannel-Schnittes behandelt.
Hierbei ist erkennbar, dass für große NChannel der Mondschatten schärfer ist als für kleine
NChannel. Diese energieabhängige Analyse sollte in Zukunft quantitativ durchgeführt werden.
Hieraus kann man Rückschlüsse auf den Einfluss des Erdmagnetfeldes und des Sonnenwindes sowie
auf die Güte der Rekonstruktion ziehen.
In den nächsten Jahren wird IceCube weitere Daten sammeln. Die Analyse dieser Daten wird
durch den Einsatz von GPUs wesentlich schneller erfolgen können. Momentan gibt es noch ein Datenlimit
von 1.6 GB auf der verwendeten GPU, doch die Industrie wird dieses Limit wahrscheinlich
schneller erhöhen als Daten in IceCube gesammelt werden können. Zudem ist es momentan möglich
nur Teildatensätze zu untersuchen, beispielsweise durch harte Schnitte oder monatsweise Analysen
durchzuführen, für die n s -Landschaften addiert werden können.
Die Vorteile der Analyse mit GPUs bei der Minimierung von Likelihoodfunktionen kann auch
in anderen Anwendungen eingesetzt werden. Generell wird der Einsatz von GPUs und ein neuer
Programmierstil, der auf Parallelität beruht, in den kommenden Jahren zunehmen, da die CPUs
nicht wesentlich schneller werden können.
38 RWTH Aachen

A. Anhang
René Reimann 39

Anhang
A.1. Zur Toleranzstudie mit Brent Algorithmus
A.1.1. Toleranz von 100 in n s mit Brent Algorithmus
Abbildung A.1.: n s -Landschaften (links) und − log L-Landschaft (rechts) der Off-Source Region
1 (oben), der Off-Source Region 2 (mitte) und der On-Source Region (unten),
berechnet mit dem Brent Algorithmus und einer Toleranz von 100. Ein symmetrisches
Signalmodell wurde benutzt.
40 RWTH Aachen

A.1. Zur Toleranzstudie mit Brent Algorithmus
A.1.2. Toleranz von 10 in n s mit Brent Algorithmus
Abbildung A.2.: n s -Landschaften (links) und − log L-Landschaft (rechts) der Off-Source Region 1
(oben), der Off-Source Region 2 (mitte) und der On-Source Region (unten), berechnet
mit dem Brent Algorithmus und einer Toleranz von 10. Ein symmetrisches
Signalmodell wurde benutzt.
René Reimann 41

Anhang
A.1.3. Toleranz von 1 in n s mit Brent Algorithmus
Abbildung A.3.: n s -Landschaften (links) und − log L-Landschaft (rechts) der Off-Source Region 1
(oben), der Off-Source Region 2 (mitte) und der On-Source Region (unten), berechnet
mit dem Brent Algorithmus und einer Toleranz von 1. Ein symmetrisches
Signalmodell wurde benutzt.
42 RWTH Aachen

A.1. Zur Toleranzstudie mit Brent Algorithmus
A.1.4. Toleranz von 0,1 in n s mit Brent Algorithmus
Abbildung A.4.: n s -Landschaften (links) und − log L-Landschaft (rechts) der Off-Source Region 1
(oben), der Off-Source Region 2 (mitte) und der On-Source Region (unten), berechnet
mit dem Brent Algorithmus und einer Toleranz von 0,1. Ein symmetrisches
Signalmodell wurde benutzt.
René Reimann 43

Anhang
A.1.5. Differenzplots für verschiedene Toleranzen in n s mit Brent
Algorithmus
Abbildung A.5.: Differenzplots der n s -Landschaften der On-Source Region (unten) für verschiedene
Toleranzen, berechnet mit dem Brent Algorithmus. Ein symmetrisches Signalmodell
wurde benutzt. Die absoluten Fluktuationen sind für kleine Zenitwinkel größer,
da aus dieser Richtung mehr Teilchen detektiert werden.
44 RWTH Aachen

A.2. Zur Toleranzstudie mit erweitertem Brent Algorithmus
A.2. Zur Toleranzstudie mit erweitertem Brent Algorithmus
A.2.1. Toleranz von 100 in n s mit erweitertem Brent Algorithmus
Abbildung A.6.: n s -Landschaften (links) und − log L-Landschaft (rechts) der Off-Source Region
1 (oben), der Off-Source Region 2 (mitte) und der On-Source Region (unten),
berechnet mit dem erweitertem Brent Algorithmus und einer Toleranz von 100.
Ein symmetrisches Signalmodell wurde benutzt.
René Reimann 45

Anhang
A.2.2. Toleranz von 10 in n s mit erweitertem Brent Algorithmus
Abbildung A.7.: n s -Landschaften (links) und − log L-Landschaft (rechts) der Off-Source Region
1 (oben), der Off-Source Region 2 (mitte) und der On-Source Region (unten),
berechnet mit dem erweitertem Brent Algorithmus und einer Toleranz von 10.
Ein symmetrisches Signalmodell wurde benutzt.
46 RWTH Aachen

A.2. Zur Toleranzstudie mit erweitertem Brent Algorithmus
A.2.3. Toleranz von 1 in n s mit erweitertem Brent Algorithmus
Abbildung A.8.: n s -Landschaften (links) und − log L-Landschaft (rechts) der Off-Source Region
1 (oben), der Off-Source Region 2 (mitte) und der On-Source Region (unten),
berechnet mit dem erweitertem Brent Algorithmus und einer Toleranz von 1. Ein
symmetrisches Signalmodell wurde benutzt.
René Reimann 47

Anhang
A.2.4. Toleranz von 0,1 in n s mit erweitertem Brent Algorithmus
Abbildung A.9.: n s -Landschaften (links) und − log L-Landschaft (rechts) der Off-Source Region
1 (oben), der Off-Source Region 2 (mitte) und der On-Source Region (unten),
berechnet mit dem erweitertem Brent Algorithmus und einer Toleranz von 0,1.
Ein symmetrisches Signalmodell wurde benutzt.
48 RWTH Aachen

A.2. Zur Toleranzstudie mit erweitertem Brent Algorithmus
A.2.5. Signifikanzplots für verschiedene Toleranz mit erweitertem Brent
Algorithmus
Abbildung A.10.: Signifikanz-Landschaften der On-Source Region, berechnet mit dem erweitertem
Brent Algorithmus und einer Toleranz von 100 (oben links), 10 (oben rechts),
1 (unten links) und 0,1 (unten rechts). Ein symmetrisches Signalmodell wurde
benutzt.
René Reimann 49

Anhang
A.2.6. Differenzplots für verschiedene Toleranzen in n s mit erweitertem
Brent Algorithmus
Abbildung A.11.: Differenzplots der n s -Landschaften der On-Source Region (unten) für verschiedene
Toleranzen, berechnet mit dem erweiterten Brent Algorithmus. Ein symmetrisches
Signalmodell wurde benutzt. Die absoluten Fluktuationen sind für kleine
Zenitwinkel größer, da aus dieser Richtung mehr Teilchen detektiert werden.
50 RWTH Aachen

A.3. Untersuchungen mit elliptischem Signalmodell
A.3. Untersuchungen mit elliptischem Signalmodell
Abbildung A.12.: n s -Landschaften (links) und − log L-Landschaft (rechts) der Off-Source Region
1 (oben), der Off-Source Region 2 (mitte) und der On-Source Region (unten),
berechnet mit dem erweitertem Brent Algorithmus und einer Toleranz von 1. Ein
elliptisches Signalmodell wurde benutzt.
René Reimann 51

Anhang
Abbildung A.13.: Signifikanz-Landschaften der On-Source Region, berechnet mit dem erweitertem
Brent Algorithmus und einer Toleranz von 1 in n s . Ein elliptisches Signalmodell
wurde benutzt.
52 RWTH Aachen

A.4. Untersuchungen mit NChannel Schnitt
A.4. Untersuchungen mit NChannel Schnitt
A.4.1. Untersuchungen für Events mit niedrigem NChannel
Abbildung A.14.: n s -Landschaften (links) und − log L-Landschaft (rechts) der Off-Source Region
1 (oben), der Off-Source Region 2 (mitte) und der On-Source Region (unten),
berechnet mit dem erweitertem Brent Algorithmus und einer Toleranz von 1. Ein
symmetrisches Signalmodell wurde benutzt. Es wurden nur Daten mit NChannel
kleiner NChannel Median benutzt.
René Reimann 53

Anhang
A.4.2. Untersuchungen für Events mit hohem NChannel
Abbildung A.15.: n s -Landschaften (links) und − log L-Landschaft (rechts) der Off-Source Region
1 (oben), der Off-Source Region 2 (mitte) und der On-Source Region (unten),
berechnet mit dem erweitertem Brent Algorithmus und einer Toleranz von 1. Ein
symmetrisches Signalmodell wurde benutzt. Es wurden nur Daten mit NChannel
größer NChannel Median benutzt.
54 RWTH Aachen

A.4. Untersuchungen mit NChannel Schnitt
A.4.3. Signifikanzplots mit NChannel Schnitt
Abbildung A.16.: Signifikanz-Landschaften der On-Source Region, berechnet mit dem erweitertem
Brent Algorithmus und einer Toleranz von 1 in n s . Ein symmetrisches Signalmodell
wurde benutzt. Für den oberen Plot wurden nur Events mit NChannel
kleiner NChannel Median und für den unteren nur Events mit NChannel größer
NChannel Median verwendet.
René Reimann 55

Anhang
A.5. Fitergebnisse für n s -Landschaften der On-Source Region
Tabelle A.1.: Fitergebnisse der Funktion 5.1 im zentralen Bereich von 2 ◦ x 2 ◦ der jeweiligen n s -
Landschaft der On-Source Region.
Fit zu Abbildung δ azi [deg] δ zen [deg] σ 1 [deg] σ 2 [deg] α [rad] scale offset
A.1 -0.017 -0.050 0.85 0.72 -0.033 -9303 17.9
A.2 -0.038 0.050 0.85 0.74 -0.009 -9073 9.8
A.3 -0.033 0.048 0.85 0.74 0.029 -9034 8.4
A.4 -0.032 0.034 0.85 0.74 0.035 -9066 5.0
A.6 -0.027 0.047 0.86 0.74 0.066 -8992 9.7
A.7 -0.028 0.047 0.86 0.75 0.026 -8958 6.9
A.8 -0.033 0.048 0.85 0.74 0.029 -9034 8.4
A.9 -0.032 0.048 0.85 0.74 0.038 -9044 8.3
A.12 -0.0019 0.052 0.72 0.85 1.80 -8663 6.5
A.14 -0.21 -0.038 0.74 1.02 1.97 -3731 -9.7
A.15 -0.0043 0.062 0.80 0.71 -0.36 -5234 24.0
56 RWTH Aachen

Literaturverzeichnis
[1] Sebastian Euler: „On the Detection of Low Energy Neutrino Events with Full-
Sky Acceptance with the IceCube DeepCore Detector“ Diplomarbeit, RWTH
Aachen Juni 2008
[2] A. Weigert, H.J. Wendker, L. Wisotzki: „Astronomie und Astrophysik“ Wiley-
Vch-Verlag 5. Auflage, 2009
[3] Marius Wallraff: „Design, Implementation and Test of a New Feature Extractor
for the IceCube Neutrino Observatory“ Diplomarbeit, RWTH Aachen, 2010
[4] Ahrens, J. et al.: „IceCube Preliminary Design Document“. Tech. Rep., The
IceCube Collaboration, Oct 2001
[5] Victor F. Hess: „II. Time Variations of Cosmic Rays, The Significane of Variations
in Cosmic-Ray Intensity and Their Relation to Solar, Earthmagnetic and
Atmospheric Phenomena“ Reviews of modern physics 1939
[6] Wolfgang Demtröder: „Experimantalphysik 4 Kern-, Teilchen- und Astrophysik“
Springer-Verlag 3. Auflage 2009
[7] K. Nakamura et al. (Particle Data Group): „chapter 24. cosmic rays revised“
Review of Particle Physics August 2009 by T.K. Gaisser and T. Stanev
[8] Luis Anchordoqui, Thomas Paul, Stephen Reucroft and John Swain: „Ultrahigh
Energy Cosmic Rays: The state of the art before the AUGER Observatory“ 25
October 2002
[9] A. R. Bellw and S. G. Lucek: „Cosmic ray acceleration to very high energy
through the non-linear amplification by cosmic rays of the seed magnetic field“
Mon. Not. R. Astron. Soc. 321, 433-438 (2001)
[10] Lisa Åström: „A study of cosmic ray air shower properties“ Master’s Thesis,
Royal Institute of Technology Stockholm, Sweden 2006
[11] Jan Blumenthal: „Measurements of the Shadowing of Cosmic Rays by the Moon
with the IceCube Neutrino Observatory“ Diplomarbeit, RWTH Aachen, Januar
2011
[12] NASA: „Moon Fact Sheet“, Juni 2011
URL http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/moonfact.html
[13] Wang Bo et al.: „Moon shadow analysis –Using ARGO experiment“ URL
physics.njnu.edu.cn/hep10th/BWang.ppt Mai 2011
[14] Peter Romanczyk: „Untersuchungen zur effektiven Fläche für Neutrinos aus der
Richtung des galaktischen Zentrums für die von IceCube-79 gemessenen Daten“
Bachelorarbeit, RWTH Aachen (November 2010)
[15] K. Nakamura et al. (Particle Data Group) JP G 37, 075021 (2010)
[16] Albrecht Karle, for the IceCube Collaboration: „IceCube“ Proceedings of 31st
ICRC, Lodz 2009
René Reimann
I

Literaturverzeichnis
[17] URL http://gallery.icecube.wisc.edu/internal/v/graphics/sketchup/
16 Juni 2011
[18] J. Ahrens et al. „Muon trackreconstruction and data selection techniques in
AMANDA“ Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A 524
169–194 (2004)
[19] Lars Schönherr: „Charakterisierung der mit IceCube aus Richtung des Mondes
selektierten Myonenereignisse“ Bachelorarbeit, RWTH Aachen, Juli 2010
[20] Ahrens, J. et al.: „Muon Track Reconstruction and Data Selection Techniques in
AMANDA“. Nucl. Instrum. Meth., vol. A524, pp. 169–194, 2004. doi:10.1016/j.
nima.2004.01.065.
[21] Hugo Stiebel: „Study of the angular resolution of the IceCube 59 string detector
using the shadowing of cosmic rays by the Moon“ Master Thesis, University
of Wisconsin-Madison and Stockholm University 13 Januar 2011 URL
http://www.icecube.wisc.edu/science/publications/pdd/pddwhole.php
[22] Braun, J. et al.: „Methods for point source analysis in high energy neutrino
telescopes“ Astropart. Phys., vol. 29, pp. 299–305, 2008
doi:10.1016/j.astropartphys.2008.02.007.
[23] I.A. Belolaptikov: „The Baikal underwater neutrino telescope: Design, performance,
and first results“ Astroparticle Physics, vol. 7(3), pp. 263–282, August
1997.
[24] Prof. Dr. Bernd Hartke: „Kapitel 8: Suche nach Nullstellen und Extremwerten“
Universität Kiel, Mai 2011
URL ravel.phc.uni-kiel.de/scripts/Comp_Anwendg/folien8.pdf
[25] Richard Brent: „Algorithms for Minimization without derivatives“ Prentice-Hall
Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1973
[26] N. Ghosh and W. W. Hager: „A derivative-free bracketing scheme for univariate
minimization“ Computers Math. Applic. Vol. 20, No. 2, pp. 23-34, 1990
[27] Brian Gough, Source Code quad_golden.c 2009, GNU Scientific Library Version
1.15 vom 6 Mai 2011, URL http://ftp.u-tx.net/gnu/gsl/
[28] Philip E. Gill and Walter Murray: „Safeguarded Steplength Algorithms for Optimization
using Descent Methods“, Division of Numerical Analysis and Computing,
National Physical Laboratory, Teddington, United Kingdom NPL Report
NAC 37, August 1974
[29] M. Harris, S. Sengupta, and J. D. Owens: „Parallel prefix sum (scan) with CU-
DA“ GPU Gems 3, H. Nguyen, Ed. Reading, MA: Addison-Wesley, Aug. 2007,
pp. 851–876.
[30] Marius Wallraff et al.: „Scientific Computing on Graphics Processing Units for
the Example Case of IceCube“ DPG Frühjahrstagung Karlsruhe 30 März 2011
[31] Johan Seland: „CUDA Programming“ Geilo Winter School Juni 2011
URL http://heim.ifi.uio.no/~knutm/geilo2008/seland.pdf
[32] NVIDIA CUDA: „Programming Guide“ Version 3.0 20 Februar 2010
[33] URL http://www.pointofview-online.com/
showroom.php?shop_mode=product_detail&product_id=149 20 Juni 2011
[34] Jan Blumenthal: „private E-Mail“ 5 Juli 2011 RWTH Aachen
II
RWTH Aachen

Abbildungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
1.1. Kosmische Botenteilchen auf dem Weg zur Erde. Geladene Teilchen (blau) verlieren
ihre Richtungsinformation. Photonen (gelb) können absorbiert werden. Neutrinos
(rot) wechselwirken nur sehr schwach.[1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.1. IceCube-Detektor am geographischen Südpol. Die verschiedenen Detektorkomponenten
sind eingezeichnet. Die unterschiedlichen Farben der Strings zeigen das Jahr
der Inbetriebnahme an.[17] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Zur Rekonstruktion der Myonspur wird der Unterschied der theoretisch zu erwartenen
und gemessenen Ankunftszeit ermittelt. Die Likelihoodfunktion zur Berechnung
der Spur basiert zum Großteil auf diesem Zeitunterschied.[18] . . . . . . . . . . . . 7
2.3. Zur Definition von σ 1 , σ 2 und α. [21] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4. Fenster des Mondschattenfensters (rot) und Definition der Off-Source Regionen
(gelb) und der On-Source Region (grau). Für die Analyse wurden nur Daten aus
dem blauen Fenster verwendet.[11] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1. Links: Ein Gridfenster um den Mond mit 31 x 31 Punkten in Zenit und Azimut
wie es in [11] benutzt wurde. Rechts: Ein Gridfenster um den Mond mit 128 x 128
Punkten in Zenit und Azimut wie es in dieser Arbeit benutzt wird. Das Grid enthält
den Punkt (0,0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2. Normierte Hintergrundverteilung in Zenit. Für die Berechnung des − log L-Wertes
wird die Verteilung in Radiant umgerechnet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1. Vergleich von Berechnungsgeschwindigkeit zwischen einer CPU und einer GPU unter
Verwendung der Programmiersprachen CUDA und OpenGL (GLSL) am Beispiel
eines Scan-Algorithmus. Die verwendete GPU ist eine GeForce 8800 GTX und die
verwendete CPU ist ein Intel Core2-Duo Extreme 2.93 GHz. [29] . . . . . . . . . . 12
4.2. Links: Organisation von Threads und Blocks auf einem Grid.[31] Rechts: Aufrufe
von Blöcken in unterschiedlichen Maschinen.[32] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3. Struktur des Speichers in einer GPU.[31] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.4. Skizze zur Kommunikation zwischen CPU und GPU.[30] . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.5. Schematischer Programmaufbau. Der Einsatz von CPU und GPU ist zu sehen und
durch die rote Linie getrennt. Die grauen Kästchen stellen die Unterprogramme dar. 17
4.6. Schema zur Verdeutlichung des Minimierungsalgorithmus. In diesem Fall wird die
Obergrenze im nächsten Iterationsschritt als c gewählt. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.1. n s - Landkarte für eine floating point Berechnung (oben) und eine double precision
Berechnung (unten). Beispielhaft sind Bereiche mit unstetigen Gridpunktübergängen
gezeigt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2. Links: Landschaft der absoluten n s Differenzen zwischen einer Minimierung mit einer
Toleranz von 0.1 und 1 in n s , berechnet mit dem Brent Algorithmus. Rechts: Die
Häufigkeitsverteilung der absoluten Differenzen in n s für die beiden Toleranzen. . . 22
5.3. Links: Landschaft der absoluten n s Differenzen zwischen einer Minimierung mit einer
Toleranz von 0.1 und 1 in n s , berechnet mit dem erweiterten Brentalgorithmus.
Rechts: Die Häufigkeitsverteilung der absoluten Differenzen in n s für die beiden
Toleranzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
René Reimann
III

Abbildungsverzeichnis
5.4. Häufigkeitsverteilung für absolute n s Werte bei einer Minimierung mit einer Toleranz
von 1 in n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.5. Landschaft der Iterationen, die für die Minimierung der − log L-Funktion benötigt
wurden. Links: Berechnung mit einer Toleranz von 1 in n s . Rechts: Berechnung mit
einer Toleranz von 0.1 in n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.6. Landschaft der absoluten n s Differenz für Minimierungen mit einer Toleranz von 1
und 10 in n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.7. n s Landschaften von Off-Source 1 (links) und Off-Source 2 (rechts) bei einer Toleranz
von 1 in n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.8. − log L-Landschaften von Off-Source 1 (links) und Off-Source 2 (rechts) bei einer
Toleranz von 1 in n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.9. n s Histogramme von Off-Source 1 (links) und Off-Source 2 (rechts) bei einer Toleranz
von 1 in n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.10. n s Landschaften der On-Source Region. Links: Berechnet mit einem CPU Cluster
und 31 x 31 Gridpunkten [34]. Rechts: Berechnung mit einer GPU und einem Grid
von 128 x 128. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.11. Landschaft der n s Differenzen, bei der Berechnung mit einem CPU-Cluster und einer
GPU. Zur Berechnung wurden die Werte der CPU Berechungn an der jeweiligen
Stelle interpoliert. Es ist eine starke Differenz im Zentrum zu erkennen. . . . . . . 27
5.12. Landschaft der n s Differenzen, bei der Berechnung mit einem CPU-Cluster und einer
GPU. Zur Berechnung wurden die Werte der CPU Berechnung an der jeweiligen
Stelle interpoliert. Es ist ein klares Muster zu erkennen. . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.13. − log L-Landschaft für die On-Source Region, berechnet mit einer GPU (oben) und
einem Grid von 128 x 128, sowie einer Toleranz von 1 in n s . Unten ist die − log L-
Landschaft der On-Source Region für eine CPU-Berechnung mit einem Grid von 31
x 31 dargestellt[11]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.14. Signifikanz-Landschaft für die Position des Mondes, berechnet mit einer GPU (oben)
auf einem 128x128 Grid und mit einer CPU (unten) auf einem 31x31 Grid [34]. . . 31
6.1. Verteilung von α der Paraboloid Rekonstruktion. Es ist zu beachten, dass die y-
Achse nicht bei 0 beginnt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.2. Berechnung der n s Landschaft (links) und der − log L-Landschaft (rechts) bei einer
Toleranz von 1 in n s und unter Verwendung eines elliptischen Signalmodels (oben)
und eins symmetrischen (unten). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.3. Verteilung von NChannel der mit IC59 und Mondschattenfilter regestrierten Events. 35
6.4. Histogramm der n s -Werte der Off-Source Region 1 für große (links) und kleine
(rechts) NChannel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.5. n s -Landschaft der On-Source Region. Links berechnet für NChannel größer NChannel Median
und rechts für NChannel kleiner NChannel Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.6. − log L-Landschaft der On-Source Region. Links berechnet für NChannel größer
NChannel Median und rechts für NChannel kleiner NChannel Median . . . . . . . . . . 36
6.7. Signifikanz-Landschaft der On-Source Region. Links berechnet für NChannel größer
NChannel Median und rechts für NChannel kleiner NChannel Median . . . . . . . . . . 37
A.1. n s -Landschaften (links) und − log L-Landschaft (rechts) der Off-Source Region 1
(oben), der Off-Source Region 2 (mitte) und der On-Source Region (unten), berechnet
mit dem Brent Algorithmus und einer Toleranz von 100. Ein symmetrisches
Signalmodell wurde benutzt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
A.2. n s -Landschaften (links) und − log L-Landschaft (rechts) der Off-Source Region 1
(oben), der Off-Source Region 2 (mitte) und der On-Source Region (unten), berechnet
mit dem Brent Algorithmus und einer Toleranz von 10. Ein symmetrisches
Signalmodell wurde benutzt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
IV
RWTH Aachen

Abbildungsverzeichnis
A.3. n s -Landschaften (links) und − log L-Landschaft (rechts) der Off-Source Region 1
(oben), der Off-Source Region 2 (mitte) und der On-Source Region (unten), berechnet
mit dem Brent Algorithmus und einer Toleranz von 1. Ein symmetrisches
Signalmodell wurde benutzt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
A.4. n s -Landschaften (links) und − log L-Landschaft (rechts) der Off-Source Region 1
(oben), der Off-Source Region 2 (mitte) und der On-Source Region (unten), berechnet
mit dem Brent Algorithmus und einer Toleranz von 0,1. Ein symmetrisches
Signalmodell wurde benutzt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A.5. Differenzplots der n s -Landschaften der On-Source Region (unten) für verschiedene
Toleranzen, berechnet mit dem Brent Algorithmus. Ein symmetrisches Signalmodell
wurde benutzt. Die absoluten Fluktuationen sind für kleine Zenitwinkel größer, da
aus dieser Richtung mehr Teilchen detektiert werden. . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A.6. n s -Landschaften (links) und − log L-Landschaft (rechts) der Off-Source Region 1
(oben), der Off-Source Region 2 (mitte) und der On-Source Region (unten), berechnet
mit dem erweitertem Brent Algorithmus und einer Toleranz von 100. Ein
symmetrisches Signalmodell wurde benutzt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
A.7. n s -Landschaften (links) und − log L-Landschaft (rechts) der Off-Source Region 1
(oben), der Off-Source Region 2 (mitte) und der On-Source Region (unten), berechnet
mit dem erweitertem Brent Algorithmus und einer Toleranz von 10. Ein
symmetrisches Signalmodell wurde benutzt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.8. n s -Landschaften (links) und − log L-Landschaft (rechts) der Off-Source Region 1
(oben), der Off-Source Region 2 (mitte) und der On-Source Region (unten), berechnet
mit dem erweitertem Brent Algorithmus und einer Toleranz von 1. Ein
symmetrisches Signalmodell wurde benutzt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.9. n s -Landschaften (links) und − log L-Landschaft (rechts) der Off-Source Region 1
(oben), der Off-Source Region 2 (mitte) und der On-Source Region (unten), berechnet
mit dem erweitertem Brent Algorithmus und einer Toleranz von 0,1. Ein
symmetrisches Signalmodell wurde benutzt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A.10.Signifikanz-Landschaften der On-Source Region, berechnet mit dem erweitertem
Brent Algorithmus und einer Toleranz von 100 (oben links), 10 (oben rechts), 1
(unten links) und 0,1 (unten rechts). Ein symmetrisches Signalmodell wurde benutzt. 49
A.11.Differenzplots der n s -Landschaften der On-Source Region (unten) für verschiedene
Toleranzen, berechnet mit dem erweiterten Brent Algorithmus. Ein symmetrisches
Signalmodell wurde benutzt. Die absoluten Fluktuationen sind für kleine Zenitwinkel
größer, da aus dieser Richtung mehr Teilchen detektiert werden. . . . . . . . . . . 50
A.12.n s -Landschaften (links) und − log L-Landschaft (rechts) der Off-Source Region 1
(oben), der Off-Source Region 2 (mitte) und der On-Source Region (unten), berechnet
mit dem erweitertem Brent Algorithmus und einer Toleranz von 1. Ein
elliptisches Signalmodell wurde benutzt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
A.13.Signifikanz-Landschaften der On-Source Region, berechnet mit dem erweitertem
Brent Algorithmus und einer Toleranz von 1 in n s . Ein elliptisches Signalmodell
wurde benutzt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
A.14.n s -Landschaften (links) und − log L-Landschaft (rechts) der Off-Source Region 1
(oben), der Off-Source Region 2 (mitte) und der On-Source Region (unten), berechnet
mit dem erweitertem Brent Algorithmus und einer Toleranz von 1. Ein
symmetrisches Signalmodell wurde benutzt. Es wurden nur Daten mit NChannel
kleiner NChannel Median benutzt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
A.15.n s -Landschaften (links) und − log L-Landschaft (rechts) der Off-Source Region 1
(oben), der Off-Source Region 2 (mitte) und der On-Source Region (unten), berechnet
mit dem erweitertem Brent Algorithmus und einer Toleranz von 1. Ein
symmetrisches Signalmodell wurde benutzt. Es wurden nur Daten mit NChannel
größer NChannel Median benutzt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
René Reimann
V

Abbildungsverzeichnis
A.16.Signifikanz-Landschaften der On-Source Region, berechnet mit dem erweitertem
Brent Algorithmus und einer Toleranz von 1 in n s . Ein symmetrisches Signalmodell
wurde benutzt. Für den oberen Plot wurden nur Events mit NChannel kleiner
NChannel Median und für den unteren nur Events mit NChannel größer NChannel Median
verwendet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
VI
RWTH Aachen

Tabellenverzeichnis
2.1. Spektrale Indize für verschiedene Energien der kosmischen Strahlung . . . . . . . . 3
5.1. Rechenzeit bei gegebener Toleranz auf n s für eine Analyse mit einer symmetrischen
Gausssignalverteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2. Ergebnis eines Fits von Funktion 5.1 an die n s Landschaft einer GPU Analyse im
zentralen 2 ◦ x2 ◦ bereich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.1. Ergebnis eines Fits mit der Funktion 5.1 an die n s Landschaft mit elliptischem und
symmetrischem Signalmodell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.2. Fitergebnisse der Funktion (5.1) im zentralen Bereich von 2 ◦ x 2 ◦ der n s -Landschaft
der On-Source Region. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
A.1. Fitergebnisse der Funktion 5.1 im zentralen Bereich von 2 ◦ x 2 ◦ der jeweiligen n s -
Landschaft der On-Source Region. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
René Reimann
VII

Selbstständigkeitserklärung
Ich versichere, dass ich die Arbeit selbstständig verfasst und keine anderen, als die angegebenen
Quellen und Hilfsmittel benutzt sowie Zitate kenntlich gemacht habe.
Aachen, den 8. Juli 2011
René Reimann
VIII
RWTH Aachen

Danksagung
Diese Arbeit war ohne Unterstützung von einer Vielzahl von Personen nicht möglich. Ich möchte
mich zuerst bei Prof. Wiebusch bedanken, der mir diese Arbeit ermöglichte und mir somit ein
interessantes Thema bot.
Mein besonderer Dank gilt Dr. David Boersma, der mich über die gesamte Arbeit sehr gut
betreute. Trotz einiger Auslandsaufenthalte, schaffte er es immer Zeit für mich zu finden, mir
Sachen zu erklären, Wissen zu vermitteln, Daten zu interpretieren und mit mir zu diskutieren.
Ebenfalls möchte ich mich ganz herzlich bei Jan Blumenthal bedanken, dessen Diplomarbeit die
Grundlage für meine Arbeit war. Er stellte mir Plots und Daten zur Verfügung und diskutierte
viel und häufig mit mir über meine Ergebnisse.
Marius Wallraff möchte ich danken, da auch er viele Diskusionen mit mir führte und vorallem
in technischen Angelegenheiten immer einen Ratschlag für mich hatte.
Der gesammten IceCube-Gruppe Aachen danken ich, denn sie hat mich freundlich aufgenommen
und ein sehr entspanntes und produktives Umfeld geschaffen.
Für Tipps und Ratschläge bedanke ich mich bei Martin Leuermann, Kai Krings und Kai Jagielski
die sich mit mir den Arbeitsplatz im Tanzsaal teilten.
Für das Korrekturlesen gilt mein Dank Dr. David Boersma, Jan Blumenthal, Marius Wallraff,
Nadine Schumacher und Sandra Orlowski.
Zuletzt möchte ich mich bei meiner Familie und Sandra Orlowski für die Unterstützung während
des gesamten Studiums bedanken. Sie unterstützten mich in dem was ich machen wollte und waren
eine Stütze, die ich nicht vermissen möchte.
René Reimann
IX