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Übungen zur Vorlesung Quantenmechanik III -
Relativistische Quantenfeldtheorie
Prof. Dr. Ansgar Denner, Dr. Robert Feger WS 2013/2014
Blatt 7 — Ausgabe: 26. November 2013 — Besprechung: 4. Dezember 2013
Aufgabe 18: Noether-Theorem für N Dirac-Felder
Die Lagrangedichte für N Dirac-Felder ψ 1 , ..., ψ N mit Massen m i ist gegeben durch
4 Punkte
L = ∑ i
ψ i (i/∂ − m i )ψ i .
a) Betrachten Sie die Transformationen
(i) ψ i → ψ ′ i = e iα i
ψ i ,
(ii) ψ i → ψ ′ i = e iα iγ 5
ψ i ,
(iii) ψ i → ψ ′ i = exp(iθ a T a ) ij ψ j ,
mit reellen Parametern α i , θ a und den spurlosen SU(N)-Generatoren T a . Geben Sie für
jede dieser Transformationen an, welche Bedingungen die Massen m i erfüllen müssen,
damit L invariant ist unter der entsprechenden Transformation.
3 Punkte
b) Berechnen Sie die zu den Transformationen aus Teilaufgabe a) gehörigen Noether-Ströme
j µ = ∑ ( ∂L
∂(∂
i µ ψ i ) δψ i +
∂L )
∂(∂ µ ψ i ) δψ i .
1 Punkt
Aufgabe 19: Skalare Quantenelektrodynamik
3 Punkte
Betrachten Sie ein komplexes skalares Feld φ und ein Eichfeld A µ mit der lokalen Transformation
φ(x) → e −iθ(x) φ(x) , A µ → A µ + 1 g ∂ µθ(x) .
Untersuchen Sie, wie sich die Lagrangedichte
L = − 1 4 F µν F µν + (∂ µ φ) † ∂ µ φ − m 2 φ † φ
unter lokalen Transformationen θ(x) transformiert. Finden Sie eine geeignete kovariante Ableitung
D µ , so dass die Lagrangedichte
L = − 1 4 F µν F µν + (D µ φ) † D µ φ − m 2 φ † φ
invariant unter lokalen Transformationen θ(x) ist. Geben Sie explizit die Eichwechselwirkungsterme
an, die in der Lagrangedichte enthalten sind.
bitte wenden

Aufgabe 20: Nichtabelsche Eichtheorie
7 Punkte
In einer nichtabelschen Eichtheorie ist die kovariante Ableitung von unter der Eichgruppe
geladenen Materiefeldern gegeben durch D µ = ∂ µ − igT a A a µ, wobei T a die Generatoren der
Lie-Algebra in der Darstellung der Materiefelder sind. Die Wirkung der kovarianten Ableitung
auf den Feldstärketensor F µν = i[D µ , D ν ]/g wird definiert durch
D µ adj F νρ = [D µ , F νρ ]. (1)
a) Zerlegen Sie Gl. (1) in Komponenten (F µν = F a, µν T a ) und zeigen Sie unabhängig von
der Darstellung der Materiefelder, dass D µ adj
die kovariante Ableitung in der adjungierten
Darstellung ist, d.h. dass die zugehörigen Generatoren (Tadj a ) bc = −iC abc erfüllen. Dabei
sind C abc die Strukturkonstanten der Eichgruppe.
2 Punkte
b) Zeigen Sie mit Hilfe der Jacobi-Identität, dass der nichtabelsche Feldstärketensor die
homogene Maxwellgleichung“ (Bianchi-Identität) erfüllt:
”
D µ adj F νρ + D ρ adj F µν + D ν adjF ρµ = 0 .
Die Lagrangedichte für eine nichtabelsche Eichtheorie mit Fermionen lautet
1 Punkt
L = − 1 4 F a µνF a,µν + ψ(i /D − m)ψ .
c) Leiten Sie die Bewegungsgleichungen für die Fermion- und Eichbosonfelder ab und
drücken Sie die darin vorkommenden Ableitungen durch die entsprechenden kovariante
Ableitungen D µ bzw. D µ adj aus.
3 Punkte
d) Bestimmen Sie aus der Bewegungsgleichung für die Eichbosonfelder den Strom j a,ν mit
∂ µ F a,µν = j a,ν . Begründen Sie, dass j a,ν erhalten ist.
1 Punkt
Web-Seite der Vorlesung:
http://www.physik.uni-wuerzburg.de/index.php?id=6666