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Aufgabe 20: Nichtabelsche Eichtheorie
7 Punkte
In einer nichtabelschen Eichtheorie ist die kovariante Ableitung von unter der Eichgruppe
geladenen Materiefeldern gegeben durch D µ = ∂ µ − igT a A a µ, wobei T a die Generatoren der
Lie-Algebra in der Darstellung der Materiefelder sind. Die Wirkung der kovarianten Ableitung
auf den Feldstärketensor F µν = i[D µ , D ν ]/g wird definiert durch
D µ adj F νρ = [D µ , F νρ ]. (1)
a) Zerlegen Sie Gl. (1) in Komponenten (F µν = F a, µν T a ) und zeigen Sie unabhängig von
der Darstellung der Materiefelder, dass D µ adj
die kovariante Ableitung in der adjungierten
Darstellung ist, d.h. dass die zugehörigen Generatoren (Tadj a ) bc = −iC abc erfüllen. Dabei
sind C abc die Strukturkonstanten der Eichgruppe.
2 Punkte
b) Zeigen Sie mit Hilfe der Jacobi-Identität, dass der nichtabelsche Feldstärketensor die
homogene Maxwellgleichung“ (Bianchi-Identität) erfüllt:
”
D µ adj F νρ + D ρ adj F µν + D ν adjF ρµ = 0 .
Die Lagrangedichte für eine nichtabelsche Eichtheorie mit Fermionen lautet
1 Punkt
L = − 1 4 F a µνF a,µν + ψ(i /D − m)ψ .
c) Leiten Sie die Bewegungsgleichungen für die Fermion- und Eichbosonfelder ab und
drücken Sie die darin vorkommenden Ableitungen durch die entsprechenden kovariante
Ableitungen D µ bzw. D µ adj aus.
3 Punkte
d) Bestimmen Sie aus der Bewegungsgleichung für die Eichbosonfelder den Strom j a,ν mit
∂ µ F a,µν = j a,ν . Begründen Sie, dass j a,ν erhalten ist.
1 Punkt
Web-Seite der Vorlesung:
http://www.physik.uni-wuerzburg.de/index.php?id=6666