zu Kap. III.1.2 e) Ortskurven Vorlesung ... - uni-stuttgart

zu Kap. III.1.2 e) Ortskurven
Beispiel: Ortskurve
Beispiel: Ortskurve
Universität Stuttgart Vorlesung Regelungstechnik 1
Im
ω → ∞
ω = 0
K
G
( jω)
Re
= K
j ω +1
Universität Stuttgart Vorlesung Regelungstechnik 1
G
( jω)
( jω
+ 2)( jω
+ 4)( jω
− 3)
= 1.7
( jω
+ 1)( jω
+ 2.5)( jω
+ 3)( jω
+ 5)
ω = 0
G(jω)
0.8
0.6
0.4
0.2
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2
Im
-0.2
ω → ∞
Re
Ortskurven wichtiger Übertragungsglieder
Nomenklatur wichtiger Übertragungsglieder
Universität Stuttgart Vorlesung Regelungstechnik 1
Grundformen:
• P-Glieder (mit Verzögerung)
• I-Glieder (mit Verzögerung)
• D-Glieder (mit Verzögerung)
• Totzeit-Glieder (mit Verzögerung)
Zusammengesetzte Übertragungsglieder:
• PI-Glieder (mit Verzögerung)
• PD-Glieder (mit Verzögerung)
• PID-Glieder (mit Verzögerung)
Diese Übertragungsglieder stellen
wichtige Reglertypen dar !
Universität Stuttgart Vorlesung Regelungstechnik 1
Zusammengesetzte Übertragungsglieder:
I P D
1
... + K−
1 s
+ K0
+ K1s
+ ... −sTt
G() s =
e
n n
T s + ... + T s + 1
n-fache
Verzögerung
Benennung:
PIDT t T n
n
1
Konstante muss vorhanden sein (sonst
durch Erweitern oder Kürzen mit s auf
diese Form bringen)
durch Term höchster Ordnung
im Nenner festgelegt.
durch Terme im Zähler und ggf. Term e -sT festgelegt.
Vorlesung Regelungstechnik 1, Institut für Systemtheorie und Regelungstechnik
Prof. Dr.-Ing. Frank Allgöwer, Dipl.-Ing. Tobias Schweickhardt 1

zu Kap. III.1.2 e) Ortskurven
PT n
-Glieder
PT n
-Glieder
Universität Stuttgart Vorlesung Regelungstechnik 1
Differentialgleichung
n ( n) n−1
T y T y
( n−1)
n + n−
1 + K+
T 1 y&
+ y = Ku
Übertragungsfunktion:
G
() s
=
T
n
n
K
n
s + K+
T1 s +1
T1 , K,
T n −1
≥ 0, Tn
> 0
Universität Stuttgart Vorlesung Regelungstechnik 1
4
PT 1
Ortskurve:
PT 3
Im
PT 2
-0.4 P K
PT
PT 5
PT 2
PT 3
-0.8
PT 4
PT 5
PT 1
Re
Hier beispielhaft:
k
G( jω
) =
1 +1
( T jω
) N
I-Glieder (Integratoren)
IT N
-Glieder
Universität Stuttgart Vorlesung Regelungstechnik 1
Einfacher Integrator:
Differentialgleichung
y = K
I ∫ u
y&
= K u
I
t
0
( τ )
dτ
oder
Übertragungsfunktion
G
() s
KI
=
s
Alle einfachen I-Glieder haben einen Pol s=0 und sind grenzstabil.
Doppelter Integrator:
Differentialgleichung
y = K
t t
I 2∫∫u( τ ) dτ
0 0
Übertragungsfunktion
K
I 2
G() s =
2
s
Alle Doppel-I-Glieder haben einen doppelten Pol s=0
und sind instabil.
Universität Stuttgart Vorlesung Regelungstechnik 1
Ortskurve:
Re
IT 3
IT 2
IT 1
-4 0.5
IT 4
I
IT 2
kT 1
T I
Im
Hier beispielhaft:
k
G( jω
) =
TI
jω
1 +1
IT 1
I
( T jω
) N
IT 3
IT 4
Vorlesung Regelungstechnik 1, Institut für Systemtheorie und Regelungstechnik
Prof. Dr.-Ing. Frank Allgöwer, Dipl.-Ing. Tobias Schweickhardt 2

zu Kap. III.1.2 e) Ortskurven
D-Glieder (Differenzierer)
DT N
-Glieder
Universität Stuttgart Vorlesung Regelungstechnik 1
Ideales D-Glied:
Differentialgleichung
Übertragungsfunktion
y = K u
G( s) = K s
D-Glieder ohne Verzögerung sind nicht kausal. D-Glieder kommen
in der Realität nur mit Verzögerung vor (DT 1 ,...,DT N ).
DT 1 –Glied:
Differentialgleichung
Übertragungsfunktion
Serienschaltung eines D- und eines PT 1 -Gliedes.
D &
D
T y & + y = K u
1
G
() s
D &
K s
= T s 1
D
1 1
+
Universität Stuttgart Vorlesung Regelungstechnik 1
Ortskurve:
DT 1
DT 4
D
DT 3
DT 2
Hier beispielhaft:
jω
G(
jω)
=
ω
( j + 1) N
Im
0.4
D
DT 1
DT 2
DT 3
DT 4
1
Re
Ideales Totzeitglied
Totzeitglieder mit Verzögerung
Universität Stuttgart Vorlesung Regelungstechnik 1
Gleichung
y
() t = k ⋅u( t − )
T t
Übertragungsfunktion
G
−T s
() s = Ke t
Ortskurve:
Im
0 1
Re
-1
Universität Stuttgart Vorlesung Regelungstechnik 1
Totzeitglied mit Verzögerung erster Ordnung (T t T 1 –Glied)
Differentialgleichung
T y&
+ y = k ⋅u
1
Übertragungsfunktion
G
K
T s + 1
( t − )
T t
−T s
() s = e t
1 1
Ortskurve
Im
0.2
0.5 1
0 Re
Vorlesung Regelungstechnik 1, Institut für Systemtheorie und Regelungstechnik
Prof. Dr.-Ing. Frank Allgöwer, Dipl.-Ing. Tobias Schweickhardt 3

zu Kap. III.1.2 e) Ortskurven
PI-Glieder
E
PI-Glieder
E
Universität Stuttgart Vorlesung Regelungstechnik 1
Differentialgleichung
t ⎛ t
2
1
T2
&& y + T1
y&
+ y = Ku + KI
∫ u
⎜ ∫
⎝
T
0
I 0
Übertragungsfunktion
G
2 (3)
T2 y + T1
&& y + y&
= Ku&
+ KIu
= K u&
+
() s
⎛ KI
⎞
= ⎜ K + ⎟
⎝ s ⎠ 2
K T s + 1
=
TI
s 2 1
1
2 2
( T s + T s + 1)
I
2 2
( T s + T s + 1)
1
( τ ) dτ
= K⎜u
+ u( τ )
(
1 u)
T I
⎞
dτ
⎟
⎟
⎠
T
1, T2
≥
K
I K I
T =
0
Universität Stuttgart Vorlesung Regelungstechnik 1
Ortskurve:
Ideales PI-Glied
G
⎛ +
( jω) = k
⎜1
⎟ ⎝ jωT
I ⎠
PI-Glieder mit Verzögerung
Hier beispielhaft:
1
1+
jωT
( )
I
G jω
= k
N
(1 + jωT1
)
1
⎞
Im
PIT 2
PIT 1
kT 1
T I
k
PI
Re
PD-Glieder
E
PD-Glieder
E
Universität Stuttgart Vorlesung Regelungstechnik 1
Differentialgleichung:
2
T2
&& y + T1
y&
+ y = Ku + KDu&
T1, T2
≥ 0
= K
Übertragungsfunktion:
G
() s
TDs
+ 1
= K
2 2
T2 s + T1
s + 1
KD
( u + TDu&
) TD
=
K
Universität Stuttgart Vorlesung Regelungstechnik 1
Ortskurve:
Im
PD
PDT 2
k
PDT 3
PDT 1
kT D
T 1
Re
Ideales PD-Glied
G
G
( jω ) = k( 1+ T jω )
PD-Glieder mit Verzögerung
Hier beispielhaft:
( jω
)
D
( 1+
T jω
)
D = k
N
(1 + T1 jω)
Vorlesung Regelungstechnik 1, Institut für Systemtheorie und Regelungstechnik
Prof. Dr.-Ing. Frank Allgöwer, Dipl.-Ing. Tobias Schweickhardt 4

zu Kap. III.1.2 e) Ortskurven
PID-Glieder
E
PID-Glieder
E
Universität Stuttgart Vorlesung Regelungstechnik 1
Differentialgleichung:
t
2
T2
&& y + T1
y&
+ y = Ku + KI
∫ u
0
⎡ t
1
= K ⎢u
+ ∫ u
⎢⎣
TI
0
Übertragungsfunktion:
G
() s
=
K
T
I
( τ )
2
T T s + T s + 1
dτ
+ KDu&
( τ )
⎤
dτ
+ TDu&
⎥
⎥⎦
I D I
=
2 2
2 2
( T s + T s + 1) T s + T s + 1
s
2
1
K
I
K
Ds
+ K +
s
2
1
K ... Proportionalkonstante
T I
... Nachstellzeit
T D
... Vorhaltezeit
Universität Stuttgart Vorlesung Regelungstechnik 1
Ortskurve:
Im
PID
k
kT D
T1
PIDT 2
kT 1
T I
PIDT 1
Re
Vorlesung Regelungstechnik 1, Institut für Systemtheorie und Regelungstechnik
Prof. Dr.-Ing. Frank Allgöwer, Dipl.-Ing. Tobias Schweickhardt 5