M2 - Institut für Technische und Numerische Mechanik

Institut für Technische und Num. Mechanik
Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard
Technische Mechanik I
Prof. Dr.-Ing. M. Hanss M 2.1
Systeme gebundener Vektoren
Definition
Ein gebundener Vektor A besitzt einen festen Anfangspunkt O . Seine mathematische Beschreibung kann
durch einen Vektor A und einen Ortsvektor r PO
mit dem Anfangs−
oder Bezugspunkt P erfolgen
M P
A
r PO
, A .
Die Wirkung eines gebundenen Vektors wird durch das Moment
r PO
M P
r PO
A
A 1
definiert.
A 2
Ein System A , das durch die gebundenen Vektoren A i
,
i 1(1) n , mit den festen Anfangspunkten O
i
gebildet wird,
kann nicht nach den Regeln der Vektoralgebra durch Addition
zusammengefasst werden, da die Parallelverschiebung der
r A n
PO
Vektoren A
i
nicht erlaubt ist. Jedoch können die Momente mit
2
rPO
r
1
PO
n
dem gemeinsamen Bezugspunkt P addiert werden
n
i 1
A
P
A
i
M M r A .
Äquivalenz
Zwei Systeme A und B von gebundenen Vektoren heißen äquivalent, wenn sie für jeden beliebigen Bezugspunkt
P dasselbe Moment ergeben (Äquivalenzaxiom)
A B
( A
1
, A2
, ... , An
) ~ ( B1
, B2
, ... , Bm
) , falls M
P
M
P
, P beliebig.
Für die praktische Anwendung ist das Äquivalenzaxiom wenig geeignet, da die Momentengleichheit für jeden
beliebigen Bezugspunkt erfüllt sein muss.
Reduktion
Jedes System gebundener Vektoren kann auf einen äquivalenten Vektorwinder reduziert werden, der sich
für einen festen Bezugspunkt O berechnen lässt. Der Vektorwinder entspricht den Anforderungen der Praxis.
Das Moment
A i
M O
r OO
i
A
n
M P
r PO
i
A
A
1
M P
M P
r PO
A
2
M P
M
P
r
PO
P
n
A
n
i
i 1 i 1
r
n
i 1
OO
i
PO
i
A r
i
i
PO
A M
für den beliebigen Punkt P wird durch den von Punkt P abhängigen
Ortsvektor r PO
und die von P unabhängigen Vektoren
n
n
A A i
, M
O
rOO
A
i
i
i 1
i 1
bestimmt. Damit ist der äquivalente Vektorwinder gefunden
( A
1
, A2
, ... , An
) ~ ( A,
MO
) ~ ( A,
M
P
)
Die Elemente des Vektorwinders, der gebundene resultierende
Vektor A und das freie resultierende Moment M , werden
nach den Regeln der Vektoralgebra gebildet.
Zwei Systeme A und B von gebundenen Vektoren sind damit äquivalent, wenn ihre Winder übereinstimmen
O
O

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(
1 2
n
1 2
Bm
A , A , ... , A ) ~ ( B , B , ... , ) , falls A B und
M M , O fest.
A
O
B
O
Transformation
Wird der feste Bezugspunkt O des Vektorwinders z.B. durch eine Koordinatentransformation in den ebenfalls
festen Bezugspunkt Q verschoben, so ändert sich nur das zweite Element des Vektorwinders entsprechend
dem Transformationsgesetz
M r A M .
Q
QO
O
M Q
A
r QO
M O
A
Die Vektorwinder eines Systems von gebundenen Vektoren
bezüglich der Punkte O und Q sind äquivalent, wenn sich ihre
Momente nach dem Transformationsgesetz ändern
(
O
Q
A , M ) ~ ( A,
M ) ,
falls
M
Q
r A M , O , Q fest.
QO
O
Vektorschraube - Normalform des Vektorwinders
Jeder Vektorwinder läßt sich durch Wechsel des Bezugspunktes von O nach S auf seine Normalform transformieren,
in der der resultierende Vektor A und das resultierende Moment MS p A dieselbe Richtung
besitzen. Man bezeichnet die Normalform des Vektorwinders als Vektorschraube und p als die Steigung der
Schraube. Durch den Bezugspunkt S und die Richtung von A wird die Zentralachse festgelegt
r ( )
r A , Parameter.
OS
M O
A
r OS
M S
A
OS
Im Einzelnen gelten die Beziehungen
A MO
A MO
p , r
2
OS
,
2
A
A
wobei r den kürzesten Abstand zwischen O und der Zentralachse
beschreibt und A der Betrag des Vektors A ist.
Die Vektorschraube besitzt keine große praktische Bedeutung.

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Schritte bei der Untersuchung von Vektorsystemen
1) Skizze des Vektorsystems A , A , ... , A )
(
1 2
n
2) Wahl eines geeigneten Koordinatensystems
O
Ursprung
,
e
x,
ey,
ez
Achsenrichtungen
3) Koordinatendarstellung der Ortsvektoren und Vektoren r
, A , i 1(1 n
i i
)
4) Berechnung des Vektorwinders ( A , M)
• Vektorsystem A , A , ... , A )
n
(
1 2
n
A Ai
, M
O
i 1
n
i 1
r A
• System mit Vektorpaaren (freie Momente)
( A , A2
, ... , A ,
1,
1,
...)
1 n
An
An
Vektoren
freies Moment
~ (
1
, A2
, ... , A , M1,
...)
A
n
n
A Ai
, MO
r Ai
i 1
n
i 1
i
i
i
l
j 1
M
j