Diplomprüfung in TM 1, SS07 - Institut für Technische und ...

Institut für Technische und Num. Mechanik Technische Mechanik 1
Prof. Dr.-Ing. P. Eberhard SS 2007 P 1
27. August 2007
Aufgabe 1 (6 Punkte)
Charakterisieren Sie die gegebenen ebenen Systeme durch die folgenden
Zahlen und klassifizieren Sie die Systeme:
Diplom-Vorprüfung in Technische Mechanik 1
Nachname, Vorname
p
q
r
f
n
Summe der Gleichgewichtsbedingungen
Summe aller Lagerwertigkeiten
Anzahl der unabhängigen Lagerwertigkeiten
Freiheitsgrad
Anzahl der überzähligen Lagerwertigkeiten
Matr.-Nummer
Fachrichtung
System 1 System 2
System 3
A
A
C
A
B
D D B
D
a) Die Prüfung umfasst 7 Aufgaben auf 8 Blättern.
b) Nur vorgelegte Fragen beantworten, keine Zwischenrechnungen eintragen.
c) Alle Ergebnisse sind grundsätzlich in den gegebenen Größen auszudrücken.
d) Die Blätter der Prüfung dürfen nicht getrennt werden.
e) Außer elektronischen Geräten sind alle Hilfsmittel zugelassen.
E
E
E
f) Bearbeitungszeit: 120 Minuten.
g) Unterschreiben Sie die Prüfung erst beim Eintragen Ihres Namens in die
Sitzliste.
p q r f n
statisch
bestimmt
kinematisch
bestimmt
bestimmt
gelagert
%YJKEFIRHMIRMGLX^YQ7XS˜YQJERK
81KIL„VIRWMRHIRXWTVIGLIRH
KIOIRR^IMGLRIX
………………………………………..
(Unterschrift)
System 1
System 2
System 3
Punkte
∑
Korrektur

Aufgabe 2 (16 Punkte)
Ein Gelenkbalken (Länge 5a, Biegesteifigkeit EI) ist in den Punkten A und B
gelagert. Der Balken ist wie skizziert durch eine Streckenlast q 0 sowie durch
eine Kraft F = 2 2q a unter 45°
belastet.
A
a
o
F = 2
45°
2a
2q
o
a
2a
B
q 0
x
a) Bestimmen Sie den Normalkraftverlauf N(x), die kontinuierliche Belastung
q(x) sowie Querkraft Q(x) und Biegemomentverlauf M(x) im Gelenkbalken
mit Hilfe von Klammerfunktionen.
N(x) =
_
q(x) =
_
Q(x) =
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_ _
_ _
_ _
_ _
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_ _
_ _
_ _
_ _
_
_
_
_
z
M(x) =
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_ _
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_ _
_
Der Balken wurde freigeschnitten
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_ _
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_ _
_
F Ax
M A
F = 2
45°
2q
o
a
q 0
x
b) Zeichnen Sie den Normal-, Querkraft- und Biegemomentenverlauf.
F Az
F Bz
N(x)
z
a
2a
2a
q 0 a
a
a
5a
x
− q 0
und die Lagerreaktionen und Momente ergeben sich zu
FAx = 2q oa
, FAz
= −3q
oa
, FBz
= −q
oa
, M = 5q a
A
o
2

Q(x)
und für den rechten Balkenteil (3a ≤ x ≤ 5a) ergibt sich Biegelinie w 2 (x) zu
1 ⎡qo
4 ⎤
w 2(x)
= { x 3a} + D1x
+ D2
EI
⎢ −
24
⎥ .
⎣ ⎦
q 0 a
a
− q 0
a
5a
x
c) Wie lauten die Randbedingungen für die Biegelinie w 1 (x)?
,
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
d) Wie lauten die Randbedingungen für die Biegelinie w 2 (x)?
M(x)
,
− − − − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − − − −
q 2
0 a
− q 2
0 a
a
5a
x
e) Berechnen Sie die Durchbiegung im Gelenk.
w 1 (3a) =
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_ _
_
Aufgrund des Gelenks bei x=3a hat die Ableitung der Biegelinie dort eine
Unstetigkeitsstelle. Die Biegelinien der Balkenstücke links und rechts des
Gelenks müssen daher getrennt voneinander betrachtet werden. Für den linken
Balkenteil (0 ≤ x ≤ 3a) ergibt sich die Biegelinie w 1 (x) zu
1 ⎡ 1 3 1
3 5 2 ⎤
2
w1(x)
= qoax
qoa{ x a} qoa
x + C1x
+ C2
EI ⎢−
+ − +
2 3
2 ⎥ ,
⎣
⎦

Aufgabe 3 (18 Punkte)
Das folgende Fachwerk wird durch die Kräfte F und 2F belastet. Am Knoten C ist
ein masseloses Seil befestigt, das reibungsfrei über zwei weitere Rollen geführt
ist. Am Ende des Seils hängt ein Gewicht (Masse m). Der Radius der Rollen kann
bei der Berechnung vernachlässigt werden.
a) Schneiden Sie das Fachwerk frei. Tragen Sie alle eingeprägte Kräfte und
Momente sowie alle Reaktionskräfte ein und benennen Sie diese.
y
a a a
A
x
Stab 2
a
2F
B
Stab 1
Stab 2
Stab 3
a
F
Stab 1
b) Berechnen Sie die Lagerkräfte in A und B.
m
g
a
C
Stab 3
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
F =
⎥
A
,
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣_
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⎦
F B
⎡
⎢
⎢
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
=
⎢
⎢
⎣_
_ _ _ _ _ _ _ _ _
⎤
_
⎥
⎥
⎥
⎥
_ ⎦
c) Bestimmen Sie die folgenden Kenngrößen des Fachwerks.
p q r f n

d) Klassifizieren Sie das Fachwerk.
abbrechbar
einfach
als Ganzes bestimmt gelagert
nicht abbrechbar
nicht einfach
als Ganzes unbestimmt gelagert
e) Können alle Stabkräfte mit den Hilfsmitteln der Stereostatik bestimmt
werden?
ja nein keine Aussage möglich
f) Welche Stäbe sind offensichtlich Nullstäbe? Bezeichnen Sie diese in der
Skizze des freigeschnittenen Systems bei Teilaufgabe a) mit „Nullstab“.
g) Berechnen Sie die Stabkraft in Stab 1.
S 1 =
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
h) Mit Hilfe des Ritterschen Schnittverfahrens soll die Stabkraft S 2 ermittelt
werden. Zeichnen Sie dazu einen geeigneten Schnitt in die Skizze des
freigeschnittenen Systems bei Teilaufgabe a) ein. Zeichnen Sie weiterhin
einen geeigneten Bezugspunkt P zur Berechnung der Stabkraft S 2 ein und
geben Sie das Momentengleichgewicht für diesen Punkt an.
Aufgabe 4 (9 Punkte)
Der Skywalk über dem Grand Canyon wird als halbkreisförmiger, masseloser
elastischer Balken (Radius R) modelliert. Der Balken sei in Lager A mit einem
Kardan-Gelenk (Lagerreaktionen F Ax , F Ay , F Az , M Ay ) und in Lager B mit einem
Kugelgelenk mit Parallelführung (Lagerreaktionen F Bx , F Bz ) statisch bestimmt
gelagert. Auf dem Skywalk befindet sich bei Lager A und Lager B jeweils eine
Person P A bzw. P B (Masse m), neben diesen beiden Personen befindet sich
noch eine weitere Person (P M , Masse m) genau auf der Mitte des Skywalks
(φ= π/2).
P M
Der Skywalk wurde freigeschnitten.
mg
R
ϕ
B
y
A
z
mg
g
x
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
i) Berechnen Sie die Stabkraft in Stab 2.
mg
A
F Ay
M Ay
F Ax
S 2 =
_ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _
B
F Az
F Bx
j) Wie werden die Stäbe 1, 2 und 3 beansprucht?
F Bz
Stab 1: Zug Druck Nullstab
Stab 2: Zug Druck Nullstab
Stab 3: Zug Druck Nullstab

a) Bestimmen Sie die Ortsvektoren der Personen.
d) Berechnen Sie die Lagerreaktionen und Lagermomente.
⎡
⎤ ⎡
⎤
⎢
_ _ _ _ _ _
⎥ ⎢
⎢
⎥
_ _ _ _ _ _
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
r A = ⎢
,
_ _ _ _ _ _ ⎥ r B = ⎢
,
_ _ _ _ _ _ ⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
_ _ _ _ _ _
⎥ ⎢
⎣
⎦
_ _ _ _ _ _
⎥
⎣
⎦
r M
⎡
⎢
⎢
_ _ _ _ _ _
⎢
= ⎢ _ _ _ _ _ _
⎢
⎢
⎢
⎣ _ _ _ _ _ _
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
F = Ax _ _ _ _ _ _
,
_ _ _
F Ay
F = Az
_ _ _ _ _ _
,
_ _ _
M Ay
F = , F
Bx
_ _ _ _ _ _ _ _ _
Bz
=
_
=
_
=
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
b) Bestimmen Sie das Moment, welches die Gewichtskraft der Person P M
bezüglich dem Lager A bewirkt.
M A
⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
_ _ _ _ _ _
⎥ ⎢
_ _ _ _ _ _
⎥ ⎢
_ _ _ _ _ _
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
= ⎢
⎥ × ⎢
⎥ =
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⎢ _ _ _ _ _ _ ⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣ _ _ _ _ _ _ ⎦ ⎣ _ _ _ _ _ _ ⎦ ⎣ _ _ _ _ _ _ ⎦
c) Geben Sie die Gleichgewichtsbedingungen an.
Aufgabe 5 (10 Punkte)
Die unten dargestellte Fläche besteht aus drei Teilflächen: einer
Halbkreisringfläche HKR (Breite a, Innenradius R) und zwei Rechteckflächen
RE 1 und RE 2 (Länge L, Breite a ) welche mit der Halbkreisringfläche verbunden
sind.
y
RE 1
x
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
RE 2
R
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
a
L
HKR
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
a) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Halbkreisringfläche (HKR) sowie die
Fläche einer Rechteckfläche (RE).
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
A HKR =
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
,
A RE =
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_

) Bestimmen Sie die Flächenmittelpunkte der Teilflächen HKR, RE 1 und RE 2
⎡
⎤
⎢
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
⎥
r HKR = ⎢
⎥,
⎢
⎥
⎢_
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⎥
⎣
⎦
Aufgabe 6 (14 Punkte)
Die Vorstag eines Segelboots fungiert als Tragseil für das Vorsegel
(Gewichtskraft G). Das Vorsegel ist über Abspannseile am Tragseil befestigt. Im
Folgenden soll die Seilkurve des Tragseils untersucht werden. Dabei kann das
Gewicht der Abspannseile und des Tragseils vernachlässigt werden.
y
⎡
⎤
⎢
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
⎥
r RE1 = ⎢
⎥,
⎢
⎥
⎢_
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⎥
⎣
⎦
Abspannseile
A
a
Tragseil
x
r RE2
⎡
⎢
⎢
_
=
⎢
⎢
⎣_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_ _ _ _
_ _ _ _
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
⎤
_
⎥
⎥
⎥
_ ⎥
⎦
Vorstag
b
c) Die Länge des Rechtecks sei nun L=12a und der Innerkreisradius R=4a.
Bestimmen Sie mit diesen Werten den Flächenmittelpunkt der gesamten
Fläche.
Vorsegel
r ges
⎡
⎢
⎢
_
=
⎢
⎢
⎣_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_ _ _ _
_ _ _ _
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
⎤
_
⎥
⎥
⎥
_ ⎥
⎦
60 o
a) Wie lautet die allgemeine Differentialgleichung der Seilkurve y(x) unter der
kontinuierlichen Belastung q(x) und der Horizontalkraft H o ?
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
b) Geben Sie die kontinuierliche Belastung des Tragseils an.
q (x) =
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_

c) Wie lautet die Gleichung der Seilkurve mit den noch unbekannten
Integrationskonstanten C 1 und C 2 ?
y(x)
y(x)
= +
= −
G
3aH
G
aH
0
0
0
x
x
2
3
−
G
aH
1
0
x
2
− C x − C
G 3
y (x) = − x + C1x
+ C
3aH
2
− C x − C
G G
y (x) = −
+
3a
3
2
x + x + C
2 1x
C2
H0
aH0
2
1
d) Geben Sie drei geometrische Bedingungen zur Bestimmung der
Integrationskonstanten und der Horizontalkraft im Seil an.
2
Aufgabe 7 (6 Punkte)
Das Vorsegel (Seilkraft S V ) aus
Aufgabe 6 wird vom Kapitän
festgehalten (Seilkraft S K ). Aufgrund
eines technischen Defekts müssen der
runde raumfeste Segelbaum
(Durchmesser d B ) und ein raumfester
Zylinder (Durchmesser d Z ) zur Hilfe
genommen werden, damit der Kapitän
die Seilkraft S V halten kann. Zwischen
dem Zylinder und dem Seil sowie
zwischen dem Segelbaum und Seil ist
der Haftreibungskoeffizient μ 0 .
Segelbaum
Zylinder
a) Zeichnen Sie die fehlenden Seilkräfte in das freigeschnittene System ein.
dB
S V
d Z
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
Segelbaum
S V
Zylinder
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
S K
e) Bestimmen Sie die Integrationskonstanten und die Horizontalkraft im Seil.
H
0
=
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
b) Geben Sie den Winkel der Umschlingung des Seils um den Baum (φ B ) und
den Winkel der Umschlingung um den Zylinder (φ Z ) an.
C
1
=
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
ϕ B =
,
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ϕ z = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
C
2
=
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
f) Bestimmen Sie die Seilkraft im Punkt A.
_
_
_
_
_
_
_
_
_
c) Welche Bedingung muß erfüllt sein, damit kein Gleiten des Seils eintritt?
S
≤
S
− − − − − − − − − − − − − − − −
V
K
≤
− − − − − − − − − − − − − − − −
S(x=0) =
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_