Diplomprüfung in TM 1, SS05 - Institut für Technische und ...

Institut B für Mechanik
Technische Mechanik I
Prof. Dr.-Ing. P. Eberhard SS 2005 P 1
Diplom-Vorprüfung in Technische Mechanik I
Aufgabe 1 ( 14 Punkte)
Ein ebenes Fachwerk aus s Stäben und
k Knoten wird durch eine Einzelkraft F
belastet.
y
1
A
3
4
5
6
7
F
a
a
Nachname, Vorname
x
2
a
B
a
Matr.-Nummer
Fachrichtung
a) Wie lautet die Bedingung, dass das Fachwerk abbrechbar ist?
=
− − − − − − − − − −
− − − − − − − − − −
1. Die Prüfung umfasst 8 Aufgaben auf 7 Blättern.
2. Nur vorgelegte Fragen beantworten, keine Zwischenrechnungen eintragen.
3. Alle Ergebnisse sind grundsätzlich in den gegebenen Größen auszudrücken.
4. Die Blätter der Prüfung dürfen nicht getrennt werden.
5. Außer elektronischen Geräten sind alle Hilfsmittel zugelassen.
6. Bearbeitungszeit: 120 Minuten.
7. Unterschreiben Sie die Prüfung erst beim Eintragen Ihres Namens in die
Sitzliste.
b) Klassifizieren Sie das Fachwerk.
abbrechbar
nicht abbrechbar
einfach
nicht einfach
c) Wie ist das Fachwerk als Ganzes gelagert?
statisch bestimmt statisch unbestimmt
d) Identifizieren Sie die Nullstäbe für den gegebenen Belastungsfall.
%YJKEFIRHMIRMGLX^YQ7XS˜YQJERK
81KIL„VIRWMRHIRXWTVIGLIRH
KIOIRR^IMGLRIX
………………………………………..
(Unterschrift)
1 2 3 4 5 6 7
e) Klassifizieren Sie aus der Anschauung die Stäbe.
Punkte
∑
Korrektur
S
5
S
7
Zugstab Druckstab Nullstab

f) Schneiden Sie das Fachwerk frei und zeichnen Sie alle angreifenden Kräfte
ein.
Aufgabe 2 (9 Punkte)
Eine Person (Gewicht G ) steht auf einem rauhen Boden
(Haftreibungskoeffizient μ
0
) und lehnt sich gegen ein im Körperschwerpunkt
fixiertes Seil (Horizontalkraft H , Vertikalkraft V ).
a) Schneiden Sie die Person frei und zeichnen Sie in die rechte Darstellung alle
angreifenden Kräfte ein. Nehmen Sie dabei an, dass der Springer nur an den
Fersen Kontakt mit dem Boden hat.
g) Bestimmen Sie die Lagerkräfte.
g
α
− − − − − − − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − − − − − − −
b
h) Geben Sie die von Null verschiedenen Stabkräfte an.
− − − − − − − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − − − − − − −
b) Geben Sie die Gleichgewichtsbedingungen für die Person an.
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
c) Geben Sie die Horizontalkraft H ∗
für den Grenzfall an, dass die Person
gerade noch nicht wegrutscht.
∗
H
=
− − − − − − − − − − − − − − − − − − −
d) Wie groß ist für diesen Grenzfall der Winkel
α ∗
=
− − − − − − − − − − − − − − − − − − −
∗
α ?

Aufgabe 3 (17 Punkte)
Max (Gewicht G 1
) und Moritz (Gewicht G 2
)
stehen auf der Brücke (masselos,
Biegesteifigkeit EI ) vor dem Haus von
Schneider Böck.
d) Zeichnen Sie den Querkraft- und Biegemomentenverlauf.
Q(x)
G 2
G1
G
2
x
a
5a
x
z
a
A
2a
a a
B
− G 2
a) Schneiden Sie die Brücke frei und zeichnen Sie alle angreifenden Kräfte ein.
a G 2
M(x)
a
2a
a a
0
a
5a
x
b) Berechnen Sie die Reaktionskräfte in den Brückenlagern.
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
c) Bestimmen Sie den Querkraft- und Biegemomentverlauf in der Brücke.
Q(x) =
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
M(x) =
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
e) Welche Randbedingungen werden zur Bestimmung der Integrationskonstanten
in der Gleichung der Biegelinie w (x)
verwendet?
− − − − − − − − − − − − − −
f) Geben Sie die Gleichung der Biegelinie an.
w(x) =
− − − − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

Aufgabe 4 (12 Punkte)
c) Berechnen Sie die Schwerpunkte der drei Teilflächen.
Die Brücke aus Aufgabe 3 hat als Querschnitt das dargestellte Kastenprofil. Max
hat dieses mit der Säge bis zur Tiefe d ( h < d < 7h
) eingesägt. Der
verbleibende Querschnitt läßt sich mit drei Teilflächen beschreiben.
8h
y
s 1
=
− − − − − − − − − − − −
y
s 2
=
− − − − − − − − − − − −
y
s 3
=
− − − − − − − − − − − −
z
s 1
=
− − − − − − − − − − − −
z
s 2
=
− − − − − − − − − − − −
z
s 3
=
− − − − − − − − − − − −
A 2
A 1
A 3
a) Berechnen Sie den Flächeninhalt der drei Teilflächen.
A
1
=
− − − − − − − − − − − −
A
3
=
− − − − − − − − − − − −
A
2
=
− − − − − − − − − − − −
b) Berechnen Sie die Flächenträgheitsmomente der drei Teilflächen bezüglich
ihres Schwerpunkts.
I
y 1
=
− − − − − − − − − − − −
I
y 3
=
− − − − − − − − − − − −
z
y
d
h
h
3h
I
y 2
=
− − − − − − − − − − − −
d) Berechnen sie den Schwerpunkt der Gesamtfläche.
y
z
s
s
=
=
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
Die Einschnitttiefe sei nun d = 2h
. Damit ergibt sich das
157 4
Flächenträgheitsmoment I
y
= h .
12
e) Geben Sie das Widerstandsmoment gegen Biegung an.
W
y
=
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
f) Wie groß darf unter der Vereinfachung gerader Biegung das Biegemoment
maximal werden damit die Brücke bei gegebener kritischer
Biegespannung σ gerade noch hält?
M
ymax
=
b
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

Aufgabe 5 (8 Punkte)
Die folgenden Anordnungen von Stäben (Stablänge L , Elastizitätsmodul E )
werden um die Temperatur Δ T > 0 erwärmt. Vor der Erwärmung sind sämtliche
Stäbe spannungsfrei. Für die Querschnittsflächen der Stäbe gilt A
1< A2
.
Kreuzen Sie in der Tabelle an, in welche Richtung sich der Punkt P aufgrund
der Erwärmung bewegt und ob die Systeme statisch bestimmt gelagert sind.
I)
II)
Aufgabe 6 (9 Punkte)
Das dargestellte, funktionstüchtige Laufrad eines Fahrrades besteht aus Felge,
Nabe und k Speichen. Die Nabe ist auf der fest eingespannten Achse drehbar
gelagert. Die Verbindungen zwischen den Speichen und der Nabe werden als
Kardangelenke betrachtet, die Verbindungen zwischen den Speichen und der
Felge als Kugelgelenke. Die Kontakte zwischen zwei Speichen werden nicht
betrachtet.
A
2
A1
A 2
A 1
P
P
III)
IV)
P
A 2
A 2
A 1
A 1
P
o
45
a) Bestimmen Sie die folgenden charakteristischen Größen des Laufrads.
p =
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
q
=
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
I II III IV
r = 6k + 11
nach rechts
nach links
nach oben
f
n
=
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
=
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
nach unten
b) Mit wievielen Speichen k ∗
ergibt sich ein statisch bestimmtes System?
keine Bewegung
statisch bestimmt
∗
k
=
− − − − − − − − − − − − − − − − − − −
statisch unbestimmt

Aufgabe 7 (11 Punkte)
Bei einem „Kiene-Swing“ schwingt sich eine am Ende eines langen Seils
(Gewicht/Länge p
0
) festgebundene Person unter einer Brücke 1 hindurch, an
der das andere Ende des Seils befestigt ist. Der Ausgangspunkt des Schwungs
liegt auf einer benachbart gelegenen Brücke 2. Das Seil ist am
Körperschwerpunkt des Springers befestigt. Im Folgenden soll die Seilkurve
untersucht werden, die sich vor dem Sprung einstellt.
Brücke 1
a) Geben Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung der Seilkurve für
den gegebenen Belastungsfall mit den Integrationskonstanten C 1
und C 2
sowie der Horizontalkraft H
0
an.
y (x) =
y
x
Brücke 2
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
b) Geben Sie zwei Bedingungen zur Berechnung der Konstanten der
allgemeinen Lösung der Differentialgleichung der Seilkurve an.
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
a
g
b
Die beiden Konstanten C 1
und C 2
können für das gegebene Problem nur
numerisch berechnet werden und sind im Folgenden zusammen mit der
Horizontalkraft H
0
als gegeben anzunehmen.
c) Welche Gleichung ergibt sich durch Einsetzen der allgemeinen Lösung in die
Differentialgleichung der Seillänge?
dl
dx
=
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
d) Bestimmen Sie die Gesamtlänge des Seils.
L =
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
e) Wie lautet der Zusammenhang zwischen dem Gewicht des Seils G
s
und der
Seillänge L ?
G
s
=
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
f) Welche horizontale Lage hat der Schwerpunkt des Seils im Fall b

Aufgabe 8 (14 Punkte)
Ein Seil ist um drei raumfeste Zylinder (Radius r ) geschlungen und ist mit
seinen beiden Enden an einer freihängenden Kiste (Masse m ) fixiert. Zwischen
den Zylindern und dem Seil gibt es Haftreibung (Haftreibungskoeffizient μ
0
). An
der Aufhängung der Kiste greift die horizontale Kraft F an.
b) Bestimmen Sie die Seilkräfte S
1
und S
2
.
S
1
=
− − − − − − − − − − − − − − − −
S
2
=
− − − − − − − − − − − − − − − −
c) Geben Sie den Gesamtwinkel der Umschlingung des Seils um alle Zylinder
an.
r
g
ϕ =
− − − − − − − − − − − − − − − − − −
d) Welche Bedingung müssen die beiden Seilkräfte erfüllen, damit kein Gleiten
des Seils eintritt?
o
45
o
45
o
60
S
≤
S
− − − − − − − − − − − − − − − −
1
2
≤
− − − − − − − − − − − − − − − −
F
e) Welcher Zusammenhang gilt für F > 0 ?
m
a) Schneiden Sie die Kiste frei und zeichnen Sie alle angreifenden Kräfte ein.
Bezeichnen Sie dabei die beiden Seilkräfte mit S
1
und S
2
.
S
1
> S 2
2
S1
S > S
2
= S1
f) Welche Bedingung gilt für die an der Kiste angreifende Kraft F > 0 , damit
kein Gleiten des Seils eintritt?
F ≤
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −