Theoretische Quantenmechanik und Anwendungen - jkrieger.de

Stoffzusammenfassung/Skript: 

Theoretische Quantenmechanik und 

Anwendungen 

Jan Krieger 

http://www.jkrieger.de 

1. November 2007

. 

’The time has come,’ the Walrus said, 

’To talk of many things: 

Of shoes – and ships – and sealingwax – 

Of cabbages – and kings – 

And why the sea is boiling hot – 

And whether pigs have wings.’ 

– Tweedldee in Through the Looking-Glass by Lewis Carrol 

c○ 2004-2007 by Jan Krieger (http://www.jkrieger.de/) – 2 –

Inhaltsverzeichnis 

I Grundlagen der Quantentheorie 8 

1 Axiome der Quantenmechanik 9 

2 Mathematischer Rahmen 11 

2.1 Einige praktische Tatsachen über komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

2.2 Hilbertraum H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.2.1 Linearer Raum und Dualer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.2.2 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.2.3 Orthonormierte Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

2.2.4 Vollständigkeitsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

2.2.5 Kontinuierliche Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

2.3 Operatoren auf dem Raum H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

2.3.1 Lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

2.3.2 Kommutatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

2.3.3 Hermite’sche Konjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

2.3.4 Hermite’sche Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

2.3.5 Unitäre Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

2.3.6 Operatorfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

2.3.7 Ableitungen von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

2.3.8 Spur eines Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

2.4 Darstellungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

2.4.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

2.4.2 Basiswechsel/Darstellungswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

2.5 Eigenwertgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

2.5.1 Einleitung/Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

2.5.2 Sätze über kommutierende Operatoren: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

2.5.3 Vollständiger Satz kommutierender Observablen (v.S.k.O.) . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

2.6 Erwartungswert und Stadardabweichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

2.7 Tensorprodukte von Zustandsräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

2.7.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

2.7.2 Eigenwertgleichung im Produktraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

3 Wichtige Operatoren 22 

3.1 Orts- und Impulsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

3.1.1 Orts- und Impulsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

3.1.2 Die Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

3.2 Konjugierte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

3.3 Projektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

3.4 Translationsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

3.4.1 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

3.4.2 Motivation des Translationsoperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

3.5 Paritätsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

3.6 Der Dichteoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

3.6.1 Vollständige und Unvollständige Information in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . 26 

3.6.2 Reiner Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

3.6.3 Gemischter Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

3.6.4 Bedeutung der Matrixelemente des Dichteoperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

3.6.5 Messung und Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

3.6.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

3


4 Wichtige Sätze der Quantenmechanik 30 

4.1 Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

4.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

4.1.2 Superposition und Interferenzeffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

4.1.3 Wahrscheinlichkeitsstrom in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

4.2 Erhaltungsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

4.3 Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

4.4 Ehrenfest-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

4.5 Vollständiger Satz kommutierender Observabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

4.6 Bloch-Theorem, Bloch-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

4.7 Interpretationen der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

4.8 Zweiteilchenzustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

4.9 Korespondenprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

4.10 Identische Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

4.10.1 Grundlagen, Bosonen, Fermionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

4.10.2 Fock-Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

5 Störungsrechnung und Näherungsverfahren 40 

5.1 Zeitunabhängige Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

5.1.1 Näherungslösung der Eigenwertgleichung von Ĥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

5.1.2 nichtentartete Niveaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

5.1.3 Ritz’sches Variationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

5.1.4 Näherung über begrenzten Unterraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

5.2 Zeitabhängige Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

5.2.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

5.2.2 Näherungslösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

5.2.3 Lösung 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

5.2.4 Periodische Störungen Fermi’s Goldene Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

II Anwendungen 47 

6 Einfache Systeme 48 

6.1 Freies Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

6.2 Delta-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

6.3 Teilchen im Kastenpotential und an Potentialstufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

6.3.1 Stückweise konstante Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

6.3.2 Potentialstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

6.3.3 Kastenpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

6.4 Zwei-Zustandssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

6.4.1 Diagonalisierung einer hermite’schen 2 × 2-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

6.4.2 Physikalische Interpretation der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

7 Interferenzeffekte 59 

7.1 Polarisierte Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

7.2 Dichtematrix-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

7.3 Aufeinanderfolgende Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

7.4 Mach-Zehnder-Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

8 Harmonischer Oszillator 63 

8.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

8.2 Lösung mit Hilfe der algebraischen Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

8.3 Physikalische Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 

8.4 Die Hermite’schen Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

8.5 Dreidimensionaler harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

8.6 Harmonischer Oszillator im Heisenberg-Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

8.7 Anwendung des Ritz’schen Variationsverfahrens auf den harmonischen Oszillator . . . . . . . . . 70 

8.8 Geladener harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 

8.9 Gestörter harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

8.10 Kohärente Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 



9 Drehimpuls und Drehungen in der Quantenmechanik 76 

9.1 Grundlagen und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 

9.2 Das Spektrum der Operatoren ˆ⃗ L 2 , ˆL z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 

9.3 Drehmoment und Drehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 

9.3.1 Die Drehgruppe im R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 

9.3.2 Drehoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 

9.3.3 Verbindung zum Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 

9.3.4 Kommutatorrelationen und Drehgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 

9.3.5 Endliche Drehoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

9.3.6 Erhaltung des Drehimpulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

9.3.7 Drehung von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

9.4 Bestimmung der Eigenzustände im Ortsraum: Bahndrehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 

9.5 Physikalische Diskussion der bisherigen Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 

9.6 Spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 

9.6.1 Definition des Spin-1/2-Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 

9.6.2 Magnetische Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 

9.6.3 Spin 1/2 und Drehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 

9.7 Beispiel: Quantisierung eines Rotators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 

9.8 Addition von Drehimpulsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 

9.8.1 Allgemeiner Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 

9.8.2 Addition zwei halbzahliger Spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 

9.8.3 Addition beliebiger Drehimpulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 

9.8.4 Clebsch-Gordan-Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 

9.8.5 Addition von Bahndrehimpuls und Spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 

9.8.6 Zeitentwicklung gekoppelter Drehimpulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 

9.8.7 Beispiel: Kopplung zweier Spin-1/2-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 

10 Das Wasserstoffatom 97 

10.1 Das Zweikörperproblem – quantenmechanisch betrachtet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 

10.2 Klassische Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 

10.3 Hamilton-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 

10.4 Lösung der Radialgleichung des Wasserstoff-Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 

10.4.1 Die Radialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 

10.4.2 Asymptotisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 

10.4.3 Lösung mit Hilfe einer Potenzreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 

10.4.4 Lösung mit Hilfe von Laguerre’chen Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 

10.4.5 Radialteil der Wellenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 

10.5 Explizite Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 

10.6 Korrekturen für realistische Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 

10.6.1 Relativistische Korrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 

10.6.2 Spin-Bahn-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 

10.6.3 Hyperfeinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 

11 Mehrteilchensysteme, Quantenstatistik 106 

11.1 Zwei freie Spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 

12 Streutheorie 107 

12.1 Klassische Streu-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 

12.1.1 Streuquerschnitt und andere Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 

12.1.2 klassische Potentialstreuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 

12.1.3 Rutherford-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 

12.1.4 Historische Bemerkung: Atommodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 

12.2 Quantenmechanische Streutheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 

13 Elektromagnetische Wechselwirkung 113 

13.1 Der Hamilton-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 

13.2 Eichtransformationen und Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 

13.3 Der Zeeman-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 

13.3.1 Der normale Zeeman-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 

13.3.2 Annomaler Zeeman-Effekt der Feinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 

13.3.3 Zeeman-Effekt der Hyperfeinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 



13.4 Landau-Niveaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 

13.4.1 Quantisierung der Bewegung im konstanten Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 

13.4.2 De Haas-van Alphén-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 

14 Atom-Licht-Wechselwirkung 122 

14.1 Wechselwirkungs-Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 

14.2 Rabi-Theorie der atomaren Übergänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 

14.2.1 Atom als Zwei-Zustands-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 

14.2.2 Störung durch ein Lichtfeld, Rabi-Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 

14.2.3 Lösung der Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 

14.3 Auswahlregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 

14.4 Phänomenologie der atomaren Übergänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 

14.4.1 Induzierte und spontane Übergänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 

14.4.2 Lebensdauer und nicht-strahlende Übergänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 

14.4.3 Linienbreite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 

15 Festkörperphysik 138 

15.1 Grundlegende Eigenschaften von Festkörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 

15.1.1 Aufbau von Festkörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 

15.2 Phononen (Gitterschwingungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 

15.2.1 Adiabatische Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 

15.2.2 harmonische Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 

15.2.3 Normalkoordinaten und lineare Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 

15.2.4 Phononenzustandsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 

15.2.5 Wärmekapazität der Phononen (Debye-Modell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 

15.2.6 Nullpunktsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 

15.3 Elektronen im Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 

15.3.1 Freies Elektronengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 

15.3.2 Anschauliche Herleitung der Bänderstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 

15.3.3 Schrödingergleichung im periodischen Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 

15.3.4 Modell der quasi-freien Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 

15.3.5 Stark gefundene Elektronen im Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 

15.3.6 Stark gebundene Elektronen als Problem der Störungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . 157 

15.3.7 Allgemeine Wellenfunktionen der Elektronen im periodische Festkörperpotential . . . . . 158 

15.3.8 Kronig-Penney-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 

15.3.9 Effektive Masse und deren Auswirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 

16 Quantenoptik 162 

A Weblinks 163 

A.1 Allgemeine Links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 

A.2 Atomphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 

A.3 Streutheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 

A.4 Elektromagnetische Wechselwirkung, Atom-Licht-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . 163 

A.5 zur Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 

A.6 Quantenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 

A.7 Festkörperphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 

B Literaturverzeichnis 165 

B.1 Allgemeine Literatur, Lehrbücher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 

B.2 Primärquellen, Originalarbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 



Bemerkungen zur Notation: 

• Im folgenden sind Zahlen im Allgemeinen komplex, also aus dem Raum C. λ ∗ bezeichnet das komplexkonjugierte 

einer Zahl λ ∈ C. 

• Vektoren des R 3 , C 3 werden so gekennzeichnet: ⃗x, ⃗y, .... 

• Für Matritzen wird die folgende Kennzeichnung verwendet A. Die Einheitsmatrix wird mit 1 bezeichnet 

• Für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Ereignisses A wird dieses Symbol benutzt: P (A) 

• Operatoren werden durch ein Dach gekennzeichnet: ˆΠ, Â, .... 

• Zu Operatoren gehörende Observablen werden so dargestellt: Operator Â, ˆ⃗ R, Observable A, ⃗ R. 

• Für Operatoren/Matrizen bedeutet Â† die Hermite’sche Konjugation, d.h. der Operator wird transponiert und 

komplex-konjugiert, also: Â† = (Â∗ ) t . 

• Kommutatoren werden mit eckigen Klammern dargestellt [Â, ˆB] 

• Mittelwerte über Operatoren werden so dargestellt: 〈Â〉. Treten andere Mittelungen auf (etwa über die Zeit), 

so werden diese so gekennzeichnet f(x). Es wird dann im Text üblicherweise genau erläutert, wie die Mittelung 

zu verstehen ist. 

Einleitende Bemerkungen: Das vorliegende Skript habe ich unter Anderem als Vorbereitung auf meine Diplom- 

Prüfung in theoretischer Quantenmechanik geschrieben. Es ist aus einem Skript hervorgegangen, das ich während 

meiner Vorlesung bei Prof. Wetterich begonnen habe. Im hinteren Teil finden sich diverse durchgerechnete Beispiele, 

die die Theorie aus den ersten Kapiteln anwenden. Den vorliegenden Text werde ich laufend erweitern, 

wenn ich neue interessante Themen entdecke. Er kann also auch einfach als Sammlung interessanter Probleme der 

Quantenmechanik gelesen werden. 

Das Skript ist nicht als Einleitungstext zur Quantenmechanik geeignet, eher als Stoffzusammenfassung für die 

Prüfungsvorbereitung, oder zum Nachschauen von Formeln uä. Für eine Einführung in das Themengebiet ist das 

Skript didaktisch falsch aufgebaut .... dafür soll es aber das einfache Nachschlagen ermöglichen, wenn man mal 

eine Erklärung benötigt. Auch werde im folgenden sicher nicht alle Beweise ausführlich dargestellt, nur die für 

mich interessant erscheinenden. Für eine ausführliche und didaktisch gute Darstellung möchte ich auf die Standardliteratur 

(vor Allem von Cohen-Tannoudji verweisen). 

Der Inhalt des Skriptes orientiert sich in weiten Teilen an den Büchern [Cohen-Tannoudji u.a. 1999a] und 

[Cohen-Tannoudji u.a. 1999b], die ich sehr schätze und jedem wärmstens empfehlen kann. Ein gutes Nachschlagewerk 

über die theoretische Physik (vor Allem zur Prüfungsvorbereitung ist das Buch [Wachter, Hoeber 2005]. 

Ich bitte alle Leser, mir eventuelle Fehler (die sicher zu Hauf enthalten sind ;-) einfach per Mail (jan@jkrieger.de) 

zu schreiben. Dann kann ich sie auch korrigieren. 

zum Aufbau des Textes: Das Skript beschreibt die Quantenmechanik ausgehend von einigen Grundaxiomen, 

die in Abschnitt 1 beschrieben werden. Dies bedeutet einen sehr abrupten Einstieg, ohne etwa zunächst auf die 

Wellenmechanik einzugehen. Danach schließen sich in Abschnitt 2 einige Bemerkungen zur Mathematik (vor Allem 

lineare Algebra) an. Dadurch ist der Rahmen der Theorie abgesteckt und die folgenden Kapitel können die 

Quantenmechanik aus diesen Grundlagen aufbauen. Auch benutze ich ab dem ersten Kapitel die Bra-Ket-Notation, 

da ich sie für wesentlich anschaulicher halte. Eventuell auftretende Skalarprodukte werden hier z.B. sofort sichtbar 

und können leicht bei der Berechnung genutzt werden. Außerdem tritt dann sofort zu Tage, dass es sich bei 

der Quantenmechanik um eine lineare Theorie handelt, in der sich weite Teile schon durch die lineare Algebra 

verstehen lassen. Die folgenden Kapitel beschreiben dann die wichtigsten Sätze, Operatoren und Methoden der 

Quantenmechanik. Sie werden im ersten Teil weitgehend ohne Beispiele eingeführt bzw. teilweise auch hergeleitet. 

Der zweite Teil „Anwendungen“ nutzt dann die Aussagen des ersten Teiles um diverse Probleme zu behandeln. 

Hier finden sich auch Beispiele zu den Abschnitten des ersten Teils. Die Anwendungen sind lose nach Gebieten 

und/oder Themen sortiert. Sehr grundlegende Probleme, wie etwa der harmonische Oszillator oder das Wasserstoff- 

Atom, die oft als (exakt und analytisch lösbare) Näherung angewendet werden, belegen dabei eigene Kapitel. In 

anderen Abschnitten werden einzelne Probleme eines Teilgebietes der Physik herausgegriffen und behandelt (z.B. 

aus der Festkörperphysik in Abschnitt 15). Die Wechselwirkung von Atomen mit dem elektromagnetischen Feld 

verteilt sich etwas über einige Kapitel. Grundlegendes wird in Abschnitt 13 beschrieben. Hier ist das Feld aber 

noch nicht quantisiert. Eine Quantisierung des Feldes erfolgt erst in Abschnitt 16. 

1 


Teil I 

Grundlagen der Quantentheorie 

8

1 Axiome der Quantenmechanik 

Die Quantenmechanik wird ausgehend von einigen einfachen und grundlegenden Axiomen aufgebaut. Diese sollen 

hier zusammengefasst werden. Der nächste Abschnitt beschreibt dann den mathematischen Rahmen der Theorie. 

Axiom 1.1 (Vektoren im Hilbertraum) Die Quantenmechanik wird durch Vektoren |ψ〉 ∈ H in einem 

(unendlich-dimensionalen) Funktionen-Raum H beschrieben. Alle Elemente diese Raumes sind quadratintegrabel 

(Hilbert-Raum) und normierbar (〈ψ|ψ〉 = 1). Ein Zustandsraum ist ein Unterraum von H, auf dem die für ein 

System relevanten Zustandsvektoren leben. 

Durch dieses Axiom lässt sich ein großer Teil der Quantenmechanik auf Aussagen der linearen Algebra zurückführen. 

Wichtige Begriffe sind etwa lineare Abbildungen und Eigenvektoren und -werte. 

Axiom 1.2 (Observablen und Operatoren) Jede physikalische Observable A wird durch einen hermite’schen 

Operator Â beschrieben, der im Hilbertraum H wirkt. Dessen Eigenwerte sind (aufgrund der Hermitezität von Â) 

reell. 

Die Observablen der Quantenmechanik sind also nichts anderes als lineare Abbildungen, die in gewissen Basen 

auch als Matrix aus Zahlen dargestellt werden können. 

Axiom 1.3 (Messprozess und Eigenwerte) 

zugeordneten Operators Â liefern. 

Jede Messung einer Observablen A kann nur einen Eigenwert des 

Dieses Axiom bedingt die „Quantelung“ (Diskretisierung) gewisser Größen in der Quantenmechanik, da das Spektrum 

eines Operators Â diskret sein kann. 

Axiom 1.4 (Messung und Wahrscheinlichkeit) Sei A eine Observable und a i , |a i 〉 die Eigenwerte und Eigenvektoren 

zum zugeordneten Operator Â. Wird dann A eines normierten Zustandes |ψ〉 gemessen, so ist die Wahrscheinlichkeit 

P (a i ), den Eigenwert a i zu messen: 

P (a i ) = |〈a i |ψ〉| 2 (1.0.1) 

Ist der Eigenwert a i g i -fach entartet, so gilt mit den Eigenvektoren |a k i 〉, k = 1, ..., g i: 

∑g i 

P (a i ) = ∣ 〈a 

k 

i |ψ〉 ∣ 2 (1.0.2) 

k=1 

Für ein kontinuierliches, nicht-entartetes Spektrum gilt: Die Wahrscheinlichkeit das System im Intervall [α, α+dα] 

anzutreffen ist: 

dP (α) = 〈α|ψ〉 dα (1.0.3) 

Dieses Axiom zeigt, dass es sich bei der Quantenmechanik um eine grundsätzlich statistische Theorie handelt, die 

nur Aussagen über Mittelwerte (nicht über Einzelereignisse) liefern kann. 

Axiom 1.5 (Kollaps der Wellenfunktion/nicht-wechselwirkungsfreie Messung) Nach einer Messung des Zustandes 

|ψ〉, die a als nicht-entarteten Eigenwert (Eigenvektor: |a〉) ergab befindet sich das System im Zustand |a〉. 

Ist der Eigenwert a entartet, so befindet sich das System in einem Zustandes des zu a gehörenden Eigenraumes. 

Dieses Axiom bedeutet, dass Messprozesse im Unterschied zur klassischen Physik nicht wechselwirkungsfrei ablaufen 

können. Das bedeutet, dass man bei jeder Messung das System unwiederbringlich verändert. 

Axiom 1.6 (zeitliche Entwicklung des Systems) Ein System sei durch den Hamilton-Operator Ĥ beschrieben. 

Dann wird seine zeitliche Entwicklung durch die folgende Differentialgleichung beschrieben: 

i ∂ |ψ(t)〉 = Ĥ(t)|ψ(t)〉 (1.0.4) 

∂t 

9

1 Axiome der Quantenmechanik 

Dieses Axiom führt die zeitabhängige Schrödingergleichung (und später auch den Zeitentwicklungsoperator) in 

die Quantenmechanik ein. 

Axiom 1.7 (Korrespondenzprinzip) Sei A(⃗r, ⃗p) eine in der klassischen Mechanik bereits definierte Observable. 

Dann lässt sich der ihr zugeordnete Operator Â konstruieren, wenn man folgende Ersetzungen durchführt: 

1. Der Ortsvektor ⃗r wird durch den Ortsoperator ˆ⃗ R ersetzt. 

2. Der Impulsvektor ⃗p wird durch den Impulsoperator ˆ⃗ P ersetzt. 

3. Aus einer Phasenraumintegration wird eine Spurbildung. 

Hier wird definiert, wie man den Übergang von der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik ausführen kann. 

Im Kapitel 16 wird etwa gezeigt, wie man vom Hamiltonian für das klassische EM-Feld zu dessen Quantisierung 

kommt. 

Woher kommen diese Axiome? Aus historischer Sicht hat sich die Quantenmechanik natürlich nicht aus diesen 

Axiomen, sondern aus experimentellen Erkenntnissen entwickelt. Bei der Vermessung von Emissionsspektren der 

Sonne durch Frauenhofer traten diskrete Linien aus, die mit einer klassischen Theorie nicht zu erklären waren. 

Später wurde gezeigt, dass diese Linien durch Übergänge zwischen diskreten Energieniveaus in Atomen erzeugt 

werden. Als erste Forderung an eine neue Theorie kann man also die Möglichkeit quantisierter Größen angeben. 

Dies ist in klassischen Theorien meist nur durch Postulate möglich, die Quantisierung ergibt sich nicht aus der 

Theorie. in der Quantenmechanik ist dies anders. Als weiterer wichtiger Hinweis auf die Struktur der neuen Theorie 

kann das Doppelspaltexperiment für Elektronen betrachtet werden. Es zeigt sich, dass auch für massebehaftete 

Teilchen eine Welleneigenschaft auftritt. Dies deutet auf eine lineare Struktur der Theorie hin. Die Struktur der 

Schrödingergleichung lässt sich etwa aus Rechnungen der klassischen Elektrodynamik für massebehaftete Austauschteilchen 

motivieren. 


2 Mathematischer Rahmen 

Die Quantenmechanik ist eine physikalische Theorie, die stark auf den mathematischen Konzepten der linearen 

Algebra und der Analysis auf Funktionenräumen (nämlich dem Hilbertraum der quadratintegrablen Funktionen) 

basiert. Daher sollen zunächst die mathematischen Grundlagen definiert und dargestellt werden, um darauf aufbauend 

die physikalusche Bedeutung nachzuliefern. Diese Deutung der Mathematik erfolgt dann in den folgenden 

Kapiteln. 

2.1 Einige praktische Tatsachen über komplexe Zahlen 

In der Quantenmechanik wird oft mit komplexen Zahlen gerechnet. Nicht zuletzt ist der Hilbertraum H der Raum 

der quadratintegrablen Funkionen über C. Darum sollen hier einige nützliche Beziehungen zusammengefasst werden: 

1. Komplexe Einheit i: 

i := √ −1 ⇒ i 2 = −1, 

2. Normalform einer Zahl z ∈ C: Jede komplexe Zahl lässt sich als Summe darstellen: 

1 

i 

= −i (2.1.1) 

z = a + ib, a, b ∈ R, z ∈ C (2.1.2) 

Im(z) 

b 

z=a+ib 

|z| 

 

a 

Re(z) 

Abb. 2.1: Komplexe Zahlenebene 

Dies entspricht einem Punkt (a, b) in der komplexe Zahlenebene (siehe Abb. 2.1). Es werden noch die 

folgenden Operatoren eingeführt: 

3. Polarform einer Zahl z ∈ C: 

Re {a + ib} = a, Im {a + ib} = b (2.1.3) 

z = a + ib = |z| · (cos ϕ + i · sin ϕ) = |z| · e iϕ , absz := √ a 2 + b 2 (2.1.4) 

Die Interpetation des Winkels ϕ liefert Abb. 2.1. 

4. Addition komplexer Zahlen: 

z 1 + z 2 = a 1 + a 2 + i · (b 1 + b 2 ) (2.1.5) 

5. Multiplikation komplexer Zahlen: 

z 1 · z 2 = a 1 a 2 − b 1 b 2 + i · (a 1 b 2 + a 2 b 2 ) = |z 1 | · |z 2 | · e i(ϕ1+ϕ2) (2.1.6) 

6. Komplexe Konjugation: 

z ∗ = (a + ib) ∗ := a − ib (2.1.7) 

Damit gelten die folgenden Rechenregeln: 

z ∗ · z = |z| 2 (2.1.8) 

z + z ∗ = 2 · Re {z}, z − z ∗ = 2i · Im {z} (2.1.9) 

11


7. Betrag von Summen: In der Quantenmechanik treten manchmal Ausdrücke der Form |z 1 + z 2 | 2 auf. Dafür 

gilt: 

|z 1 + z 2 | 2 = |a 1 + ib 2 + a 2 + ib 2 | 2 = a 2 +c 2 +2ac+b 2 +d 2 +2bd = a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +2(ac+bd) = 

= |z 1 | 2 + |z 2 | 2 + Re {z 1 · z ∗ 2} (2.1.10) 

Etwas allgemeiner erhält man: 

2.2 Hilbertraum H 

∣ ∑ ∣∣∣∣ 

2 

z 

∣ i = ∑ i 

i 

|z i | 2 + ∑ i 

∑ 

Re {z i · zj ∗ } (2.1.11) 

j≠i 

2.2.1 Linearer Raum und Dualer Raum 

Quantenmechanische Systeme werden über Wellenfunktionen ψ(⃗x, t) beschrieben. Für diese gilt die folgende 

Normierungsbedingung (Wahrscheinlichkeitsinterpretation): 

∫ ∞ 

−∞ 

|ψ(⃗x, t)| 2 d 3 x = 

∫ ∞ 

−∞ 

ψ ∗ (⃗x, t) · ψ(⃗x, t) d 3 x = 1 (2.2.1) 

Beim Hilbertraum H handelt es sich also um den Vektorraum der quadratintegrablen Funktionen. Für die Quantenmechanik 

ist dieser aber zu groß, also fordert man zusätzlich obige Normierungseigenschaft. Man notiert Vektoren 

(Elemente/Funktionen) aus H als Ket |ψ〉 ∈ H. Die Vektoren aus dem zu H dualen Raum H ∗ bezeichnet man als 

Bra 〈ψ| ∈ H ∗ . Diese Notation wird klar, wenn man in ihr das obige Skalarprodukt schreibt: 

∫ ∞ 

−∞ 

ψ ∗ (⃗x, t) · ψ(⃗x, t) d 3 x = 〈ψ|ψ〉 = 1 (2.2.2) 

Da es sich bei H um einen linearen Raum handelt, gilt folgende Rechenregel: 

Für den Raum H ∗ gelten folgende Rechenregeln: 

1. 〈λ · ψ| = λ ∗ · 〈ψ|, 〈ψ| ∈ H, λ ∈ C 

2. 〈ψ| = |ψ〉 † , 〈ψ| ∈ H 

|ψ 1 〉, |ψ 2 〉 ∈ H, λ 1 , λ 2 ∈ C ⇒ λ 1 |ψ 1 〉 + λ 1 |ψ 1 〉 ∈ H 

Dabei bedeutet |ψ〉 † = (|ψ〉 ∗ ) t die komplexe Konjugation in Verbindung mit der Transposition des Vektors (=Hermite’sche 

Konjugation). 

Die folgenden Unterabschnitte klären die weiteren Eigenschaften der Operationen auf diesem Raum (Skalarprodukt 

etz.). Dabei wird nicht immer von der Normiertheit der Vektoren gebraucht gemacht. Wird diese nicht 

explizit gefordert, so gelten die Aussagen natürlich für jeden beliebigen linearen Raum. Die folgenden Abschnitte 

können also auch als Zusammenfassung der üblichen linearen Algebra verstanden werden. Dieser Zusammenhang 

wird klarer, wenn man für einen Moment die Interpretation der Kets als FUnktionen außer Acht lässt und nur die 

Formalia betrachtet. Desweiteren kann man sich dann lineare Operatoren auch als Matritzen vorstellen. Dies wird 

besonders in der Darstellungstheorie aus Abschnitt 2.4 klar. 

2.2.2 Skalarprodukt 

Im letzten Unterabschnitt wurde bereits ein Skalarprodukt 〈ψ|φ〉 auf H eingeführt. Seine Definition lautete: 

Definition 2.1 (Skalarprodukt) 

∫ 

〈ψ|φ〉 := 

ψ ∗ (⃗x) · φ(⃗x) d 3 x (2.2.3) 

Dieses Skalarprodukt ist eine Sesquilinearform mit folgenden Eigenschaften: 

1. 〈ψ|φ〉 = 〈φ|ψ〉 ∗ 



2. Linearität im zweiten Argument: 〈φ|λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 〉 = λ 1 〈φ|ψ 1 〉 + λ 2 〈φ|ψ 2 〉 

3. Antilinearität im ersten Argument: 〈λ 1 φ 1 + λ 2 φ 2 |ψ〉 = λ ∗ 1〈φ 1 |ψ〉 + λ ∗ 2〈φ 2 |ψ〉 

4. positiv-semidefinit: 〈ψ|ψ〉 ≥ 0 

5. Schwarz’sche Ungleichung: |〈ψ|φ〉| ≤ √ 〈ψ|ψ〉 · √〈φ|φ〉 

Das Skalarprodukt kann durch einen Operator Â vermittelt werden. Man notiert dann: 

2.2.3 Orthonormierte Basen 

〈ψ|Â|φ〉 = 〈ψ|Âφ〉 = 〈Â† ψ|φ〉 

Mithilfe des Skalarprodukte auf H aus 2.2.2 kann man eine Orthogonalität für Elemente |ψ〉, |φ〉 ∈ H definieren: 

〈ψ|φ〉 = 0 ⇔ |ψ〉 ⊥ |φ〉 (2.2.4) 

Definition 2.2 (orthonormierte Vektoren) Man nennt dann eine Familie |u i 〉, i ∈ I (I: abzählbare Indexmenge) 

von Vektoren aus H orthonormiert, falls gilt: 

〈u i |ψ j 〉 = δ ij ∀i, j ∈ I (2.2.5) 

Eine solche Familie von Vektoren bildet eine Basis des H, wenn sich jeder Vektor |ψ〉 ∈ H eindeutig als Linearkombination 

der |u i 〉 schreiben lässt: 

|ψ〉 = ∑ c i |u i 〉, c i ∈ C (2.2.6) 

i∈I 

Die komplexen Koeffizienten c i ergeben sich als Projektion von |ψ〉 auf die Basisvektoren: 

∫ 

c i = 〈u i |ψ〉 = u ∗ i (⃗x) · ψ(⃗x) d 3 x (2.2.7) 

Für das Skalarprodukt zweier Vektoren aus |ψ〉, |φ〉 ∈ H, mit |φ〉 = ∑ i b i|u i 〉 und |ψ〉 = ∑ j c j|u j 〉, gilt dann: 

〈φ|ψ〉 = ∑ i 

b ∗ i c i und 〈ψ|ψ〉 = ∑ i 

|c i | 2 (2.2.8) 

Die Forderung (2.2.6) an eine orthonormierte Basis enthält natürlich auch die Forderung, dass man eben soviele 

Basisvektoren vorliegen hat, wie die Dimensionalität des zugrundeliegenden Raumes. Betrachtet man den vollen 

Hilbertraum, so sind natürlich (überabzählbar) unendlich viele Vektoren für eine Basis nötig (Beispiele, siehe 

Abschnitt 3.1). Oft betrachtet man aber in der Quantenmechanik nur einen Unterraum des Hilbertraumes und 

entwickelt dort nach einer beschränkten abzählbaren, oder sogar endlichen Basis. 

2.2.4 Vollständigkeitsrelation 

Sei {|u i 〉}, |u i 〉 ∈ H eine orthonormierte Basis. Dann gilt mit (2.2.7) für ein |ψ〉 ∈ H. 

|ψ〉 = ∑ c i |u i 〉 = ∑ 〈u i |ψ〉|u i 〉 = ∑ ( ) 

∑ 

|u i 〉〈u i |ψ〉 = |u i 〉〈u i | |ψ〉 = 1|ψ〉 = |ψ〉 

i 

i 

i 

i 

Daraus erhält man den folgenden Ausdruck: 

Definition 2.3 (Vollständigkeitsrelation) 

∑ 

|u i 〉〈u i | = 1 (2.2.9) 

i 

Dieser Ausdruck bedeutet, dass man an beliebigen Stellen ein „triviale Eins“ einfügen kann, die zu einem Basiswechsel, 

also einem Darstellunsgwechsel führt. Die obige Darstellung (2.2.9) in der Dirac-Notation ist sehr 

kompakt. Allgemeiner ist diese Darstellung: 

ψ(⃗x) = ∑ c i u i (⃗x) = ∑ 〈u i , ψ〉 · u i (⃗x) = ∑ [∫ 

] 

u ∗ i (⃗x ′ )ψ(⃗x ′ ) d 3 x ′ · u i (⃗x) = 

i 

i 

i 

∫ 

] ∫ 

= ψ(⃗x ′ ) · u i (⃗x)u ∗ i (⃗x ′ ) d 3 x ′ ! 

= ψ(⃗x ′ ) · δ(⃗x − ⃗x ′ ) d 3 x ′ = ψ(⃗x) 

[ ∑ 

i 



Diese Beziehung erklärt die verallgemeinerte Funktion δ(˙) (Dirac’sche Delta-Distribution). Und man kann statt 

(2.2.9) schreiben: ∑ 

u i (⃗x) · u ∗ i (⃗x ′ ) = δ(⃗x − ⃗x ′ ) (2.2.10) 

Mit Hilfe der Vollständigkeitsrelation erhält man folgenden Satz: 

i 

Satz 2.1 (Vollständigkeitsrelation) Erfüllt eine orthonormierte Funktionenmenge {|u i 〉} ⊂ H die Vollständigkeitsrelation 

(2.2.9) bzw. (2.2.10), dann bildet sie eine Basis des H. Umgekehrt gilt, dass jede Basis des H die 

Vollständigkeitsrelation erfüllt. 

2.2.5 Kontinuierliche Basen 

Oft ist es sinnvoll eine Funktionenmenge {ξ i } zu verwenden, um Funktionen aus H darzustellen, deren Funktionen 

ξ i weder quadratintegrabel, noch zu H gehörend sind. Zunächst zwei wichtige Beispiele: 

• Ebene Wellen: 

v ⃗p (⃗x) = 1 √ 

2π 

e i⃗p⃗x/ (2.2.11) 

Diese Funktionenmenge wird auch Fourier-Basis genannt, weil sie auf die Fourier-Transformation führt. 

• Delta-Funktionen: 

ξ ⃗x0 (⃗x) = δ(⃗x − ⃗x 0 ) (2.2.12) 

Man kann dann das Konzept der Basis verallgemeinern: 

Definition 2.4 (Orthonormierte, kontinuierliche Basis) Eine durch einen kontinuierlichen Intex α gekennzeichnete 

Funktionenmenge {w α (⃗x)} heißt orthonormierte, kontinuierliche Basis, wenn gilt: 

∫ 

〈w α , w β 〉 := wα(⃗x) ∗ · w β (⃗x) d 3 x = δ(α − β) (2.2.13) 

Sie genügt damit der Vollständigkeitsrelation: 

∫ 

w ∗ α(⃗x) · w α (⃗x ′ ) dα = δ(⃗x − ⃗x ′ ) (2.2.14) 

Damit gelten alle Beziehungen für diskrete Basen auch für kontinuierliche Basen, wenn man die Summation über 

den Index i ∈ I durch eine Integration über den kontinuierlichen Index α ersetzt. Man kann dies in folgender 

Tabelle 2.1 zusammenfassen: 

diskrete Basis {|u i 〉} kontinuierliche Basis {w α } 

Orthonormierung 

∑ 

〈u i |u j 〉 = δ ij 

Vollständigkeitsrelation 

|u i 〉〈u i | = 1 

∫ 〈w α , w α ′〉 = δ(α − α ′ ) 

w 

∗ 

α · w α dα = δ(⃗x − ⃗x ′ ) 

Entwicklung 

Darstellung des Skalarprodukts 

i 

|ψ〉 = ∑ c i |u i 〉, c i = 〈u i |ψ〉 ψ = ∫ c(α)w α dα, c(α) = (w α , ψ) 

i 

〈ψ|φ〉 = ∑ c ∗ i b i 

(ψ, φ) = ∫ c ∗ (α)b(α) dα 

i 

Tabelle 2.1: Vergleich der Beziehungen für diskrete und für kontinuierliche Basen. 

2.3 Operatoren auf dem Raum H 

2.3.1 Lineare Operatoren 

Ein linearer Operator Â ist eine mathematische Vorschrift, die jedem Vektor |ψ〉 ∈ H einen zweiten Vektor |ψ′ 〉 ∈ 

H zuordnet: 

|ψ ′ 〉 = Â|ψ〉 (2.3.1) 

Da die Operation linear sein soll, gilt (|ψ 1 〉, |ψ 2 〉 ∈ H, λ 1 , λ 2 ∈ C): 

Â [λ 1 |ψ 1 〉 + λ 2 |ψ 2 〉] = λ 1 Â|ψ 1 〉 + λ 2 Â|ψ 2 〉 (2.3.2) 

Das Produkt zweier Operatoren Â, ˆB ist als Hintereinanderausführung definiert: 

] 

ÂˆB|ψ〉 = 

[ˆB|ψ〉 Â . (2.3.3) 



Dieses Produkt ist i.A: nicht kommutativ: 

2.3.2 Kommutatoren 

Zwei Operatoren heißen kommutativ, wenn ÂˆB = 

durch sog. Kommutatoren aus: 

ÂˆB ≠ ˆBÂ. (2.3.4) 

ˆBÂ gilt, wenn also ihr Produkt kommutiert. Dies drückt man 

Definition 2.5 (Kommutator) 

[Â, ˆB] := ÂˆB − ˆBÂ = 0 ⇔ Â, ˆB kommutieren. (2.3.5) 

Die eben definierten Kommutatoren spielen eine wichtige Rolle in der Quantenmachnik. Es gelten die folgenden 

Rechenregeln: 

[Â, Â] = 0 (2.3.6) 

[Â, ˆB] = −[ ˆB, Â] (2.3.7) 

[Â, (ˆB + Ĉ)] = [Â, ˆB] + [Â, Ĉ] (2.3.8) 

[Â, (ˆBĈ)] = [Â, ˆB]Ĉ + ˆB[Â, Ĉ] (2.3.9) 

[Â, [ ˆB, Ĉ]] + [ˆB, [Ĉ, Â]] + [Ĉ, [Â, ˆB]] = 0 (2.3.10) 

[Â, ˆB] † = [ˆB † , Â† ] (2.3.11) 

Operatorfunktionen haben folgende wichtige Eigenschaften in Bezug auf Kommutatoren: 

1. Vertauschung I: Ein Operator Â vertauscht mit jeder Funktion F (Â) (Operatorfunktionen, siehe Abschnitt 

2.3.6): 

[Â, F (Â)] = 0 

2. Vertauschung II: 

[Â, ˆB] = 0 ⇒ [Â, F (ˆB)] = 0 

Kommutieren zwei Observablen, so hat dies wichtige Auswirkungen auf die Beziehung zwischen ihren Eigenräumen 

und ihre Eigenwerte. Die hierzugehörenden Ergebnisse werden in 2.5 behandelt. 

Manchmal benötigt man noch die folgende Definition: 

Definition 2.6 (Antikommutator) 

{Â, ˆB} := ÂˆB + ˆBÂ (2.3.12) 

2.3.3 Hermite’sche Konjugation 

Es gilt für einen beliebigen Operator Â: 

|ψ ′ 〉 = Â|ψ〉 ⇔ 〈ψ′ | = 〈ψ|Â† ⇔ 

〈Âψ| = 〈ψ|Â† 

〈ψ|Â† |φ〉 = 〈φ|Â|ψ〉∗ 

Für den zu adjungierte Operatoren gelten folgende Rechenregeln: 

1. (Â† ) † = Â 

2. (λÂ)† = λ ∗ Â † , λ ∈ C 

3. (Â + ˆB) † = Â† + ˆB † 

4. (ÂˆB) † = ˆB † Â † 



2.3.4 Hermite’sche Operatoren 

Definition 2.7 (Unitärer Operator) 

Ein Operator Â heißt hermite’sch (selbstadjungiert), falls gilt: 

Â † = Â. (2.3.13) 

Für hermite’sche Operatoren gilt: 

• 〈ψ|Â|φ〉 = 〈φ|Â|ψ〉∗ , 

〈Âφ|ψ〉 = 〈φ|Âψ〉 

• Seine Eigenwerte sind reell. 

• Zwei Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal. 

Satz 2.2 (Zerlegung von Operatorprodukten) Jedes Produkt zweier hermite’scher Operatoren lässt sich in 

einen hermite’schen und einen anti-hermite’schen Anteil zerlegen: 

Es gilt für die Teile also: 

und 

ÂˆB = 1 2 (ÂˆB + ˆBÂ) + 1 

} {{ } 

2 (ÂˆB − ˆBÂ) 

} {{ } 

hermite’sch anti-hermite’sch 

(ÂˆB + ˆBÂ)† = ˆB † Â † + Â† ˆB† = ÂˆB + ˆBÂ 

(ÂˆB − ˆBÂ)† = ˆB † Â † − Â† ˆB† = −(ÂˆB − ˆBÂ) 

(2.3.14a) 

(2.3.14b) 

(2.3.14c) 

Für die eben eingeführten anti-hermite’schen Operatoren gilt: 

• Ihre Eigenwerte sind imaginär. 

• Â† = −Â. 

Für die Physik wird folgende Definition von größter Bedeutung sein: 

Definition 2.8 (Observable) Ein hermite’scher Operator Â ist eine Observable, wenn das System seiner orthonormierten 

Eigenvektoren eine Basis des H bildet. 

2.3.5 Unitäre Operatoren 

Definition 2.9 (Unitärer Operator) 

Ein Operator Â heißt unitär, falls gilt: 

2.3.6 Operatorfunktionen 

Â † = Â−1 ⇔ Â† Â = ÂÂ† = 1. (2.3.15) 

Oft führt das Korespondenzprinzip darauf, dass Operatoren als Argument von Funktionen auftreten. Es stellt sich 

dann die Frage, wie dies zu definieren ist, da ja eigentlich nur Operatorprodukte und mithin ganzzahlige Operatorpotenzen 

definiert sind. Um nun dem Ausdruck F (Â) eine Bedeutung zu geben entwickelt man F in eine 

Potenz-Reihe: 

Definition 2.10 (Operatorfunktionen) 

F ( Â ) := 

∞∑ 

f n · Ân (2.3.16) 

n=0 

Es ist dann nur noch darauf zu achten, dass die Potenzreihe auf dem gewünschten Bereich konvergiert. Oft tritt 

etwa ein Ausdruck exp ( Ĥ ) auf. Da die Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion überall konvergiert gilt 

dann: 

exp ( Ĥ ) ∞∑ 1 

= 

n! · Ĥn = 1 + Ĥ + Ĥ2 Ĥn 

+ ... + + ... (2.3.17) 

2 n! 

n=0 

Operatorfunktionen haben folgende wichtige Eigenschaften: 

1. Vertauschung I: Der Operator Â vertauscht mit jeder Funktion F (Â): 

[Â, F (Â)] = 0 (2.3.18) 



2. Vertauschung II: 

[Â, ˆB] = 0 ⇒ [Â, F (ˆB)] = 0 (2.3.19) 

3. Eigenwertgleichung: Sei nun Â|u n〉 = a n |u n 〉 die Eigenwertgleichung zum Operator Â. Dann gilt für eine 

beliebige (in Potenzreihen entwickelbare) Funktion F (·): 

F (Â)|u n〉 = F (a n )|u n 〉 (2.3.20) 

Die Eigenwerte zum Operator F (Â) sind also gerade die Werte F (a n). Die Eigenvektoren sind die selben, 

wie für Â. 

4. Es gilt die sog. Baker-Hausdorff-Beziehung: 

eÂ+ˆB = e − 1 2 [Â,ˆB] · eÂ · eˆB 

(2.3.21) 

genau dann, wenn [Â, [Â, ˆB]] = [[Â, ˆB], ˆB] = 0. 

2.3.7 Ableitungen von Operatoren 

Die Differenziation überträgt sich in der gewohnten Weise auch auf Operatoren. Es gilt: 

d 

dtÂ = lim Â(t + ∆t) − Â(t) 

∆t→0 ∆t 

(2.3.22) 

Für die Matrixelemente erhält man: ( d dtÂ(t) ) 

Auch die üblichen Rechenregeln für Ableitungen gelten weiterhin: 

2.3.8 Spur eines Operators 

Definition 2.11 (Spur eines Operators) 

d 

(Â + ˆB) 

dt 

d 

(ÂˆB) 

dt 

ij 

= d dtÂij(t) (2.3.23) 

= dÂ 

dt + dˆB 

dt 

= dÂ 

dt ˆB + ÂdˆB 

dt 

(2.3.24) 

(2.3.25) 

Spur Â = ∑ i 

〈u i |Â|u i〉 (2.3.26) 

Dabei ist {|u i 〉} eine beliebige (und günstig zu wählende) Basis des H. 

Die eben verwendete Basis {|u i 〉} des H ist beliebig, da man beweisen kann, dass die Spur unabhängig von der 

Basis ist, also bei Basiswechseln erhalten bleibt. Für die Spur gelten die beiden folgenden wichtigen Eigenschaften: 

1. Spur ÂˆB = Spur ˆBÂ 

2. Spur ÂˆBĈ = Spur ˆBĈÂ = Spur ĈÂˆB 

2.4 Darstellungstheorie 

2.4.1 Grundlagen 

Hier geht es darum abstrakte Vektoren |ψ〉 ∈ H und Operatoren durch Zahlen-Vektoren und Matritzen zu repräsentieren. 

Mathematisch gesprochen führt man also eine Isomorphitransformation zwischen dem Vektorraum H 

und dem C n durch, bzw. bildet Operatoren auf C n×n ab. 

Sei nun {|u i 〉}, i = 1, ..., n eine Basis des H. Dann entspricht jedem Ket |ψ〉 ∈ H ein Spaltenvektor und jedem 

Bra 〈φ| ∈ H ∗ ein Zeilenvektor: 

⎛ ⎞ 

〈u 1 |ψ〉 

⎜ 

|ψ〉 ˆ= ⎝ . 

〈u n |ψ〉 

⎟ 

⎠ , (〈φ|u 1 〉, . . . , 〈φ|u n 〉) 



Damit gilt natürlich auch: 

( 

〈ψ| = |ψ〉 † ˆ= 〈u 1 |ψ〉 ∗ , 〈u 2 |ψ〉 ∗ , ...〈u n |ψ〉 ∗) = 

( 

) 

〈ψ|u 1 〉, 〈ψ|u 2 〉, ...〈ψ|u n 〉 

Jeder Operator Â kann bezüglich der Basis {|u i〉}, i = 1, ..., n durch eine n × n-Matrix über C dargestellt werden 

(die A ij heißen Matrixelemente des Operators): 

2.4.2 Basiswechsel/Darstellungswechsel 

⎛ 

⎞ 

A 11 A 12 · · · A 1n 

A 21 A 22 · · · A 2n 

Â ˆ= ⎜ 

⎝ 

. 

. . .. 

⎟ 

. ⎠ , mit A ij = 〈u i |Â|u j〉 

A n1 A n2 · · · A nn 

Seien {|u i 〉} und {|t i 〉} zwei orthonormierte Basen des H. Dann definiert man die unitären Übergangsmatrizen: 

Ŝ ik = 〈u i |t k 〉 und (Ŝ† ) ki = 〈t k |u i 〉 

Damit transformieren sich Bra- und Ket-Vektoren, sowie Operatoren wie folgt: 

• Vektoren: 

ψ (t) = S † ψ (u) , 

〈t k |ψ〉 = ∑ i 

〈t k |u i 〉〈u i |ψ〉 = ∑ i 

S † ki 〈u i|ψ〉 

bzw. Rücktransformation: 

ψ (u) = Sψ (t) , 

〈u i |ψ〉 = ∑ k 

〈u i |t k 〉〈t k |ψ〉 = ∑ k 

S ik 〈t k |ψ〉 

In der Dirak-Notation haben die Basiswechsel-Operatoren also folgende Form: 

Ŝ † = ∑ i 

|u i 〉〈u i | 

Dies entspricht gerade der Vollständigkeitsrelation (2.2.9). 

• Operatoren: 

A (t) = S † A (u) S, 

〈t k |Â|t l〉 = ∑ i,j 

〈t k |u i 〉〈u i |Â|u j〉〈u j |t l 〉 

2.5 Eigenwertgleichung 

2.5.1 Einleitung/Definition 

Sei Â ein Operator. Dann nennt man Zahlen λ ∈ C und Kets |ψ〉, die die folgende Gleichung erfüllen Eigenwerte 

bzw. Eigenvektoren des Operators: 

Â|ψ〉 = λ|ψ〉 . (2.5.1) 

Die Eigenwerte berechnet man am einfachsten in einer bestimmten Basis, bzgl. der der Operator eine Matrixdarstellung 

A besitzt. Dann sind nämlich die Eigenwerte λ die Lösungen der charakteristischen Gleichung: 

Für Eigenwertgleichungen gelten folgende Sätze: 

det (A − λ1) = 0 (2.5.2) 

• Seien ˆQ, ˆP zwei hermite’sche Operatoren, mit der Vertauschungsrelation [ ˆQ, ˆP ] = i, dann ist das Spektrum 

(die Menge der Eigenwerte) von ˆQ und ˆP kontinuierlich, besteht also aus allen reellen Zahlen λ ∈ R. 



2.5.2 Sätze über kommutierende Operatoren: 

Satz 2.3 (Eigenvektoren kommutierender Observablen) Sind Â, ˆB zwei kommutierende Operatoren 

([Â, ˆB] = 0), so folgt aus der Eigenwertgleichung Â|ψ〉 = a|ψ〉, dass auch ˆB|ψ〉 ein Eigenvektor von Â 

zum selben Eigenwert a ist: 

) 

) 

Â 

(ˆB|ψ〉 = a · 

(ˆB|ψ〉 (2.5.3) 

Satz 2.4 (Wirkung kommutierender Observablen auf Eigenräume) Wenn zwei Operatoren Â, ˆB vertauschen 

([Â, ˆB] = 0), so ist jeder Eigenraum von Â gegnüber der Wirkung von ˆB invariant. 

Satz 2.5 (Kommutierende Observablen und Basen) Sind Â, ˆB zwei kommutierende Operatoren ([Â, ˆB] = 0), 

so kann man aus ihren gemeinsamen Eigenvektoren |u i n〉 eine orthonormierte Basis des Zustandsraumes konstruieren. 

Mit den oben angegebenen |u i n〉 gilt: 

Â|u i n〉 = a n |u i n〉, ˆB|u 

i 

n 〉 = b n |u i n〉 

Die Eigenwerte zu einem |u i n〉 sind also nicht notwendigerweise gleich. 

2.5.3 Vollständiger Satz kommutierender Observablen (v.S.k.O.) 

Man betrachte einen Operator Â mit den Eigenwerte a n und den Eigenvektoren |u i n〉. Der Index i = 1, ..., g n 

nummeriert die entarteten Eigenvektoren zum Eigenwert a n . Es gibt nun zwei Fälle zu unterscheiden: 

1. Alle Eigenwerte sind nicht-entartet (g n = 1, ∀n). Dann kann der zugehörige Eigenvektor eindeutig durch 

den Eigenwert bestimmt werden und man schreibt |u i n〉 = |a n 〉. Die Eigenvektoren {|a n 〉} bilden dann eine 

eindeutig bestimmte Basis von H. 

2. Sind einige Eigenwerte von Â entartet, so reicht die Angabe des Eigenwertes a n nicht immer zur Charakterisierung 

des zugehörigen Eigenraumes aus. Eine Basis, die aus den |u i n〉 aufgebaut wird ist nun aufgrund 

der Entartung nicht mehr eindeutig bestimmt, da in den entarteten Unterräumen H n unterschiedliche Basen 

zum gleichen Eigenwert a n konstruiert werden können. Nimmt man nun aber eine weitere Observable 

ˆB hinzu, die mit Â vertauscht ([Â, ˆB] = 0), so können diese einen vollständigen Satz kommutierender 

Observablen bilden, wenn ihre gemeinsamen Eigenvektoren |v i n〉 eine eindeutige Basis des H aufspannen. 

Diese Basis lässt sich dann schreiben als {|v i n〉} = {|a n , b n 〉}, wird also erst durch die Beiden Eigenwerte 

a n und b n eindeutig definiert. Evtl. müssen sukzessive weitere Observablen hinzugenommen werden, und 

die Zustände werden dann durch entsprechend mehrere Eigenwerte bestimmt. Ein gutes Beispiel sind die 

verschiedenen im Wasserstoffatom auftretenden Quantenzahlen n, l, m, s (siehe Abschnitt 10). 

Die Ergebnisse aus Punkt 2 lassen sich zusammenfassen: 

Definition 2.12 (Vollständiger Satz kommutierender Observablen (v.S.k.O.)) Eine Menge von Operatoren 

Â 1 , Â2, ..., Âq bildet einen vollständigen Satz kommutierender Observablen, wenn sie paarweise vertauschen 

([Âi, Âj] = 0) und ihre gemeinsamen Eigenvektoren |u n 〉 mit den jeweiligen Eigenwerten a (q) 

n (Âq|u n 〉 = 

a (q) 

n |u n 〉) eine (bis auf Phasenfaktoren e iϕ ) eindeutige Basis des H aufspannen. Die einzelnen basisvektoren können 

dann durch die Eigenwerte a (q) 

n eindeutig bestimmt werden: |u n 〉 = |a (1) 

n , a (2) 

n , ...a (q) 

n 〉. 

2.6 Erwartungswert und Stadardabweichung 

Definition 2.13 (Erwartungswert einer Observablen) Sei Â der zu einer Observablen A gehörende Operator. 

Dann ist der Erwartungswert für eine Messung von A an einem System im Zustand |ψ〉 (nicht notwendigerweise 

normiert): 

〈Â〉 ψ = 〈ψ|Â|ψ〉 

∫ 

ψ ∗ 

= 

(⃗x)Âψ(⃗x) d3 x 

∫ (2.6.1) 

〈ψ|ψ〉 ψ∗ (⃗x)ψ(⃗x) d 3 x 



Definition 2.14 (Standardabweichung einer Observablen) 

die Streung der erwarteten Messwerte. Sie ist definiert als: 

Die Standardabweichung ist ein mittleres Maß für 

√ 〈(Â ) 〉 √ 

2 〉 

∆Â = − 〈 Â〉 = 

〈Â2 − 〈Â〉2 (2.6.2) 

Ist |ψ〉 ein Eigenvektor zu Â, so gilt ∆Â = 0. 

2.7 Tensorprodukte von Zustandsräumen 

2.7.1 Definition 

Definition 2.15 (Tensorprodukt) 

Der Vektorraum 

H = H 1 ⊗ H 2 (2.7.1) 

heißt Tensorprodukt oder Produktraum der Räume H 1 , H 2 , wenn es zu jedem Paar von Vektoren |ψ(1)〉 ∈ H 1 und 

|ψ(2)〉 ∈ H 2 einen Vektor 

|φ〉 = |ψ(1), ψ(2)〉 ≡ |ψ(1)〉 ⊗ |ψ(2)〉 ∈ H (2.7.2) 

aus H gibt. Dieses Produkt hat die folgenden Eigenschaften: 

1. [ λ|ψ(1)〉 ] ⊗ |ψ(2)〉 = λ|ψ(1)〉 ⊗ |ψ(2)〉, λ ∈ C und 

|ψ(1)〉 ⊗ [ λ|ψ(2)〉 ] = λ|ψ(1)〉 ⊗ |ψ(2)〉, λ ∈ C 

2. Distributivgesetz: 

[ 

|ψ1 (1)〉 + |ψ 2 (1)〉 ] ⊗ |ψ(2)〉 = |ψ 1 (1)〉 ⊗ |ψ(2)〉 + |ψ 2 (1)〉 ⊗ |ψ(2)〉 und 

|ψ(1)〉 ⊗ [ |ψ 1 (2)〉 + |ψ 2 (2)〉 ] = |ψ(1)〉 ⊗ |ψ 1 (2)〉 + |ψ(1)〉 ⊗ |ψ 2 (2)〉 

3. Ist {|u i (1)〉} eine Basis von H 1 und {|u i (2)〉} eine Basis von H 2 , so bilden {|u i (1)〉 ⊗ |u i (2)〉} eine Basis 

von H. 

Man betrachte nun zwei Vektoren |φ(1)〉 ∈ H 1 , 

{|u i (1)〉} ⊂ H 1 bzw. {|u i (2)〉} ⊂ H 2 : 

|χ(2)〉 ∈ H 2 mit ihren Darstellungen bezüglich der Basen 

|φ(1)〉 = ∑ i 

a i |u i (1)〉, bzw. |χ(2)〉 = ∑ i 

b i |u i (2)〉 

Für ihr tensorielles Produkt gilt dann: 

|φ(1)〉 ⊗ |χ(2)〉 = ∑ i 

a i b i |u i (1)〉 ⊗ |u i (2)〉 (2.7.3) 

Umgekehrt findet man aber nicht für jeden Vektor |ψ〉 ∈ H 1 ⊗ H 2 ein Paar Vektoren |φ(1)〉 ∈ H 1 , |χ(2)〉 ∈ H 2 

als deren Tensorprodukt sich |ψ〉 darstellen lässt. 

Bei der Anwendung von Operatoren Â(1/2), die auf H 1/2 definiert sind ist zu beachten, dass der Operator 

immer nur auf den ihm zugehörigen Raum wirkt, also: 

Â(1) ( |φ(1)〉 ⊗ |χ(2)〉 ) = ( Â(1)|φ(1)〉 ) ⊗ |χ(2)〉 (2.7.4) 

Für das Tensorprodukte zweier Operatoren Â(1) ⊗ ˆB(2) gilt entsprechend: 

(Â(1) 

⊗ ˆB(2) 

)( 

|φ(1)〉 ⊗ |χ(2)〉 

) 

= 

(Â(1)|φ(1)〉 ) 

⊗ 

(ˆB(2)|χ(2)〉 

) 

(2.7.5) 

Hierbei wurde stillschweigend angenommen, dass es einen Operator Â(1/2) gibt, der auf H 1 ⊗ H 2 wirkt und 

obiges Verhalten hat. Der somit durch (2.7.4) definierte Operator ist die sogenannte Fortsetzung des Operators 

Â(1/2) aus H 1 ⊗ H 2 . Er ist folgendermaßen formal definiert: 



Definition 2.16 (Fortsetzung eines Operators) Ein Operator Â(1) wirke auf H 1. Auf dem Produktraum definiert 

man mit dem Einheitsoperator 1(2) auf einem komplementären Hilbertraum H 2 den Operator 

Dieser wirkt folgendermaßen auf einen Produktzustand: 

Â := Â(1) ⊗ 1(2) (2.7.6) 

Â ( |φ(1)〉 ⊗ |χ(2)〉 ) = ( Â(1)|φ(1)〉 ) ⊗ |χ(2)〉 (2.7.7) 

Der so fortgesetze Operator wirkt also nur auf den Anteil aus H 1 im Produktraum. 

2.7.2 Eigenwertgleichung im Produktraum 

Man betrachte nun die Eigenwertgleichung eines fortgesetzten Operator auf einem Produktraum. Es gilt der folgende 

Satz: 

Satz 2.6 (Eigenwertgleichung für Â(1) im Produktraum) Man betrachte einen Operator Â(1) auf dem Hilbertraum 

H 1 , der dort die folgende Eigenwertgleichung erfüllt: 

Â(1)|u i n(1)〉 = a n |u i n(1)〉, i = 1, ..., g n . (2.7.8) 

Nun werde der Operator Â(1) als Â := Â(1) ⊗ 1(2) auf dem Produktraum H := H 1 ⊗ H 2 fortgesetzt. Dort erhält 

man dann als Eigenwertgleichung: 

Â|u i n(1)〉|χ(2)〉 = a n |u i n(1)〉|χ(2)〉, i = 1, ..., g n . (2.7.9) 

Dabei ist |χ(2)〉 ∈ H 2 ein beliebiger Ket aus H 2 . Es gelten weiterhin: 

1. Ist Â(1) eine Observable auf H 1, so ist auch Â eine Observable auf H. 

2. Das Spektrum von Â ist das selbe, wie dasjenige von Â(1). Jeder dieser Eigenwerte ist N 2 ·g n -fach entartet. 

Dabei ist N 2 die Dimension von H 2 . 

Satz 2.7 (Eigenwertgleichung für Ĉ = Â(1) + ˆB(2) im Produktraum) 

H 1 und ˆB(2) auf H 2 , die die folgenden Eigenwertgleichungen erfüllen: 

Man betrachte die Operator Â(1) auf 

Â(1)|u n (1)〉 = a n |u n (1)〉 

ˆB(2)|w n (2)〉 = b n |w n (2)〉 

Der Operator Ĉ := Â(1) + ˆB(2) (dabei sind Â(1), ˆB(2) die Fortsetzungen der Operatoren auf H = H 1 ⊗ H 2 ) 

hat dann folgende Eigenwertgleichung: 

Die Eigenwerte sind also alle möglichen Kombinationen a n + b p . 

Ĉ|u n (1)〉|w p (2)〉 = (a n + b p )|u n (1)〉|w p (2)〉. (2.7.10) 


3 Wichtige Operatoren 

3.1 Orts- und Impulsoperator 

3.1.1 Orts- und Impulsdarstellung 

In 2.2.5 wurden kontinuierliche Basen für den Hilbertraum H eingeführt, deren Mitglieder nicht notwendigerweise 

zu H gehören müssen. Dabei wurden zwei Beispiele genannt, die auf die Orts- und die Impulsdarstellung von 

Wellenfunktionen führen werden: 

• Ebene Wellen: 

• Delta-Funktionen: 

v ⃗p0 (⃗x) = 

{ } 

1 

i 

(2π) · exp 3/2 ⃗p 0 · ⃗x 

(3.1.1) 

ξ ⃗x0 (⃗x) = δ(⃗x − ⃗x 0 ) (3.1.2) 

Diese Beiden Funktionensysteme {v ⃗p0 (⃗x)} und {ξ ⃗x0 (⃗x)} sind orthonormiert, was man leicht nachweisen kann. 

Obwohl ihre Elemente nicht zu H gehören kann man jede hinreichen stetige („anständige“) Funktion aus H nach 

diesen „Basen“ entwickeln. Darum ordnet man trotzdem jeder dieser Funktionen einen Ket-Vektor zu und schreibt 

also: 

{ } 

1 

i 

〈⃗x|⃗p 0 〉 := v ⃗p0 (⃗x) = 

(2π) · exp 3/2 ⃗p 0 · ⃗x , 〈⃗x|⃗x 0 〉 := ξ ⃗x0 (⃗x) = δ(⃗x − ⃗x 0 ) 

Für einen beliebigen Ket |ψ〉 ∈ H lässt sich nun damit die Ortsdarstellung berechnen: 

∫ 

∫ 

〈⃗x 0 |ψ〉 = ξ⃗x ∗ 0 

(⃗x)ψ(⃗x) d 3 x = δ(⃗x − ⃗x 0 )ψ(⃗x) d 3 x = ψ(⃗x 0 ) (3.1.3) 

Diese Darstellung ψ(⃗x) von |ψ〉 lässt sich als Wellenfunktion im Ortsraum R 3 mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeitsinterpretation 

auffassen. Mit |⃗p 0 〉 erhält man analog: 

∫ 

∫ 

〈⃗p 0 |ψ〉 = v⃗p ∗ 0 

(⃗x)ψ(⃗x) d 3 1 

x = 

(2π) · ψ(⃗x) · e i 3/2 ⃗p0·⃗x d 3 x = ψ(⃗p 0 ) = F [ψ(⃗x)] (3.1.4) 

Diese Impulsdarstellung lässt sich so interpretieren, dass |ψ(⃗p)| 2 d 3 p die Wahrscheinlichkeit angibt, dass das 

Teilchen den Impuls ⃗p aufweist. Sie gibt also die Wahrscheinlichkeitsverteilung im Impulsraum an. Zusätzlich 

sieht man, dass 〈⃗x 0 |ψ〉 und 〈⃗p 0 |ψ〉 Fourier-Transformierte voneinander sind. 

3.1.2 Die Operatoren 

Nun, da die Darstellung beliebiger Kets im Orts- und im Impulsraum eingeführt wurde, kann man auch die Ortsund 

Impulsoperatoren definieren: 

Definition 3.1 (Ortsoperator und Impulsoperator) Der Ortsoperator ˆX bewirkt in der Ortsdarstellung eine 

Multiplikation mit dem Ort x: 

〈⃗x| ˆX|ψ〉 = x · 〈⃗x|ψ〉, ˆXψ(x) = x · ψ(x) (3.1.5) 

Für die Eigenwerte des Operators gilt dann: 

Für den Impulsoperator ˆP x gilt entsprechend (in der Impulsdarstellung): 

ˆX|⃗r〉 = x · |⃗r〉 (3.1.6) 

ˆP x |⃗p〉 = p x · |⃗p〉 und 〈⃗p| ˆ P x |ψ〉 = p x · 〈⃗p|ψ〉 (3.1.7) 

Um z.B. nach dem Korrespondenzprinzip ein System zu modellieren, dass über die Hamiltonfunktion H definiert 

ist, ist es nötig sowohl Impuls-, als auch Ortsoperator in ein- und demselben Raum (z.B. der Ortsraum) zu kennen. 

Darum berechnet man die Ortsdarstellung des Impulsoperators (nutze Vollständigkeitsrelation): 

〈⃗x| ˆ P x |ψ〉 = 

∫ 

d 3 p 〈⃗x|⃗p〉〈⃗p| ˆ P x |ψ〉 = (2π) −3/2 ∫ 

d 3 p p x ψ(⃗p) · e i⃗p⃗x/ 

22


Dieser Ausdruck ist aber gerade proportional zur Fourier-transformierten der ersten partiellen Ableitung und man 

erhält folglich: 

〈⃗x| ˆ P x |ψ〉 = −i ⃗ ∇〈⃗x|ψ〉 = −i ⃗ ∇ψ(⃗x) (3.1.8) 

Diesen Zusammenhang sieht man einfach über die Definition der Fourier-Trafo ein: 

f(x) = √ 1 ∫ 

F (k)e −ikx dx 

2π 

Nun leitet man beide Seiten nach dem ort x ab und vertauscht Integration und Differentiation: 

∂ 

∂x f(x) = √ 1 ∫ ∂ ( 

F (k)e 

−ikx ) dx = 1 ∫ 

√ (−ik) · F (k)e −ikx dx 

2π ∂x 

2π 

Daraus liest man im Vergleich zur vorherigen Gleichung das Fourierpaar ab: 

∂f(x) 

∂x 

(−ik) · F (k) 

Die so erhaltenen Vektor-Operatoren zeigen folgende Eigenschaften: 

1. 

ˆ⃗R und ˆ⃗ P sind Beide hermite’sche Operatoren. 

2. Es gelten die folgenden „kanonischen Vertauschungsrelationen“: 

[ R ˆ m , Rn ˆ ] = 0, 

[ P ˆ m , P ˆ n ] = 0, 

[ R ˆ m , P ˆ n ] = iδ mn (3.1.9) 

3.2 Konjugierte Operatoren 

Die eben beschriebenen Orts- und Impulsoperatoren kann man auch noch etwas verallgemeinern. In der klassischen 

Mechanik bezeichnet man mit q i eine Observable in einem orthogonalen Koordinatensystem/Bezugssystem. Dann 

ist der mechanische Impuls p i gleich dem kanonischen Impuls p i = ∂L 

∂q i 

. Für beide gelten in der klassischen 

Mechanik die folgenden Relationen in Bezug auf die Poisson-Klammern {, }: 

{q i , q j } = {p i , p j } = 0, {q i , p j } = δ ij . 

Wie man gesehen hat gelten ähnliche Beziehung bezüglich der Kommutatoren in der Quantenmechanik für die 

Orts- und Impulsoperatoren (siehe (3.1.9)). Nun tauchen in der QM des Öfteren kommutierende Operatoren ˆQ, ˆP 

auf, für die die folgenden Relationen (3.2.1) erfüllt sind: 

Man nennt zwei Operatoren ˆ⃗ P, ˆ⃗Q konjugiert, wenn die folgenden ka- 

Definition 3.2 (Konjugierte Operatoren) 

nonischen Vertauschungsrelationen gelten: 

[ Q ˆ m , Qn ˆ ] = [ P ˆ m , P ˆ n ] = 0, 

[ Q ˆ m , P ˆ n ] = iδ mn (3.2.1) 

Für solche Operatoren gelten nun ähnliche Gesetze, wie in den letzten Beiden Abschnitten dargestellt: 

• Die Eigenwerte und Eigenvektoren von ˆQ und ˆP seinen: 

ˆQ|q〉 = q · |q〉, 

ˆP|p〉 = p · |p〉 

• Man kann nun auf einfache Weise einen unitären „Translationsoperator“ definieren, durch: 

Ŝ(λ) = e −iλˆP/ , Ŝ † (λ) = Ŝ−1 (λ) = Ŝ(−λ) (3.2.2) 

Dieser hat folgende Wirkung : 

In der {|q〉}-Darstellung gilt außerdem: 

Ŝ(λ)|q〉 = |q + λ〉 (3.2.3) 

〈q|Ŝ(λ)|ψ〉 = 〈q − λ|ψ〉 = ψ(q − λ). (3.2.4) 



• Die Wirkung von ˆP in der {|q〉}-Darstellung ist durch den folgenden einfachen Ableitungsoperator gegeben: 

ˆP ˆ= − i d dq 

(3.2.5) 

Umgekehrt wirkt ˆQ in der {|p〉}-Darstellung: 

ˆQ ˆ=i d dp 

(3.2.6) 

• Für ein Paar von Operatoren ˆQ, ˆP im obigen Sinne gilt: 

[ ˆQ, ˆP n ] = inˆP n−1 (3.2.7) 

Dies kann man leicht einsehen, indem man ein Induktionsargument anwendet: 

[ ˆQ, ˆP 2 ] = [ ˆQ, ˆP ]ˆP + ˆP[ ˆQ, ˆP ] = 2iˆP 

[ ˆQ, ˆP n+1 ] = [ ˆQ, ˆPˆP n ] = [ ˆQ, ˆP ]ˆP n + ˆP[ ˆQ, P ˆ n 

] = iˆP n + inˆPˆP n−1 = i(n + 1)ˆP n 

Für eine entwickelbare Funktion F (x) = ∑ n 

f n x n gilt damit: 

[ ˆQ, F (ˆP)] = ∑ n 

[ ˆQ, f n ˆPn ] = ∑ n 

inf n P n−1 ⇒ [ ˆQ, F (ˆP)] = iF ′ (ˆP) (3.2.8) 

Dabei ist F ′ (x) = ∑ n 

nf n x n−1 die erste Ableitung der Funktion F (x) nach ihrem Argument x. Analog gilt: 

[ˆP, G( ˆQ)] = iG ′ ( ˆQ) (3.2.9) 

3.3 Projektoren 

Der Operator ˆP ψ berechnet die Projektion eines beliebigen Kets auf ψ. Er hat die folgende Form und Eigenschaft: 

ˆP ψ = |ψ〉〈ψ|, ˆP2 ψ = ˆP ψ . 

Analog definiert man einen Projektor auf einen Unterraum: 

q∑ 

ˆP q = |ϕ i 〉〈ϕ i |, ˆP2 q = ˆP q . 

i=1 

Definition 3.3 (Projektoren) 

Man nennt jeden Operator ˆP Projektor, der die Beziehung ˆP 2 = ˆP erfüllt. 

3.4 Translationsoperator 

3.4.1 Definition und Eigenschaften 

Seien ˆP, ˆQ zwei Operatoren, für die gilt: [ˆP, ˆQ] 

= i (3.4.1) 

Die Familien {|q〉} und {|p〉} sind Eigenbasen der Operatoren ˆQ, ˆP. Der Translationsoperator ist dann definiert 

als: 

Ŝ(λ) = e −iλˆP/ 

(3.4.2) 

Es gilt: 

Betrachtet man (3.4.1) in der {|q〉}-Darstellung, so gilt (ψ(q) = 〈q|ψ〉): 

Ŝ † (λ) = Ŝ−1 (λ) = Ŝ(−λ) (3.4.3) 

[ ˆQ, Ŝ(λ)] = λ · Ŝ(λ) (3.4.4) 

ˆQŜ(λ) ( ) 

= Ŝ(λ) · ˆQ + λ (3.4.5) 

Ŝ(λ)Ŝ(µ) = Ŝ(λ + µ) (3.4.6) 

Ŝ(λ)ψ(q) = 〈q|Ŝ(λ)|ψ〉 = 〈q − λ|ψ〉 = ψ(q − λ) (3.4.7) 

Der Operator Ŝ(λ) bewirkt also eine Translation um λ in q-Richtung. 



3.4.2 Motivation des Translationsoperators 

Es gibt eine sehr anschauliche (und tief führende) Herleitung des Translationsoperators. Angenommen man möchte 

eine Funktion ψ(x 0 ) um eine kleine Strecke λ verschieben, also ψ(x 0 + λ) berechnen, so kann man für λ ≪ 1 die 

Taylor-Reihe nach dem linearen Glied abbrechen: 

( 

ψ(x 0 + λ) = ψ(x 0 ) + λ · ψ ′ (x 0 ) = 1 + λ ∂ ) 

ψ(x 0 ) 

∂x 

Andererseits kann man einen solchen Ausdruck erhalten, wenn man mit ˆP = −i∇ ⃗ schreibt: 

( 

ψ(x 0 − λ) = 1 − λ∇ 

⃗ ) ( 

ψ(x 0 ) = 1 − i ) 

λ P ⃗ ψ(x 0 ) 

Der Impulsoperator P ⃗ kann also als Erzeugender von infinitesimalen Verschiebungen angesehen werden. Im nächsten 

Schritt setzt man n kleine Verschiebugen zusammen, um um eine Strecke x ≫ λ zu verschieben: 

( 

ψ(x 0 + s) = 1 + x ) n ( 

∂ 

ψ(x 0 ) und damit: ψ(x 0 − x) = 1 − i ) n 

x 

P 

n ∂x 

n ⃗ ψ(x 0 ) 

( 

Nun kann man aber den Grenzwert lim 1 + 

x n 

n→∞ n) 

= e x nutzen und für große n schreiben: 

( 

ψ(x 0 − x) = 1 − i ) n 

x 

P 

n ⃗ ψ(x 0 ) = e − i x ⃗P ψ(x 0 ) 

Damit definiert man also den Translationsoperator 

Ŝ(λ) = e i λ ⃗ P 

3.5 Paritätsoperator 

• Paritätstransformation: Die Paritätstransfomration ist definiert als: 

⃗r → −⃗r 

In Kugelkoordinaten gilt damit: 

(r, θ, φ) → (r, π − θ, π + φ) 

• Definition: Der Paritätsoperator ˆΠ ist über seine Wirkung auf den Ket in Ortsdarstellung |⃗r〉 definiert: 

ˆΠ|⃗r〉 = |−⃗r〉. 

In der Ortsbasis {|⃗r〉} sind die Matrixelemente von ˆΠ: 

• einfache Eigenschaften: 

〈⃗r|ˆΠ|⃗r ′ 〉 = 〈⃗r|⃗r ′ 〉 = δ(⃗r + ⃗r ′ ) 

1. ˆΠ2 = 1 

2. ˆΠ = ˆΠ−1 = ˆΠ † (Hermite’scher und unitärer Operator) 

3. Eigenraum zu EW +1: geraden Funktionen (ψ(−x) = ψ(x)) 

Eigenraum zu EW −1: ungeraden Funktionen (ψ(−x) = −ψ(x)) 

• Vetauschungsrelationen: 

1. ˆΠˆX + ˆXˆΠ = 0 

2. ˆΠ ˆPx + ˆP x ˆΠ = 0 

Dies kann man zeigen, indem man ˆΠ ˆP x |⃗p〉 = p x |−⃗p〉 und ˆP x ˆΠ|⃗p〉 = −px |−⃗p〉 berechnet. Dazu 



benötigt man: 

3.6 Der Dichteoperator 

∫∞ 

ˆΠ|⃗p〉 = (2π) −3/2 

−∞ 

d 3 re i⃗p·⃗r/ ˆΠ|⃗r〉 = 

∫∞ 

= (2π) −3/2 d 3 re i⃗p·⃗r/ |−⃗r〉 = 

= 

⃗r ′ = −⃗r, d 3 r ′ = −d 3 r 

= |−⃗p〉. 

−∞ 

∫ 

−(2π) −3/2 −∞ 

∞ 

d 3 r ′ e −i⃗p·⃗r′ / |⃗r〉 

Dieser Abschnitt soll gemischte quantenmechanische Zustände beschreiben und den Dichteoperator mit seinen 

Eigenschaften einführen. Danach wird die von-Neumann-Gleichung behandelt, die die zeitliche Propagation des 

Dichteoperators beschreibt. Die Darstellung in diesem Abschnitt bezieht sich auf [Cohen-Tannoudji u.a. 1999a] ab 

Seite 277. 

3.6.1 Vollständige und Unvollständige Information in der Quantenmechanik 

In der „normalen“ Quantenmechanik betrachtet man Zustände, die vollständig definiert sind. Ein quantenmachnischer 

Zustand ist genau dann vollständig bekannt, wenn man einen vollständigen Satz kommutierender Operatoren 

gemessen hat. Ihre Eigenwerte geben dann eindeutig den Zustand an, in dem sich das System befindet. So kann 

man etwa den Polarisationszustand (|+〉 oder |−〉) eines Lichtstrahles mit einen Polarisator exakt bestimmen. Der 

Polarisationszustand des Strahles ergibt sich dann als Linearkombination der Basiszustände: 

|ψ〉 = c 1 |+〉 + c 2 |−〉, 

c 1 , c 2 ∈ C 

In der statistischen Physik betrachtet man Systeme, über die nur unvollständige Information bekannt ist. So etwa 

ein Lichtstrahl, der aus einer natürlichen Lichtquelle stammt. In einem solchen hat jedes Photon eine definierte 

Polarisation, dem gesamten Strahl kann aber keine solche Polarisation zugeschrieben werden. Die folgende Abb. 

3.1 zeigt den Unterschied. 

natürliche 

Lichtquelle 

Laser 

Photonen 

Photonen 

Abb. 3.1: Polarisation von Laserlicht und Licht einer natürlichen Quelle (Kerze, Lampe etz.) 

Im Falle der unvollständigen Information kann man nur noch angeben, welcher Anteil der Photonen p 1 im 

Polarisationszustand |ψ 1 〉, welcher Anteil p 2 in |ψ 2 〉 usw. ist. Dabei ist jeder |ψ i 〉 wieder ein reiner Zustand nach 

obigem Beispiel. Für die Wahrscheinlichkeiten p 1 gilt natürlich die Normierungsbedingung 

∑ 

p i = 1. 

i 

Diese Wahrscheinlichkeiten dürfen auch nicht mit den intrinsischen Wahrscheinlichkeiten beim Messprozess in 

der Quantenmechanik verwechselt werden. In der Darstellung |ψ〉 = c 1 |b 1 〉 + c 2 |b 2 〉 + ... sagt man oft, das System 

hat eine Wahrscheinlichkeit |c i | 2 , sich im Zustand |b i 〉 zu befinden. Dies betrifft aber nicht die Unsicherheit im 

Anfangszustand |ψ〉, der ja eindeutig definiert ist, sondern eine Unsicherheit des Messprozesses beim Messen des 

Zustandes |b i 〉. Dieser Messprozess liefert mit der Wahrscheinlichkeit |c i | 2 den Eigenwert b i , wenn der Zustand 

vorher |ψ〉 war. Man kann einen gemischten Zustand ausdrücklich nicht als Linearkombination von reinen (Basis- 

)Zuständen schreiben. Diese bisherigen Erkenntnisse kann man so zusammenfassen: 



Definition 3.4 (reine und gemischte Zustände) 

• Ein reiner Zustand wird durch die Messung eines vollständigen Satzes kommutierender Operatoren bestimmt. 

Er kann als Linearkombination der Basiszustände dieser Operatoren dargestellt werden: 

|ψ〉 = ∑ i 

c i |b i 〉, c i ∈ C. 

• Ein gemischter Zustand stellt ein statistisches Gemisch von reinen Zuständen dar. Das System befindet sich 

mit der Wahrscheinlichkeit p i im reinen Zustand |ψ i 〉. Für die Wahrscheinlichkeiten p i gilt: 

∑ 

p i ∈ [0, 1], p i = 1 

Ein solcher Zustand kann nicht mehr als Linearkombination von reinen Zuständen dargestellt werden. 

3.6.2 Reiner Fall 

Im reinen Fall wird ein Zustand durch eine Linearkombination 

i 

|ψ〉 = ∑ i 

c i |b i 〉 (3.6.1) 

beschrieben. Die Basisvektoren |b i 〉 seien hier normiert (〈b i |b i 〉 = 1). Für die Konstanten c i gilt die Normierungsbedingung 

∑ 

|c i | 2 = 1. (3.6.2) 

Für den Erwartungswert 〈A〉 einer Observablen Â erhält man dann: 

i 

〈A〉 = 〈ψ|Â|ψ〉 = ∑ i,j 

c ∗ i · c j · 〈b i |Â|b j〉 = ∑ i,j 

c ∗ i · c j · A ij , (3.6.3) 

wobei A ij = 〈b i |Â|b j〉 die Matrixelemente des Operators Â in der {|b i〉}-Basis sind. Die Struktur dieses Mittelwertes 

legt die Einführung eines Dichteoperators 

ˆρ = |ψ〉〈ψ| (3.6.4) 

nahe. Dieser ist äquivalent zum Projektor auf den Zustandsvektor |ψ〉. Für seine Matrixelemente gilt: 

〈b i |ˆρ|b j 〉 = 〈b i |ψ〉〈ψ|b j 〉 = c i · c ∗ j (3.6.5) 

Nun kann man mit Hilfe dieses Operators den Erwartungswert 〈Â〉 einer Observablen Â berechnen: 

〈Â〉 = 

∑ 

c i · c ∗ j · 〈b i |Â|b ∑ 

j〉 = 〈b j |ˆρ|b i 〉〈b i |Â|b (3.6.3) 

(3.6.5) 

j〉 = ∑ 〈b j |ˆρÂ|b j〉 = Spur{ˆρÂ} (3.6.6) 

i,j 

i,j 

j 

Somit genügt die Angabe von ˆρ um den quantenmechanischen Zustand vollständig zu beschreiben. Der statistische 

Operator kann auch zeitabhängig sein (ˆρ t ). Seine zeitliche Entwicklung kann man dann aus der zeitabhängigen 

Schrödingergleichung des Systems ableiten. Die letztere, sowie ihre Adjungierte lauten: 

i d dt |ψ t〉 = Ĥt|ψ t 〉, −i d dt 〈ψ t| = 〈ψ t |Ĥt. (3.6.7) 

Man erhält dann für die zeitliche Ableitung des Dichteoperators: 

( ( ) 

d d d 

dt ˆρ t = t〉) 

dt |ψ 〈ψ t | + |ψ t 〉 

dt 〈ψ t| 

= 

(3.6.7) 

1 

iĤt|ψ t 〉〈ψ t | + 1 

−i |ψ t〉〈ψ t |Ĥt = 1 

i [Ĥt, ˆρ t ] 

= 

(3.6.8) 

Abschließend erhält man noch zwei Eigenschaften des Dichteoperators: Zum einen eine Normierungsbedingung: 

Spur{ˆρ} = ∑ i 

〈b i |ˆρ|b i 〉 = ∑ i 

c i · c ∗ i = ∑ i 

|c i | 2 = 1. (3.6.9) 



Die andere Eigenschaft betrifft die Wahrscheinlichkeit P (a i ) bei der Messung am durch ˆρ beschriebenen Zustand 

den Eigenwert a i zum Eigenvektor |a i 〉 zu erhalten. Diese ist ja gerade |〈a i |ψ〉| 2 . Damit erhält man: 

P (a i ) = |〈a i |ψ〉| 2 = 〈a i |ψ〉 ∗ · 〈a i |ψ〉 = 〈ψ|a i 〉〈a i |ψ〉 = 〈ψ| ˆP i |ψ〉 = Spur{ ˆP i ˆρ}. (3.6.10) 

Dabei ist ˆP i = |a i 〉〈a i | der Projektor auf den Zustand |a i 〉. Den letzten Schritt von (3.6.10) kann man einsehen, 

wenn man die Zerlegung von |ψ〉 nach (3.6.1) in seine Basiszustände beachtet. 

3.6.3 Gemischter Fall 

Nun wird wieder der Fall betrachtet, dass ein Zustandsgemisch auftritt, in dem der Zustand |ψ i 〉 mit der Wahrscheinlichkeit 

p i auftritt. Für das Gemisch gelten die Bedingungen aus Definition 3.4, insbesondere die Normierung 

der p i . Die einzelnen Zustände |ψ i 〉 seien〉 

auch durch die Dichteoperatoren ˆρ i beschrieben. Um nun den 

Erwartungswert einer beliebigen Observable 

〈Â zu berechnen muss man (3.6.6) etwas erweitern: 

〈Â〉 = 

∑ 

j 

p j · Spur{ˆρ j Â} (3.6.11) 

Es wird also das gewichtete Mittel über alle möglichen Erwartungswerte der reinen Zustände gebildet. Dies legt 

folgende Definition des Dichteoperators für den gemischten Zustand nahe: 

ˆρ = ∑ j 

p j ˆρ j = ∑ j 

|ψ j 〉p j 〈ψ j |. (3.6.12) 

Da die Spurbildung eine lineare Operation ist, kann man aus den vorherigen Erkenntnissen folgende Eigenschaften 

des Dichteoperator des statistischen Gemisches ableiten: 

Spur{ˆρ} = 1 

〈Â〉 = Spur{ˆρÂ} 

i d dt ˆρ t = [Ĥt, ˆρ t ] 

Die letzte Gleichung heißt von-Neumann-Gleichung. Außerdem ist ˆρ im reinen und im gemischten Fall ein hermite’scher 

Operator, also 

ˆρ † = ˆρ 

und positiv semi-definit: 

〈a|ˆρ|a〉 ≥ 0. 

3.6.4 Bedeutung der Matrixelemente des Dichteoperators 

Die Diagonalelemente des Dichteoperators ρ sind in der Basis {|a n 〉}: 

ρ nn = ∑ i 

p i [ˆρ i ] nn = ∑ i 

p i 

∣ ∣∣c (i) 

n 

∣ 2 . 

Damit geben sie die Wahrscheinlichkeit an, mit der sich bei einer Messung am System der Zustand |a n 〉 ergibt, also 

der Eigenwert a n gemessen wird. Man nennt die Diagonalelemente deswegen auch Besetzung des Zustandes |a n 〉. 

Die Wahrscheinlichkeit a i zu messen für einen reinen Zustand |ψ (k) 〉 = ∑ c (k) 

i |a (k) 

∣ 

i 〉 ist gerade ∣c (k) 

i ∣ 2 , sodass 

obiger Ausdruck gerade den Mittelwert über alle Zustände i enthält, die im statistischen Gemisch enthalten sind. 

Für die Off-Diagonal-Elemente erhält man: 

ρ np = ∑ i 

p i [ˆρ i ] np = ∑ i 

p i c (i) 

n c (i)∗ 

p . 

Ist ein solches ρ np = 0, so bedeutet dies dass die Interferenzeffekte zwischen den Zuständen |a n 〉 und |a p 〉 im 

Mittel verschwinden. Ist ρ np > 0, so besteht eine gewisse kohärenz zwischen den Zuständen |a n 〉 und |a p 〉. Man 

nennt diese Elemente deswegen auch Kohärenzen. 



3.6.5 Messung und Information 

Wie bereits erwähnt kann man den Mittelwert eines Operator Â bei der Messung an einem durch den Dichteoperator 

ˆρ beschriebenen System so formulieren: 

〈Â〉 = Spur(ˆρÂ). 

Möchte man nun wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit man einen bestimmten Zustand in einem statistischen 

Gemisch misst, verwendet man als Operator den Projektionsoperator auf diesen Zustands: 

Man schreibt also: 

ˆP ψ = |ψ〉〈ψ|. 

P (() ψ) = Spur(ˆρˆP ψ ) = Spur(ˆρ|ψ〉〈ψ|) 

Ein Maß für die Information, die in einem Dichteoperator steckt ist die Shannon-Entropie. Sie ist definiert als: 

S = −k B · Spur{ˆρ · ln ˆρ} = −k B · 〈ln 

ˆρ 〉 (3.6.13) 

In der statistischen Physik ist die Entropie ein Maß für die Größe des zugängliche Phasenraumes und damit für 

die Bestimmtheit des Systems. Die Größe Γ(E) (Phasenraumvolumen) beschreibe die Anzahl der Zustände des 

Systems mit Energie E. Man kann zeigen, dass die Entropie eines Systems, das durch eine vorgegebene Energie 

bestimmt ist (mikrokanonisches Ensemble) gegeben wird durch: 

S = −k B · ln Γ(E). (3.6.14) 

Befindet sich also ein System in nur exakt einem Zustand (reiner Zustand), so erhält man S = 0. Das System ist 

also vollständig bestimmt, was zu einer niedrigen Entropie führt. Je unbestimmter das System ist, desto größer 

wird die Entropie. Eine kleine Entropie entspricht also maximaler Information über das System. 

3.6.6 Zusammenfassung 

Die Erkenntnisse des letzten Abschnittes kann man so zusammenfassen: 

Definition 3.5 (Dichteoperator) Ein gemischter Zustand lässt sich nicht mehr als Linearkombination von Basisvektoren 

des Hilbertraumes darstellen. Man kann aber einen Dichteoperator ˆρ dafür finden. Treten die Zustände 

|ψ i 〉 mit der Wahrscheinlichkeit p i im Gemisch auf, so gilt: 

ˆρ = ∑ ∑ 

|ψ j 〉p j 〈ψ j |, p i = 1. 

j 

i 

Dieser Dichteoperator hat folgende Eigenschaften: 

1. hermite’sch: 

2. positiv-semidefinit: 

3. Normierung: 

4. Erwartungswert einer Observablen: 

ˆρ † = ˆρ 

〈a|ˆρ|a〉 ≥ 0 

Spur{ρ} = 1 

〈Â〉 = Spur{ˆρÂ} 

5. Wahrscheinlichkeit des Zustandes |ψ〉: 

P (() ψ) = Spur(ˆρˆP ψ ) = Spur(ˆρ|ψ〉〈ψ|) 

6. Zeit-Entwicklung/von-Neumann-Gleichung: 

i d dt ˆρ t = [Ĥt, ˆρ t ] 

Für einen reinen Zustand ist der Dichteoperator einfach der Projektor auf den Zustand, es gilt also: 

ˆρ = |ψ j 〉〈ψ j |, ˆρ 2 = ˆρ, Spur{ˆρ 2 } = 1 


4 Wichtige Sätze der Quantenmechanik 

4.1 Schrödingergleichung 

4.1.1 Definition 

Satz 4.1 (Zeitunabhängige Schrödingergleichung) Sei Ĥ = Êkin + Êpot der Hamilton-Operator eines 

( ) ( ˆP2 

− 

2 

Ĥ|ψ〉 = E|ψ〉 ⇔ 

2m + E ∂ 2 ) 

pot |ψ〉 = 

2m ∂x 2 + E pot |ψ〉 = E · |ψ〉 (4.1.1) 

Für dynamische Vorgänge gilt: 

Satz 4.2 (Zeitunabhängige Schrödingergleichung) Die Zeitentwicklung eines durch den hamilton-Operator Ĥ 

beschrieben Systems wird durch die zeitabhängige Schrödingergleichung beschrieben: 

i · d |ψ(t)〉 = Ĥ(t)|ψ(t)〉 (4.1.2) 

dt 

Ist der Anfangszustand |ψ(t 0 )〉 ein Eigenvektor von Ĥ, dann erhält man die Zeitentwicklung des Zustandes: 

|ψ(t)〉 = e −i Ĥ 

(t−t0) |ψ(t 0 )〉 (4.1.3) 

Der Operator Û(t, t 0) = e −i Ĥ 

(t−t0) heißt Propagator oder Zeitentwicklungsoperator. Besitzt der Zustand 

|ψ(t 0 )〉 eine Darstellung in Energie-Eigenvektoren {|E n 〉} zum Hamilton-Operator Ĥ (Eigenwerte E n), so wird 

aus dem Propagator bzw. aus der Zeitentwicklungsgleichung: 

U(t, t 0 ) = ∑ n 

e −iEn(t−t0)/ |E n 〉〈E n | 

(4.1.4a) 


|ψ(t)〉 = ∑ n 

e −iEn(t−t0)/ c n |E n 〉, c n = 〈E n |ψ(t 0 )〉. (4.1.4b) 

Wendet man den Zeitentwicklungsoperator auf Energie-Eigenzustände |E i 〉 des Systems (also Eigenzustände von 

Ĥ) an, so wird der Zustand nur mit einer zeitabhängigen Phase exp(−iE i t/) versehen. Die Wahrscheinlichkeit 

das System in einem Zustand |ψ〉 zu finden, der keinen Anteil von |E i 〉 hat, ist 0. 

4.1.2 Superposition und Interferenzeffekte 

Aus der Linearität der Schrödingergleichung folgt der folgende wichtige Satz: 

Satz 4.3 (Superpositionsprinzip) Da es sich bei der Schrödingergleichung um eine lineare Differentialgleichung 

handelt, gilt für zwei Lösungen |ψ〉 1 ≠ |ψ〉 2 von (4.1.1), dass auch die folgenden Zustände eine Lösung 

darstellen: 

|ψ〉 = λ 1 |ψ〉 1 + λ 2 |ψ〉 2 . 

(4.1.5a) 

Dabei sind λ 1 , λ 2 ∈ C beliebige Konstanten. Dies gilt natürlich auch für die zeitabhängige Schrödingergleichung. 

Dort sind für die Lösungen |ψ 1/2 (t)〉 auch die folgenden Kets Lösungen: 

|ψ(t)〉 = λ 1 |ψ 1 (t)〉 + λ 2 |ψ 2 (t)〉. 

(4.1.5b) 

Angenommen ein System ist im Zustand |ψ〉 = λ 1 |ψ〉 1 +λ 2 |ψ〉 2 präpariert. Zusätzlich hat man die Basis {|a n 〉} 

von Eigenvektoren des Operator Â zu den Eigenwerte a n. Nun wird eine Messung am System durchgeführt. Die 

Wahrscheinlichkeit den Messwert a n zu erhalten ist dann: 

P (a n ) = |〈a n |ψ〉| 2 = |λ 1 〈a n |ψ 1 〉 + λ 2 〈a n |ψ 2 〉| 2 = 

|λ 1 | 2 |〈a n |ψ 1 〉| 2 + |λ 2 | 2 |〈a n |ψ 2 〉| 2 + 2 · Re {λ 1 λ ∗ 2〈a n |ψ 1 〉〈a n |ψ 2 〉 ∗ } 

} {{ } 

Interferenzterme 

(4.1.6) 

30


Dabei wurde die praktische Beziehung (2.1.11) verwendet. Der als Interferenzterm markierte Term in (4.1.6) sorgt 

dafür, dass in der Quantenmechanik Interferenzeffekte (wie in der Optik) auftreten. So kann man etwa Interferenzmuster 

zwischen zwei BECs mit definierte Phase beobachten. Definiert man eine Phase ϕ durch λ 1 = e iϕ λ 2 zwischen 

den Linearfaktoren in |ψ〉, so sieht man dass diese in (4.1.6) eine wesentliche Rolle spielt, da λ i ·λ ∗ 2 = λ 2 2e iϕ 

ergibt. Nach der Bildung des Realteils bleibt diese Phase also als Faktor cos ϕ erhalten, ist also messbar. 

In 7 finden sich einige Beispiele zu den hier aufgeführten Tatsachen. 

4.1.3 Wahrscheinlichkeitsstrom in der Quantenmechanik 

Nach Axiom 1.4 kann man die Wellenfunktion ψ(⃗x, t) = 〈⃗x|ψ t 〉 Als Wahrscheinlicheitsamplitude für das Antreffen 

des Teilchens am Ort ⃗x interpretieren. Deswegen definiert man die Wahrscheinlichkeitsdichte: 

ρ(⃗x, t) = |ψ(⃗x, t)| 2 = |〈⃗x|ψ t 〉| 2 (4.1.7) 

Die Wahrscheinlichkeit das Teilchen im Volumenelement d 3 x um ⃗x anzutreffen ist dann: 

dP (⃗x, t) = ρ(⃗x, t) d 3 x. (4.1.8) 

Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist dabei auf 1 normiert, d.h. das Teilchen ist sicher irgendwo ( ∫ dP (⃗x, t) = 

∫ 

ρ(⃗x, t) d 3 x = 1). Dies bedeutet aber nicht, dass die Dichte ρ(⃗x, t) stationär ist. Man definiert dann weiter 

einen Wahrscheinlichkeitstromdichtevektor J(⃗x, ⃗ t): 

⃗J(⃗x, t) = 

[ψ ∗ · 

2mi 

⃗∇ψ − ψ · ⃗∇ψ ∗] = 1 { ( )} 

m Re ψ ∗ · ∇ψ 

i ⃗ 

(4.1.9a) 

Dieses Ergebnis ist nur für ein skalares Potential gültig. Bewegt sich das Teilchen in einem Vektorpotential A, ⃗ so 

erhält man: 

⃗J(⃗x, t) = 1 ( ) } 

 

{ψ 

m Re ∗ · ∇ 

i ⃗ − qA 

⃗ ψ 

(4.1.9b) 

Mit diesem erhält man dann eine Kontinuitätsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte: 

∂ 

∂t ρ(⃗x, t) + div ⃗ J(⃗x, t) = 0 (4.1.10) 

Beweis: Die Form der Stromdichte lässt sich eindeutig aus der Schrödingergleichung ableiten: Man geht dazu 

von der folgenden Schrödingergleichung für ein allgemeines skalares Potential V (⃗x, t) in der Ortsdarstellung aus: 

i ∂ 2 

ψ(⃗x, t) = − ∇ 

∂t 2m ⃗ 2 ψ(⃗x, t) + V (⃗x, t)ψ(⃗x, t) (4.1.11) 

Daraus erhält man durch Multiplikation mit ψ ∗ (⃗x, t) von links, so erhält man: 

iψ ∗ (⃗x, t) · ∂ 

2 

ψ(⃗x, t) = − 

∂t 2m ψ∗ (⃗x, t) · ⃗∇ 2 ψ(⃗x, t) + ψ ∗ (⃗x, t) · V (⃗x, t)ψ(⃗x, t) (4.1.12) 

Analog ergibt sich aus dem Hermite’sch konjugierten von (4.1.11) nach Multiplikation mit −ψ(⃗x, t): 

iψ(⃗x, t) · ∂ 

∂t ψ∗ (⃗x, t) = 2 

2m ψ(⃗x, t) · ⃗∇ 2 ψ ∗ (⃗x, t) − ψ(⃗x, t) · V (⃗x, t)ψ ∗ (⃗x, t) (4.1.13) 

Addiert man nun (4.1.12) und (4.1.13), so ergibt sich daraus: 

( 

i ψ ∗ (⃗x, t) · ∂ 

) ∂ 

ψ(⃗x, t) + ψ(⃗x, t) · 

∂t ∂t ψ∗ (⃗x, t) = i ∂ ∂t [ψ∗ (⃗x, t)ψ(⃗x, t)] = ∂ ρ(⃗x, t) 

∂t 

[ 

= − 2 

ψ ∗ · 

2m 

⃗∇ 2 ψ − ψ · ⃗∇ 2 ψ ∗] (4.1.14) 

Dies ergibt aber gerade die gesuchte Kontinuitätsgleichung (4.1.10), wenn man die Größe J, ⃗ wie in (4.1.9a) definiert. 

Man kann dies einfach zeigen, indem man die Divergenz von J ⃗ berechnet: 

div J(⃗x, ⃗ t) = ∇ ⃗ · ⃗J = ∇ 

2mi ⃗ [ 

· ψ ∗ · ⃗∇ψ − ψ · ⃗∇ψ ∗] = 

 

[ 

= ( ∇ψ 

2mi 

⃗ ∗ ) · ( ∇ψ) ⃗ + ψ ∗ · ⃗∇ 2 ψ − ( ∇ψ) ⃗ · ( ∇ψ ⃗ ∗ ) − ψ · ⃗∇ 2 ψ ∗] = 

 

[ 

= ψ ∗ · 

2mi 

⃗∇ 2 ψ − ψ · ⃗∇ 2 ψ ∗] ≡ J(⃗x, ⃗ t) 



Beispiel: Ebene Welle: Als Beispiel betrachtet man ψ(⃗x, t) = A · e i(⃗k·⃗x−ωt) . Daraus folgt sofort ρ(⃗x, t) = 

|ψ| 2 = |A| 2 Mit ⃗v G = ⃗ k 

m 

erhält man dann die Stromdichte zu: 

⃗J(⃗x, t) = 

[ 

i 

2mi 

⃗ kA ∗ A · e −i(⃗k·⃗x−ωt) e i(⃗k·⃗x−ωt) + i ⃗ ] kA ∗ A · e i(⃗k·⃗x−ωt) e −i(⃗ k·⃗x−ωt) 

= |A| 2 ⃗v G = ρ(⃗x, t)⃗v G 

4.2 Erhaltungsgrößen 

Satz 4.4 (Erhaltungsgrößen) Der Erwartungswert eines Operators Â ist erhalten, wenn er mit dem Hamilton- 

Operator Ĥ vertauscht: 

d〈Â〉 = 0 

dt 

⇔ [Ĥ, Â] = 0 (4.2.1) 

Dies folgt aus der allgemeinen Gleichung: 

d 

dt 〈Â〉 = 1 〈〉 

〉 

i ∂Â 

+ 

(4.2.2) 

∂t 

Die Ableitung der Beziehung (4.2.2) ist recht einfach. Sei |ψ(t)〉 ein normierter Zustand und Â(t) eine Observable. 

Dann gilt für die zeitliche Ableitung ihres Mittelwertes: 

d 

dt 〈Â〉 ψ = d [ ] 

[ ] 

d d 

dt 〈ψ(t)|Â(t)|ψ(t)〉 = dt 〈ψ(t)| Â(t)|ψ(t)〉 + 〈ψ(t)|Â(t) dt |ψ(t)〉 + 〈ψ(t)| ∂Â 

∂t |ψ(t)〉 

Setzt man hier nun die zeitabhängige Schrödingergleichung (4.1.2), bzw. ihr komplex konjugiertes ein, so erhält 

man weiter: 

d 

dt 〈ψ(t)|Â(t)|ψ(t)〉 = 1 

i 〈ψ(t)|Ĥ(t)Â(t)|ψ(t)〉 − 1 〈ψ(t)|Â(t)Ĥ(t)|ψ(t)〉 + 〈ψ(t)|∂Â 

i ∂t |ψ(t)〉 

Daraus ergibt sich mit der Definition des Kommutators [Â, ˆB] = ÂˆB − ˆBÂ die gesuchte Beziehung (4.2.2). Das 

Ehrenfest-Theorem (siehe Abschnitt 4.4) ergibt sich sehr einfach als Folgerung aus dem obigen Satz. 

4.3 Unschärferelation 

Satz 4.5 (Unschärferelation) 

Seien A, B zwei beliebige Observable, dann gilt: 

∆Â · ∆ˆB ≥ 1 2 · ∣∣ 〈 [Â, ˆB]〉 ∣∣ 

(4.3.1) 

Eine einfache Folgerung daraus ist, dass man nur zwei kommutierende Observable gleichzeitig beliebig genau 

messen kann. Für konjugierte Operatoren ([ ˆQ, ˆP ] = i) erkennt man sofort die einfachere Beziehung: 

∆ ˆQ · ∆ˆP ≥ 2 

(4.3.2) 

Zum Beweis der Formel (4.3.1) geht man so vor (siehe auch [Schwabl 1998] S. 97ff und [Cohen-Tannoudji u.a. 1999a] 

S. 69ff): Gegeben seien zwei hermite’sche Operatoren Â, ˆB (Â† = Â, ˆB† = ˆB) und ein beliebiger Zustand |ψ〉. 

Man definiert dann mit einem reellen Parameter λ ∈ R: 

|φ〉 = (Â + iλˆB)|ψ〉. 

Da nun |φ〉 wieder ein Zustand aus H ist, muss für sein Normquadrat gelten: 

0 ≤ 〈φ|φ〉 = 〈φ|(Â − iλˆB)(Â + iλˆB)|φ〉 = 〈φ|(Â2 + λ 2 ˆB2 + iλ[Â, ˆB])|φ〉 = 

( 

) 

= 〈Â2 〉 + λ 2 〈 ˆB 2 〉 + iλ〈φ|[Â, ˆB]|φ〉 = (1, λ) 

〈Â2 i 

(1 

〉 

2 

〈φ|[Â, ˆB]|φ〉 

i 

2 〈φ|[Â, ˆB]|φ〉〈 ˆB 2 〉 λ) 

Damit diese quadratische Form positiv semidefinit wird, muss die Determinante der vermittelnden Matrix positiv 

semidefinit sein, also: 

〈Â2 i 

〉 

2 

〈φ|[Â, ˆB]|φ〉 

∣ 

i 

2 〈φ|[Â, ˆB]|φ〉〈 ˆB 2 〉 ∣ = 〈Â2 〉〈 ˆB 2 〉 − 1 〈 

ˆB]〉 2 

4 

[Â, ≥ 0 



Damit erhält man die folgende Beziehung: 

〈Â2 〉〈 ˆB 2 〉 ≥ 1 〈 

[Â, ˆB] 

4 

〉 2 

Diese Beziehung gilt allgemein für beliebige hermite’sche Operatoren. Um nun auf die Beziehung (4.3.1) zu kommen, 

geht man zu neuen Operatoren Â′ = Â − 〈Â〉〉 und ˆB ′ = ˆB − 〈 ˆB〉 über, die offensichtlich wieder hermite’sch 

sind. Mit diesen gilt dann (∆Â)2 = 

〈(Â 〈Â′2 

〉 

− 〈Â〉)2 = und entsprechendes für ˆB ′ . Außerdem erhält man: 

[Â − 〈Â〉, ˆB − 〈 ˆB〉] = ÂˆB − Â〈 ˆB〉 − ˆB〈Â〉 + 〈Â〉〈 ˆB〉 − ˆBÂ + Â〈Â〉 + ˆB〈Â〉 − 〈Â〉〈 ˆB〉 = ÂˆB − ˆBÂ = [Â, ˆB] 

Damit folgt dann sofort die Beziehung (4.3.1). 

An diesem Beweis kann man noch die enge Beziehung des Unschärferelation und der Cauchy-Schwarz’schen 

Ungleichung 

|〈φ 1 |φ 2 〉| 2 ≤ 〈φ 1 |φ 1 〉 · 〈φ 2 |φ 2 〉 

zeigen. Dieser Ansatz stellt übrigens eine alternative Beweisformulierung dar. Aus ihr folgt mit |φ 1 〉 := Â|ψ〉 und 

|φ 2 〉 := ˆB|ψ〉: 

|〈φ 1 |φ 2 〉| 2 ∣ 

= ∣〈ψ|ÂˆB|ψ〉 ∣ 2 ≤ 〈ψ|Â|ψ〉 · 〈ψ| ˆB|ψ〉 = 〈φ 1 |φ 1 〉 · 〈φ 2 |φ 2 〉 

Als nächstes betrachtet man das Operatorprodukt ÂˆB, das sich aufspalten lässt: 

ÂˆB = 1 2 (ÂˆB + ˆBÂ) + 1 2 (ÂˆB − 

} {{ ˆBÂ ) 

} 

=[Â, ˆB] 

Für das Betragsquadrat dieses Ausdruckes gilt dann (mit |(a + ib| 2 = a 2 + b 2 ): 

〈Â〉 · 〈 ˆB〉 ∣ 

≥ ∣〈ψ|ÂˆB|ψ〉 ∣ 2 = 1 4 (〈ψ|(ÂˆB + ˆBÂ)|ψ〉)2 + 1 

} {{ } 

4 (〈ψ|(ÂˆB − ˆBÂ)|ψ〉)2 ≥ 1 〈〉∣ ∣∣ 

2 

∣ [Â, ˆB] 

} {{ } 4 

imaginär 

≥0 

Dies entspricht dann aber wieder der Unschärferelation (4.3.1), wenn man obige Operatoren Â′ , ˆB ′ einführt. 

Energie-Zeit-Unschärfe: Zusätzlich zu den „Operatorunschärfen“ in (4.3.1) gibt es noch eine weitere Unschärferelation, 

die Energie und Zeit verbindet. Nun ist aber die Zeit keine Observable (Operator), sondern eine externe 

Variable. Es genügt also nicht der obige Formalismus. Man kann aber mit einer beliebigen Observablen Â ansetzen: 

∆Â · ∆Ĥ ≥ 1 〈〉∣ ∣∣ 

∣ 

2 

[Â, Ĥ] 

∂Â 

Man fordert nun, dass der Operator Â explizit nicht von der Zeit abhängt, also 

∂t 

„Heisenberg-Gleichung“ (4.2.2) für Erhaltungsgrößen: 

d 

dt 〈Â〉 = 1 〈[Â, 〈〉 

〉 

i Ĥ(t)] ∂Â 

+ = 1 〈[Â, 〉 

∂t i Ĥ(t)] 

} {{ } 

=0 

Damit kann man aus obiger Gleichung weiter folgern: 

∆Â · ∆Ĥ ≥ 1 〈〉∣ ∣∣ 

∣ 

2 

[Â, Ĥ] d = 

dt 〈Â〉 

= 0. Dann folgt aus der 

Definiert man nun ∆τ = ∆Â , so hat diese Größe ∆τ die Dimension einer Zeit. Sie bedeutet die minimale Zeit, 

d〈Â〉 

dt 

die für eine nennenswerte Änderung von 〈Â〉 nötig ist. Man erhält also: 

Satz 4.6 (Energie-Zeit-Unschärfe) 

∆τ · ∆E ≥ 2 , 

∆Â 

∆τ = d〈Â〉 

dt 

(4.3.3) 

Die Energie eines Systems, das sich währen ∆τ in einem festen Zustand befindet, kann also nicht beliebig genau 

bestimmt werden. Umgekehrt ist eine begrenzte Verletzung der Energieerhaltung in einem kleinen Zeitintervall ∆τ 

möglich. 



4.4 Ehrenfest-Theorem 

Satz 4.7 (Ehrenfest-Theorem) 

Man betrachte ein System mit folgendem Hamiltonian: 

ˆ⃗P 2 

Ĥ = 

2m + V (ˆ⃗ X) 

Da Ĥ explizit zeitunabhängig ist, kann man die zeitlichen Entwicklungen der Operatoren ˆ⃗ X (Ort) und ˆ⃗P (Impuls) 

durch ihre Kommutatoren mit Ĥ ausdrücken. Dann gelten für Ort und Impuls ähnliche Beziehungen, wie in der 

klassischen Mechanik: 

d 

dt 〈 ˆ⃗ 1 X〉 = 

m 〈 ˆ⃗ P 〉 

d 

dt 〈 ˆ⃗ 

〈〉 

P 〉 = − ⃗∇V (ˆ⃗X) 

Dies entspricht den beiden bekannten Beziehungen ⃗ F = d⃗p 

dt = −⃗ ∇V (⃗x) und d⃗x 

dt = ⃗p m . 

Die Quantenmechanik verhält sich also in ihren Mittelwerten wie die klassische Mechanik. So bewegt sich z.B. 

der Schwerpunkt eines freien Teilchens (Wellenpakte), wie in der klassischen Mechanik (siehe 6.1). Anders gesagt 

zeigt dies, dass die klassische Mechanik als Grenzfall der Qunatenmechanik beschrieben werden kann. 

Zum Beweis des Satzes rechnet man mit Hilfe des Satzes über Erhaltungsgrößen (siehe Abschnitt 4.2): 

d 

dt 〈 ˆ⃗ 1 

〈〉 

X〉 = [ˆ⃗ X, Ĥ] = 1 

i 

i 

〈 

d 

dt 〈 ˆ⃗ 1 

〈〉 

P 〉 = [ˆ⃗ P, Ĥ] = 1 ˆP2 

[ˆ⃗ P, 

i 

i 2m ] 

} {{ } 

=0 

〈 

[ˆ⃗ X, 

ˆP2 

2m ] 〉 

+ 1 

i 

〉 

〈[ˆ⃗ X, V (ˆX)] 

〉 

} {{ } 

=0 

〈 ˆ⃗ P 〉 

= 

mit (3.2.7) m . 

+ 1 

〉〈〉 

〈[ˆ⃗ P, V (ˆX)] = 

i 

− ⃗∇V (ˆ⃗X) 

mit (3.2.8) 

4.5 Vollständiger Satz kommutierender Observabler 

Um ein System in einen bestimmten Zustand zu präparieren muss man mit dem System interagieren, also eine 

Messung durchführen. Ist das System nun durch die gemessenen Eigenwerte noch nicht vollständig bestimmt 

(ist also einer der gemessenen Eigenwerte entartet), so kann man noch nicht von einer vollständigen Präparation 

sprechen, da es immernoch Unsicherheiten gibt. Aus der Definition eine vollständigen Satzes kommutierender 

Observabler (siehe Abschnitt 2.5.3) ergibt sich nun folgender physikalischer Satz: 

Satz 4.8 (Präparation eines Zustandes) Um einen Zustand vollständig zu präparieren, muss man an ihm eine 

simultane Messung aller Observablen aus einem vollständigen Satz kommutierender Observabler messen. Diese 

Messung bestimmt den Zustand des Systems ohne weitere Freiheitsgrade/Unsicherheiten. 

4.6 Bloch-Theorem, Bloch-Funktionen 

Wir gehen von einem Hamilton-Operator Ĥ für ein periodisches Potential V (x) = V (x + x 0) mit Periodizität 

x 0 aus. Der unitäre Operator Ŝ(l) sei der Translationsoperator (siehe Abschnitt 3.4) für eine Translation um l in 

x-Richtung. Da das System unter Translationen um x 0 invariant ist, muss gelten: 

[Ĥ, Ŝ(x 0 )] 

= 0. (4.6.1) 

Damit existiert eine Basis von gemeinsamen Eigenzuständen zu Ĥ und Ŝ(x 0). Mit der Definition (3.4.7) des 

Translations-Operators ergibt sich: 

ψ(x + λ) = Ŝ(−λ)ψ(x) = eikλ ψ(x) (4.6.2) 

Die Eigenwerte eines unitären Operator müssen komplexe Zahlen mit dem Betrag 1 sein. Es gibt also immer eine 

Darstellung der Form e iϕ , die hier auch eingesetzt wurde. Setzt man nun ψ(x) = e ikx u k (x), so erhält man weiter: 

ψ(x + λ) = e ik(x+λ) u k (x + λ) = e ikλ e ikx u k (x) ⇒ u k (x) = u k (x + λ). (4.6.3) 

Diese Ergebnisse lassen sich zum Bloch’schen Theorem zusammenfassen: 



Satz 4.9 (Bloch’sches Theorem) Es sei ein periodisches Potential V (x) mit der Periodizität x 0 gegeben. Dann 

haben die Lösungen der stationären Schrödinger-Gleichung die Form 

ψ k (x) = e ikx · u k (x) (4.6.4) 

wobei u k (x) eine periodische Funktion mit Periode x 0 ist (u k (x) = u k (x + x 0 )). 

4.7 Interpretationen der Quantenmechanik 

Bisher wurde das Schrödingerbild beschrieben: 

Satz 4.10 (Schrödingerbild der QM) Ein quantenmechanischer Zustand wird durch einen zeitabhängigen Zustand 

|ψ S (t)〉 beschrieben, der sich aus der Schrödingergleichung ergibt: 

Ĥ|ψ S (t 0 )〉 = E(t 0 ) · |ψ S (t 0 )〉, i d dt |ψ S(t)〉 = Ĥ(t)|ψ S(t)〉 (4.7.1) 

Daraus ergibt sich der Zeitenwicklungsoperator: 

|ψ S (t)〉 = Û(t, t 0)|ψ S (t 0 )〉, Û(t, t 0 ) = e − i (t−t0)Ĥ 

(4.7.2) 

Man kann die Zeitabhängigkeit aber auch komplett in die Operatoren verschieben, sodass alle Zustände stationär 

sind. Man definiert so das Heisenberg-Bild: 

Satz 4.11 (Heisenbergbild der QM) Mit |ψ S (t)〉 = Û(t, t 0)|ψ S (t 0 )〉 sein ein Zustands und mit ÂS ein Operator 

im Schrödingerbild bezeichnet. Dann ergeben sich die entsprechenden Größen im Heisenbergbild: 

|ψ H 〉 = Û† (t, t 0 )|ψ S (t)〉 = |ψ S (t 0 )〉 (4.7.3) 

Â H = Û† (t, t 0 )ÂSÛ(t, t 0) (4.7.4) 

Die zwei Bilder hängen also durch unitäre Operationen zusammen. Die Heisenberg-Zustände und -Operatoren 

gehorchen den folgenden Gleichungen, die die Schrödinger-Gleichungen ersetzen: 

Ein drittes Bild ist das Dirac- oder Wechselwirkungsbild: 

Satz 4.12 (Dirac- oder Wechselwirkungsbild) 

zeitunabhängigen Term aufgespaltet: 

i dÂH = [ÂH, 

dt + ∂ÂH 

∂t 

(4.7.5) 

Ĥ H |ψ H 〉 = E · |ψ H 〉 (4.7.6) 

Der Schrödinger-Hamiltonian wird in einen zeitab- und einen 

Ĥ S (t) = Ĥ(0) S + Ĥ′ S(t) (4.7.7) 

Bezeichnet man weiter mit Û(0) (t, t 0 ) den unitären Operator, der durch die folgende Gleichung definiert ist: 

dann ergeben sich die Zustände und Operatoren im Diracbild zu: 

i d dtÛ(0) (t, t 0 ) = Ĥ(0) S Û(0) (t, t 0 ), (4.7.8) 

|ψ D (t)〉 = Û(0)† (t, t 0 )|ψ S (t)〉 (4.7.9) 

Â D (t) = Û(0)† (t, t 0 )ÂSÛ(0) (t, t 0 ) (4.7.10) 

Im Dirac-Bild korrespondieren dann folgende Gleichungen zu den Schrödingergleichungen: 

i d dt |ψ D(t)〉 = Ĥ′ D(t)|ψ D (t)〉 (4.7.11) 

i dÂD 

dt 

= [ÂD, Ĥ(0) D ] + i∂ÂD(t) ∂t 

(4.7.12) 

In dieser Interpretation steckt die Zeitabhängigkeit also sowohl im Operator, als auch in den Zuständen. Der 

Hamilton-Operator zerfällt in einen stationären Anteil und einen Wechselwirkungsanteil, der die stationären Ergebnisse 

ändert. 



4.8 Zweiteilchenzustände 

Man betrachte ein System von zwei Teilchen (1) und (2) ohne Spin. In der Ortsdarstellung wird dieses System 

durch eine Wellenfunktion ψ(⃗r 1 , ⃗r 2 ) beschrieben. Man kann sie so interpretieren: 

dP (⃗r 1 , ⃗r 2 ) = C · |ψ(⃗r 1 , ⃗r 2 )| 2 d 3 r 1 d 3 r 2 

ist die Wahrscheinlichkeit das Teilchen (1) im Volumenelement d 3 r 1 um ⃗r 1 und (2) im Element d 3 r 2 um ⃗r 2 zu 

finden (C ergibt sich aus der Normierung der Wahrscheinlichkeit). Für wechselwirkungsfreie Teilchen gilt nun: 

Satz 4.13 (unkorelliertes Zweiteilchensystem) Zwei unkorellierte Teilchen befinden sich an der Stelle ⃗r 1 und 

⃗r 2 . Sie werden in den Ortsbasen {|⃗r 1 〉} und {|⃗r 2 〉} in den Einteilchenräumen H ⃗r1 und H ⃗r2 durch Einzelwellenfunktionen 

ψ 1 (⃗r 1 ) = 〈⃗r 1 |ψ 1 〉 und ψ 2 (⃗r 2 ) = 〈⃗r 2 |ψ 2 〉 beschrieben. Der Zweiteilchenzustand |ψ〉 im Produktraum 

H = H ⃗r1 ⊗ H ⃗r2 lässt sich nun als Produkt schreiben: 

4.9 Korespondenprinzip 

|ψ〉 = |ψ 1 〉 ⊗ |ψ 2 〉, ψ(⃗r 1 , ⃗r 2 ) = 〈⃗r 1 , ⃗r 2 |ψ〉 = ψ 1 (⃗r 1 )ψ 2 (⃗r 2 ). (4.8.1) 

Den Übergang zwischen klassischen und quantenmechanischen Größen kann man im folgenden Korrespondenzprinzip 

zusammenfassen: 

Satz 4.14 (Korrespondenzprinzip) 

Phasenraumfunktion F (⃗q, ⃗p) ↔ Observable (Operator) ˆF 

Dichteverteilcungsfunktion ρ(⃗q, ⃗p) ↔ Statistischer Operator ˆρ 

Poisson-Klammer ↔ Kommutator 

{F, G} = ∑ ( 

) 

∂F ∂G 

∂q i ∂p i 

− ∂G ∂F 

i 

∂q i ∂p i [ ˆF , Ĝ] = i 

(ˆFĜ − ĜˆF ) 

i 

Phasenraumintegration ∫∫ ↔ Spurbildung 

... d 3N q d 3N p 

Spur(...) 

1 

h 3N N! 

stationäres Ensemble 

{ρ, H} = 0 [ˆρ, Ĥ] = 0 

4.10 Identische Teilchen 

4.10.1 Grundlagen, Bosonen, Fermionen 

Oft hat man es mit Systemen von mehreren Teilchen zu tun. Man nimmt für den folgenden Abschnitt an, dass das 

Einteilchen-Problem gelöst ist: 

Ĥ (i) 

1 |ϕ(i) α i 

〉 = ɛ αi · |ϕ α (i) 

i 

〉 (4.10.1) 

Dabei ist Ĥ(i) 1 der Hamilton-Operator für das Einteilchenproblem des i-ten Teilchens, α i ein vollständiger Satz von 

Quantenzahlen, die den Zustand |ϕ (i) 

α i 

〉 beschreiben und ɛ αi der Energieeigenwert des Zustandes. Der obere Index 

(i) gibt dabei die Nummer des Teilchens an. der untere Index α i ist der Zustand des Teilchens (hier können z.B. 

die Eigenwerte eines vSkO stehen): 

|ϕ T eilchen−Nr. 

Zustand 

〉 



Definition 4.1 (identische Teilchen und Ununterscheidbarkeit) Man nennt zwei (oder mehr) Teilchen identisch, 

wenn sie in allen ihren Eigenschaften (Masse, Ladung, Spin ...), also in allen ihren Quantenzahlen α i übereinstimmen. 

In der Quantenmechanik sind Teilchen zusätzlich ununterscheidbar, d.h. eine Nummerierung der 

identischen Teilchen eines Systems macht keinen Sinn. Dieses impliziert, dass man etwa nach einem Stoß zwischen 

zwei Teilchen keine Kenntnis davon hat, welches der stoßenden Teilchen, wie die Stoßregion verlässt. Die beiden 

folgenden Möglichkeiten sind also gleich wahrscheinlich und prinzipiell nicht zu unterscheiden: 

Auch auf ununterscheidbaren Teilchen macht es für das praktische Rechnen Sinn eine Nummerierung einzuführen, 

um z.B. Summationsindizes zu unterscheiden etz. Den Zustand eines Systems von N nummerierten Teilchen kann 

man als direktes Produkt der Einzelzustände nach (4.10.1) schreiben: 

|ϕ N 〉 ≡ |ϕ α1 ϕ α2 ...ϕ αN 〉 ≡ |ϕ (1) 

α 1 

〉|ϕ (2) 

α 2 

〉...|ϕ (N) 

α N 

〉 (4.10.2) 

Nun muss man garantieren, dass diese Nummerierung keinen Einfluss auf die physikalischen Ergebnisse (Messung 

von Observablen) hat, da die Teilchen ja sonst wieder unterscheidbar wären. Also darf die Wellenfunktion beim 

Austausch zweier Teilchen höchstens ihr Vorzeichen ändern: 

|...ϕ αi ϕ αj ...〉 = ± |...ϕ αj ϕ αi ...〉 

} {{ } 

= ˆP ij|...ϕ αi ϕ αj ...〉 

Der Austausch zweier Teilchen wird durch den Permutationsoperator ˆP ij bewirkt. Ob hier nun ∗ oder − steht 

hängt nur von der Art der Teilchen ab. Man kann dies einfach folgendermaßen ausdrücken: 

Satz 4.15 (Symmetrieeigenschaften ununterscheidbarer Teilchen) Zustände |ϕ (j) 

α i 

〉 identischer Teilchen müssen 

unter Permutationen der Position der Teilchen in der Darstellung (4.10.2) gleiche physikalische Ergebnisse 

liefern. Darum dürfen sich zwei Zustände, die sich nur durch eine Permutation unterscheiden, höchstens in ihrem 

Vorzeichen unterscheiden. Mit dem Permutationsoperator ˆP ergibt sich dann: 

|ϕ (±) 

N 〉 = 1 N! 

∑ 

P 

(±1) p ˆP( |ϕ 

(1) 

α 1 

〉|ϕ (2) 

α 2 

〉...|ϕ α (N) 

N 

〉 ) (4.10.3) 

Der Faktor 1/N! bewirkt eine Normierung des neuen Zustandes. Die Summation erfolgt über alle N! möglichen 

Permutationen der Zustände α 1 ...α N . p ist die Anzahl der Permutationen aus der Grundreihenfolge. Der so entstehende 

Zustand |ϕ (±) 

N 

〉 ist ein vollständig symmetrischer bzw. antisymmetrischer Zustands. Ein solcher Zustand 

ist Eigenzustand zu jedem Permutationsoperator ˆP und hat entweder Eigenwert 1 oder −1. 

Die Zustände eines gegebenen Systems sind entweder sämtlich symmetrisch (|ϕ (+) 

N 

〉) oder antisymmetrisch 

(|ϕ (−) 

N 

〉) unter ˆP. Dieser Symmetriecharakter ist zeitlich unveränderlich und nicht änderbar, also eine feste Teilcheneigenschaft. 

Sie gehören damit zwei unterschiedliche Hilbert-Räumen H + , H − an. 

Dieser Satz impliziert eine grundlegende Unterscheidung in zwei Teilchen-Kategorien: 

Definition 4.2 (Bosonen) Der Raum H + ist der Raum der symmetrischen Vielteilchen-Zustände |ϕ (+) 

N 

〉. Das 

sind identische Teilchen mit ganzzahligem Spin (S = 0, 1, 2, ...), die Bosonen genannt werden. Beispiele sind etwa 

Photonen, Phononen, α-Teilchen ... 

Alle Bosonzustände sind symmetrisch unter beliebigen Permutationen P: 

(+) 

∀P : ˆP|ϕ 

N 

〉 = |ϕ(+) N 〉 

Definition 4.3 (Fermionen) Der Raum H − ist der Raum der antisymmetrischen Vielteilchen-Zustände |ϕ (−) 

N 〉. 

Das sind identische Teilchen mit halbzahligem Spin (S = 1 2 , 3 2 

, ...), die Fermionen genannt werden. Beispiele sind 

etwa Elektronen, Protonen, Neutronen ... 

Die Fermionzustände verhalten sich unter beliebigen Permutationen P: 

∀P : 

(−) ˆP|ϕ 

N 

〉 = (±1)|ϕ(−) N 〉 

Wobei +1 für gerade und −1 für ungerade Permutationen gilt. 



Das Auftreten der −-Zeichen in (4.10.3) für Fermionen ist analog demjenigen bei einer Determinante. Darum 

lassen sich die möglichen N-Teilchen-Fermionen-Zustände als sog. Slater-Determinante schreiben: 

Satz 4.16 (Slater-Determinante und Pauli-Prinzip) Die Zustände |ϕ (−) 

N 

〉 eines Systems aus N ununterscheidbaren 

Fermionen lassen sich folgendermaßen formulieren: 

|ϕ (−) 

N 〉 = 1 |ϕ (1) 

α 1 

〉 |ϕ (2) 

α 1 

〉 · · · |ϕ (N) 

α 1 

〉 

N! 

. . 

. 

(4.10.4) 

∣ |ϕ (1) 

α N 

〉 |ϕ (2) 

α N 

〉 · · · |ϕ α (N) 

N 

〉 ∣ 

In der i-ten Spalte stehen alle möglichen Einteilchenwellenfunktionen des i-ten Teilchens. Dabei ist die Reihenfolge 

der Wellenfunktionen in jeder Spalte gleich. Vertauscht man zwei Teilchen, so entspricht das dem Tausch zweier 

Spalten und führt zu einem Vorzeichen −1 vor der Determinante. 

Betrachtet man nun nur zwei Teilchen und können diese Teilchen nur einen Quantenzustand α haben, so sind 

alle Einträge der 2 × 2-Determinante gleich und sie wird 0. Dies führt zu folgender Aussage (Pauli-Prinzip): 

Zwei identische Fermionen können nie in allen Quantenzahlen übereinstimmen. 

Das Pauli-Prinzip gilt natürlich nur, wenn die Teilchen räumlich benachbart sind. Befinden sich z.B. zwei Elektronen 

an räumlich getrennten Orten, so sind sie natürlich unterscheidbar. Unterscheidbare Teilchen müssen also 

unter anderem überlappende Wellenfunktionen im Ortsraum haben. 

Um nun einen total symmetrischen/antisymmetrischen N-Teilchenzustand zu konstruieren, legt man zunächst 

die N Quantenzustände α 1 , ..., α N fest, in denen sich die Teilchen befinden können. Danach summiert man gemäß 

(4.10.3) über alle möglichen Permutationen dieser Zustände. 

Beispiel: zwei Elektronen mit möglichen Energien ɛ 1 , ɛ 2 (z.B. zwei Energieniveaus im Atom). Man kann dann 

die folgenden möglichen Zustände konstruieren: 

(1) |ɛ 1 ɛ 2 〉: Elektron 1 im unteren Energiezustand, Elektron 2 im oberen Zustand 

(2) |ɛ 2 ɛ 1 〉: Elektron 2 im unteren Energiezustand, Elektron 1 im oberen Zustand 

(3) |ɛ 1 ɛ 1 〉: beide Elektron im unteren Energiezustand 

(4) |ɛ 2 ɛ 2 〉: beide Elektron im oberen Energiezustand 

Dies entspricht insgesamt 3 unterschiedlichen Quantenzuständen, da die Zustände 1, 2 definitionsgemäß nicht zu 

unterscheiden sind. Man nennt diesen Zustand dann (12). Er lässt sich mit Hilfe der Slater-Determinante zusammenbauen: 

∣ |ɛ (1) ∣∣∣∣ 

|(12)〉 = 

1 〉 |ɛ(2) 1 〉 

∣|ɛ (1) 

2 〉 |ɛ(2) 2 〉 = 1 ( 

|ɛ1 〉|ɛ 2 〉 − |ɛ 2 〉|ɛ 1 〉 ) 

2 

Hier gibt es nur eine mögliche Permutation, sodass gilt: 

ˆP 12 |(12)〉 = 1 2 

( 

|ɛ2 〉|ɛ 1 〉 − |ɛ 1 〉|ɛ 2 〉 ) = − 1 2 

( 

|ɛ1 〉|ɛ 2 〉 − |ɛ 2 〉|ɛ 1 〉 ) = −|(12)〉 

Die anderen beiden Zustände müssten sich eigentlich auch mit einer Slater-Determinante konstruieren lassen, da 

hier aber beide Teilchen im selben Zustand sind, sind alle Einträge gleich: 

∣ |ɛ (1) ∣∣∣∣ 

|(11)〉 = 

1 〉 |ɛ(2) 1 〉 

∣|ɛ (1) 

1 〉 = 0 

1 〉 |ɛ(2) 

Dieser Zustand ist also für Elektronen (Fermionen) nicht erlaubt (Pauli-Prinzip!). 

Würde es sich bei den betrachteten Teilchen um Bosonen handeln, so wären auch die Zustände |11〉 = |ɛ 1 〉|ɛ 1 〉 

und |22〉 = |ɛ 2 〉|ɛ 2 〉 möglich. 

Beispiel: Drei ununterscheidbare Teilchen in drei möglichen Energiezuständen ɛ 1 , ɛ 2 , ɛ 3 . Es gibt dann folgende 

Möglichkeiten: 



(123) (113) (111) ... 

|ɛ 1 , ɛ 2 , ɛ 3 〉 |ɛ 1 , ɛ 1 , ɛ 3 〉 |ɛ 1 , ɛ 1 , ɛ 1 〉 

|ɛ 1 , ɛ 3 , ɛ 2 〉 |ɛ 1 , ɛ 3 , ɛ 1 〉 

|ɛ 2 , ɛ 1 , ɛ 3 〉 |ɛ 3 , ɛ 1 , ɛ 1 〉 

|ɛ 2 , ɛ 3 , ɛ 1 〉 

|ɛ 3 , ɛ 1 , ɛ 2 〉 

|ɛ 3 , ɛ 2 , ɛ 1 〉 

Bosonen: |ɛ 1 , ɛ 2 , ɛ 3 〉 + |ɛ 2 , ɛ 1 , ɛ 3 〉 + ... |ɛ 1 , ɛ 1 , ɛ 3 〉 + |ɛ 1 , ɛ 3 , ɛ 1 〉 + ... |ɛ 1 , ɛ 1 , ɛ 1 〉 

Fermionen: |ɛ 1 , ɛ 2 , ɛ 3 〉 − |ɛ 2 , ɛ 1 , ɛ 3 〉 + ... 0 0 

Falls es sich bei den Teilchen um Bosonen handelt, sind alle Zustände möglich. Bei Fermionen ist nur der erste 

Zustand erlaubt, da sich in allen anderen Zuständen mindestens zwei Teilchen im selben Zustand befinden. 

4.10.2 Fock-Zustände 

Die Darstellung im Fock-Raum der Mehrteilchenzustände bietet eine übersichtliche und intuitive Darstellung 

von Mehrteilchen-Problemen. Ein Mehrteilchen-Zustand (4.10.3) ist offensichtlich durch die Angabe der Besetzungszahlen 

{n αi } in diesem Zustand vollkommen definiert. Die Besetzungszahl n αi gibt dabei an, wie 

oft das Teilchen mit den Eigenschaften α i in der Darstellung (4.10.3) vorkommt. Fehlen Ein-teilchen-Zustände 

|ϕ (j) 

α i 

〉 vollständig in |ϕ (±) 

N 

〉, so ist deren Besetzungszahl mit 0 anzugeben. So ist auch der nicht-verschwindende 

Zustand |0, 0, ..., 0〉 ≠ 0 (Vakuum-Zustand) definiert (diesem wird z.B. beim harmonischen Oszillator eine 

Grundzustands-Energie zugewiesen). Mit Hilfe von Auf-und Absteigeoperatoren kann man aus ihm die anderen 

Zustände generieren: 

|n αi 〉 = c · (â † α i 

) nα i |0〉, (âαi ) nα i |nαi 〉 = c ′ · |0〉, â αi |0〉 = 0 (4.10.5) 

Wie im vorherigen Abschnitt beschrieben wurde, können in einem System von Fermionen keine zwei Teilchen 

den gleichen Zustand inne haben, sodass die Besetzungszahlen für Fermionen auf n αi = 0, 1 beschränkt sind. 

Für Bosonen sind die Besetzungszahlen beliebig n αi ≥ 0. Man kann dann beliebige Fock-Zustände aus dem 

Vakuum-Zustand erzeugen: 

|N; n α1 ...n αN 〉 (±) = ∏ j 

(â † α j 

√nj 

! (±1)Nj |0〉 (4.10.6) 

Dabei steckt die gesamte Symmetrie-Eigenschaft in den folgenden fundamentalen Vertauschungsrelationen: 

• für Fermionen: 

• für Bosonen: 

{â αr , â αs } = {â † α r 

, â † α s 

} = 0; {â αr , â † α s 

} = δ rs (4.10.7) 

[â αr , â αs ] = [â † α r 

, â † α s 

] = 0; [â αr , â † α s 

] = δ rs (4.10.8) 

Da z.B. Oszillator-Quanten Bosonen sind werden die Kommutator-Relationen (4.10.8) angewendet. Für Elektronen 

würden die Antikommutator-Relationen (4.10.7) gelten. 

Man definiert nun noch den Besetzungszahl-Operator: 

und den Teilchenzahl-Operator: 

ˆn αr = â † α r â αr mit ˆn αr |N; ...n αr ...〉 (±) = n αr |N; ...n αr ...〉 (±) (4.10.9) 

ˆN = ∑ r 

ˆn αr 

= ∑ r 

â † α r â αr mit ˆN|N; ...nαr ...〉 (±) = N|N; ...n αr ...〉 (±) (4.10.10) 

Dabei ist N = ∑ n αr die Teilchenzahl des Systems. Dies zeigt auch, dass die Teilchenzahl N nicht unbedingt 

r 

im Fock-Zustand mit angegeben werden muss, da sie aus den Besetzungszahlen berechenbar ist, sie kann aber 

manchmal sehr nützlich sein. 


5 Störungsrechnung und 

Näherungsverfahren 

Man betrachtet ein System, zu dem der Hamilton-Operator Ĥ0 gehört, der durch einen Störterm Ŵ gestört wird: 

Ĥ = Ĥ0 + Ŵ. 

Die Eigenwerte von Ĥ0 werden im Folgenden als E 0 n und die Eigenvektoren als |φ i n〉 bezeichnet, wobei der Index 

i die Entartung anzeigt. Die Vektoren {|φ i n〉} bilden eine Basis des H und seien orthonormiert: 

〈φ i′ 

n ′|φi n〉 = δ nn ′ · δ ii ′ 

5.1 Zeitunabhängige Störungstheorie 

Man betrachtet nun den Fall, dass Ŵ folgende Darstellung hat: 

Ŵ = λ · Ŵ′ (5.1.1) 

Dabei ist Ŵ ′ ein beliebiger Operator der selben Größenordnung, wie Ĥ0. Der Parameter λ ∈ R ist eine kleine 

reelle Zahl (λ ≪ 1) und beschreibt die Stärke der Störung. 

5.1.1 Näherungslösung der Eigenwertgleichung von Ĥ 

Mit dem Parameter λ schreibt sich die stationäre Schrödingergleichung wie folgt: 

Ĥ(λ)|ψ(λ)〉 = E(λ)|ψ(λ)〉 (5.1.2) 

Nun soll angenommen werden, dass sich E(λ) und |ψ(λ)〉 in Potenzen von λ entwickeln lassen: 

E(λ) = ɛ 0 + λɛ 1 + λ 2 ɛ 2 + ..., |ψ(λ)〉 = |0〉 + λ|1〉 + λ 2 |2〉 + ... (5.1.3) 

Dies setzt man in die Schrödingergleichung (5.1.2) ein und erhält: 

( ∞ 

) ( 

(Ĥ0 + λŴ) ∑ 

∞ 

) ( 

∑ 

∞ 

) 

∑ 

λ q |q〉 = λ q |q〉 · λ q |q〉 

oder auch: 

q=0 

(Ĥ0 + λŴ′ ) ( |0〉 + λ|1〉 + λ 2 |2〉 + ... ) = ( ɛ 0 + λɛ 1 + λ 2 ɛ 2 + ... ) · (|0〉 

+ λ|1〉 + λ 2 |2〉 + ... ) 

q=0 

Daraus erhält man sofort durch umsortieren nach Potenzen von λ: 

Ĥ 0 |0〉+λ·(Ŵ′ |0〉+Ĥ0|1〉)+λ 2 (Ĥ0|2〉+Ŵ′ |1〉)+... = ɛ 0 |0〉+λ·(ɛ 1 |0〉+ɛ 0 |1〉)+λ 2 ·(ɛ 2 |0〉+ɛ 2 |1〉+ɛ 0 |2〉)+... 

(5.1.4) 

Damit diese Bedingung (für kleine λ erfüllt ist, findet man aus dem Koeffizientenvergleich der λ q die folgenden 

Bedingungen (bis zur 2. Ordnung): 

q=0 

Ĥ 0 |0〉 − ɛ 0 |0〉 = 0 (5.1.5a) 

(Ĥ0 − ɛ 0 )|1〉 + (Ŵ′ − ɛ 1 )|0〉 = 0 (5.1.5b) 

(Ĥ0 − ɛ 0 )|2〉 + (Ŵ′ − ɛ 1 )|1〉 − ɛ 2 |0〉 = 0 (5.1.5c) 

Dabei drückt (5.1.5a) aus, dass |0〉 zum Spektrum von Ĥ0 (mit dem Eigenwert ɛ 0 ) gehört. Dies ist auch sinnvoll, 

da der ungestörte Vektor |ψ(λ = 0)〉 ja ein Eigenvektor von Ĥ0 sein sollte. 

40

5 Störungsrechnung und Näherungsverfahren 

Die Vektoren |ψ(λ)〉 sind durch die Eigenwertgleichung nur bis auf einen konstanten Faktor r · e iϕ festgelegt. 

Um r festzulegen verlangt man, dass die Vektoren normiert sind. Die Phase bleibt aber noch willkürlich. Es gilt: 

Daraus ergibt sich dann: 

〈ψ(λ)|ψ(λ)〉 = 〈0|0〉 +λ(〈0|1〉 + 〈1|0〉) + λ 2 (〈2|0〉 + 〈0|2〉 + 〈1|1〉) + ... = ! 1 

} {{ } 

=1 

〈0|1〉 = 〈1|0〉 = 0, 〈2|0〉 = 〈0|2〉 = − 1 〈1|1〉 (5.1.6) 

2 

Im folgenden beachte man, dass sich die Entwicklungskoeffizienten {|n〉} nach den Eigenvektoren des ungestörten 

Hamiltonian Ĥ0 entwickeln lassen: 

|i〉 = ∑ k 

|φ k 〉〈φ k |1〉 = ∑ k 

a i,k |φ k 〉 also a i,k = 〈φ k |1〉 

Um also den gestörten Zustand zu ermitteln muss man die Entwicklungszustände |0〉, |1〉, ... und die Entwicklungsenergien 

ɛ 0 , ɛ 1 , ... berechnen. Diese möchte man schlussendlich in Abhängigkeit der gegebenen Basis {|φ (i) 

n 〉} des 

ungestörten Hamiltonian Ĥ0 berechnen. 

5.1.2 nichtentartete Niveaus 

Energie-Korrekturen in 1. Ordnung: Man betrachtet nun ein nicht-entartetes Niveau En 0 des ungestörten Hamilton- 

Operator Ĥ0. Aus (5.1.5a) erhält man dann sofort ɛ 0 = En, 0 wenn man dies mit der ungestörte Hamilton-Gleichung 

Ĥ 0 |φ n 〉 = En|φ 0 n 〉 vergleicht, die ja für λ = 0 erfüllt sein soll. Zu diesem Niveau gehört der Eigenvektor |φ n 〉 und 

es folgt ebenfalls sofort |0〉 = |φ n 〉. Nun projiziert man (5.1.5b) auf |φ n 〉 und erhält: 

〈φ n |(Ĥ0 − ɛ 0 )|1〉 + 〈φ n |(Ŵ′ − ɛ 1 )|0〉 = 0 

Daraus ergibt sich durch Einsetzen der bisherigen Ergebnisse (|0〉 = |φ n 〉): 

〈0|Ĥ0|1〉 − 〈0|ɛ 0 |1〉 +〈φ n 

} {{ } } {{ } 

|Ŵ′ |0〉 − 〈0|ɛ 1 |0〉 = 0 

} {{ } 

=0 =0 

=ɛ 1 

Daraus folgt dann sofort die folgende Bestimmungsgleichung für ɛ 1 : 

〈0|Ŵ′ |0〉 = 〈φ n |Ŵ′ |0〉 = 〈φ n |Ŵ′ |φ n 〉 = ɛ 1 

Eigenvektor-Korrekturen in 1. Ordnung: Aus (5.1.5b) kann man aber noch mehr Information ziehen. Man 

möchte ja noch die Vektoren |1, 2, ...〉 berechnen aus denen sich das gestörte Niveau zusammensetzt. Dazu projiziert 

man sie auch noch auf die anderen Basisvektoren |φ i p〉 ≠ |φ n 〉, die durchaus entartet sein können (deswegen 

auch der Index i) und erhält: 

〈φ i p|(Ĥ0 − ɛ 0 )|1〉 + 〈φ i p|(Ŵ′ − ɛ 1 )|φ n 〉 = 0 

Mit 〈φ i p|φ〉 n = 0 reduziert sich dies auf 

(E 0 p − E 0 n)〈φ i p|1〉 + 〈φ i p|Ŵ′ |φ n 〉 = 0 

Daraus erhält man eine Bestimmungsgleichung für die Entwicklungskoeffizienten von |1〉: 

〈φ i 1 

p|1〉 = 

En 0 − Ep 

0 〈φ i p|Ŵ′ |φ n 〉 

Außerdem gilt natürlich 〈φ n |1〉 = 〈0|1〉 = 0, nach (5.1.6). Dies bedeutet, dass der Ket |1〉 keinen |φ n 〉-Anteil 

enthält. Darum summiert man im folgenden über p ≠ n. Man kann mit diesen Koeffizienten |1〉 nach den |φ i q〉 

entwickeln und erhält: 

|1〉 = ∑ ∑ 〈φ i p|Ŵ |φ n〉 

E 0 p≠n i n − Ep 

0 |φ i p〉 



Energie-Korrekturen in 2. Ordnung: Man kann noch einfach die Energie-Korrektur 2. Ordnung ɛ 2 berechnen, 

Dazu projiziert man nun (5.1.5c) auf den Eigenvektor |φ n 〉 und erhält: 

Nun kann man analog zu oben vereinfachen: 


〈φ n |(Ĥ0 − ɛ 0 )|2〉 + 〈φ n |(Ŵ′ − ɛ 1 )|1〉 − 〈φ n |ɛ 2 |0〉 = 0 

〈φ n |Ĥ0|2〉 − ɛ 0 〈φ n |2〉 +〈φ n 

} {{ } } {{ } 

|Ŵ′ |1〉 − ɛ 1 〈φ n |1〉 

} {{ } 

=En 0 〈0|2〉 =En 0 〈0|2〉 

=〈0|1〉=0 

ɛ 2 = 〈0|Ŵ′ |1〉 = 〈φ n |Ŵ′ |1〉 

−ɛ 2 〈φ n |0〉 = 0 

} {{ } 

=〈0|0〉=1 

Für den Vektor |1〉 der hier auftaucht, wurde aber im letzten Abschnitt eine Darstellung berechnet, sodass man 

erhält: 

ɛ 2 = 〈φ n |Ŵ′ · ∑ ∑ 〈φ i p|Ŵ |φ n〉 

E 0 i n − Ep 

0 |φ i p〉 = ∑ ∑ 〈φ i p|Ŵ |φ n〉 


0 〈φ n |Ŵ′ |φ i p〉 = ∑ ∣ 

∑ ∣〈φ i p|Ŵ |φ n〉 ∣ 2 


0 

p≠n 

Zusammenfassung: Damit hat man Beziehungen gefunden, die einem die Vektoren |0, 1, ...〉, sowie die Korrekturterme 

zur Energie ɛ 1 , ɛ 2 , ... geben. Man kann dann zusammenfassen: 

Satz 5.1 (Störung eines nicht entarteten Niveaus) Man betrachte ein System mit der Hamilton-Funktion Ĥ0 

die durch einen Term λŴ gestört wird, der vom reellen Parameter λ ≪ 1 abhängt. Die Größenordnung von Ŵ ist 

mit der von Ĥ0 vergleichbar. Die Korrekturen der Energie und des Zustandes eines nicht-entarteten Niveaus |φ n 〉 

(Energie En) 0 in erster (zweiter) Ordnung Störungsrechnung sind dann: 

E (korr) 

n 

= E 0 n + 〈φ n |Ŵ |φ n〉 + ∑ p≠n 

|ψ n 

(korr) 〉 = |φ n 〉 + ∑ ∑ 

p≠n i 

∣ 

∑ ∣〈φ i p|Ŵ |φ ∣ 

n〉 

i 

E 0 n − E 0 p 

∣ 2 

+ O(λ 3 ) (5.1.7) 

〈φ i p|Ŵ |φ n〉 

En 0 − Ep 

0 |φ i p〉 + O(λ 2 ) (5.1.8) 

Dabei ist zu beachten, dass die anderen Eigenniveaus |φ i p〉 des ungestörten Hamiltonian Ĥ0 durchaus entartet sein 

können, weshalb auch der Entartungsindex i auftritt. 

Ein Beispiel findet sich in Abschnitt 8.9. 

5.1.3 Ritz’sches Variationsverfahren 

Satz 5.2 (Ritz’sches Variationsverfahren) Man betrachtet ein beliebiges hysikalisches System mit zeitunabhängigem 

Hamiltonian: 

Ĥ|ψ n 〉 = E n · |ψ n 〉, n = 0, 1, 2, ... (5.1.9) 

Mit dem kleinsten Eigenwert E 0 gilt dann für einen beliebigen Zustand |ψ〉: 

〈ψ|Ĥ|ψ〉 

〈Ĥ〉 = ≥ E 0 (5.1.10) 

〈ψ|ψ〉 

Man verwendet dann ein Schar von Ket-Vektoren |ψ(α)〉, die vom Parameter α abhängen. Damit berechnet man 

den Erwartungswert 〈Ĥ〉(α) in Abhängigkeit von α und minimiert diesen mit der Bedingung 

d〈Ĥ〉(α) 

dα 

Das liefert eine Näherung der Grundzustandsenergie dar. 

Ein Beispiel wird in 8.7 gegeben. 

! 

= 0. (5.1.11) 



5.1.4 Näherung über begrenzten Unterraum 

Satz 5.3 (Näherung über begrenzten Unterraum) Man betrachte die Menge der Lösungen zum ungestörten 

Problem Ĥ0|φ i 〉 = E (0) 

i · |φ i 〉. Aus diesen wählt man dann die ersten k Zustände aus und bildet damit einen k- 

dimensionalen Vektorraum, in dem Ĥ0 Diagonalgestalt hat. Man berechnet dann weiter die Matrixdarstellungen 

der Operatoren, aus denen Ŵ aufgebaut ist in diesem Unterraum, z.B. 

X i,j = 〈φ i | ˆX|φ j 〉, P i,j = 〈φ i | ˆP |φ j 〉 

Daraus kann man dann den Operator Ŵ zusammensetzen und erhält so eine Matrixdarstellung für Ĥ. Es bleibt 

dann also noch das Eigenwertproblem 

Ĥ|ψ ν 〉 = E ν · |ψ ν 〉 

zu lösen. Da dieses Problem aber nun in k-dimensionaler Matrixform vorliegt, kann man es mit numerischen 

Verfahren lösen. Die Ergebnisse werden umso besser, je größer der betrachtete Unterraum ist, da durch das numerische 

Lösen die Koeffizienten folgender Entwicklung bestimmt werden: 

k−1 

∑ 

|ψ ν 〉 = a ν,i |φ i 〉 

i=0 

Die a ν,i sind die Einträge des ν-ten Eigenvektors in Spaltenform, der sich in der Matrixschreibweise des Eigenwertproblems 

ergibt: 

⎡⎛ 

⎢⎜ 

⎣⎝ 

E (0) 

0 0 

. .. 

0 E (0) 

k 

⎞ 

⎛ 

⎟ 

⎠ + ⎜ 

⎝ 

〈φ 0 |Ŵ |φ 0〉〈φ 0 |Ŵ |φ ⎞⎤ 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1〉 · · · 

〈φ 1 |Ŵ |φ 0〉〈φ 1 |Ŵ |φ 1〉 · · · ⎟ 

. 

⎠⎥ 

⎜ 

⎦ ⎝a ν,i 

⎟ 

⎠ 

. = E . 

ν · ⎜ 

⎝a ν,i 

⎟ 

⎠ 

. 

. .. 

. 

. 



5.2 Zeitabhängige Störungstheorie 

5.2.1 Problemstellung 

Bisher wurden Methoden hergeleitet, um stationäre Eigenzustände zu gestörten Hamilton-Operatoren zu finden 

und die zugehörigen Eigenwerte (Energieniveaus). Es stellt sich aber die Frage, was passiert wenn man von einer 

bekannten stationären Schrödingergleichung 

Ĥ 0 |φ n 〉 = E n |φ n 〉 (5.2.1) 

ausgeht, die mit einem zeitabhängigen Term Ŵ(t) = λŴ′ (t) gestört wird. Dabei werden sowohl die Eigenenergien 

E n , als auch die Zustände |φ n 〉 als bekannt vorausgesetzt. Man hat also den neuen Hamiltonian: 

Ĥ = Ĥ0 + Ŵ(t) = Ĥ0 + λŴ′ (t), mit λ ≪ 1 und 

Ŵ(t < 0) = 0 (5.2.2) 

Es stellt sich nun die Frage, wie man die zugehörige zeitabhängige Schrödingergleichung 

i d dt |ψ(t)〉 = [ Ĥ 0 + λŴ′ (t) ] |ψ(t)〉, |ψ(t = 0)〉 = |φ n 〉 (5.2.3) 

lösen kann. Die Anfangsbedingung ist dabei, dass sich das System in einem beliebigen Eigenzustand |φ n 〉 des 

ungestörten Systems befindet. Diese DGl (5.2.3) ist leider nicht immer geschlossen lösbar, sodass man auf Näherungsmethoden 

zurückgreifen muss. Diese werden in den folgenden Abschnitten diskutiert. 

5.2.2 Näherungslösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung 

Darstellung der Schrödingergleichung: Man geht zuerst zur {|φ n 〉}-Darstellung der Schrödingergleichung 

(5.2.3) über. In dieser Darstellung lässt sich der Vektor |ψ(t)〉 allgemein so entwickeln: 

|ψ(t)〉 = ∑ n 

c n (t) · |φ n 〉, c n (t) = 〈φ n |ψ(t)〉 (5.2.4) 

In dieser Basis hat der ungestörte Hamiltonian Ĥ0 natürlich Diagonalgestalt (〈φ n |Ĥ0|φ m 〉 = E n δ nm ). Die Matrixelemente 

des Störoperator Ŵ(t) sind dann entsprechend W nm(t) = 〈φ n |Ŵ(t)|φ m〉. Damit kann man dann (5.2.3) 

umformen in ein System gekoppelter linearer Differentialgleichungen: 

i d dt c n(t) = E n c n (t) + λ ∑ k 

W nk (t)c k (t) (5.2.5) 

Ohne die Störung, also mit λ = 0 sind diese Gleichungen entkoppelt und man erhält die einfachen Lösungen 

c n (t) = b n · e −iEnt/ . (5.2.6) 

Da nun λ ≪ 1 gilt werden die Lösungen c n (t) nur wenig gestört. Man kann dies darstellen, indem man b n 

zeitabhängig macht, also: 

c n (t) = b n (t) · e −iEnt/ . (5.2.7) 

Dies setzt man in (5.2.5) ein und rechnet: 

i d dt b n(t) · e −iEnt/ = E n b n (t) · e −iEnt/ + λ ∑ W nk (t)b k (t) · e −iE kt/ 

k 

] 

i 

[ḃn (t) · e −iEnt/ − iEn 

b n(t) · e −iEnt/ = E n b n (t) · e −iEnt/ + λ ∑ W nk (t)b k (t) · e −iE kt/ 

k 

i d dt b n(t) + E n b n (t) = E n b n (t) + λ ∑ k 

W nk (t)b k (t) · e −i(E k−E n)t/ 

Daraus ergibt sich dann mit Hilfe der Bohr-Frequenz 

ω nk = E n − E k 

 

(5.2.8) 

die folgende einfache Differentialgleichung: 

i d dt b n(t) = λ ∑ k 

W ′ nk(t)b k (t) · e iω nkt 

(5.2.9) 



Da auch diese i.A. keine geschlossene Lösung aufweist versucht man wieder einen Potenzreiehansatz in λ: 

Setzt man diesen in (5.2.9) ein, so erhält man: 

b n (t) = b (0) 

n (t) + b (1) 

n (t)λ + b (2) 

n (t)λ 2 + ... (5.2.10) 

i d [ 

] 

b (0) 

n (t) + b (1) 

n (t)λ + b (2) 

n (t)λ 2 + ... = ∑ [ 

] 

W ′ 

dt 

nk(t) b (0) 

k 

(t)λ + b(1) 

k (t)λ2 + b (2) 

k (t)λ3 + ... · e iω nkt 

k 

(5.2.11) 

Vergleicht man hierin die Terme gleicher Ordnung in λ, so erhält man die folgenden iterativen Bestimmunsgleichungen 

für die b (r) 

n (t): 

i d dt b(0) n (t) = 0 (5.2.12a) 

i d dt b(r) n (t) = ∑ k 

e iω nkt W ′ nk(t) · b (r−1) 

k 

(t) (5.2.12b) 

5.2.3 Lösung 1. Ordnung 

Lösung 0. Ordnung: Zu Anfang befindet sich das System im Eigenzustand |φ n 〉 und die Störung ist noch nicht 

eingeschaltet (t < 0). Dann ist |ψ(t)〉 = |φ n 〉 und es folgt sofort c n (t) = δ in . Da die Lösung der Schrödingergleichung 

stetig im Punkt t = 0 sein muss (obwohl evtl. Ĥ0 → Ĥ0 + λŴ(t) unstetig ist) folgt für die Entwicklung der 

b n (t): 

Dies ist der Entwicklungskoeffizient von b n (t) in 0. Ordnung. 

b (0) 

n (t = 0) = δ ni , und b (r≥1) 

n (t = 0) = 0 (5.2.13) 

Lösung 1. Ordnung: 

Mit den vorherigen Ergebnissen erhält man sofort aus (5.2.12b): 

i d dt b(1) n (t) = ∑ k 

e iω nkt W ′ nk(t)δ ki = e iω nkt W ′ ni(t) (5.2.14) 

Diese DGl lässt sich aber sofort leicht integrieren und man erhält: 

Damit kann man b n (t) bis in erster Ordnung in λ angeben: 

b (1) 

n (t) = 1 ∫ t 

e iωnkτ W 

i 

ni(τ) ′ dτ (5.2.15) 

0 

b n (t) = δ ni + 1 ∫ t 

e iωniτ W ni (τ) dτ + O(λ 2 ) (5.2.16) 

i 

0 

allgemeine Übergangswahrscheinlichkeit: Möchte man nun die Wahrscheinlichkeit P if (t) berechnen, das 

System zur zeit t im Zustand |φ f 〉 (f ≠ i) anzutreffen, so erhält man: 

∣ 

∣ ∣ ∣∣∣∣∣ ∫t 

P if (t) = |〈φ f |ψ(t)〉| 2 = |b f (t)| 2 = λ 2 ∣∣b (1) ∣∣ 

f (t) 2 1 = 

2 

0 

e iω if τ W fi (τ) dτ 

∣ 

2 

(5.2.17) 

Dabei wurde von λŴ′ zu Ŵ übergegangen. Es macht dann auch Sinn die Funktion b fi(t) ≡ b f (t) als Übergangsamplitude 

zwischen den Zuständen f und i zu bezeichnen. 

5.2.4 Periodische Störungen Fermi’s Goldene Regel 

Man nehme nun an, dass die Störungen Ŵ′ (t) eine einfache Form haben und periodi- 

Periodische Störungen: 

sche Gestalt: 

Ŵ(t) = Â · e±iωt (5.2.18) 



Dabei ist Â ein i.A. nicht-hermite’scher explizit zeit-unabhängiger Operator. Dann erhält man für die Übergangsamplitude 

b if (t) im Falle i ≠ f: 

b fi (t) = 1 ∫ t 

∫ 

iω 1 

t 

e 

fiτ i(ω 1 

〈f|Ŵ(τ)|i〉 dτ = e 

fi±ω)τ fi±ω)t − 1 

〈f|Â|i〉 dτ = 

i 

i 

i 〈f|Â|i〉ei(ω i(ω fi ± ω) 

0 

0 

(5.2.19) 

So ergibt sich für die Übergangswahrscheinlichkeit P fi (t): 

[ ] 

P fi (t) = |b fi (t)| 2 = 1 ∣ ∣∣〈f| 2 Â|i〉 ∣ 2 4 sin 2 (ω fi ±ω)t 

2 

(ω fi ± ω) 2 (5.2.20) 

Die Funktion sin2 (∆t) 

∆ 2 

ist in Abb. 5.1 aufgetragen. 

(a) 

2 2 

sin( t)/( ) 

(b) 

2 2 

sin( t)/( t) 

-6/t -4/t -2/t 0 2/t 4/t 6/t 

Abb. 5.1: (a) Funktion sin2 (∆t) 

∆ 2 

 

(b) sin2 (∆t) 

∆ 2 t 

für verschiedene, größer werdende t 

0 

 

Man kann sehen, dass sie ein scharfes Maximum bei ∆ = 0 aufweist (Resonanz) und zu den Rändern hin schnell 

und oszillierend abfällt. Es lässt sich zeigen, dass diese Funktion für t → ∞ gegen t · δ(∆) konvergiert. Genauer: 

lim 

t→∞ 

4 · sin 2 ( ) 

∆t 

2 

∆ 2 = 2πtδ(∆) (5.2.21) 

Dies bedeutet nichts anderes, als dass sin2 (∆t) 

∆ 2 t 

gegen die δ-Funktion konvergiert. Für größer werdende t fällt sie 

immer stärker zu den Rändern hin ab, während sie bei ∆ = 0 wegen dem 1 ∆ 

-Term immer höher wird. Dies ist in 

2 

5.1 (b) veranschaulicht. Damit erhält man im Grenzfall großer Zeiten t: 

Dies lässt sich zusammenfassen: 

lim P fi(t) = 2πt 

t→∞ 2 

∣ ∣∣〈f| Â|i〉 ∣ 2 δ(ω fi ± ω) (5.2.22) 

Satz 5.4 (Fermi’s Goldene Regel) Wirkt auf ein bekanntes System mit Ĥ0|φ n 〉 = E n |φ n 〉 eine periodische Störung 

der Form Ŵ(t) = Â·e±iωt , so ist die Übergangsrate W fi (=Übergnagswahrscheinlichkeit pro Zeit) zwischen 

zwei Eigenzuständen |φ i 〉 → |φ f 〉 für große Wechselwirkungszeiten in erster Ordnung gegeben durch: 

P fi (t) 

W fi = lim = 2π ∣ ∣∣〈f| t→∞ t 2 Â|i〉 ∣ 2 δ(ω fi ± ω) (5.2.23) 

Dabei ist ω fi = E f −E i 

 

die Bohrfrequenz des Überganges. Die δ-Funktion in (5.2.23) enthält den Energieerhaltungssatz, 

da nur solche Übergänge stattfinden können, für die ω = ω fi , die also in Resonanz sind. 


Teil II 

Anwendungen 

47

6 Einfache Systeme 

6.1 Freies Teilchen 

• Hamilton-Operator/Schrödingergleichung: Ein Teilchen der Masse m und der Energie E befindet sich 

im Potentialfreien Raum. Es hat den Impuls p = √ 2mE: 

Ĥ = ˆP 2 

2m ; 

− 2 

∂ 2 

∂ 

ψ(x, t) = i · ψ(x, t) (6.1.1) 

2m ∂x2 ∂t 

• Lösungen der Schrödingergleichung: Da es sich hier um eine einfache Wellengleichung handelt kann man 

sofort eine Lösung ablesen: 

{ )} 

i 

ψ eben = C · exp 

(px − p2 

2m t = C · exp {i (kx − ωt)} (6.1.2) 

Dabei ist ω := E = 

p2 

2m und k := p 

. Da diese Lösung nicht normierbar ist, verwendet man Superpositionen 

von ebenen Wellen als Lösungen: 

∫ { )} 

1 

i 

ψ(x, t) = 

(2π) 3 · ϕ(p) · exp 

(px − p2 

2m t dp. (6.1.3) 

Mit dieser Superpositon lässt sich die notwendige Bedingung ψ(x, t) → 0(|x| → ∞) für die Normierbarkeit 

erreichen. Eine spezielle Lösung ist das Gauß’sche Wellenpaket, das aus obiger FOrmel mit der folgenden 

Setzung hervorgeht: 

ϕ(p) = A · exp 

{− (p − p 0) 2 d 2 } 

2 (6.1.4) 

Daraus erhält man durch einsetzen in obige Beziehungen die Aufenthaltswahrscheinlichkeit: 

{ 

} 

|ψ(x, t)| 2 1 

= 

d √ 2π(1 + ∆ 2 ) · exp (x − vt)2 

− 

2d 2 (1 + ∆ 2 ) 

Dabei ist v = p0 

m 

die Teilchengeschwindigkeit und ∆ = 

t 

• Mittelwert und Standardabweichung: 

2md 2 . 

(6.1.5) 

〈 ˆX〉 = vt, ∆ ˆX = d √ 1 + ∆ 2 (6.1.6) 

〈 ˆP 〉 = p 0 , ∆ˆP = 2d 

(6.1.7) 

Dies bedeutet, dass sich das Teilchen mit der Geschwindigkeit v bewegt und seine Ortsunschärfe zunimmt, 

es also zusehends verschmiert. Die Impulsunschärfe bleibt dabei konstant. Als Unschärferelation erhält man 

eine Beziehung, die für ∆(t) = 0 minimal wird: 

∆x · ∆p = 2 

√ 

1 + ∆ 

2 

= 

t = 0 

 

2 

(6.1.8) 

Die folgende Zeichnung verdeutlich den Sachverhalt: 

48


x,0 , x, 3 10 , x, 10 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

v : 1; 

: 1 10 34 ; 

m: 80 1.6 10 27 ; 

d : 10 9 ; 

x_ , t_ : 

2 1 

1 

t 

2 md 2 2 

Exp 

2 d 2 1 

x v t 2 

t 2 

2 md 2 

Plot x , 0 , x , 3 10 9 , x , 10 8 , x , .5 10 8 , 2 10 8 , 

AxesLabel x , " x , 0 , x , 3 10 9 , x , 10 8 " , 

TextStyle FontFamily " Times " , FontSize 12 , 

PlotPoints 1000, PlotRange 0, 0.5 

0.1 

5 10 9 5 10 9 1 10 8 1.5 10 8 2 10 8x 

6.2 Delta-Potential 

V (x) = V 1 (x) + V 0 · δ(x − x 0 ). (6.2.1) 

Dabei ist V 0 ∈ R und V 1 (x) ein in einer Umgebung von x 0 stetiges 

Potential. Dann gilt, dass die Ableitung der Wellenfunktion eine 

Unstetigkeit an x = x 0 aufweist, die folgende Form hat: 

lim 

x→x 0, x>0 ψ′ (x) − lim 

x→x 0, x


Für das verbleibende Integral gilt (falls V 1 (x) stetig in der ɛ-Umgebung um x 0 ist: 

lim 

∫ 

x 0+ɛ 

ɛ→0 

x 0−ɛ 

Damit ist aber die Aussage (6.2.2) bewiesen (Umformulieren!). 

(E − V 1 (x)) · ψ(x) dx = 0 (6.2.7) 

6.3 Teilchen im Kastenpotential und an Potentialstufen 

6.3.1 Stückweise konstante Potentiale 

Die Schrödingergleichung in einem konstanten Potential V (x) = V 0 lautet: 

− 2 

∂ 2 

(6.2.8) 

2m ∂x 2 ψ(x) + (V 0 − E)ψ(x) = 0 (6.3.1) 

Dafür kann man folgende Lösung ansetzen: 

ψ(x) = A · e −ikx + B · e ikx (6.3.2) 

Diese entspricht einer nach rechts und einer nach links laufenden Welle. Die Parameter A, B, k sind freie Parameter. 

Nun setzt man diese Lösung in die Schrödingergleichung ein und erhält (ψ ′′ (x) = −k 2 Ae ikx − k 2 Be −ikx = 

−k 2 ψ(x)): 

− 2 

2m ψ′′ + (V 0 − E)ψ = 0 

2 k 2 

2m ψ + (V 0 − E)ψ = 0 

Daraus erhält man dann eine Bedingung für den Parameter k: 

2 k 2 

2m = E − V 0 ⇒ k = 

√ 

2m(E − V0 ) 

 

(6.3.3) 

Ist E < V 0 , also im verbotenen Bereich, so wird k rein komplex, sodass aus der komplexen Exponentialfunktion 

(Schwingung) ein exponentielles Abklingen wird. 

Die weiteren Parameter A, B sind frei und können erst durch zusätzliche Bedingungen festgesetzt werden. So 

kann man etwa an Unstetigkeitsstellen des Potentials Stetigkeitsbedingungen für die Wellenfunktion ψ(x) aufstellen. 

Diese lauten: 

ψ I (x) = ψ II (x) ψ ′ I(x) = ψ ′ II(x) (6.3.4) 

6.3.2 Potentialstufe 

In diesem Kapitel betrachtet man eine Welle, die von links auf eine Potentialstufe zu läuft. Die hier betrachtete 

Lösung ist teilweise nicht normierbar, sodass sie kein Element des Hilbertraumes darstellt. Aus den Lösungen 

kann aber eine andere Lösung (z.B. ein Wellenpaket) konstruiert werden, die dann normierbar ist. Abb. 6.2 zeigt 

das betrachtete Potential. 

J I, 

V(x) 

J II, 

J I, 

V 0 

0 

1 2 

x 

Abb. 6.2: Potentialstufe 



Nach dem im vorherigen Abschnitt gesagten wird das Potential in zwei stückweise konstante Abschnitte 1, 2, 

in denen die Wellenfunktionen ψ I (x) und ψ II (x) definiert werden. Allgemein gilt hier E > 0. Es gilt hier zwei 

Fälle zu unterscheiden: 

Partielle Reflexion E > V 0: In diesem Fall liegt die Energie des Teilchens/der Welle über der Potentialstufe. Im 

klassischen Fall würde ein solches Teilchen nichts vom Potential merken. Im QM-Fall gilt aber: 

√ 

2mE 

ψ I (x) = A I · e −ikx + B I · e ikx , k = ∈ R 

(6.3.5a) 

 

√ 

2m(E − 

ψ II (x) = A II · e −ik′x + B II · e ik′x , k ′ V0 ) 

= 

∈ R 

(6.3.5b) 

 

Es gelten die zwei Stetigkeitsbedingungen ψ I (0) = ψ II (0) und ψ I ′ (0) = ψ′ II (0). Da man so nur zwei Bedingungen 

für vier freie Parameter hat und ein Parameter frei festlegbar ist, muss der letzte Parameter ebenfalls 

vorgegeben werden, damit die Gleichungen eindeutig lösbar sind. Man betrachtet deswegen nur Teilchen, die aus 

der negativen x-Richtung kommen. An der Potentialstufe können Teilchen reflektiert werden. Nur rechts von der 

Stufe kann nur eine auslaufende Welle auftreten. Darum setzt man A II = 0. Danach kann man dann mit den zwei 

Stetigkeitsbedingungen rechnen: 

A I e −ik0 + B I e ik0 = B II e ik′ 0 

−ikA I e −ik0 + ikB I e ik0 = ik ′ B II e ik′ 0 

⇒ A I + B I = B II 

⇒ k(A I + B I ) = k ′ B II 

(6.3.6a) 

(6.3.6b) 

Addiert man die zwei rechten Beziehungen in (6.3.6a) und (6.3.6b), so erhält man: 

A I + B I − k k ′ (B I − A I ) = 0 

... und analog: 

⇒ 

2B I = 

(1 + k ) 

k ′ A I = − 

(1 − k ) 

k ′ B I ⇒ A I 

= k − k′ 

B I k + k ′ (6.3.7) 

(1 + k k ′ ) 

B II ⇒ B II 

B I 

= 2k 

k + k ′ (6.3.8) 

Außerdem kann man die Wahrscheinlichkeitsströme an der Stufe berechnen (beide gehen nur in x-Richtung): 

J I (x) = 

[ 

ψ ∗ · 

2mi 

⃗∇ψ − ψ · ⃗∇ψ ∗] = 

= ik [ 

(A 

2 

2mi I e 0 + BI 2 e 0 + A I B I e 2ikx − A I B I e −2ikx ) + (A 2 Ie 0 + BI 2 e 0 + A I B I e −2ikx − A I B I e 2ikx ) ] = 

= k [ 

|B I | 2 − |A I | 2] = J I→ (x) + J I← (x) (6.3.9) 

m 

J II (x) = k′ 

m |B II| 2 . (6.3.10) 

Der Strom auf der rechten Seite setzt sich aus einem nach links J I← (x) und einem nach rechts J I→ (x) zusammen. 

Das Verhältnis dieser Ströme ergibt den Reflexionskoeffizienten R: 

R = J I←(x) 

J I→ (x) = ∣ ∣∣∣ A I 

B I 

∣ ∣∣∣ 

2 

= 

mit (6.3.7) 

∣ k − k ′ ∣∣∣ 

2 

∣k + k ′ 

= 1 − 4kk′ 

(k + k ′ ) 2 (6.3.11) 

Der Transmissionskoeffizient T ergibt sich aus den einfließenden Strom J I→ (x) und dem ausfließenden Strom 

J II (x): 

T = J ∣ 

II(x) 

J I→ (x) = k′ 

k · 

B II ∣∣∣ 

2 

∣ ∣ = 

2k ∣∣∣ 

2 

B I mit (6.3.8) 

∣k + k ′ = 4kk′ 

(k + k ′ = 1 − R. (6.3.12) 

) 

2 

Totalreflexion E < V 0: Nun betrachtet man die Situation, in der die Teilchenenergie E unter der Energie V = 

des Potentiales liegt. Man setzt die selben Lösungen (6.3.5a) und (6.3.5b) an. Nun ist k ′ = i ˙α, α ∈ R aber 

rein komplex, sodass sich für den Bereich 2ein exponentielles Abklingen ergibt. Damit die Lösung für x → ∞ 

beschränkt bleibt muss man B II = 0 setzen. Für den Reflexionskoeffizienten ergibt sich dann: 

R = J I←(x) 

J I→ (x) = ∣ ∣∣∣ A I 

B I 

∣ ∣∣∣ 

2 

= 

k − iα 

∣k + iα∣ 

2 

= 1 (6.3.13) 



Physikalische Interpretation: Das Teilchen verhält sich absolut unklassisch. Sein Verhalten ist aber mit dem 

einer Lichtwelle vergleichbar. Ein Potential, das klassisch für ein Teilchen nicht spürbar wäre hat eine verlangsamende 

Wirkung auf das Teilchen (k ′ < k). Im falle der Reflektion wird das Teilchen zwar auch vollständig 

reflektiert, es gibt aber eine nicht-verschwindende Wahrscheinlichkeit es im klassisch verbotenen Bereich anzutreffen 

(verhinderte Totalreflexion). Senkt man das Potential nach einer kurzen Strecke x 0 wieder auf 0 ab, so 

erhält man eine nicht-verschwindende Wahrscheinlichkeit das Teilchen rechts von dieser Potentialbarriere anzutreffen 

(Tunneleffekt). Außerdem kann man für einen solchen Potentialwall noch Resonanzen erhalten (Fabry- 

Perot-Interferometer). 

6.3.3 Kastenpotential 

Hier wird nur der einfache Fall eines Kastenpotentials mit unendlich hohen Wänden betrachtet. Es ist in Abb. 6.3 

abgebildet. 

V(x) 

1 2 3 

0 

Abb. 6.3: Kastenpotential 

a 

x 

In den Bereichen mit V = ∞ rechts von x = a und links von x = 0 kann keine Wellenfunktion existieren, 

sodass man nur Lösungen für x ∈ [0, a] suchen muss. An den Rändern der Potentialstufe muss die Wellenfunktion 

auf 0 abfallen, also gilt: 

ψ(a) = ψ(0) = 0 (6.3.14) 

Als allgemeinen Ansatz für die Schrödingergleichung verwendet man dann wieder: 

Dies setzt man in die Schrödingergleichung ein und erhält (mit ψ ′′ = −k 2 ψ): 

ψ(x) = Ae ikx + Be −ikx (6.3.15) 

2 k 2 

ψ − Eψ = 0 (6.3.16) 

2m 

und daraus wieder k = √ 2mE 

 

. Es sind aber nicht alle Werte für k erlaubt, da die Lösungen auch der Bedingung 

(6.3.14) genügen müssen: 

Ae ika + Be −ika = A + B = 0 (6.3.17) 

Daraus erhält man sofort A = −B. Außerdem wird benötigt, dass Ae ika + Be −ika = (A + B) cos(ka) + i(A − 

B) sin(ka) = 0 gelten muss. Dies lässt sich für A = −B nur mit sin(ka) = 0 erfüllen. Daraus erhält man dann 

die Quantisierungsbedingung 

k n = nπ a , n ∈ N ⇒ E n = π2 2 

2ma 2 · n2 . (6.3.18) 

Die Wellenfunktion reduziert sich damit auf 

( nπ 

) 

ψ(x) = 2iA · sin 

a · x 

(6.3.19) 

Ist der kasten symmetrisch um 0, so werden nicht alle Eigenfunktionen durch sin(...) beschrieben, da sin streng 

antisymmetrisch ist, aber z.B. der Grundzustand streng symmetrisch ist. Es müssen dann noch cos-Lösungen hinzugenommen 

werden. 



6.4 Zwei-Zustandssysteme 

Das Zwei-Niveau- oder Zwei-Zustands-System ist ein oft angewandtes Modellsystem der Quantenmechanik. Es 

spielt z.B. bei Atom-Licht-Wechselwirkung eine große Rolle (siehe Abschnitt 14). Darum soll es hier in voller 

Allgemeinheit gelöst werden. Eine Anwendung der Ergebnisse diese Abschnittes findet sich in vielen der folgenen 

Kapitel (siehe z.B. Abschnitte 14 und 15.3.2). 

6.4.1 Diagonalisierung einer hermite’schen 2 × 2-Matrix 

Für die Beschreibung von Zweizustands-Systemen werden die Tools aus den folgenden Abschnitten benötigt werden. 

Darum seien sie hier vorangestellt. Jedes Zwei-Zustands-System zeichnet sich dadurch aus, dass sein Hamiltonian 

nur zwei Eigenzustände hat. Eine Basis des zugehörigen Hilbertraumes ist also immer zwei-dimensional. 

In einer solchen Basis lässt sich der Hamiltonian dann als 2 × 2-Matrix darstellen. Eine solche orthonormale Basis 

sei im folgenden mit {|1〉, |2〉} bezeichnet. In dieser Basis lässt sich der Hamiltonian dann so schreiben: 

( ) 

(Ĥ) = 

H11 H 12 

, H 

H 21 H ij = 〈i|Ĥ|j〉, H 12 = H ∗ 

22 

21. 

Berechnung der Eigenwerte 

Im folgenden soll nun allgemein eine solche Matritzen diagonalisiert werden. Dazu sucht man eine Basis von 

Eigenvektoren |±〉, in der Ĥ diagonal ist. Sind E ± die Eigenwerte zu |±〉, so hat dann in der {|±〉}-Darstellung Ĥ 

die Form: 

( ) 

(Ĥ) = 

E+ 0 

. 

0 E − 

Man löst also die Eigenwertgleichung det(H −E ± 1) = 0 und erhält (es wurde die hermitezität der Matris benutzt, 

sodass gilt: H 12 H 21 = H ∗ 21H 21 = |H 12 | 2 = |H 21 | 2 ): 

E ± = 1 2 (H 11 + H 22 ) ± 1 2 

√ 

(H 11 − H 22 ) 2 + 4 |H 12 | 2 (6.4.1) 

Berechnung der Eigenzustände 

Um auch die Eigenzustände zu berechnen, whält man einen etwas anderen Weg, auf dem die Berechnung etwas 

einfacher wird: Hierzu schreibt man zuerst (Ĥ) in folgender Form: 

( 1 (Ĥ) = 2 (H ) ( 

11 + H 22 ) 0 

1 

1 

0 

2 (H + 2 (H ) 

11 − H 22 ) H 12 

11 + H 22 ) H 21 − 1 2 (H . 

11 − H 22 ) 

Damit kann man also den Operator Ĥ auch schreiben, als: 

Ĥ = 1 2 (H 11 + H 22 ) · 1 + 1 2 (H 11 − H 22 ) · ˆK, ( ˆK) = 

( 

1 

2H 21 

H 11−H 22 

2H 12 

H 11−H 22 

−1 

) 

. (6.4.2) 

Dabei ist ˆK wieder ein hermite’scher Operator, was sofort aus der Definition hervorgeht. Aus (6.4.2) folgt sofort, 

dass es gemeinsame Eigenvektoren von Ĥ und ˆK geben muss, die man mit |+〉, |−〉 bezeichnet. Man schreibt dann 

die folgenden Eigenwertgleichungen 

und erhält durch Anwenden von (6.4.2) auf |±〉: 

Ĥ|±〉 = E ± · |±〉, ˆK|±〉 = κ± · |±〉, (6.4.3) 

E ± = 1 2 (H 11 + H 22 ) + 1 2 (H 11 − H 22 ) · κ ± . (6.4.4) 

Damit genügt es also die Eigenwerte κ ± von ˆK zu bestimmen, um E ± zu berechnen. man erhält: 

√ 

(H 11 − H 22 ) 2 + 4 |H 12 | 2 

κ ± = ± 

. 

H 11 − H 22 

Nun führt man die Winkel θ, ϕ ein, die über die Matrixelemente H ij definiert werden: 



• tan θ = 

2|H21| 

H 11−H 22 

, 

mit 0 ≤ θ < π 

• H 12 = |H 12 | e −iϕ , H 21 = |H 21 | e iϕ 

mit 0 ≤ ϕ < 2π 

Der Winkel ϕ ist also das Argument der komplexen Zahl H 21 (|H 12 | = |H 21 |). Damit wird dann aus der Matrix 

( ˆK): 

( 

) 

( ˆK) 1 tan θ e 

= 

−iϕ 

tan θ e iϕ −1 

Wie oben berechnet man dann über die charakteristische Gleichung von ( ˆK) die Eigenwerte: 

−(1 − κ ± )(1 + κ ± ) − tan 2 θ = 0 ⇒ κ ± = ± 1 

cos θ 

Aus dem Vergleich mit (6.4.1) erhält man dann: 

κ ± = ± √ 

(H 11 − H 22 ) 2 + 4 |H 12 | 2 

H 11 − H 22 

. 

Nun sollen die Eigenvektoren |±〉 von Ĥ berechnet werden. Da sie nach (6.4.3) die Eigenwertgleichung von ˆK 

erfüllen, kann man in der {|1〉, |2〉}-Darstellung mit |+〉 = c 1 · |1〉 + c 2 · |2〉 schreiben (man benutze in (6.4.9), 

dass 1 − cos θ = 2 sin 2 θ 2 ): ( 

) ( ) 

1 tan θ e −iϕ c1 

tan θ e iϕ 

· = 1 ( ) 

c1 

(6.4.5) 

−1 c 2 cos θ c 2 

In diesem Gleichungssystem hat man einen freien Parameter c 1 oder c 2 . Man erhält (benutze in (6.4.9), dass 

1 − cos θ = 2 sin 2 θ 2 und sin θ = 2 · sin θ 2 · cos θ 2 ): 

c 1 + c 2 · tan(θ) · e −iϕ = 

cos θ 

(6.4.6) 

−c 1 · (1 − cos θ) + c 2 · sin(θ) · e −iϕ = 0 (6.4.7) 

c 2 

sin θ · e −iϕ 

1 − cos θ 

c 2 

2 sin θ 2 · cos θ 2 · e−iϕ/2 

2 sin 2 θ 2 

c 1 

= c 1 (6.4.8) 

= c 1 · e iϕ/2 (6.4.9) 

c 2 · cos θ 2 · e−iϕ/2 = c 1 · sin θ 2 · eiϕ/2 (6.4.10) 

Eine Möglichkeit, (6.4.10) zu erfüllen und dabei die Normierungsbedingung c 2 1 + c 2 2 

folgende Zustand |+〉. Durch analoge Rechnung erhält man auch |−〉: 

= 1 einzuhalten ist der 

|+〉 = cos θ 2 · e−iϕ/2 · |1〉 + sin θ 2 · eiϕ/2 · |2〉, |−〉 = − sin θ 2 · e−iϕ/2 · |1〉 + cos θ 2 · eiϕ/2 · |2〉 (6.4.11) 

Der Winkel θ kann als „Mischungswinkel“ betrachtet werden. Er gibt an, zu welchen Anteilen die Zustände |1〉, |2〉 

in den Zuständen |±〉 enthalten sind. Der Winkel ϕ ist ein zusätzlicher Phasenwinkel. 

Interessant ist dann natürlich auch die Darstellung von |1〉, |2〉 in der {|±〉}-Basis. Aus (6.4.11) erhält man: 

|+〉 = cos θ 2 · e−1ϕ/2 · |1〉 + sin θ 2 · e1ϕ/2 · |2〉 

⇒ |2〉 = |+〉 − cos θ 2 · e−1ϕ/2 · |1〉 

sin θ 2 · e1ϕ/2 

|−〉 = − sin θ 2 · e−1ϕ/2 · |1〉 + cos θ 2 · eiϕ/2 · |2〉 = 

= − sin θ 2 · e−1ϕ/2 · |1〉 + cos θ 2 · eiϕ/2 · |+〉 − cos θ 2 · e−1ϕ/2 · |1〉 

sin θ 2 · e1ϕ/2 

⇒ sin θ 2 · e1ϕ/2 · |−〉 = − sin 2 θ 2 · |1〉 + cos θ 2 · eiϕ/2 · |+〉 − cos 2 θ 2 · |1〉 

Aus der letzten Zeile folgt sofort (und durch Einsetzen für |2〉): 

|1〉 = e iϕ/2 · 

(cos θ 2 · |+〉 − sin θ ) 

2 · |−〉 , |2〉 = e −iϕ/2 · 

(sin θ 2 · |+〉 + cos θ ) 

2 · |−〉 

(6.4.12) 



6.4.2 Physikalische Interpretation der Ergebnisse 

Man betrachtet hier ein System mit zwei Zuständen |1〉 ≠ |2〉, die zu unterschiedlichen Energieeigenwerten E 1 ≠ 

E 2 gehört. Damit hat man also die folgenden zwei Eigenwertgleichungen für den ungestörten Hamiltonoperator 

Ĥ 0 des Systems: 

Ĥ 0 |1〉 = E 1 · |1〉, Ĥ 0 |2〉 = E 2 · |2〉. 

Befindet sich das System zur Zeit t = 0 im Zustand |1〉, so ist die Wahrscheinlichkeit P 12 (t) ihn zum Zeitpunkt 

t > 0 im Zustand Eigenzustand |2〉 anzutreffen immer 0. Ein im Eigenzustand präpariertes System bleibt also für 

alle Zeiten in diesem und kann nicht in einen anderen Eigenzustand wechseln. 

Nun führt man eine hermite’sche Störung Ŵ des Systems ein. Dabei kann es sich sowohl um eine externe 

Störung, als auch um eine innere Kopplung handeln. Ein Beispiel für ein solches System können etwa zwei Niveaus 

in einem Atom sein, zwischen denen ein optischer Übergang existiert. Die Störung könnte dann etwa ein 

eingestrahlter Laser-Puls sein. Mit der Störung Ŵ hat das System dann den neuen Hamiltonian 

Ĥ = Ĥ0 + Ŵ. 

Dessen Eigenzustände sind dann |+〉, |−〉 mit den zugehörigen Eigenenergien E + , E − : 

Ĥ|+〉 = E + · |+〉, 

Ĥ|−〉 = E − · |−〉. 

Aus der Kopplung des Systems durch Ŵ erhält man folgende Konsequenzen: 

1. E 1 , E 2 sind keine möglichen Energien des Systems mehr. Die Energieniveaus des Systems werde zu E ± 

verschoben. 

2. Die Zustände |1〉, |2〉 sind i.A. keine Eigenzustände des Systems Ĥ mehr. Damit kann ein System, das im 

Zustand |1〉 präpariert wurde, mit einer Wahrscheinlichkeit P(t) > 0 im Zustand |2〉 gemessen werden. Man 

nennt die Störung Ŵ auch Kopplung, weil sie einen Übergang zwischen den Zuständen ermöglicht. 

In der {|1〉, |2〉}-Basis lautet die Darstellung des ungestörten und gestörten Hamiltonian: 

( ) ( ) 

E1 0 

(Ĥ0) = 

, 

0 E (Ĥ) = E1 + W 11 W 12 

, W 

2 W 21 E 2 + W 12 = W21 

∗ 22 

Statische Aspekte 

In Abschnitt 6.4.1 wurden die Eigenwerte E ± und Eigenzustände |±〉 für diesen Hamiltonian berechnet. Sind 

die Off-Diagonal-Elemente W 12 = W 21 = 0, so verschieben sich lediglich die Eigenwerte (E + = E 1 + W 11 , 

E − analog) und die Eigenzustände bleiben gleich. Darum kann man hier die Vereinfachung vornehmen, dass 

W 11 = W 22 = 0, wobei W 12 ≠ 0. Zusätzlich führt man dann noch die folgenden Größen ein: 

E m = E 1 + E 2 

, ∆ = E 1 − E 2 

2 

2 

(6.4.13) 

Dabei ist E m der Mittelwert der Energie der zwei Ausgangszustände und ∆ gibt den halben Abstand der Zustände 

an. Mit diesen Größen gilt E 1 = E m + ∆ und E 2 = E m − ∆. Damit erhält man für die Eigenwerte und -energien 

des gestörten Systems aus den Ergebnissen der Abschnitte 6.4.1 und 6.4.1: 

√ 

E ± = E m ± ∆ 2 + |W 12 | 2 (6.4.14) 

|+〉 = cos θ 2 · e−iϕ/2 · |1〉 + sin θ 2 · eiϕ/2 · |2〉 (6.4.15) 

|−〉 = − sin θ 2 · e−iϕ/2 · |1〉 + cos θ 2 · eiϕ/2 · |2〉 (6.4.16) 

tan θ = |W 12| 

∆ . (6.4.17) 

Abb. 6.4(a) zeigt die Energieniveaus (6.4.14) in Abhängigkeit von der Größe W 12 der Störung. Ohne Störung 

W 12 = 0 haben die Niveaus den Abstand 2∆. Dies ist in der Mitte der Abbildung gezeigt. Je größer die Störung 

wird, desto weiter entfernen sich die Zustände voneinander. Dies bedeutet, dass sich entartete Zustände (∆ = 

0) voneinander entfernen, wenn die Störung eingeschaltet wird. Bei nicht-entarteten Niveaus E 1 , E 2 erhöht die 

Störung den Abstand der Niveaus; es gilt immer: 

ω ± = |E + − E − | > |E 1 − E 2 | = ω 12 . 



(a) 

gestört 

Energie 

(b) 

gestört 

Energie 

E + 

E + 

E=E 1 m+∆ 

E(∆=0) 

+ 

ungestört 

|W 12| 

E 1 

E m 

E=E-∆ 

2 m 

W 12 

E(∆=0) 

- 

E m 

-|W 12| 

E 2 

∆ 

E - 

E - 

Abb. 6.4: Energieterme des Zwei-Niveau-Systems. (a) zeigt die Abhängigkeit von der Größe W 12 der Störung und (b) 

zeigt die Abhängigkeit der gestörten und ungestörten Niveaus vom Ursprünglichen Niveauabstand 2∆ 

In Abb. 6.4(b) sind die Energieterme (6.4.14) in Abhängigkeit des ursprüngliche Niveausabstandes 2∆ aufgetragen. 

Hier sieht man, dass sie die Energieniveaus nicht mehr kreuzen, wenn eine Störung aktiv ist. Dies nennt 

man auch avoided level crossing. 

Beispielsystem für avoided crossing: Ein physikalisches Beispiel ist etwa der Feinstruktur-Zeeman-Effekt 

(siehe auch 13.3.1). Bei J = 1 2 existieren zwei entartete Unterniveaus m J = ± 1 2 

, die sich durch eine Störung 

W 12 (B) = µ B m J B/ mit einem Magnetfeld B voneinander entfernen. Hier gilt ∆ = 0. Berücksichtig man nun 

noch die Hyperfeinstrukturaufspaltung, so hebt diese die Entartung bei B = 0 auf und es gilt ∆ > 0. Nun treffen 

sich die Niveaus nicht mehr beim Nulldurchgang des Magnetfeldes B, bzw. der Störung W 12 . 

Dynamische Aspekte 

Man nehme nun an, dass das System zur Zeit t = 0 im Zustand |ψ(0)〉 = |1〉 präpariert wird. Wird nun eine 

Störung eingeschaltet, so ist |ψ(t)〉 i.A. kein Eigenzustand des Systems mehr und mithin nicht mehr stationär. Aus 

(6.4.12) folgt dann zusammen mit dem zeitlichen Propagator ˆP(t) = e −iĤt : 

|ψ(t)〉 = e 

(cos iϕ/2 θ 2 · e−iE+t/ |+〉 − sin θ ) 

2 · e−iE−t/ |−〉 

Damit ergibt sich dann die Wahrscheinlichkeit P 12 (t), das System zum Zeitpunkt t ≥ 0 im Zustand |2〉 anzutreffen 

(verwende: sin 2θ = 2 sin θ · cos θ): 

〈2|ψ(t)〉 = e 

(cos iϕ/2 θ 2 · e−iE+t/ 〈2|+〉 − sin θ ) 

2 · e−iE−t/ 〈2|−〉 

= e iϕ · cos θ 2 · sin θ (e 

2 · −iE+t/ − e −iE−t/) 

⇒ P 12 (t) = |〈2|ψ(t)〉| 2 = 1 ( 

4 sin2 θ · e −iE+t/ − e −iE−t/) 2 

= 

= sin 2 θ · sin 2 ( 

E+ − E − 

2 

Damit erhält man unter Verwendung der Matrixelemente von Ĥ: 

) 

· t 

⎡ √ 

⎤ 

|W 12 | 2 

P 12 (t) = 

|W 12 | 2 + ∆ · 2 sin2 ⎣ t · |W 12 | 2 + ∆ 2 

⎦ (6.4.18) 

 

Die folgende Abb. 6.5 zeigt die Oszillationen der Wahrscheinlichkeit. Dieses Ergebnis bedeutet, dass eine Kopplung/Störung 

im Zweizustandssystem zu einer Oszillation zwischen den ursprünglichen Zuständen führt. Ist das 

System anfangs in |1〉 präpariert, so kann man es nach einer gewissen Zeit mit hoher Wahrscheinlichkeit in Zustand 

|2〉 antreffen. Danach wechselt es wieder in |1〉 usw. Sowohl die Frequenz, als auch die Amplitude der Oszillationen 

hängt von der Stärke der Kopplung |W 12 | ab. 

In atomaren Systemen gibt es das ähnliche Phänomen der Rabi-Oszillationen, die in Abschnitt 14 näher erläutert 




Ammoniakmolekül als Beispielsystem: Das Ammoniak-Molekül NH 3 besteht aus drei Wasserstoff-Atomen, 

die eine Ebene aufspannen. Das Stickstoff-Atom befindet sich dann entweder ober- oder unterhalb dieser Ebene. 

Das so beschriebene System kann als Zwei-Niveau-System betrachtet werden, bei dem zwei entartete Zustände 

|1〉, |2〉 vorliegen (∆ = 0). Die folgende Abbildung zeigt das: 

Zustand 1, Stickstoff 

oberhalb H-Ebene: 

Zustand 2, Stickstoff 

unterhalb H-Ebene: 

H 

N 

H 

H 

H 

N 

H 

H 

Da Wasser- und Stickstoff unterschiedliche Elektronegativität haben ist Ammoniak leicht polar mit einem Dipolmoment 

⃗p e . Eine Störung dieses Systems kann somit durch ein statisches, elektrisches Feld ⃗ E erfolgen. Die Wechselwirkungsenergie 

ist dann W 12 (E) = −⃗p e · ⃗E. Aus (6.4.18) lässt sich damit schließen, dass das Ammoniak- 

Molekül ständig zwischen den Beiden möglichen Konformationen (N oben/unten) hin- und herschwingt. Dies 

nennt man Inversionsschwinung. 



12 (t) 

2 

sin θ 

π /(E+ -E-) 

t 

Oszi 

2 2 2 

|W 

12 

| /(|W 

12 

| + ) 

1 

0 

|W| 12 

Abb. 

√ 

6.5: Oszillationen im gestörten Zweizustandssystem. Unten sieht man die Abhängigkeit der Frequenz ω Oszi = 

|W 12 | 2 +∆ 2 

|W 

und der Amplitude 12 | 2 

der Oszillationen von der Stärke der Störung. 

 

|W 12 | 2 +∆ 2 

|W| 12 


7 Interferenzeffekte 

In 4.1.2 wurden Superpositions- und Interferenzeffekte der Lösungen der Schrödingergleichung besprochen. Hier 

sollen nun einige Beispiele dazu folgen. 

7.1 Polarisierte Photonen 

Man betrachte Photonen, die parallel zur Winkelhalbierenden zwischen den Basiskets |e x 〉, |e y 〉 polarisiert sind 

(siehe Abb. 7.1): 

|e〉 = 1 √ 

2 

(|e x 〉 + |e y 〉). (7.1.1) 

e x 

Photonen 

e 

Polarisator 

e 

z 

e y 

Abb. 7.1: Polarisierte Photonen 

Nun analysiert man diese Photonen mit einem Polarisator, der unter 90 ◦ zu |e〉 steht: 

Nun kann man sich zwei Interpretationen des Zustandes |e〉 vorstellen: 

|e ′ 〉 = 1 √ 

2 

(|e x 〉 − |e y 〉). (7.1.2) 

1. statistisches Gemisch mit N 2 × |e x〉 und N 2 × |e y〉. Der Analysator |e ′ 〉 lässt dann 50% der Photonen passieren. 

Dies entrpicht der Interpetation der Gleichung (4.1.6) ohne die Interferenzterme: 

P (e ′ ) = |λ 1 | 2 P x (e ′ ) + |λ 2 | 2 P y (e ′ ) = 1 2 · 1 

2 + 1 2 · 1 

2 = 1 2 . (7.1.3) 

2. Superpositionszustand: Hier werden die Interferenzterme nicht 0 gesetzt, sodass man erhält: 

P (e ′ ) = |〈e ′ |e〉| 2 = 1 4 |(〈e x| − 〈e y |) · (|e x 〉 + |e y 〉)| 2 = 

= 1 4 |〈e x|e x 〉 − 〈e y |e y 〉 + 〈e x |e y 〉 − 〈e y |e x 〉| 2 = 1 4 |1 − 1 + 0 − 0|2 = 0 (7.1.4) 

Der Polarisator lässt also kein Licht passieren, da er unter 90 ◦ auf der Polarisationsrichtung des einfallenden 

Lichtes steht. 

7.2 Dichtematrix-Darstellung 

Man kann diese zwei Zustände auch im Dichtematrix-Formalismus darstellen: 

1. statistisches Gemisch: In der {|e x 〉, |e y 〉}-Basis erhält man dann folgende Dichtematrix: 

( ) p 0 

ρ ˆ=|e x 〉p〈e x | + |e y 〉p〈e y |= , p = 1 0 p 2 

Die Entropie dieses Zustandes ist (berechnet in der Diagonalbasis {|e x 〉, |e y 〉}): 

( 1 

S = −k B · 

2 · ln 1 2 + 1 2 2) 

· ln 1 ≈ 0.693 · k B . 

59


Nun misst man wieder mit dem Polarisator in |e ′ 〉-Stellung: 

P (e ′ ) = Spur{ˆρˆP e ′} = Spur{ˆρ|e ′ 〉〈e ′ |} = 

{( 

= Spur |e x 〉 1 2 〈e x| + |e y 〉 1 ) 

2 〈e y| · 1 

} 

2 · (|e x〉 − |e y 〉) · (〈e x | − 〈e y |) = 

{( 

= Spur |e x 〉 1 2 〈e x| + |e y 〉 1 ) 

2 〈e y| · 1 

} 

2 · (|e x〉〈e x | − |e y 〉〈e x | − |e x 〉〈e y | + |e y 〉〈e y |) = 

{ 1 

( 

) } 

= Spur 

4 · |e x 〉〈e x | − |e x 〉〈e y | − |e y 〉〈e x | + |e y 〉〈e y | = 1 2 

Dabei verschwinden die Terme 〈e x |e y 〉, da die Polarisationen orthogonal sind. 

2. Superpositionszustand: Der Dichteoperator zum Superpositionszustand |e〉 = 1 √ 

2 

(|e x 〉 + |e y 〉) ist: 

ˆρ = |e〉〈e| = 1 2 

In der {|e x 〉, |e y 〉}-Basis entspricht dies: 

( 

|ex 〉〈e x | + |e y 〉〈e y | + |e x 〉〈e y | + |e y 〉〈e x | ) 

ˆρ ˆ= 1 2 

( ) 

1 1 

1 1 

Nun sind also auch die Off-Diagonal-Elemente besetzt. Dies bedeutet, dass dieser Zustand aus einer Superposition 

(Interferenz) der Basiszustände besteht. Der Projektionsoperator auf den Zustand |e ′ 〉 hat folgende 

Matrix-Darstellung: 

ˆP e ′ ˆ= 1 ( ) 

1 −1 

2 −1 1 

Damit gilt: 

ˆρˆP e ′ ˆ= 

( ) 0 0 

0 0 

Die Spur ist also ebenfalls Null und damit auch der Erwartungswert bei der Messung von |e ′ 〉. Für eine 

beliebige Superposition |ψ〉 = λ 1 |e x 〉 + λ 2 |e y 〉 hat der Projektor folgende Matrixdarstellung: 

( 

ˆP ψ = |ψ〉〈ψ| = (λ 1 |e x 〉 + λ 2 |e y 〉) · (λ ∗ 1〈e x | + λ ∗ |λ1 | 2 ) 

λ 

2〈e y |) ˆ= 1 λ ∗ 2 

λ ∗ 1λ 2 |λ 2 | 2 

7.3 Aufeinanderfolgende Messungen 

Man präpariere ein System im Zustand |a〉 durch Messung von Â. Sofort danach messe man den Operator Ĉ, 

der mit Â nicht vertauscht ([Â, Ĉ] ≠ 0). Man erhält dann die Wahrscheinlichkeit den P a(c) den Eigenwert c zu 

messen, wenn das System im Zustand |a〉 ist zu: 

P a (c) = |〈c|a〉| 2 (7.3.1) 

Nun wird der gleiche Versuch wie oben durchgeführt. Zwischen der Messung von Â und Ĉ wird aber noch der 

Operator ˆB gemessen, der weder mit Â noch mit Ĉ vertauscht. Nach der Messung von ˆB befindet sich das System 

im Eigenzustand |b〉. Für die Wahrscheinlichkeit zuerst b und danach c zu messen gilt also: 

P a (b, c) = P a (b) · P b (c) = |〈b|a〉| 2 · |〈c|b〉| 2 (7.3.2) 

Nun stellt sich die Frage, wie sich hieraus P a (c) berechnen lässt. Ein Ansatz wäre sicher die Summation über die 

Wahrscheinlichkeiten aller möglicher Zwischenzustände |b〉: 

P a (c) ? = ∑ b 

P a (b, c) (7.3.3) 

Dieser Versuch würde aber die Interferenzeffekte nicht berücksichtigen. Geht man also streng nach den Axiomen 

der Quantenmechanik vor, so erhält man: 

P a (c) = 

∑ 

〈c|b〉〈b|a〉 

∣ 

∣ 

b 

2 

= ∑ b 

|〈c|b〉〈b|a〉| 2 

+ Re 

⎧ 

⎫ 

⎨∑ 

∑ 

⎬ 

〈c|b〉〈b|a〉〈c|b ′ 〉 ∗ 〈b ′ |a〉 ∗ 

⎩ 

⎭ (7.3.4) 

b 

b ′ ≠b 



Man erhält die auch durch einfaches Einschieben der Vollständigkeitsrelation 1 = ∑ b 

folgendem Schluss: 

|b〉〈b|. Man kommt also zu 

Das System besetzt alle Zwischenzustände |b〉 gleichzeitig. Alle diese Zustände interferieren miteinander 

und erzeugen so das Endergebnis. Durch Messen der Observablen ˆB legt man aber den Zwischenzustand 

fest (gewinnt also Information über das System) und die Wahrscheinlichkeit den Eigenwert c zu messen 

ändert sich ((7.3.1) → (7.3.2)). Dies nennt man dann auch Kollaps der Wellenfunktion. Streng genommen 

misst man aber nicht mehr die gleiche Wahrscheinlichkeit wie in (7.3.1), da man mehr Information 

berücksichtigt. 

7.4 Mach-Zehnder-Interferometer 

Die Ergebnisse des letzten Abschnitt 7.3 lassen sich auf ein Mach-Zehnder-Interferometer anwenden (siehe Abb. 

7.2). 

einfallende 

Photonen 

BS1 

Weg 1 

 

S1 

S2 

Weg 2 

BS2 

Detektor 1 

Detektor 2 

Abb. 7.2: Mach-Zehnder-Interferometer. In einem der Wege ist eine Probe, die zu einer Phasenverzögerung um ∆ϕ führt. 

Bei diesem ist es wichtig zu wissen, dass Licht/Photonen einen Phasensprung von π/2 = 90 ◦ machen, wenn 

sie reflektiert werden. Der Durchgang durch einen halbdurchlässigen Spiegel ohne Reflektion führt zu keiner Phasenverzögerung 

(idealisiert!). Man nehme an, das eingestrahlte Licht sei im Zustand |ψ〉 = √ 1 

2 

(|r〉 + |b〉). Der 

erste Strahlteiler (BS1) teilt das Licht in zwei Strahlen, die mit |r〉 (roter/oberer Weg) und |b〉 (blauer/unterer Weg) 

bezeichnet werden. Im oberen (roten) Weg befindet sich ein zusätzliches Objekt, das eine Phasenverzögerung von 

∆ϕ hinzufügt. Die Wege im Interferometer sind ansonsten gleich lang. Dies führt zu den in Phasen in Abb. 7.3. 

rb 

i 

e r 

 

i 

e b 

i( 

e r 

i( 

e r 

i 

e b 

i 

e b 

D1 

i( 

e r 

e 

D2 

Abb. 7.3: Mach-Zehnder-Interferometer mit eingetragenen Phasen 

i3 

b 

In den Detektoren kommt es zur Interferenz der Strahlen aus den zwei Teilwegen. Man erhält also: 

D1 : |ψ 1 〉 = 1 √ 

2 

( 

(e iπ |b〉 + e i(π+∆ϕ) |r〉 ) 

= −1 √ 

2 

( 

e i∆ϕ |r〉 + |b〉 ) (7.4.1) 

D2 : |ψ 2 〉 = 1 √ 

2 

( 

(e i3π/2 |b〉 + e i(π/2+∆ϕ) |r〉 ) = i √ 

2 

( 

e i∆ϕ |r〉 − |b〉 ) (7.4.2) 

Dies bedeutet, dass es im Detektor D1 zu konstruktiver und im Detektor D2 zu destruktiver Interferenz kommt. 

Im realen Aufbau hat man nie exakt Linienförmige Lichtstrahlen, sondern leicht divergente Strahlenbündel, was 

zu Interferenzringen in den Detektoren führt. Die Ringmuster in D1 und D2 sind aufgrund der obigen Ergebnisse 

komplementär. Es soll nun die Wahrscheinlichkeit für eine Messung an den Detektoren berechnet werden. 



Die Messung in den Detektoren lässt sich folgendermaßen beschreiben: Die Frage, ob Licht ankommt oder nicht 

enstpricht der Messung des Zustandes |ψ〉 = √ 1 

2 

(|r〉 + |b〉): 

P D1 (ψ) = |〈ψ|ψ 1 〉| 2 = 

1 

∣√ (〈r| + 〈b|) · −1 ( 

√ e i∆ϕ |r〉 + |b〉 )∣ 2 ∣∣ = 

2 2 

= 1 2 

∣ e i∆ϕ 〈r|r〉 + e i∆ϕ 〈b|r〉 + 〈r|b〉 + 〈b|b〉 ∣ 1 

= ∣ ∣ 1 + e 

i∆ϕ 2 = 1 2 

2 (1 + ei∆ϕ )(1 + e −i∆ϕ ) = 

= 1 + cos ∆ϕ = 2 cos 2 ∆ϕ 

2 

Entsprechend ergibt sich für den Detektor D2: 

P D2 (ψ) = |〈ψ|ψ 2 〉| 2 = 

1 

i ( 

∣√ (〈r| + 〈b|) · √ e i∆ϕ |r〉 − |b〉 )∣ 2 ∣∣ = 

2 2 

= 1 2 

∣ 

∣e i∆ϕ 〈r|r〉 + e i∆ϕ 〈b|r〉 − 〈r|b〉 − 〈b|b〉 ∣ = 1 ∣ 

∣e i∆ϕ − 1 ∣ 2 = 1 2 

2 (ei∆ϕ − 1)(e −i∆ϕ − 1) = 

= 1 − cos ∆ϕ = 2 sin 2 ∆ϕ 

2 

(7.4.3) 

(7.4.4) 

Für ein idealisiertes System mit ∆ϕ = 0 misst man also nur am Ausgang D1 Photonen, während keine Photonen 

am Ausgang D2 ankommen. Stellt man nun eine Störquelle in einen der Wege, sodass man die Information 

erhält welchen Weg ein Photon genommen hat (ein Absorber im blauen Weg führt zur Sicheren Information, dass 

ein gemessene Photon den roten Weg genommen hat), so bricht die Interferenz zusammen. Die Zustände in den 

Detektoren sind dann: 

rb 

i 

e b 

 

i 

e r 

i( 

e r 

i( 

e r 

D1 

i( 

e r 

Abb. 7.4: Mach-Zehnder-Interferometer mit Wegmessung/Absorber in einem Teilstrahl 

D2 

Mathematisch ergibt sich also aus Abb. 7.4: 

Die Messung ergibt damit: 

D1 : |ψ ′ 1〉 = e i(π+∆ϕ) |r〉 (7.4.5) 

D2 : |ψ ′ 2〉 = e i(π/2+∆ϕ) |r〉 (7.4.6) 

D1 : P D1 (ψ) = |〈ψ|ψ ′ 1〉| 2 = 1 2 

(7.4.7) 

D2 : P D2 (ψ) = |〈ψ|ψ ′ 2〉| 2 = 1 2 

(7.4.8) 

Die Interferenz wird also zerstört. Die Phase des Zustandes ist nicht mehr messbar, weil absolute Phasen im 

Betragsquadrat verschwinden. Nur relative Phasen zwischen Zuständen sind messbar und von Bedeutung. 


8 Harmonischer Oszillator 

8.1 Grundlagen 

Hamilton-Operator: Ein Teilchen der Masse m befindet sich in einem harmonischen Potential und schwingt mit 

der Frequenz ω. Der Hamiltonian lautet: 

Ĥ = ˆP 2 

2m + 1 2 mω2 ˆX2 

(8.1.1) 

Setzt man für ˆX und ˆP die einheitelosen Operatoren 

ˆP ′ := 

1 

√ 

mω 

· ˆP und ˆX′ := 

√ mω 

· ˆX (8.1.2a) 

ein, so erhält man: 

Ĥ = ω 2 Ĥ0 = ω 2 

( 

ˆP′ 2 + ˆX ′2) ; [ ˆX ′ , ˆP ′ ] = i (8.1.2b) 

Damit erhält man die Schrödungergleichung: 

[− 2 

d 2 

2m dx 2 + 1 ] 

2 mω2 x 2 ψ n (x) = E n · ψ n (x) (8.1.3) 

Diese Differentialgleichung zweiter Ordnung lässt sich analytisch Lösen und man erhält die Hermite’schen Polynome 

mit einem zusätzlichen Phasenfaktor als Ergebnis. Es gibt aber noch einen zweiten Lösungsweg, der „algebraische 

Methode“ genannt wird. Noch eine Bemerkung zur Notation. Im folgenden werden an einigen Stellen 

die Striche bei den Operatoren (8.1.2a) weggelassen. Aus den Vorfaktoren ergibt sich ja eindeutig, um welche 

Operatoren es sich handelt. 

8.2 Lösung mit Hilfe der algebraischen Methode 

Im ganzen folgenden Abschnitt geht man von der dimensionslosen Gleichung aus: 

ω 

2 

( 

ˆP′ 2 + ˆX ′2) |ψ〉 = E n |ψ〉 mit: ˆP′ := 

Zunächst führt man neue Operatoren â, â † ein: 

Definition 8.1 (Auf-/Absteigeoperatoren) 

1 

√ 

mω 

· ˆP, ˆX′ := 

√ mω 

 

· ˆX 

â := 1 √ 

2 

( ˆX′ + iˆP ′) 

â † := 1 √ 

2 

( ˆX′ − iˆP ′) 

(8.2.1a) 

(8.2.1b) 

Aus diesen Operatoren erhält man sofort auch: 

ˆX ′ = 1 √ 

2 (â† + â ) 

ˆP ′ = 1 √ 

2 (â† − â ) 

(8.2.2a) 

(8.2.2b) 

Die Operatoren â, â † sind nicht hermite’sch und erfüllen die folgende Vertauschungsrelation: 

[â, â † ] = 1 2 · [ˆX ′ + iˆP ′ , ˆX ′ − iˆP ′ ] = i 2 · [ˆP ′ , ˆX ′ ] − i 2 · [ˆX ′ , ˆP ′ ] = 1 (8.2.3) 

63


Definition 8.2 (Besetzungszahloperator) 

ˆn := â † · â (8.2.4) 

Mit ihm kann man den Kommutator [â, â † ] aus (8.2.3) noch anders ausdrücken: 

[â, â † ] = â · â † − â † · â = â · â † − ˆn = 1 (8.2.5) 

Zusätzlich gelten die folgenden Vertauschungsrelationen zwischen Auf- und Absteigeoperatoren und dem Besetzungszahloperator: 

[ˆn, â] = [â † â, â] = â † ââ − ââ † â = [â † , â] â = −â 

} {{ } 

=−1 

Die letzten Ergebnisse kann man zusammenfassen: 

[ˆn, â † ] = [â † â, â † ] = â † ââ † − â † â † â = â † [â † , â] = â † 

} {{ } 

=1 

Korollar 8.1 (Kommutatorrelationen am harmonischen Oszillator) 

Für den Besetzungszahloperator ˆn erhält man: 

[â, â † ] = 1, [ˆn, â] = −â, [ˆn, â † ] = â † (8.2.6) 

ˆn = â † â = 1 2 (ˆX ′ + iˆP ′ )(ˆX ′ − iˆP ′ ) = 1 2 (ˆX ′2 + ˆP ′2 + iˆP ′ ˆX′ − iˆX ′ ˆP′ ) = 1 2 (ˆX ′2 + ˆP ′2 − 1) (8.2.7) 

Daraus ergibt sich ˆn + 1 2 = â† â + 1 2 = 1 2 (ˆX ′2 + ˆP ′2 ). Vergleicht man dies mit dem Hamiltonian des Systems 

Ĥ = ω 2 (ˆX ′2 + ˆP ′2 ), so findet man die neue Darstellung: 

Ĥ = ω ( 

2 (ˆX ′2 + ˆP ′2 ) = ω · ˆn + 1 ) ( 

= ω · â † â + 1 ) 

2 

2 

(8.2.8) 

Außerdem gilt auch: Ĥ = ω · (ââ † − 1 2) 

. Bisher war das Problem das Auffinden der Eigenwerte und Eigenzustände 

der Schrödingergleichung in der Form (8.1.3). Diese Aufgabenstellung lässt sich jetzt umformulieren: Es 

genügt nämlich die Eigenwerte ν und die Eigenzustände |ν i 〉 des Operators ˆn zu finden. Mit diesen ergibt sich die 

Eigenwertgleichung: 

ˆn|ν i 〉 = ν|ν i 〉 (8.2.9) 

Dabei ist i die Entartung des Zustandes. Für die bisher eingeführten Operatoren kann man folgende Eigenschaften 

ableiten: 

Korollar 8.2 (Eigenschaften der Operatoren â, â † und ˆn) 

1. Für alle Eigenwerte ν des Operators ˆn gilt: ν ≥ 0. 

2. Der Vektor â|ν i 〉 ist der Nullvektor für ν = 0 und Eigenvektor von ˆn zum Eigenwert ν − 1 für ν > 0. Man 

schreibt deswegen |(ν − 1) i 〉 := â|ν i 〉. 

3. Der Vektor â † |ν i 〉 ist nie der Nullvektor. Er ist aber Eigenvektor von ˆn zum Eigenwert ν + 1 für ν > 0. Man 

schreibt deswegen |(ν + 1) i 〉 := â † |ν i 〉. 

4. Das Spektrum des Operators ˆn ist diskret und die Eigenwerte sind ganze Zahlen ν ∈ N. 

Dadurch wird das Spektrum des Operators ˆn festgelegt. Am besten veranschaulicht man das in der folgenden 

Abbildung: 

+ 

a 

+ 

a 

+ 

a n-1 

+ 

a n 

a 

a 

0 1 2 n-1 n n+1 

n-1 n n+1 

Das eben eingeführte Korollar 8.2 lässt sich leicht beweisen: 

an 

an+1 



1. Die Norm eines QM-Zustandes ist sicher positiv semidefinit, also: 

∥ 

∥â|ν i 〉 ∥ ∥ 2 ≥ 0 (8.2.10) 

Damit gilt dann auch: 

0 ≤ ∥ ∥â|ν i 〉 ∥ ∥ 2 = 〈ν i |â † â|ν i 〉 = 〈ν i |ˆn|ν i 〉 = ν〈ν i |ν i 〉 

Da 〈ν i |ν i 〉 ≥ 0 sicher gilt, muss sofort ν ≥ 0 folgen. □ 

2. Für ν = 0 gilt sicher auch (8.2.10). Analog zu oben rechnet man dann 

∥ 

∥â|ν i 〉 ∥ ∥ 2 = ν〈ν i |ν i 〉 = 0. 

Daraus folgt sofort |ν i 〉 = 0.Für ν > 0 gilt sicher auch ∥ ∥â|ν i 〉 ∥ ∥ 2 ≠ 0. Mit den Kommutatorrelationen (8.2.6) 

gilt nun: 

â|ν i 〉 = −[ˆn, â]|ν i 〉 = −(ˆnâ − âˆn)|ν i 〉 = âˆn|ν i 〉 − ˆn(â|ν i 〉) 

Daraus erhält man: 

ˆn(â|ν i 〉) = −â|ν i 〉 + â(ˆn|ν i 〉) = â(−1 + ν)|ν i 〉 = (ν − 1)(â|ν i 〉) 

□ 

3. Der Beweis zu Punkt 3 läuft fast analog zu Punkt 2. Man rechnet wieder mit der Vektornorm: 

0 ≤ ∥ ∥â† |ν i 〉 ∥ ∥ 2 = 〈ν i |ââ † |ν i 〉 = 〈ν i |ˆn + 1|ν i 〉 = (ν + 1) 〈ν i |ν i 〉 

} {{ } 

≥0 

Damit gilt wegen ν ≥ 0 auch ν + 1 ≥ 1. Daraus erhält man |ν i 〉 ̸= 0. Außerdem erhält man wieder mit 

(8.2.6): 

â † |ν i 〉 = [ˆn, â † ]|ν i 〉 ⇒ ˆnâ † |ν i 〉 = â †ˆn|ν i 〉 + â † |ν i 〉 = (ν + 1)(â † |ν i 〉) □ 

4. Angenommen es gibt einen Eigenwert ν /∈ N, der aber streng größer 0 ist. Dann kann man mit Hilfe von 

Punkt 3 und dem Operator â durch p-fache Anwendung (p ≥ ν) einen Eigenwert zu ˆn konstruiert werden 

der negativ ist. Nach Punkt 2 ist nämlich â p |ν i 〉 ein Eigenvektor zum Eigenwert ν − p < 0. Dies ist aber 

nach Punkt 1 verboten, sodass die Behauptung durch Widerspruch folgt. □ 

Damit ergeben sich nach dem oben gesagten die Eigenwerte des harmonischen Oszillators: 



Korollar 8.3 (Lösung des harmonischen Oszillators) 

1. Der Hamilton-Operator des quantenharmonischen Oszillators Ĥ = ˆn+ 1 2 = ˆP 2 

sämtlich nicht-entarteten Eigenwerte: 

( 

E n = ω n + 1 ) 

2 

2. Der Grundzustand |0〉 ist in der Ortsdarstellung: 

ϕ 0 (x) = 〈x|0〉 = 

2m + mω2 

2 

ˆX 2 hat die folgenden, 

(8.2.11a) 

( mω 

) 1 

4 

· e − 1 mω 

2 x2 (8.2.11b) 

π 

3. Das n-te Niveau des harmonischen Oszillators lautet in der Ortsdarstellung 

( mω 

) 1 

(√ ) 

4 1 

mω 

ϕ n (x) = 〈x|n〉 = √ 

π 2n n! · H n 

· x · e − 1 mω 

2 x2 (8.2.11c) 

Dabei sind die H n (x) die sog. Hermite’schen Polynome, die in 8.4 eingeführt werden. Die Lösungen können 

durch n-fache Anwendung des Aufsteigeoperators â † aus dem Grundzustand |0〉 gewonnen werden: 

|n〉 = 1 √ 

n! 

(â † ) n |0〉 

(8.2.11d) 

Der Faktor 

1 √ 

n! 

sorgt für die Normierung dieses Zustandes. 

4. Da die Hermite’schen Polynome orthonormiert sind, bilden auch die Zustände {|n〉} eine (unendliche) orthonormierte 

Eigenbasis des Operators Ĥ: 〈n|m〉 = δ n,m (8.2.11e) 

5. Man erhält noch folgende Beziehungen für die Auf- und Absteiger: 

â † |n〉 = √ n + 1|n + 1〉, â|n〉 = √ n|n − 1〉 (8.2.11f) 

Beweis: 

2. Nach Korollar 8.2, Punkt 2 gilt für den Grundzustand â|0〉 = 0. Zusammen mit (8.2.1a) ergibt sich daraus 

die folgende Differentialgleichung: 

√ mω 

xϕ 0(x) = − dϕ 0(x) 

(8.2.12) 

dx 

Diese DGl. zweiten Grades wird durch eine Gauß-Funktion gelöst. Die Lösung lautet gerade (8.2.11b). Da 

es keine weiteren Lösungen dieser DGl gibt, die nicht linear von (8.2.12) abhängen ist dieser Eigenzustand 

auch nicht entartet. □ 

3. Die Richtigkeit der Lösung (8.2.11c) beweist man durch Einsetzen. Dass alle Eigenwerte nicht-entartet sind 

kann man auch algebraisch zeigen: Dazu verwendet man ein Induktionsargument. Den Anfang bildet der 

nicht-entartete Zustand |0〉. Danach geht man von einem nicht-entarteten Niveau |n〉 aus und betrachtet 

ˆn|n + 1〉 = (n + 1)|n + 1〉. Man weis, dass â|n + 1〉 nicht Null ist und Eigenvektor zum Eigenwert n. Da 

er nicht-entartet ist, gibt es sicher eine Zahl c i , mit der â|n + 1〉 = c i |n〉 gilt. Wendet man auf beiden Seiten 

dieser Gleichung â † an, so erhält man: 

â † â|(n + 1) i 〉 = ˆn|(n + 1) i 〉 = c i â † |n〉 = c i |n + 1〉. 

Damit gilt |(n + 1) i 〉 = 

ci 

n+1â† |n〉 und alle Eigenvektoren zum Eigenwert n + 1 sind proportional zu â † |n〉. 

Damit sind sie auch alle nicht-entartet. □ 

Die folgende Abb. 8.1 zeigt ersten Grundzustände des harmonischen Oszillators. Außerdem sind die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten 

abgebildet, die sich als Betragsquadrat P n (x) = |〈x|n〉| 2 ergeben. 



2 

|〈x|n〉| 

n=5 

n=4 

n=3 

n=2 

n=1 

n=0 

4 2 2 4 

x 

1 

0.75 

0.5 

0.25 

x 

6 4 2 2 4 6 

0.25 

0.5 

0.75 

1 

1 

0.75 

0.5 

0.25 

x 

6 4 2 2 4 6 

0.25 

0.5 

0.75 

1 

1 

0.75 

0.5 

0.25 

x 

6 4 2 2 4 6 

0.25 

0.5 

0.75 

1 

ψ (x) 10 

ψ (x) 

2 

ψ (x) 

0 

1 

0.75 

0.5 

0.25 

10 5 5 10 

0.25 

0.5 

0.75 

1 

1 

0.75 

0.5 

0.25 

6 4 2 2 4 6 x 

0.25 

0.5 

0.75 

1 

1 

0.75 

0.5 

0.25 

6 4 2 2 4 6 x 

0.25 

0.5 

0.75 

1 

ψ (x) 

50 

ψ (x) 3 

ψ (x) 

1 

x 

Abb. 8.1: Eigenzustände des harmonischen Oszillators, sowie deren Betragsquadrat (Aufenthaltswahrscheinlichkeit) 

Zum Schluss erhält man noch die Matrix-Darstellung der verwendeten Operatoren in der Eigenbasis des Hamilton- 

Operators Ĥ aus (8.2.1a), (8.2.1b), (8.2.2a) und (8.2.2b) in Verbindung mit (8.2.11e): 

〈m|â|n〉 = √ n + 1δ m,n+1 

〈m|â † |n〉 = √ nδ m,n−1 

√ 

[√ 

〈m|ˆX|n〉 = n + 1δm,n+1 + √ ] 

nδ 

(8.2.13a) 

m,n−1 

2mω 

√ 

mω [√ 

〈m|ˆP|n〉 = i n + 1δm,n+1 − √ ] 

nδ m,n−1 

2 

Oder als Matrizen geschrieben: 

⎛ 

0 √ ⎛ 

⎞ 

⎞ 

1 0 0 ... ... 

√ 

0 0 0 ... ... 

√ 0 0 2 0 ... ... 

1 0 0 ... ... 

√ (â) = 

√ ⎜ 

⎝0 0 0 3 ... ... ⎟ 

(â † ) = 

0 2 0 ... ... 

√ ⎠ 

⎜ 

. ⎝ 0 0 3 ... ... ⎟ 

⎠ 

. . . . .. . 

. . . . .. 

⎛ √ ⎞ 

⎛ 

√ √ 

0 1 

√ 0 0 ... ... 

0 − √ ⎞ 

 

1 0 2 0 ... ... 

√ √ 

1 

√ 

0 0 ... ... 

(ˆX) = 

√ √ mω 

1 0 − 2 0 ... ... 

⎜ 

2mω ⎝ 0 2 0 3 ... ... ⎟ (ˆX) =i 

√ √ ⎜ 

⎠ 

2 ⎝ 0 2 0 − 3 ... ... ⎟ 

⎠ 

. 

. . . . .. . 

. . . . .. 

8.3 Physikalische Diskussion 

Aufgrund der Matrixelemente in (8.2.11d) sind alle Orts- und Impulsmittelwerte 0: 

〈 

ˆX〉 

= 〈 ˆP 〉 = 0 



Die Standardabweichungen werden umso größer, je höher die Energie des Systems ist. Dies kann man leicht 

berechnen. Zunächst berechnet man dazu: 

ˆX 2 = 

 

2mω ((â† ) 2 + ââ † + â † â + â 2 ), 

Daraus erhält man dann die Standardabweichungen: 

(∆ ˆX) 2 = ( 〈n|ˆX 2 |n〉 − 〈n|ˆX|n〉 2) 2 

= 〈n|ˆX2 |n〉 = 

ˆP2 = −mω ((â † ) 2 − ââ † − â † â + â 2 ) 

2 

( 

n + 1 ) 

mω 

2 


(∆ˆP) 2 = 

( 

n + 1 ) 

2 mω . 

Funktion H = T + V = p2 

2m + 1 2 mω2 x 2 . Seine Bewegungsgleichung 

wird durch x(t) = x 0 · cos(ωt) gelöst. 

Für t = 0 ist x(0) = x 0 sowie p(0) = 0 und man 

erhält aus der Hamiltonfunktion, die gleich der Gesamtenergie 

E sein muss, einen Ausdruck für die Amplitude 

der Schwingung x 0 : 

√ 

2E 

x 0 = 

mω 2 . 

Die Abb. 8.2 veranschaulicht die Bewegung. Man überlegt 

sich leicht, dass das Teilchen die längste Zeit eine Periode 

in der Umgebung der Punkt ±x 0 verbringt, da diese 

gerade die Umkehrpunkt darstellen. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit 

wird also dort einem Maximum zustreben. 

-x 0 

0 

x 0 

Abb. 8.2: Teilchen im harmonischen Potential 

Dieses Verhalten sieht man auch bei |〈x|n〉| 2 für sehr große n (klassischer Grenzfall, siehe Abb. 8.3). Die Schwankungen 

der Aufenthaltswahrscheinlichkeit werden dann bedeutungslos. Drückt man die Schwankungsquadrate mit 

der Energie E n des Zustandes aus, so erhält man: 

∆ ˆX = √ E n m ∝ √ E n 

Dieser Wert skaliert genau wie der klassische Wert mit √ E und befindet sich in der selben Größenordnung. 

Der klassische harmonische Oszillator hat die Hamiltonx 

1 

0.8 

n = 2 

1 

n = 10 

1 

n = 30 

0.8 

0.8 

0.6 

0.6 

0.6 

0.4 

0.4 

0.4 

0.2 

0.2 

0.2 

3 2 1 1 2 3 

x 

7.5 5 2.5 2.5 5 7.5 

klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte (normiert) 

quantenmechanische Aufenthaltswahrsceinlichkeitsdichte (normiert) 

x 

10 5 5 10 

Abb. 8.3: Klassischer Grenzfall des harmonischen Oszillators. Dargestellt ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für den 

quantenmechanischen Oszillator (rot) und für einen äquivalenten klassischen Oszillator (blau) für verschiedene Quantenzahlen 

n = 2, 10, 30. 

x 

8.4 Die Hermite’schen Polynome 

In der Lösung des quantenmechanische harmonischen Oszillators treten die Polynome H n (x) auf, die als hermite’sche 

Polynome bezeichnet werden. Sie lassen sich folgendermaßen darstellen: 

H n (x) = (−1) n e x2 /2 dn 

dx n e−x2 /2 

(8.4.1) 



Außerdem gilt die folgende einfache Rekursionsformel: 

Die Hermite’schen Polynome erfüllen die folgende Orthogonalitätsrelation: 

∫ ∞ 

−∞ 

H n+1 (x) = x · H n (x) − nH n−1 (x) (8.4.2) 

e −x2 /2 H n (x)H m (x) dx = n! √ 2πδ n,m . (8.4.3) 

Zusätzlich gelten die folgenden „Rechenregeln“ für Differentiation und Integration: 

∫ 

dH n (x) 

1 

= 2n · H n−1 (x), H n (x) dx = 

dx 

2n + 2 · H n+1(x) (8.4.4) 

Außerdem sind sie partikuläre Lösungen der linearen Differentialgleichung 

y ′′ − 2xy ′ + 2ny = 0 . (8.4.5) 

In der folgenden Abb. 8.4 sind einige Hermite’sche Polynome als Grafik und explizit dargestellt. Man sieht hier 

leicht, dass die Polynome abwechselnd symmetrisch und antisymmetrisch sind, da jedes olynom zu geradem n nur 

gerade Potenzen von x un jedes Polynom zu ungeradem n nur ungerade Potenzen in x enthält. Außerdem ist das 

n-te Hermite’sche Polynom ein Polynom n-ten Grades. 

30 H (x) n 

n H n (x) 

20 

1 2x 

2 −2 + 4x 2 

3 −12x + 8x 3 

10 

4 12 − 48x 2 + 16x 4 

5 120x − 160x 3 + 32x 5 

4 2 2 4 x 

6 −120 + 720x 2 − 480x 4 + 64x 6 

7 −1680x + 3360x 3 − 1344x 5 + 128x 7 

10 

8 1680 − 13440x 2 + 13440x 4 − 3584x 6 + 256x 8 

Abb. 8.4: Die Hermite’schen Polynome für n = 0..4 als Zeichnung und für n = 1..8 in expliziter Form. 

20 

30 

8.5 Dreidimensionaler harmonischer Oszillator 

Ein Teilchen befinde sich in einem dreidimensionalen harmonischen Potential, das in alle Richtungen gleich aussieht 

(gleiches ω). Der Hamilton-Operator hat dann folgende Form: 

Ĥ = 1 

2m (ˆP 2 x + ˆP 2 y + ˆP 2 z) + mω2 

2 (ˆX 2 + Ŷ2 + Ẑ2 ) (8.5.1) 

Die Lösung lässt sich auch als Tensorprodukt im Zustandsraum H = H x ⊗ H y ⊗ H z darstellen, was einen 

Produktansatz nahe legt: 

|ϕ〉 = |ϕ x 〉|ϕ y 〉|ϕ z 〉, ϕ(x, y, z) = ϕ x (x) · ϕ y (y) · ϕ z (z) (8.5.2) 

Damit zerfällt die Schrödingergleichung aber in drei einzeln zu lösenden Schrödingergleichungen, die dem 1-dim. 

Oszillator entsprechen. Man erhält dann mit (8.5.2) die entsprechenden Lösungen aus dem bisher gesagten. Nur 

das Spektrum von Ĥ ist nun (im Gegensatz zum harm. Oszillator) entartet. Das Teilchen kann also in x-, y- und 

z-Richtung unterschiedlich stark schwingen. Für die Eigenwerte n gilt die folgende Gleichung: 

n = n x + n y + n z (8.5.3) 

Damit ist der Grundzustand nicht-entartet (hier ist zwingend n x = n y = n z = 0). Der Zustand n = 1 ist dreifach 

entartet, weil (n x , n y , n z ) ∈ {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)} gelten muss. Der Zustand n = 2 ist dann schon 6-fach 

entartet ((n x , n y , n z ) ∈ {(2, 0, 0); (0, 2, 0); (0, 0, 2); (1, 1, 0); (0, 1, 1); (1, 0, 1)}) usw. 



8.6 Harmonischer Oszillator im Heisenberg-Bild 

Man betrachte den eindimensionalen harmonischen Oszillator: 

Ĥ H = 1 

2m ˆP 2 H + 1 2 mω2 ˆQ2 H 

Orts- und Impuls-Operator sind beide explizit zeitunabhängig, also folgt aus der Heisenberg-Gleichung für die 

beiden Operatoren (Das tiefgestellte H für Heisenberg-Operatoren wird im folgenden weggelassen. Schrödinger- 

Operatoren werden durch ein tiefgestelltes S gekennzeichnet): 

Daraus erhält man dann: 

d ˆQ(t) 

dt 

dQ(t) 

dt 

= 1 

dP 

[ ˆQ, Ĥ]; 

i 

= 1 ( ˆQ) 

ˆQĤ − 

i Ĥ = 1 

i 

(t) 

dt 

= 1 

i [ ˆP , Ĥ] 

( 1 

2m ˆQˆP 2 + 1 2 mω2 ˆQ3 − 1 

) 

2m ˆP 2 1 

ˆQ − 

2 mω2 ˆQ3 

Hier entfallen dann die Terme 1 2 mω2 ˆQ3 . Mit der Kommutatorrelation [ ˆQ, ˆP ] = i folgert man, dass ˆQˆP = i+ˆP ˆQ 

und dass ˆP ˆQ = ˆQˆP − i. Damit ergibt sich dann weiter 

d ˆQ(t) 

dt 

= 1 ( 1 

i 2m (ˆP ˆQ + i)ˆP − 1 

) 

2m ˆP( ˆQˆP 1 

− i) = 

i · 2m · ˆP · 2i = ˆP 

m 

Auf analoge Weise erhält man aus der zweiten Gleichung ein Ergebnis. Man hat also insgesamt: 

d ˆQ(t) 

dt 

= ˆP 

m 


dˆP(t) 

dt 

= −mω 2 ˆQ 

Durch einmaliges Ableiten einer Gleichung kann man dieses System entkoppeln und erhält zwei Schwingungsgleichungen: 

d 2 ˆQ(t) 

dt 2 = −ω 2 d 

ˆQ 2 ˆP(t) 


dt 2 = −ω 2 ˆP 

Für diese setzt man die allgemeine Lösung an: 

ˆQ(t) = Â1e iωt + ˆB 1 e −iωt und ˆP(t) = Â 2 e iωt + ˆB 2 e −iωt 

Durch Einsetzen dieser Lösungen in die ursprünglichen Gleichungen für d ˆQ/dt und dˆP/dt erhält man: 

Unter Verwendung der Anfangsbedingungen für t = 0 

ergibt sich dann für die Heisenberg-Operatoren: 

Â 2 = imωÂ1 und ˆB2 = −imω ˆB 1 

ˆQ(t = 0) = ˆQ S und ˆP(t = 0) = ˆPS 

ˆQ(t) = ˆQ S cos(ωt) + 1 

mω ˆP S sin(ωt) und ˆP(t) = ˆPS cos(ωt) − mω ˆQ S sin(ωt). 

8.7 Anwendung des Ritz’schen Variationsverfahrens auf den 

harmonischen Oszillator 

Es ist der Hamilton-Operator für den eindimensionalen harmonischen Oszillator gegeben 

und die Funktionenschar 

Für diese gilt: 

u(x, α) = 

Ĥ = ˆp2 

2m + mω2 

2 ˆx2 

1 

α 2 , x ∈ R, α > 0. 

+ x2 c○ 2004-2007 by Jan Krieger (http://www.jkrieger.de/) – 70 –


Der Erwartungswert des Hamiltonians ist: 

∂u 

∂x = −(α2 + x 2 −2x 

) · 2x = 

(x 2 + α 2 ) 2 

∂ 2 u 

∂x 2 = 8x 2 (α 2 + x 2 ) −3 2 

− 

(x 2 + α 2 ) 2 

〈ψ|Ĥ|ψ〉 

〈Ĥ〉 = ≥ E 0 

〈ψ|ψ〉 

Dies gilt für beliebige |ψ〉. E 0 ist also der kleinste Erwartungswert von Ĥ, also gerade die Grundzustandsenergie. 

Man nimmt nun an, dass sich |ψ〉, wie u(x, α) verhält und minimiert 〈Ĥ〉(α): 

∫∞ 

〈u|Ĥ|u〉 = 

= 

Symm. von u 

〈u|u〉 = 

Daraus erhält man dann: 

−∞ 

u ∗ ( mω 2 x 2 

2 

0 

∫∞ 

= mω 2 

∂ 2 ) 

2m ∂x 2 u dx = 

− 2 

∫∞ 

mω 2 x 2 u 2 dx − 2 

2m 

0 

x 2 

= mω 2 π 

4α − 82 

m 

∫ ∞ 

−∞ 

〈ψ|Ĥ|ψ〉 

〈Ĥ〉 = 

〈ψ|ψ〉 

∫ ∞ 

−∞ 

162 

(α 2 + x 2 dx − 

) 

2 

2m 

u ∗ u dx = 2 · 

π 

32α 5 + 22 

m 

∫ ∞ 

0 

u 2 dx = 2 · 

= mω2 π 

4α + 

2m 

π 

2α 3 

( 

1 8x 2 

) 

α 2 + x 2 (α 2 + x 2 ) 3 − 2 

(x 2 + α 2 ) 2 dx = 

∫ ∞ 

0 

x 2 42 

(α 2 + x 2 dx + 

) 

4 

2m 

3π 

16α 5 = π mω2 

π 

4α 5 

Nun bildet man die erste Ableitung, um das Minimum α 0 zu finden: 

∂ 

∂α 〈Ĥ〉(α) = mω2 α − 2 

2m 

1 

α 3 ! 

∫ ∞ 

0 

4α + π 

2m 4α 5 

dx 

(α 2 + x 2 ) 2 = π 

2α 3 

= mω2 

2 α2 + 2 

4m · 1 

α 2 

∫ ∞ 

0 

dx 

(α 2 + x 2 ) 3 = 

= 0 ⇔ mω 2 α = 2 1 

2m α 3 ⇔ α 4 = 2 

2m 2 ω 2 ⇒ α0 2 

= √ 

2mω 

Für die Funktion u(x, α 0 ) wird also der Mittelwert der Energie minimal. Dies ist die angestrebte Approximation 

durch das Ritzsche Variationsverfahren. Die folgende Graphik zeigt den Vergleich der so gefundenen approximativen 

Lösung mit der exakten Lösung des Grundzustandes des Quantenharmonischen Oszillators: 

√ mω 

( 

ψ 0 (x) = 4 π exp − mω 

2 x2) 

0 x (durchgezogen), u x (gestrichelt) 

1.4 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

10 5 5 10 x 

Man sieht, dass die Lösung erheblich von der exakten Lösung abweicht. Für den Erwartungswert der Grundzustandsenergie 

ergibt sich: 

√ 〈Ĥ〉(α 0) = mω2 

√ + 2 2mω 

= √ 1 ω = √ 2 · E0 

exakt 

2 2mω 4m 2 



8.8 Geladener harmonischer Oszillator 

Das Teilchen der Masse m bewege sich in einem harmonischen Potential V (x) = mω2 

2 x2 . Zusätzlich trage es 

die Ladug q und es liegt ein konstantes elektrisches Feld E ≡ E x parallel zur x-Achse an. In diesem Feld hat das 

Teilchen dann klassisch die zusätzlich potentielle Energie w(x) = −q · U = −q · Ex. Damit muss der Hamilton- 

Operator abgewandelt werden und man erhält: 

Ĥ = 1 

2m ˆP 2 + mω2 

2 ˆX 2 − qE ˆX. (8.8.1) 

Es lässt sich nun zeigen, dass dieses Feld nur eine Verschiebung der Energiewerte der Oszillation zur Folge hat, 

aber keine neuen physikalischen Effekte liefert. Dazu ergänzt man den Operator quadratisch: 

Ĥ = 1 

( 

2m ˆP 2 + mω2 ˆX − 

qE ) 2 

2 mω 2 − q2 E 2 

2mω 2 . (8.8.2) 

Nun führt man einen neuen (und zu ˆX verschobenen) Operator ˆΞ ein: 

ˆΞ := ˆX − 

qE 

mω 2 ⇒ Ĥ = 1 

2m ˆP 2 + mω2 

2 ˆΞ 2 − q2 E 2 

2mω 2 . (8.8.3) 

Im Ortsraum entspricht dies der Variablentransformation x → ξ := x − qE 

mω 

und man erhält die folgende Differentialgleichung 

in ξ: [ − 

2 

2 

d 2 

2m dξ 2 + 1 ] 

2 mω2 ξ 2 ϕ(ξ) = E ′ ϕ(ξ) (8.8.4) 

qE 

mω 2 

Die neuen Eigenfunktionen sind also lediglich um auf der x-Achse verschoben. Die neuen Eigenwerte lauten 

E ′ = ω ( ) 

n + 1 2 − 

q 2 E 2 

2mω 

∝ E 2 . Damit hat man z.B. eine einfache Möglichkeit geladene Atomwolken in 

2 

harmonischen Fallenpotentialen im Raum zu verschieben, indem man einfach ein elektrisches Feld E anlegt. 



8.9 Gestörter harmonischer Oszillator 

Mit Hilfe der in Kapitel 5.1 entwickelten zeitunabhängigen Störungstheorie kann man anharmonische Oszillatoren 

behandeln. Das harmonische Potential V (x) = 1 2 mω2 x 2 wird nun durch einen Term Ŵ = σω ˆX 3 (mit σ ∈ R) 

gestört, wobei σ ≪ 1 gelten soll (siehe Abb. 8.5). 

V(x) 

ungestört 

gestört 

x 

Abb. 8.5: Harmonisches Potential, gestört durch einen Term ∝ x 3 . Dabei ist σ < 0. 

Setzt man in den Störterm ˆX = 1 √ 

2 

(â † + â) ein, so ergibt sich (unter Verwendung der Kommutatoren [ˆn, â] = 

ˆnâ − âˆn = −â, [ˆn, â† ] = ˆnâ † − â †ˆn = â † , [â, â† ] = ââ † − â † â = 1): 

Insgesamt also: 

(â † + â) 3 = (â † + â) [ (â † ) 2 + â 2 + â † â + ââ †] = 

= [ (â † ) 3 + â 3 + 

}{{} 

ˆnâ + 

}{{} 

â †ˆn +ˆnâ † + ââ 

} {{ † â 

} 

† +âˆn + âââ 

}{{} 

† 

=âˆn−â =ˆnâ † −â † =(1+â † â)â † 

=â(1+â † â) 

= (â † ) 3 + â 3 + âˆn − â + ˆnâ † − â † + (1 + â † â)â † + âˆn + â(1 + â † â) = 

= (â † ) 3 + â 3 + 3(ˆnâ + â) + 3ˆnâ † 

Ŵ = σω ˆX 3 = σω 

2 3/2 (â† + â) 3 = σω 

2 3/2 [ 

(â † ) 3 + â 3 + 3ˆnâ † + 3(ˆn + 1)â ] (8.9.1) 

Damit kann man die folgenden Matrixelemente von Ŵ mit den Zuständen |ψ n−3〉...|ψ n+3 〉: 

σω [ √ ] ( n 

) 3/2 

〈n − 1|Ŵ|n〉 = 0 + 0 + 0 + 3(n + 1) n = 3σ ω (8.9.2a) 

2 3/2 2 

σω 

[ 

〈n + 1|Ŵ|n〉 = 0 + 0 + 3(n + 1) 3/2 + 0 √ ] ( ) 3/2 n + 1 

n = 3σ 

ω (8.9.2b) 

2 3/2 2 

σω 

[ 

〈n − 3|Ŵ|n〉 = 0 + √ ] ( ) 1/2 n(n − 1)(n − 2) 

n(n − 1)(n − 2) + 0 + 0 = σ 

ω (8.9.2c) 

2 3/2 8 

( ) 1/2 (n + 1)(n + 2)(n + 3) 

〈n + 3|Ŵ|n〉 = σ ω (8.9.2d) 

8 

Alle anderen Matrixelemente sind 0. Die Korrekturen erster Ordnung sind 0. Damit kann man die Korrektur der 

Energieeigenwerte mit (5.1.7) berechnen: 

( 

E n = n + 1 ) 

ω + 15 ( 

2 4 σ2 n + 

2) 1 2 

ω − 7 16 σ2 ω + ... (8.9.3) 

] 

= 

Daraus erhält man für den Abstand zweier Niveaus: 

∆E n = E n − E n−1 = ω 

( 

1 − 15 ) 

2 σ2 n 

(8.9.4) 

Dieser ist also nicht mehr von n unabhängig. Der Abstand zweier Niveaus sinkt linear mit n und alle Niveaus 

werden unabhängig vom Vorzeichen von σ erniedrigt. 



8.10 Kohärente Zustände 

â|α〉 = α · |α〉, α ∈ C (8.10.1) 

Die Zahl α die den Zustand charakterisiert ist also nicht notwendigerweise 

reell. Zunächst sucht man eine Darstellung der |α〉 in der {|n〉}- 

Basis der bereits bekannten Eigenzustände des harmonischen Oszillators 

(also seine Hamiltonians): 

|α〉 = ∑ n 

〈n|α〉 · |n〉 (8.10.2) 

Es bleibt also noch das Skalarprodukt 〈n|α〉, also die Vorfaktoren, zu 

bestimmen. Dazu betrachtet man folgenden Ausdruck: 

Abb. 8.6: Skizzierte Zeitentwicklung 

eines quasiklassischen Zustandes 

im harmonischen Potential 

In Abschnitt 8.3 wurde bereits der klassische Grenzfall großer Quan- 

tenzahlen n diskutiert (siehe auch Abb. 8.3). Es gibt noch eine zweite 

Verbindung des quantenmechanischen Oszillators mit dem klassischen: 

die sog. kohärenten oder auch quasiklassischen Zustände. Dabei handelt 

es sich im wesentlichen um Zustände mit gleichbleibender, begrenzter 

Breite ∆x. Man kann sie als Wellenpakete auffassen, die im Oszillatorpotential 

hin- und herlaufen (siehe Abb. 8.6). Es wird sich zeigen, 

dass sie dabei ihre Breite erhalten, also nicht auseinanderlaufen, wie etwa 

ein freies Wellenpaket. Daher stammt auch der Name kohärent. Diese 

Zustände haben auch grundlegende Bedeutung in der Quantenoptik, 

beim quantisieren des elektromagnetischen Feldes (siehe Kapitel 16). 

Es stellt sich heraus, dass die Eigenzustände des nicht-hermiteschen 

Absteigeoperators â gerade diese oben erwähnten Eigenschaften aufweisen. 

Sie seien im Folgenden mit |α〉 bezeichnet und es gelte: 

x 

x 

x 

x 

〈n|â|α〉 = 〈n|α〉 · α = 〈α|â † |n〉 ∗ = 〈α|n + 1〉 ∗ · √n 

+ 1 

Daraus kann man nun leicht eine Rekursionsbeziehung für die Koeffizienten 〈n|α〉 ableiten: 

〈n + 1|α〉 = 

α 

√ n + 1 

〈n|α〉 ⇒ 〈n|α〉 = αn 

√ 

n! 

〈0|α〉 (8.10.3) 

Für eine vollständige Darstellung der Zustände fehlt also nur noch die Zahl 〈0|α〉 ∈ C. Dazu nutzt man die 

Forderung aus, dass die Zustände |α〉 normiert sein sollen, also 1 = ! 〈α|α〉. Damit gilt dann: 

( ) ( ) 

∑ 

1 = ! (α n ) ∗ 

∑ 

〈α|α〉 = √ 〈0|α〉 ∗ α n 

〈n| · √ 〈0|α〉|n〉 

n n! 

n n! 

= |〈0|α〉| 2 · ∑ 

〈n|m〉=δ nm 

Setzt man nun für 〈0|α〉 eine allgemeine komplexe Zahl 〈0|α〉 = r · e iϑ an, so erhält man weiter: 

1 ! = r · e iϑ · e |α|2 

Dies lässt sich erfüllen, wenn man die Phase ϑ des Zustandes oBdA zu 0 setzt und nach r auflöst: 

√ 

r = |〈0|α〉| = e −|α|2 

Mit der Darstellung |n〉 = (â† ) 

√ n 

n! 

kohärenten Zustände: 

|α〉 = ∑ n 

〈n|α〉 · |n〉 = ∑ n 

Endgültig ergibt sich also: 

|α n | 2 

n! 

n 

} {{ } 

=exp(|α| 2 ) 

· |0〉 (siehe (8.2.11d)) der Zustände |n〉 erhält man folgende Darstellung der 

α n 

√ 

n! 

〈0|α〉 · (â† ) n 

√ 

n! 

· |0〉 = ∑ n 

α n (â † ) n 

r · e iϑ ·|0〉 = ∑ n! 

n 

α n (â † ) n 

n! 

√ 

e −|α|2 · |0〉 

∑ 

|α〉 = e − 1 (αâ † ) n 

2 |α|2 · |0〉 = e − 1 2 |α|2 +αâ † |0〉 (8.10.4) 

n! 

n 



Für den letzten Teil in (8.10.4) wurde die hintere Summe als Exponentialfunktion geschrieben, in deren Argument 

der Aufsteigeoperator â † steht (Exponentialreihe). Man betrachte nun weiter den Ausdruck e − 1 2 |α|2 · e αâ† · e −α∗â. 

Als weitere Zutat berechnet man den Kommutator 

[αâ † , −α ∗ â] = −αα ∗ â † â + α ∗ αââ † = −αα ∗ (â † â − ââ † ) = −|α| 2 [â † , â] 

} {{ } 

= |α| 2 

=−1 nach (8.2.6) 

Nun kann man e − 1 2 |α|2 · e αâ† · e −α∗â mit der Baker-Hausdorff-Identität eÂ+ˆB = e − 1 2 [Â,ˆB] · eÂ · eˆB (siehe (2.3.21)) 

vergleichen. Setzt man obiges Ergebnis für den Kommutator ein, so kann man weiter schreiben: 

e − 1 2 |α|2 · e αâ† · e −α∗â = e − 1 2 [αâ† ,−α ∗ â] · e αâ† · e −α∗â = e αâ† −α ∗ â 

Um das Ergebnis aus (8.10.4) um den Faktor e −α∗â zu erweitern kann man die Tatsache ausnutzen, dass |0〉 = 

e −α∗â |0〉 gilt. Dies sieht man leicht ein, wenn man die Exponentialreihe zusammen mit der Grundbeziehung 

â|0〉 = 0 nutzt: 

e −α∗â |0〉 = ∑ n 

(−α ∗ â) n 

|0〉 = e −α∗â |0〉 = ∑ n! 

n 

(−α ∗ â) n ∞∑ (−α ∗ ) n 

|0〉 = 

â n |0〉 = â 0 |0〉 = |0〉 

n! 

n! 

n=0 

Somit kann man (8.10.4) unter Einführung eines neuen Operators ˆD(α) so schreiben: 

|α〉 = ˆD(α)|0〉 mit ˆD(α) = e 

αâ † −α ∗ â 

(8.10.5) 


9 Drehimpuls und Drehungen in der 

Quantenmechanik 

9.1 Grundlagen und Definitionen 

Analog zum klassischen Drehimpuls ⃗ L = ⃗r × ⃗p definiert man den Drehimpuls-Operator: 

Definition 9.1 (Bahndrehimpulsoperator ˆ⃗ L) 

⎛ 

ˆ⃗L = ˆ⃗ 

ŶˆP z − 

R × ˆ⃗P ẐˆP ⎞ 

y 

= ⎝ẐˆP x − ˆXˆP z 

⎠ . (9.1.1) 

ˆXˆP y − ŶˆP x 

Dabei ist ˆ⃗ R der Ortsoperator und ˆ⃗P = −i ⃗ ∇ der Impulsoperator. Da die jeweils zwei Operatoren in den Produkten 

in (9.1.1) vertauschen ist auch der Gesamtoperator ˆ⃗ L hermite’sch (ˆ⃗L † = ˆ⃗ L). Man kann nun die Vertauschungsrelationen 

zwischen den Komponenten berechnen: 

[ˆL x , ˆL y ] = [ŶˆP z − ẐˆP y , ẐˆP x − ˆXˆP z ] = [ŶˆP z − ẐˆP y , ẐˆP x ] − [ŶˆP z − ẐˆP y , ˆXˆP z ] = 

= [ŶˆP z , ẐˆP x ] − [ẐˆP y , ẐˆP x ] − [ŶˆP z , ˆXˆP z ] + [ẐˆP y , ˆXˆP z ] = 

= [ŶˆP z , ẐˆP x ] − (ẐˆP y ẐˆP x − ẐˆP x ẐˆP y ) − [Ŷ, ˆX] ˆP 2 z + [ẐˆP y , 

} {{ } } {{ } 

ˆXˆP z ] = [ŶˆP z , ẐˆP x ] + [ẐˆP y , ˆXˆP z ] = 

=0 

=Ẑ2 [ˆP y,ˆP x]=0 

= Ŷ[ˆP z , Ẑ]ˆP x + ˆX[Ẑ, OP P z]ˆP y = −iŶˆP x + i ˆXˆP y = iˆL z . 

Die Vertauschungen im obigen Ausdruck sind erlaubt, weil die Operatoren zu verschiedenen Dimensionen natürlich 

miteinander vertauschen. Die Beziehung [ ˆX, P ˆ x ] = i gilt jeweils nur in einer Dimension. Die so hergeleiteten 

Beziehungen (analog für die anderen Dimensionen) lassen sich zusammenfassen: 

Satz 9.1 (Vertauschungsrelationen der Operatoren ˆL x , ˆL y und ˆL z ) 

[ˆL x , ˆL y ] = iˆL z ; [ˆL y , ˆL z ] = iˆL x ; [ˆL z , ˆL x ] = iˆL y (9.1.2) 

Jede quantenmechanische Observable ˆ⃗ J, die die Relationen (9.1.2) erfüllen wird Drehmoment genannt. 

Diesen Satz kann man aber auch als Definition verstehen. Alle Operatoren, die den Vertauschungsrelationen (9.1.2) 

genügen stellen einen irgendwie gearteten Drehimpuls dar. Die Beweise in den folgenden Abschnitten, besonders 

die Berechnung des Spektrums der Operatoren, beruhen nur auf diesen Beziehungen, sodass die Definition über 

den klassischen Drehimpuls eigentlich nur einen Spezialfall darstellt (dies wird später noch deutlicher). Man kann 

nun noch einen weiteren Operator definieren, nämlich das Betragsquadrat des Drehimpulses ˆ⃗ L 2 : 

Definition 9.2 (Drehimpuls-Betragsquadrat ˆ⃗ L 2 ) 

ˆ⃗L 2 := ˆL 2 x + ˆL 2 y + ˆL 2 z (9.1.3) 

Dieser Operator vertauscht mit allen Komponenten von ˆ⃗ L: 

Die Gleichung (9.1.4) ist natürlich noch zu beweisen: 

[ˆ⃗ L 2 , ˆ⃗ L] = 0 (9.1.4) 

[ˆ⃗ L 2 , ˆL x ] = [ˆL 2 x + ˆL 2 y + ˆL 2 z, ˆ⃗ L] = [ˆL2 x , ˆL x ] +[ˆL 2 

} {{ } 

y, ˆL x ] + [ˆL 2 z, ˆL x ] = [ˆL 2 y, ˆL x ] + [ˆL 2 z, ˆL x ] 

=0 

76

9 Drehimpuls und Drehungen in der Quantenmechanik 

Für die zwei übrigen Kommutatoren ergibt sich: 

[ˆL 2 y, ˆL x ] = ˆL y ˆLy ˆLx + ˆL y ˆLxˆLy − ˆL y ˆLxˆLy − ˆL xˆLy ˆLy = ˆL y [ˆL y , ˆL x ] + [ˆL y , ˆL x ]ˆL y = −i(ˆL y ˆLz + ˆL z ˆLy ) 


[ˆL 2 z, ˆL x ] = ˆL z [ˆL z , ˆL x ] + [ˆL z , ˆL x ]ˆL z = i(ˆL y ˆLz + ˆL z ˆLy ) 

und somit ist (9.1.4) bewiesen (es wurden die Vertauschungsrelationen (9.1.2) verwendet). 

□ 

Zusammen mit Satz 9.1 sieht man also, dass die einzelnen Komponenten eines 

Drehimpulses in der Quantenmechanik nicht gleichzeitig messbar sind. Dafür können 

aber ˆ⃗ L 2 und eine beliebige Komponente ˆL i gleichzeitig gemessen werden. Um 

eine Basis des Zustandsraumes zusammen mit dem Hamiltonian Ĥ zu konstruieren, 

muss man also die Eigenzustände des Hamiltonians suchen, die gleichzeitig 

Eigenzustände von ˆ⃗ L 2 und einer Komponente – im folgenden immer ˆL z – sind. 

Eine Basis aus dem Hamiltonian und den drei Komponenten von ˆ⃗ L ist nicht möglich, 

da die Komponenten untereinander nicht vertauschen. Die Wahl einer Komponente 

ˆL z bestimmt die sog. Quantisierungsachse des Systems. Im Vektorbild 

des Drehimpulses kann man sich das so vorstellen: Die Länge des Drehimpulsvektors, 

sowie seine Projektion auf die z-Achse sind Erhaltungsgrößen. Für die 

x/y-Komponenten ist nur ˆL 2 x + ˆL 2 y = ˆL 2 − ˆL 2 z eine Erhaltunsggröße, sodass der 

Vektor auf einem Kreis um die z-Achse umläuft (siehe Abbildung rechts). 

Als nächstes soll das Spektrum der Operatoren ˆ⃗ L 2 und ˆL z berechnet werden. Dazu definiert man analog zum 

harmonischen Oszillator (siehe 8.2) Auf- und Absteigeoperatoren: 

Definition 9.3 (Auf- und Absteiger ˆL + , ˆL − ) 

Es gelten die folgenden Vertauschungsrelationen: 

L z 

z 

L y 

L x 

L 

y 

x 

ˆL − := ˆL x − iˆL y Absteiger (9.1.5a) 

ˆL + := ˆL † − = ˆL x + iˆL y Aufsteiger (9.1.5b) 

[ˆL z , ˆL + ] = ˆL + , [ˆL z , ˆL − ] = −ˆL − , [ˆL + , ˆL − ] = 2ˆL z , [ˆ⃗ L 2 , ˆL + ] = [ˆ⃗ L 2 , ˆL − ] = 0 (9.1.5c) 

Zusätzlich berechnet man noch die Operatorprodukte: 

ˆL +ˆL− = (ˆL x + iˆL y )(ˆL x − iˆL y ) = ˆL 2 x + ˆL 2 y + i[ˆL y , ˆL x ] = ˆL 2 x + ˆL 2 y + ˆL z = ˆ⃗ L 2 − ˆL 2 z + ˆL z 

ˆL −ˆL+ = (ˆL x − iˆL y )(ˆL x + iˆL y ) = ˆL 2 x + ˆL 2 y + i[ˆL x , ˆL y ] = ˆL 2 x + ˆL 2 y − ˆL z = ˆ⃗ L 2 − ˆL 2 z − ˆL z 

Außerdem gilt damit: 

ˆ⃗L 2 = 1 2 (ˆL +ˆL− + ˆL +ˆL− ) + ˆL 2 z. 

(9.1.6a) 

(9.1.6b) 

(9.1.6c) 

9.2 Das Spektrum der Operatoren ˆ⃗ L 2 , ˆL z 

Zunächst soll eine Notation für die Eigenwerte und Vektoren der Operatoren ˆ⃗ L 2 , ˆL z eingeführt werden. Die Eigenwerte 

des Operator ˆ⃗ L 2 sind sämtlich positiv, was eigentlich noch zu beweisen wäre. 

Definition 9.4 (Eigenwertgleichung zu ˆ⃗ L 2 , ˆL z ) 

ˆ⃗L 2 |nlm〉 = l(l + 1) 2 |nlm〉 

ˆL z |nlm〉 = m|nlm〉 

(9.2.1a) 

(9.2.1b) 

Der Ket |nlm〉 bezeichnet den gemeinsamen Eigenvektor des Operatoren ˆ⃗ L 2 , ˆL z und des Hamilton-Operators Ĥ. 

Dabei bezeichnet n das Energieniveau (also den Eigenwert des Hamilton-Operators); l verweist auf den Eigenwert 

l(l + 1) 2 von ˆ⃗ L 2 und m korrespondiert zum Eigenwert m des Operators ˆL z . Es gilt die Konvention j ≥ 0. 



Analog zu Korollar 8.2 beim harm. Oszillator beginnt man mit den Eigenschaften der Operatoren: 

Korollar 9.1 (Eigenschaften der Operatoren ˆ⃗ L 2 , ˆL z , ˆL + , ˆL − ) Im folgenden sei |n, l, m〉 ein gemeinsamer Eigenvektor 

von ˆ⃗ L 2 und ˆL z , mit den Eigenwerten l(l + 1) 2 und m. 

1. Es gilt: 

− l ≤ m ≤ l 

(9.2.2a) 

2. Für die Eigenschaften des Vektors ˆL − |n, l, m〉 gilt: 

a) m = −l ⇒ ˆL − |n, l, −l〉 = 0 

b) m > −l ⇒ ˆL − |n, l, m〉 ist ein Eigenvektor ungleich null zu den Eigenwerten l(l + 1) 2 und 

(m − 1). 

3. Für die Eigenschaften des Vektors ˆL + |n, l, m〉 gilt: 

a) m = l ⇒ ˆL + |n, l, l〉 = 0 

b) m < l ⇒ ˆL+ |n, l, m〉 ist ein Eigenvektor ungleich null zu den Eigenwerten l(l + 1) 2 und 

(m + 1). 

4. l kann nur ganz- oder halbzahlige, positive Werte annehmen. Ist l ganz(halb-)zahlig, dann ist auch m 

ganz(halb-)zahlig. 

Beweis: 

1. Zum Beweis dieser ersten Aussage greift man wieder auf die positive Demi-Definitheit der Norm eines Kets 

zurück. Es gilt nämlich: 

∥ 

∥ˆL + |n, l, m〉 ∥ 2 ∥ 

= 〈n, l, m|ˆL −ˆL+ |n, l, m〉 und ∥ˆL − |n, l, m〉 ∥ 2 = 〈n, l, m|ˆL +ˆL− |n, l, m〉 

Aus den Gleichungen (9.1.6a) und (9.1.6b) erhält man dann: 

und analog: 

〈n, l, m|ˆL −ˆL+ |n, l, m〉 = 〈n, l, m|ˆ⃗ L 2 − ˆL 2 z − ˆL z |n, l, m〉 = l(l + 1) 2 − m 2 2 − m 2 ≥ 0 

〈n, l, m|ˆL +ˆL− |n, l, m〉 = 〈n, l, m|ˆ⃗ L 2 − ˆL 2 z + ˆL z |n, l, m〉 = l(l + 1) 2 − m 2 2 + m 2 ≥ 0 

Diese zwei Ungleichungen lassen sich umformen: 

l(l + 1) − m(m + 1) ≥ 0 und l(l + 1) − m(m − 1) ≥ 0 

Aus der folgenden Abb. 9.1, die die Zahlenräume der Ungleichungen zeigt liest man dann leicht die Gültigkeit 

der Ungleichung (9.2.2a) ab: 

2a)/3a) Zunächst Aussagen 2a) und 3a). Dazu betrachtet man wieder die Norm des Vektor ˆL ± |n, l, m〉. Es gilt (siehe 

Punkt 1): 

∥ 

∥ˆL ± |n, l, m〉 ∥ 2 = 〈n, l, m|ˆL ∓ˆL± |n, l, m〉 = l(l + 1) 2 − m(m ± 1) 2 

Für m = ±j wird dieser Ausdruck 0. Da aber nur der Nullvektor die Norm 0 besitzt, folgen die Aussagen 

2a) und 3a) sofort. 

2b)/3b) Für 2b) und 3b) geht man von m > −l, bzw. m < l aus. Der Beweis erfolgt hier exemplarisch für 2b). Es sei 

also m > −l. Zunächst zeigt man, dass ˆL − |n, l, m〉 ein Eigenvektor von ˆ⃗ L 2 und von ˆL z ist. Die Operatoren 

ˆ⃗L 2 und ˆL − vertauschen, also erhält man [ˆ⃗ L 2 , ˆL − ]|n, l, m〉 = 0. Dies bedeutet aber die Gleichung 

ˆ⃗L 2ˆL− |n, l, m〉 = ˆL −ˆ⃗L 2 |n, l, m〉 = l(l + 1) 2ˆL− |n, l, m〉 

Also ist ˆL − |n, l, m〉 ein Eigenvektor von ˆ⃗ L 2 zum Eigenwert l(l + 1) 2 . Mit [ˆL z , ˆL − ] = −ˆL − rechnet man 

für ˆL z : 

−ˆL − |n, l, m〉 = [ˆL z , ˆL − ]|n, l, m〉 

Daraus erhält man: 

ˆL z ˆL− |n, l, m〉 = ˆL −ˆLz |n, l, m〉 − ˆL − |n, l, m〉 = mˆL − |n, l, m〉 − ˆL − |n, l, m〉 = (m − 1) 

Damit ist ˆL − |n, l, m〉 Eigenvektor von ˆL z zum Eigenwert (m − 1). 



m(m+1) 

4 

3 

m 

20 12 

12 6 

m(m-1) 

erfüllt beide Ungleichungen 

2 

6 

2 

1 

0 

-1 

-2 

2 0 

0 0 

0 2 6 12 20 

0 2 

2 6 

1 2 3 4 

l 

l(l-1) 

-3 

6 

12 

-4 

12 20 

Abb. 9.1: Veranschaulichung zum Beweis der Ungleichung (9.2.2a). 

4) Nach Aussage 1) gibt es für ein bestimmtes m sicher eine Zahl p ∈ N 0 mit der gilt (siehe Abb. 9.2): 

−l ≤ m − p ≤ −l + 1. 

Dieses p verschiebt also den Eigenwert m in das Intervall [−l, −l + 1], also das unterste Intervall möglicher 

Werte für m. 

m-p 

4 

3 

2 

L- nlm L- 

nlm L- 

nlm L-nlm 

nlm 

m 

? 

-l 

-l+1 0 

l 

m 

Abb. 9.2: Veranschaulichung des Beweises zum Spektrum von ˆL z, ˆ⃗ L 

2 

Dann sind die Kets 

|nlm〉, ˆL − |nlm〉, ..., (ˆL − ) p |nlm〉 

auch alle Eigenvektoren von ˆ⃗ L 2 und ˆL z . Wie man in Abb. 9.2 sieht verschieben sie gerade den Eigenvektor 

um p Schritte nach unten, sodass der Eigenwert m ′ von |nlm ′ 〉 = (ˆL − ) p |nlm〉 auch in [−l, −l + 1] liegt. 

Für einen beliebigen Vektor zu n = 0, 1, ..., p aus dieser Folge sind die Eigenwerte l(l + 1) 2 und (m − n). 

Dies folgt durch Iteration vom |nlm〉 ausgehend aus Aussage 2). Für den Eigenwert des Zustandes |nlm ′ 〉 = 

(ˆL − ) p |nlm〉 gilt sicherlich m ′ = m − p > −l, da er sonst kein Eigenvektor wäre (was er aber nach 

Konstruktion ist). 

Nun lässt man ˆL − nochmal auf (ˆL − ) p |nlm〉 wirken, betrachtet also |nlm ′′ 〉 = (ˆL − ) p+1 |nlm〉. Ausgehend 

von m − p > −j (siehe letzter Absatz) muss zusammen mit Punkt 2) für den Eigenwert von |nlm ′′ 〉, also 

gelten: 

m ′′ = m − p − 1 > −j. 

Da aber auch −l > m − p > −l + 1 gilt ist dies unmöglich. Um diesen Widerspruch aufzulösen, muss also 

m − p = −j sein. Dann ergibt die p-te Anwendung von ˆL − einfach 0 (ebenso alle weiteren Anwendungen 

von ˆL − ), was im Einklang mit den bisherigen Aussagen steht. 

Somit gibt es eine Zahl p ∈ N, p ≥ 0, mit der für beliebiges m gilt: m − p = −l. Analog lässt sich zeigen, 

dass es eine Zahl q ∈ N, q ≥ 0 gibt, mit m + q = l. Mit diesen beiden Zahlen gilt also: 

m + q − (m − p) = l − (−l) ⇒ l = p + q 

2 



Für gerade p + q ist l also ganzzahlig und für ungerade halbzahlig. Dies sind also die einzigen möglichen 

Werte für die Quantenzahl l. Diese Eigenschaft des Drehimpulses folgt also direkt aus der algebraischen 

Struktur der Drehimpulsoperatoren. 

Zusammenfassung des Beweises: Der hier geschilderte Beweis nutzt die Tatsache, dass −l < m < l für 

alle m gilt. Andererseits muss man durch Auf-/Absteiger zu den Eigenwerte m = ±l gelangen können, da 

man sonst einen Widerspruch konstruiert. Da die Schritte jeweils die Länge ∆m = 1 · haben muss sowohl 

der Abstand nach oben (q = l − m), sowie nach unten (p = m − (−l) = m + l) eine ganze Zahl sein. Diese 

Anforderung ist aber nur für ganz- und halbzahlige Drehimpuls erfüllbar. 

Für die Auf- und Absteiger gelten noch folgende Beziehungen: 

Außerdem sind die Eigenzustände orthonormiert: 

Es gilt die folgende Vollständigkeitsrelation: 

ˆL − |n, l, m > −l〉 = √ l(l + 1) − m(m − 1) · |n, l, m − 1〉 (9.2.3) 

ˆL + |n, l, m < l〉 = √ l(l + 1) − m(m + 1) · |n, l, m + 1〉 (9.2.4) 

〈n, l, m|n ′ , l ′ , m ′ 〉 = δ kk ′δ ll ′δ mm ′. (9.2.5) 

∑ 

l 

l∑ 

g(l) 

m=−l n=1 

9.3 Drehmoment und Drehungen 

9.3.1 Die Drehgruppe im R 3 

∑ 

|nlm〉〈nlm| (9.2.6) 

Im R 3 gibt es bestimmte lineare Abbildungen R ⃗u (α), die eine Rotation eines Vektors um die Achse ⃗u und den 

Winkel α bewirken. Im folgenden Abschnitt soll gezeigt werden, in welcher Beziehung diese Drehungen zum 

Drehimpuls stehen. 

Die Menge der eben eingeführten Drehungen R ⃗u (α) ist eine Gruppe im mathematischen Sinne und erfüllt also 

folgende Axiome: 

1. Es gibt ein 1-Element, das keine Drehung bewirkt: R ⃗u (α = 0) 

2. Es gibt ein inverses Element zu R ⃗u (α), nämlich R ⃗u (−α). 

3. Die Hintereinanderausführung zweier Drehungen R ⃗u2 (α 2 )R ⃗u1 (α 1 ) ist wieder eine Drehung R ⃗u ′(α ′ ). 

Die Drehgruppe ist nicht-kommutativ, es gilt also i.A.: 

Für zwei Drehungen um die selbe Achse ⃗u gilt aber: 

R ⃗u2 (α 2 )R ⃗u1 (α 1 ) ≠ R ⃗u1 (α 1 )R ⃗u2 (α 2 ) 

R ⃗u (α 2 )R ⃗u (α 1 ) = R ⃗u (α 1 )R ⃗u (α 2 ) = R ⃗u (α 1 + α 2 ) 

Als nächstes führt man sog. infinitesimale Drehungen ein: 

R ⃗u (dα)⃗x = ⃗x + dα · (⃗u × ⃗x) (9.3.1) 

Das Vektorprodukt dα · (⃗u × ⃗x) ist dabei ein infinitesimal kurzer Vektor, der tangential an den Kreis steht, auf dem 

die Spitze von ⃗x umläuft (siehe Abb. ??). Jede beliebige Drehung lässt sich mit der folgenden Beziehung (9.3.2) 

in eine unendliche Anzahl solcher infinitesimaler Drehungen zerlegen: 

R ⃗u (α + dα) = R ⃗u (α)R ⃗u (dα) = lim 

N→∞ (R ⃗u(dα)) n (9.3.2) 



9.3.2 Drehoperatoren 

Mit Hilfe der Drehungen im R 3 lassen sich nun im Hilbertraum Drehoperatoren einführen. Es soll also gezeigt 

werden, dass es zu jeder Drehung R ⃗u (α) einen Drehoperator ˆR ⃗u (α) gibt, der auf dem Hilbertraum H wirkt. Der 

Drehoperator wird über seine Wirkung auf eine Wellenfunktion definiert: 

ψ ′ (⃗x ′ ) = ψ(R −1 ⃗x) :⇔ |ψ ′ 〉 = ˆR|ψ〉 (9.3.3) 

In der Ortsdarstellung gilt also 〈⃗r| ˆR|ψ〉 = 〈R −1 ⃗r|ψ〉. Der Operator weist folgende Eigenschaften auf: 

1. Der Drehoperator ˆR ist linear. 

2. Der Drehoperator ˆR ist unitär (ˆRˆR † = ˆR † ˆR = 1). 

9.3.3 Verbindung zum Drehmoment 

Es lässt sich nun der folgende Satz beweisen: 

Satz 9.2 (Erzeugung von Drehungen) Der Drehimpulsoperator ˆL ist die Erzeugende von Drehungen. Dies bedeutet, 

dass der unitärer, infinitesimale Drehoperator ˆR ⃗u (dα) die folgende Darstellung hat: 

ˆR ⃗u (dα) = 1 − i · dα ˆ⃗L · ⃗u (9.3.4) 

 

Der Beweis für den Spezialfall ⃗u = ⃗e z ist recht einfach zu leisten: Es gilt: 

⎛ 

⎞ 

x − dα · (−y) 

R −1 

⃗e z 

(dα)⃗x = R ⃗ez (−dα)⃗x = ⃗x − dα · (⃗e z × ⃗x) = ⎝ y − dα · x ⎠ 

z 

Damit gilt dann für eine Wellenfunktion nach einer Drehung: 

ψ ′ (x, y, z) = ψ(x + y · dα, y − x · dα, z) 

Dies lässt sich un in erster Ordnung in dα entwickeln: 

[ 

ψ ′ (x, y, z) = ψ(x, y, z) + dα · y ∂ψ ] 

∂x − x∂ψ ∂y 

Aus dieser Darstellung sieht man sofort: 

ˆR ⃗ez (dα) = 1 − i · dα 

ˆL z □ 

9.3.4 Kommutatorrelationen und Drehgruppe 

Für Drehungen im Realraum gilt die folgende Beziehung: 

[ 

= ψ(x, y, z) − dα · x ∂ ∂y − y ∂ ] 

ψ(x, y, z) 

∂x 

R ⃗ey (−dα ′ )R ⃗ex (dα)R ⃗ey (dα ′ )R ⃗ex (−dα) = R ⃗ez (dαdα ′ ) (9.3.5) 

Sie lässt sich durch nachrechnen mit der Definition (9.3.1) beweisen. Diese Beziehung mit den infinitesimalen 

Winkeln dα, dα ′ beschreibt die nicht-kommutative Struktur der Drehgruppe. Aus ihr können die Kommutatorrelationen 

der Drehimpulsoperatoren als Folge der algebraischen Struktur der Drehgruppe hergeleitet werden. Mit der 

Darstellung (9.3.4) der Drehoperatoren im Hilbertraum erhält man aus der obigen Beziehung (9.3.5): 

[1 + i · dα′ 

 

ˆL y 

] 

· 

[ 

1 − i · dα 

ˆL x 

] 

· 

[1 − i · dα′ 

 

ˆL y 

] 

· 

[1 + i · ] dα′ ˆL x = 1 − i 

dαdα′ˆLz (9.3.6) 

Daraus ergibt sich dann etwa: 

[ˆL x , ˆL y ] = iˆL z 



9.3.5 Endliche Drehoperatoren 

Bisher wurden nur infinitesimale Drehoperatoren betrachtet. Wie kann man also einen endlichen Drehoperator 

definieren? Aus Gleichung (9.3.2) für die Zusammensetzung von allgemeinen Drehungen aus infinitesimalen Drehungen 

erhält man: 

[ 

ˆR ⃗ez (α + dα) = ˆR ⃗ez (α)ˆR ⃗ez (dα) = ˆR ⃗ez (α) 1 − i · dα ] 

ˆL z 

Daraus folgt dann durch Umstellen: 

ˆR ⃗ez (α + dα) − ˆR ⃗ez (α) = − i · dα ˆR ⃗ez (α)ˆL z 

 

Dieser Operatorgleichung lässt sich dann folgende Lösung zuordnen: 

ˆR ⃗ez (α) = e −iαˆL z/ 

(9.3.7) 

Diese Beziehung ist analog zur Definition des Translationsoperators in (3.4.2). Dort war also der Impuls ˆ⃗ P die 

Erzeugende von Translationen. 

9.3.6 Erhaltung des Drehimpulses 

Analog zur Impulserhaltung, die aus der Invarianz physikalischer Gesetze unter Translationen folgt, kann man nun 

auch die Drehimpulserhaltung als Folge von Invarianz unter Drehungen herleiten. In der klassischen Mechanik 

erfolgt dies über das Noether-Theorem. 

In der Quantenmechanik gilt für ein System, das durch den Hamiltonian Ĥ beschrieben wird und sich zur Zeit t 

im Zustand |ψ(t)〉 befindet, zur Zeit t + dt: 

|ψ(t + dt)〉 = |ψ(t)〉 + dt 

iĤ|ψ(t)〉. 

Dabei wurde noch die infinitesimale Darstellung des Propagators verwendet. Dreht man nun das System mit dem 

Operator ˆR, so gilt mit den neuen Zuständen |ψ ′ 〉 = ˆR|ψ〉 natürlich auch: 

|ψ ′ (t + dt)〉 = |ψ ′ (t)〉 + dt (t)〉. 

iĤ|ψ′ 

Gilt nun Invarianz unter Drehungen (Voraussetzung!), so gilt weiter: 

|ψ ′ (t + dt)〉 = ˆR|ψ(t + dt)〉 

Daraus folgt dann sofort durch Benutzung der obigen Beziehungen: 

|ψ ′ (t + dt)〉 = |ψ ′ (t)〉 + dt 

dt 

(t)〉 = ˆR|ψ(t)〉 + iĤ|ψ′ i ˆRĤ|ψ(t)〉 = ˆR|ψ(t + dt)〉 

Aus dieser Gleichung folgt dann: 

oder einfacher: 

Ĥ|ψ ′ (t)〉 = ĤˆR|ψ(t)〉 = ˆRĤ|ψ(t)〉 

[Ĥ, ˆR] = 0 (9.3.8) 

Dies bedeutet aber gleichzeitig auch, dass der Drehimpuls nach Definition (9.3.7) mit dem Hamiltonian vertauscht, 

also eine Erhaltungsgröße darstellt. 

9.3.7 Drehung von Operatoren 

Man betrachtet ein System, an dem mit einem Messgerät die Observable Â gemessen wird (Â|u n〉 = a|u n 〉). 

Nun wird das Messgerät gedreht und man fragt sich, wie die Messung nach der Drehung ausgehen wird. Nach der 

Drehung ˆR misst das System die Observable Â′ , für deren Eigenzustände gelten muss: 

|u ′ n〉 = ˆR|u n 〉 

Schiebt man in obige Eigenwertgleichung eine triviale 1 = ˆR † ˆR ein (Drehungen sind unitäre Operationen) und 

multipliziert von links mit ˆR, so erhält man: 

ˆRÂˆR † ˆR|un 〉 = aˆR|u n 〉 



Hierin tritt nun aber der Eigenvektor |u ′ n〉 = ˆR|u n 〉 auf, sodass man umformulieren kann: 

ˆRÂˆR † |u ′ n〉 = a|u ′ n〉 

Daraus erhält man für den gedrehten Operator Â′ = ˆRÂˆR † . Für eine infinitesimale Drehung ˆR erhält man daraus 

durch einsetzen: 

( 

1 − i · dα 

 

) ( 

ˆ⃗L · ⃗u Â 

1 + i · dα 

 

) 

ˆ⃗L · ⃗u 

Diese Ergebnisse kann man zusammenfassen: 

= Â − i · dα 

 

(ˆ⃗ L · ⃗u) Â + i · dα dα 

Â(ˆ⃗ 2 

L · ⃗u) + 

 

(ˆ⃗ L · ⃗u) Â(ˆ⃗ L · ⃗u) = 

2 

= Â − i · dα 

[ˆ⃗ L · ⃗u, Â] + O(dα 2 ) 

Satz 9.3 (Drehung von Operatoren) 

Eine Observable Â transformiert sich unter einer Drehung ˆR(α), wie: 

Â ′ = ˆRÂˆR † . (9.3.9) 

Für eine infinitesimale Drehung ˆR(dα) = 1 − i·dα 

 

ˆ⃗L · ⃗u erhält man explizit in erster Ordnung in dα: 

Â ′ = Â − i · dα 

[ˆ⃗ L · ⃗u, Â]. (9.3.10) 

9.4 Bestimmung der Eigenzustände im Ortsraum: Bahndrehimpuls 

Hier sollen nun die Eigenzustände des Impulsoperators bestimmt 

werden. Dies entspricht der Anwendung des allgemeinen Formalismus 

eines Drehimpulses auf den klassischen Bahndrehimpuls L ⃗ = 

⃗r × ⃗p. Es ist zweckmäßig hier Kugelkoordinaten (siehe Abb. 9.4) zu 

verwenden. Damit erhält man folgende Operatoren: 

( 

ˆL x = i sin φ ∂ ∂θ + cos φ ) 

∂ 

(9.4.1a) 

tan θ ∂φ 

( 

ˆL y = i − cos φ ∂ ∂θ + sin φ ) 

∂ 

(9.4.1b) 

tan θ ∂φ 

ˆL z = −i ∂ 

(9.4.1c) 

∂φ 

ˆ⃗L 2 = − 2 ( ∂ 

2 

∂θ 2 + 1 

tan θ 

ˆL + = · e iφ ( ∂ 

∂θ + i cot θ ∂ 

∂φ 

∂ 

∂θ + 1 

sin 2 θ 

) 

ˆL − = · e −iφ ( 

− ∂ ∂θ + i cot θ ∂ 

∂φ 

) 

∂ 2 ) 

∂φ 2 

(9.4.1d) 

(9.4.1e) 

(9.4.1f) 

x 

 

z 

 

Abb. 9.4: Kugelkoordinaten für das Drehimpulssystem 

y 

Damit ergeben sich die Eigenfunktionen ψ nlm (r, θ, φ) in der Ortsdarstellung 

als Lösung der folgenden Differentialgleichungen 

− 2 { ∂ 

2 

∂θ 2 + 1 

tan θ 

∂ 

∂θ + 1 

sin 2 θ 

∂ 2 } 

∂φ 2 ψ nlm (r, θ, φ) = l(l + 1) 2 ψ nlm (r, θ, (9.4.2a) φ) 

−i ∂ 

∂φ ψ nlm(r, θ, φ) = mψ nlm (r, θ, (9.4.2b) φ) 

Da r nirgends als Variable auftaucht, sind auch die Lösungen von r unabhängig und es kann als Parameter betrachtet 

werden. Für die restlichen Parameter θ, φ wählt man einen Separationsansatz. Damit ergibt sich für die 

Gleichung (9.4.2b) sofort die Lösung Φ(φ) = e imφ . Man bezeichnet die Lösung ψ nlm (θ, φ) = Θ(θ) · Φ(φ) der 

obigen Differentialgleichungen als Kugelflächenfunktionen Yl 

m (θ, φ): 

√ 

Yl m (θ, φ) = 1 2l + 1 (l − m)! 

2π 2 (l + m)! · P l m (cos θ)e imφ . (9.4.3) 



Dabei sind Pl 

m die zugeordneten Legendre-Polynome. Es ist hier wichtig darauf hinzuweisen, dass die Kugelflächenfunktionen 

nur für m, l ∈ N definiert sind, also nicht für halbzahlige Drehimpuls! 

Eigenschaften der Kugelflächenfunktionen: Die Kugelflächenfunktionen haben folgende Eigenschaften: 

• Orthogonalitätsrelation: 

∫ π 

∫2π 

θ=0 φ=0 

Y m′ ∗ 

l ′ 

m 

(θ, φ) · Yl (θφ) sin θ dθdφ = δ l′ lδ m′ m (9.4.4) 

• Parität: ⃗r → −⃗r hat in Kugelkoordinaten folgende Gestalt: (r, θ, φ) → (−r, π − θ, π + φ). Unter dieser 

Transformation verhalten sich die Kugelflächenfunktionen wie folgt: 

Yl 

m (π − θ, π + φ) = (−1) l · Yl m (θ, φ) (9.4.5) 

• Komplexe Konjugation: 

[Yl 

m (θ, φ)] ⋆ = (−1) m · Y −m 

l 

(θ, φ) (9.4.6) 

• Entwicklung in Kugelflächenfunktionen: Die Kugelflächenfunktionen bilden eine vollständige Basis des 

Raumes der Funktionen f(θ, φ), im Sinne der Kugelkoordinaten. Damit können alle f(θ, φ) nach den 

(θ, φ) entwickelt werden: 

Y m 

l 

f(θ, φ) = 

∞∑ 

∑+l 

l=0 m=−l 

Die ersten Kugelflächenfunktionen sind: 

c l,m Y m 

l (θ, φ), mit c l,m = 

∫2π 

∫ π 

φ=0 θ=0 

Y0 0 (θ, φ) = 1 

4π 

, 

√ 

√ 

Y1 0 

3 

1 

(θ, φ) = 

4π 

cos θ, Y1 (θ, φ) = − 

√ ( 

Y2 0 

5 

(θ, φ) = 

16π 3 cos 2 θ − 1 ) , 

√ 

√ 

Y2 1 

15 

(θ, φ) = − 

8π sin θ cos θ eiφ , Y2 2 (θ, φ) = 

Y m∗ 

l (θ, φ) · f(θ, φ) sin θ dθ dφ (9.4.7) 

3 

8π 

sin θ eiφ 

15 

32π sin2 θ e 2iφ 

In Abb. 9.5 sieht man Polarplots einiger Kugelflächenfunktionen. Die Abhängigkeit von φ fällt heraus, da sie 

nur in einem Phasenfaktor e imφ auftritt, der bei der Absolutbetragsquadrat-Bildung herausfällt. Die Figuren sind 

also als Rotationssymmetrisch zur z-Achse anzusehen. 



m = 0 

z-Achse 

m = ±1 

m = ±2 

m = ±3 

l = 0 

 

r = ||² 

xy-Ebene 

l = 1 

l = 2 

l = 3 

Abb. 9.5: Polarplots von Kugelflächenfunktionen 

m = 0 

m = ±1 

m = ±2 

m = ±3 

l = 0 

l = 1 

l = 2 

l = 3 

Abb. 9.6: 3D-Plots von Kugelflächenfunktionen 



9.5 Physikalische Diskussion der bisherigen Ergebnisse 

Hier sollen kurz einige physikalische Konsequenzen diskutiert werden, die sich aus den bisherigen Ausführungen 

ergeben. Zunächst betrachtet man die Erwartungswerte der Operatoren ˆL x = 1 2 (ˆL + + ˆL − ) und ˆL y = 1 2i (ˆL + − ˆL − ). 

Mit den Eigenschaften der Aufsteiger/Absteiger ˆL + , ˆL − folgt sofort: 

〉〉 

〈ˆLx = 

〈ˆLy = 1 2 〈nlm|ˆL + + ˆL − |nlm〉 = 0 (9.5.1) 

Eine Messung dieser Operatoren ergibt also 0. Dies gilt natürlich nur so lange, wie die z-Achse die 〉 Quantisierungsachse 

darstellt. Für die Standardabweichung der Messergebnisse berechnet man zunächst 

〉 

〈ˆL2 x und 

〈ˆL2 y : 

〉〈ˆL2 x/y = ± 1 4 〈nlm|ˆL 2 + + ˆL 2 − ± ˆL +ˆL− ± ˆL −ˆL+ |nlm〉 = 1 4 〈nlm|ˆL +ˆL− + ˆL −ˆL+ |nlm〉 = 

= 1 4 〈nlm|ˆ⃗ L 2 − ˆL 2 z|nlm〉 = 2 

2 

[ 

l(l + 1) − m 

2 ] (9.5.2) 

Dabei liefern die ˆL 2 , ˆL 2 − mit der selben Begründung keinen Beitrag, wie bei (9.5.1). Man erhält also zusammenfassend: 

〉〉 

〈ˆLx = 

〈ˆLy = 0, ∆ˆL x = ∆ˆL y = · √[l(l 

+ 1) − m 2 ] /2 (9.5.3) 

Dies legt die klassische Interpretation eines Drehimpulses nahe, der um die Quantisierungsachse präzessiert. 

Im vorherigen Abschnitt wurde folgende wichtige Aussage für Bahndrehimpulse gefunden: 

Satz 9.4 (Ganzzahlige Bahndrehimpulse) 

Die Bahndrehimpulsquantenzahlen l, m sind immer ganzzahlig. 

Sie folgt direkt daraus, dass die Kugelflächenfunktionen nur für ganz Quantenzahlen m, l ∈ N definiert sind. Das 

Korrespondenz-Prinzip liefert also in der Quantenmechanik nur Drehimpulse mit l = 0, 1, 2, 3, .... Die algebraische 

Struktur der Drehimpulsoperatoren erlaubt aber noch zusätzliche Drehimpulse l = 1 2 , 3 2 , 5 2 

, ... für die die 

Kugelflächenfunktionen keine Eigenzustände darstellen. Eine Darstellung dieser Operatoren für l = 1 2 

findet sich 

im Abschnitt 9.6 über Spin- 1 2 -Systeme. 

Beispiel: Zerfall ρ → π + π − : Aus der Drehimpulserhaltung lässt sich schon einiges folgern. So ist z.B. ein ρ- 

Meson ein Spin-1-Teilchen. Als Quantisierungsachse wählt man die z-Achse. Damit ist dann also L z = 1 eine 

Erhaltungsgröße. Dies muss also auch nach dem Zerfall in zwei Spin-0-π-Mesonen gelten. Damit müssen die 

π-Mesonen nach dem Zerfall die selben Rotationseigenschaften, wie das ρ-Meson vor dem Zerfall haben. Sie 

müssen also einen Wellenfunktionsanteil Y1 1 (θ, φ) aufweisen (Eigenzustand zu ˆL z ). Damit ergibt sich für die 

Aufenthaltswahrscheinlichkeit nach dem Zerfall: 

√ ∣ 3 ∣∣∣∣ 

2 

P (θ, φ) = 

∣ − 8π sin θ eiφ 

= 3 

8π sin2 θ 

Diese Funktion hat ihr Maximum für θ = ±π/2, sodass die π-Mesonen vornehmlich senkrecht zur z-Achse 

ausgesandt werden. 



9.6 Spin 1/2 

9.6.1 Definition des Spin-1/2-Systems 

Bisher wurden Systeme mit beliebigen Spin betrachtet. Nun soll der Spezialfall eines halbzahligen Drehmoments 

mit l = 1 2 betrachtet werden. Für ein solches System sind nur die Werte m = ± 1 2 

möglich. Es gibt also auch 

nur zwei mögliche Zustände, die mit |↑〉, |↓〉 bezeichnet werden. Der Spinoperator wird mit ˆ⃗ S = ( Ŝ x , Ŝy, Ŝz) 

bezeichnet. Wählt man als Quantisierungsachse (wie üblich) die z-Achse, so ergibt sich die folgenden Eigenwertgleichungen: 

Die Eigenzustände |↓〉, |↑〉 sind normiert und orthogonal: 

Ŝ z |↑〉 = 2 |↑〉, Ŝ z |↓〉 = |↓〉 (9.6.1) 

2 

〈↑ | ↑〉 = 〈↓ | ↓〉 = 1, 〈↑ | ↓〉 = 0. (9.6.2) 

Man kann nun beliebige Zustände |ψ〉 = α|↑〉 + β|↓〉 (mit α 2 + β 2 = 1) in der Basis {|↑〉, |↓〉} darstellen. Sie sind 

dann Vektoren mit zwei Einträgen: 

( ( ( 

1 0 α 

|↑〉 ˆ= , |↓〉 ˆ= , |ψ〉 = α|↑〉 + β|↓〉 ˆ= 

(9.6.3) 

0) 

1) 

β) 

Einen solchen Vektor bezeichnet man als Spinor. Die restlichen Drehimpulsoperatoren haben dann folgende Darstellung: 

Ŝ x ˆ= 2 σ x = ( ) 

0 1 

(9.6.4a) 

2 1 0 

Ŝ y ˆ= 2 σ y = ( ) 0 −i 

(9.6.4b) 

2 i 0 

Ŝ z ˆ= 2 σ z = ( ) 1 0 

(9.6.4c) 

2 0 −1 

( ) 0 1 

Ŝ + = Ŝx + iŜy ˆ= 

(9.6.4d) 

0 0 

( ) 0 0 

Ŝ − = Ŝx − iŜy ˆ= 

(9.6.4e) 

1 0 

Dabei wurden in (9.6.4a)-(9.6.4c) die Pauli-Spin-Matrizen σ x/y/z eingeführt. Für diese gelten folgende Beziehungen: 

σ 2 x/y/z = 1 

(9.6.5a) 

[σ x , σ y ] = 2iσ z (und zyklische Vertauschungen von x, y, z) (9.6.5b) 

{σ x , σ y } = 0 (und zyklische Vertauschungen von x, y, z) (9.6.5c) 

σ x σ y = −σ y σ x = iσ z (und zyklische Vertauschungen von x, y, z) (9.6.5d) 

σ x σ y σ z = i · 1 

Spur σ x/y/z = 0 

det σ x/y/z = −1 

Die Beziehungen lassen sich einfach durch Nachrechnen in der obigen Matrix-Darstellung beweisen. 

Man kann einige der obigen Beziehungen noch explizit aufschreiben: 

9.6.2 Magnetische Momente 

Stern-Gerlach-Experiment 

(9.6.5e) 

(9.6.5f) 

(9.6.5g) 

Ŝ + |↑〉 = 0, Ŝ + |↓〉 = |↑〉, Ŝ − |↑〉 = |↓〉, Ŝ − |↓〉 = 0 (9.6.6) 

Im Jahre 1921 wurde von Otto Stern und Walter Gerlach ein Versuch mit Silberatomen durchgeführt (siehe Abb. 

9.7). Die aus einem Ofen austretenden, neutralen Atome bewegen sich in positiver y-Richtung auf eine Photoplatte 

zu, auf der sie bei Auftreffen eine Schwärzung verursachen. Zwischen Ofen und Photoplatte befindet sich ein 

starker Magnetfeldgradient. 



z 

y 

Elektromagnet 

Photoplatte 

z 

x 

N 

N 

Ofen 

Blende 

S 

S 

Abb. 9.7: Schematischer Aufbau des Stern-Gerlach-Versuches 

Die Atome treten aus dem etwa 1000 K heißen Ofen etwa mit einer Geschwindigkeit von v ≈ 500 m s 

aus. Sie 

tragen keine Ladung, also wirkt auf sie auch keine Lorentzkraft im Magnetfeld. Die Atome tragen aber ein (durch 

den e − -Spin verursachtes) magnetisches Moment 

⃗M = γ · ⃗S. (9.6.7) 

Dabei ist γ ≈ 2 das sog. gyromagnetische Moment. Dieses Moment führt zu einer potentiellen Energie W im 

magnetischen Feld ⃗ B. Es gilt: 

W = − ⃗ M · ⃗B = −γ · ( ⃗ S · ⃗B). (9.6.8) 

Kurz nach dem Ofen sind die Ausrichtungen der Spins (und damit der Momente ⃗ M) isotrop verteilt. Auf die Atome 

wirkt dann die Kraft 

⃗F = − ⃗ ∇W = ⃗ ∇( ⃗ M · ⃗B) = γ · ⃗∇( ⃗ S · ⃗B) (9.6.9) 

Außerdem wirkt ein Drehoment 

⃗D = ⃗ M × ⃗ B = γ · ( ⃗ S × ⃗ B). (9.6.10) 

Nach dem Drehimpulssatz folgt dann die DGl: 

d ⃗ S 

dt = γ · (⃗ S × ⃗ B) (9.6.11) 

Diese Differentialgleichung impliziert eine Präzession des Spins S ⃗ um die z- 

Achse, wie sie in der Abbildung rechts zu sehen ist. Da die Rotationsfrequenz sehr S 

schnell ist, kann man die Rotation fast nicht messen und es gilt 〈M x 〉 = 〈M y 〉 = 0. 

Damit kann man auch die M x , M y -Terme in der Kraft (9.6.9) vernachlässigen, 

sodass nur noch bleibt: 

⃗F = ∇(M ⃗ z B z ) = γS z · ⃗∇B z 

z 

z 

(9.6.12) 

Der Spin wurde hier als gegebene Konstante betrachtet. Um eine effektive Kraft auf die Atome auszuwirken benötigt 

man also einen Magnetfeldgradienten der z-Komponente des Feldes B. ⃗ Aufgrund der Krümmung des Magnetfeldes 

durch die spezielle Form der Polschuhe des verwendeten Magneten (siehe Abb. 9.7), ist dieser auch gegeben. 

Diese bewirken auch, dass näherungsweise gilt ∂Dz 

∂x 

= ∂Bz 

∂y 

= 0. Klassisch würde man also eine Kraft erwarten, 

die die Atome je nach dem Wert von S z ∈ [S min , S max ] ablenkt. Damit ergäbe sich eine Auftreffwahrscheinlichkeit 

auf der Photoplatte, wie sie in Abb. 9.8 links dargestellt ist, ergeben. Tatsächlich ergab sich aber das Bild rechts. 

Dies war ein erster Hinweis auf die Quantelung des Drehimpulses/Spins. Man kann den Stern-Gerlach-Versuch 

damit als eine Art polarisierenden Strahlteiler für Atomstrahlen mit Spin betrachten, da er Teilchen mit m = 1 2 

und m = − 1 2 

in unterschiedliche Richtungen ablenkt, also räumlich trennt. 

klassisch erwartetes Ergebnis: 

quantenmechanisches Ergebnis: 

z 

z 

Abb. 9.8: Ergebnisse des Stern-Gerlach-Versuches nach klassischer und quantenmechanischer Vorhersage 



9.6.3 Spin 1/2 und Drehung 

Halbzahlige Spins haben eine interessante Eigenschaft, wenn man Drehoperatoren um den Winkel 2π auf diese 

anwendet. Es gilt nämlich: 

[ 

ˆR(2π, ⃗e z )|↑ / ↓〉 = exp − i · 2π ] 

[ 

 

Ŝz |↑ / ↓〉 = exp − i · 2π ( 

± )] 

|↑ / ↓〉 = e −i·π |↑ / ↓〉 = −|↑ / ↓〉 

2 

(9.6.13) 

Damit gilt: 

Satz 9.5 (Drehung von Spin 1/2-teilchen) Spin-1/2-Teilchen sind unter Drehungen um 2π nicht invariant. Sie 

erhalten dabei einen Phasenfaktor −1, der nicht direkt gemessen werden kann. Er kann aber in Interferenzexperimenten 

detektiert werden. 

9.7 Beispiel: Quantisierung eines Rotators 

Ein Rotator (siehe Abb. 9.9) rotiere mit der Winkelgeschwindigkeit ω 

um den Ursprung. Er habe das Trägheitsmoment I. Für den Betrag des 

Drehimpulses erhält man dann: 

∣L 

⃗ ∣ = Iω (9.7.1) 

Der Hamiltonian besteht nur aus der kinetischen Energie T = 1 2 iω2 , 

sodass man zusammen mit (9.7.1) erhält: 

H = 1 2 Iω2 = ⃗ L 2 

2I 

(9.7.2) 

m 2 

r 2 

r 1 

 

m 1 

Abb. 9.9: Rotator aus zwei Massen 

m 1, m 2 im Abstand r 1, r 2 vom 

Ursprung, im Raum 

Besteht der Rotator aus zwei Punktmassen m 1 , m 2 , die sich im Abstand 

r 1 , r 2 vom Drehpunkt/Massenschwerpunkt befinden (wie etwa bei einem zweiatomaren Molekül), so ergibt sich 

für das Drehmoment: 

I = m 1 r1 2 + m 2 r2 2 = µre, 2 mit µ = m 1m 2 

und m 1 

= m 2 r e 

= 

(9.7.3) 

m 1 + m 2 r 1 r 2 m 1 + m 2 

und damit für den Hamiltonian: 

L 

H = ⃗2 

2I = L ⃗2 

2µre 

2 

Daraus erhält man über das Korespondenzprinzip den Hamilton-Operator des Systems: 

(9.7.4) 

ˆ⃗L 2 

Ĥ = 

2µre 

2 

(9.7.5) 

Dieser Operator hat nach Abschnitt 9.4 die Eigenzustände |lm〉, mit der Eigenwertgleichung: 

Mit der sog. Rotationskonstante B = 

 

4πI = 

Ĥ|lm〉 = 

l(l + 1)2 

2µre 

2 |lm〉 (9.7.6) 

 

4πµr 

gilt für die Eigenenergien: 

e 

2 

E l = B · h · l(l + 1) (9.7.7) 

Jeder dieser Eigenwerte ist (2l + 1)-fach entartet, da es jeweils zu jedem −l ≤ m ≤ l eine eigene Eigenfunktion 

gibt. Das Spektrum ist in Abb. 9.10 dargestellt. Der Energieabstand zwischen zwei Niveaus ist: ∆E l = E l − 

E l−1 = Bh · [l(l + 1) − (l − 1)(l − 1 + 1)] = 2Bhl. 



l=5 

l=4 

l=3 

l=2 

l=1 

l=0 

10Bh 

8Bh 

6Bh 

4Bh 

2Bh 

Abb. 9.10: Spektrum des quantisierten Rotators 

In der Ortsdarstellung sind die Eigenzustände wieder die Kugelflächenfunktionen: 

〈r|lm〉 = Yl m (θ, ϕ) (9.7.8) 



9.8 Addition von Drehimpulsen 

9.8.1 Allgemeiner Problemstellung 

Oft hat man mit Systemen zu tun, in denen mehrere Drehimpulse addiert werden. So etwa der Bahndrehimpuls ˆ⃗ L 

und der Spin ˆ⃗ S eines Elektrons in einem Atom. Man hat also mit Gesamtdrehimpulsen der Form ˆ⃗Lges = ˆ⃗ L + ˆ⃗S zu 

tun. Allgemein betrachtet man hier also folgendes Problem: 

• Ein System bestehen zwei unabhängige Drehimpulse ˆ⃗ L1 , ˆ⃗ L2 . Für jeden einzeln gelten die Drehimpuls- 

Vertauschungsrelationen. Außerdem kommutieren die Drehimpulse miteinander: 

• Man definiert in diesem System den Gesamtdrehimpuls als: 

[ˆ⃗ L1 , ˆ⃗ L2 ] = 0 (9.8.1) 

ˆ⃗L := ˆ⃗ L1 + ˆ⃗ L2 . (9.8.2) 

Für diesen gelten aufgrund der Eigenschaften von ˆ⃗ L1 , ˆ⃗ L2 die Vertauschungsrelationen eines Drehimpulses. 

• Die Eigenzustände der Einzeldrehimpulse seien |l 1 m 1 〉, |l 2 m 2 〉. Ein Zustand des Gesamtsystems lässt sich 

dann in der folgenden Basis beschreiben: 

|l 1 m 1 l 2 m 2 〉 = |l 1 m 1 〉 ⊗ |l 2 m 2 〉 (9.8.3) 

Diese Basiszustände sind aber keine Eigenzustände des Operators ˆ⃗ L, da sie keine Eigenfunktionen von ˆ⃗L 

2 

darstellen. Dies erkennt man an der folgenden Kommutator-Relation: 

[ˆ⃗ L 2 , ˆL iz ] ≠ 0, i = 1, 2 (9.8.4) 

Dieses kann man leicht einsehen, wenn man bedenkt, dass ˆL iz eine Drehung im Unterraum i durchführt, 

wohingegen ˆ⃗ L 2 aber nur unter Drehungen im Produktraum/Gesamtraum ein Skalar ist (seine Länge also 

nicht verändert). Man kann sich dies so vorstellen. Dreht man einen Vektor im R 3 , so bleibt seine Länge konstant. 

Rotiert man aber seine Spitze in einer Ebene durch diese Spitze, so ändert sich i.A. seine Länge im R 3 . 

• Ein vollständiger Satz kommutierender Observabler für das System ist z.B.: 

ˆ⃗L 2 , ˆLz , 

ˆ⃗L 2 1, 

ˆ⃗L 2 2 (9.8.5) 

Ein Eigenzustand zu diesem v.S.k.O. wird mit |l, m l , l 1 , l 2 〉 notiert. Für die Eigenwerte m l gilt natürlich 

auch −l ≤ m l ≤ l. Die Aufgabe besteht nun darin diese Basis als Linearkombination der Basis (9.8.3) 

darzustellen und die Eigenwerte l(l + 1) 2 zu ˆ⃗ L 2 zu finden (die Eigenwerte m l zu ˆL z ergeben sich ja dann 

daraus). 

9.8.2 Addition zwei halbzahliger Spins 

Zunächst soll die Addition von Drehimpulsen am Beispiel zweier Spin-1/2-Spins demonstriert werden, da hier 

alles mit Hilfe der Spinor-Darstellung aus Abschnitt 9.6 einfach und elementar berechenbar ist. 

Der Zustandsraum: 

Der Zustandsraum eines solchen Systems wird von vier Basisvektoren ausgespannt: 

{|↓↓〉, |↑↓〉, |↓↑〉, |↑↑〉} (9.8.6) 

Diese Basisvektoren sind Eigenvektoren der ursprünglichen Operatoren ˆ⃗ S 

2 

1 , Ŝ1z, ˆ⃗ S 

2 

2 , Ŝ2z 

Gesamtspin ˆ⃗ S: 

Der Gesamtspin-Operator ist natürlicherweise gegeben durch 

ˆ⃗S = ˆ⃗ S1 + ˆ⃗ S2 . (9.8.7) 

Für sein Quadrat gilt: 

ˆ⃗S 2 = (ˆ⃗ S1 + ˆ⃗ S2 ) 2 = ˆ⃗ S 

2 

1 + ˆ⃗ S 

2 

2 + 2ˆ⃗ S1 · ˆ⃗ S2 = ˆ⃗ S 

2 

1 + ˆ⃗ S 

2 

2 + Ŝ1+Ŝ2− + Ŝ1−Ŝ2+ + 2Ŝ1zŜ2z (9.8.8) 

Es gelten folgende Vertauschungsrelationen: 

[ˆ⃗ S 2 , ˆ⃗ S 

2 

1 ] = [ˆ⃗ S 2 , ˆ⃗ S 

2 

2 ] = 0, [Ŝz, ˆ⃗ S 

2 

1 ] = [Ŝz, ˆ⃗ S 

2 

2 ] = 0, [ˆ⃗ S 2 , Ŝ1z] = 2i(−Ŝ1yŜ2x + Ŝ1xŜ2y) ≠ 0 (9.8.9) 



vollständiger Satz kommutierender Observabler: 

Im folgenden wird der Übergang vom v.S.k.O. ˆ⃗ S 

2 

1 , Ŝ1z, ˆ⃗ S 

2 

2 , Ŝ2z 

zum v.S.k.O. ˆ⃗ S 2 , Ŝz, ˆ⃗ S 

2 

1 , ˆ⃗ S 

2 

2 vollzogen. Dazu definiert man neue Zustände |S, M〉 in denen S der Eigenwert von 

ˆ⃗S 2 und −S ≤ M ≤ S der Eigenwert zu Ŝz ist. Die Eigenwerte zu ˆ⃗ S 

2 

1 , ˆ⃗ S 

2 

2 werden nicht notiert, da sie in diesem 

speziellen System immer gleich sind (die einzig erlaubte Länge eines Spin-1/2-vektors ist natürlich 1 2 

, woraus sich 

1 

2 

( 1 

2 + 1) = 3 4 ergibt): 2 ˆ⃗S i |S, M〉 = 32 |S, M〉 (9.8.10) 

4 

Eigenwerte von Ŝz: Die Eigenwerte M von S z sind natürlich von der Basis unabhängig. Sie lassen sich noch in 

der alten Basis {|m 1 m 2 〉} berechnen: 

Ŝ z |m 1 m 2 〉 = (Ŝ1z + Ŝ2z)|m 1 m 2 〉 = (m 1 + m 2 ) |m 1 m 2 〉 (9.8.11) 

} {{ } 

=:M 

Dabei können m 1/2 die Werte ↑ ˆ= + 1 2 und ↓ ˆ= − 1 2 annehmen. Über alle möglichen Kombinationen der m 1, m 2 

erhält man dann folgendes Ergebnis: 

• M = ±1 sind nicht-entartet, da nur jeweils die Kombinationen |↑↑〉, bzw. |↓↓〉 auf diesen Eigenwert führen. 

• M = 0 ist zweifach-entartet, da sowohl |↑↓〉, als auch |↓↑〉 auf diesen Eigenwert führen. 

• M kann also nur die Werte 0, +1 und −1 annehmen. 

Eigenwerte von ˆ⃗ S 2 : Nun betrachtet man die Eigenwerte S(S+1) 2 von ˆ⃗ S 2 . Dazu verwendet man die Darstellung 

in Gleichung (9.8.8) und die Eigenschaften der Auf-und Absteiger aus Gl. (9.6.6): 

ˆ⃗S 2 |m 1 m 2 〉 = 

[ˆ⃗S 2 

1 + ˆ⃗ S 

2 

2 + Ŝ1+Ŝ2− + Ŝ1−Ŝ2+ + 2Ŝ1zŜ2z] 

|m 1 m 2 〉 = 

[ 3 

= 

4 + 3 ] 

) 

4 + 2m 1m 2 2 |m 1 m 2 〉 + 

(Ŝ1+ Ŝ 2− + Ŝ1−Ŝ2+ 2 |m 1 m 2 〉 (9.8.12) 

Daraus erhält man für die einzelnen möglichen Zustände: 

ˆ⃗S 2 |↑↑〉 = 2 2 |↑↑〉 (9.8.13a) 

ˆ⃗S 2 |↓↓〉 = 2 2 |↓↓〉 (9.8.13b) 

( 3 ˆ⃗S 2 |↑↓〉 = 

4 + 3 4 − 1 

2) 

2 |↑↓〉 + 2 (0 + 1)|↓↑〉 = 2 [|↑↓〉 + |↓↑〉] (9.8.13c) 

ˆ⃗S 2 |↓↑〉 = 2 [|↓↑〉 + |↑↓〉] (9.8.13d) 

Aus (9.8.13c) und (9.8.13d) sieht man sofort, dass zwar |↑↓〉 und |↓↑〉 keine Eigenzustände zu ˆ⃗ S 2 sind, dafür 

kann man aber die folgenden Vektoren als Eigenzustände zu ˆ⃗ S 2 konstruieren (durch Addition/Subtraktion der 

Gleichungen): 

1 

√ 

2 

(|↑↓〉 + |↓↑〉) Eigenwert 2 2 (9.8.14a) 

1 

√ 

2 

(|↑↓〉 − |↓↑〉) Eigenwert 0 (9.8.14b) 

Zusammenfassung und Symmetrie: 

von ˆ⃗ S 2 und Ŝz: 

1. Singulett-Zustand: Zu S = 0 gehört nur ein Eigenzustand, nämlich 

Zusammenfassend erhält man also folgende Zustände als Eigenzustände 

|0, 0〉 = 1 √ 

2 

(|↑↓〉 − |↓↑〉) . 

2. Triplett-Zustände: Zu S = 1 gehören drei Zustände, nämlich zu M = ±1 und M = 0: 

|1, −1〉 = |↓↓〉, |1, +1〉 = |↑↑〉, |1, 0〉 = 1 √ 

2 

(|↑↓〉 + |↓↑〉) 

Noch eine Bemerkung zur Symmetrie der Vektoren: Der Singulett-Zustand ist antisymmetrisch. D.h. vertauscht 

man die Spins, so erhält man −|0, 0〉 als Ergebnis. Die Triplett-Zustände sind dagegen unter Vertauschungen 

invariant und werden deswegen als symmetrisch bezeichnet. 



9.8.3 Addition beliebiger Drehimpulse 

Im folgenden sollen zwei beliebige Drehimpulse ˆ⃗ J1 , ˆ⃗ J2 zu ˆ⃗ J := ˆ⃗J1 + ˆ⃗ J2 addiert werden. Das Vorgehen in diesem 

Abschnitt ist analog zu demjenigen im einfachen Fall des letzten Abschnittes. Für jeden einzelnen Drehimpuls 

(und natürlich auch für ˆ⃗ J) gilt: 

ˆ⃗J 2 |j, m〉 = j(j + 1) 2 |j, m〉, Ĵ z |j, m〉 = m|j, m〉, Ĵ ± |j, m〉 = √ j(j + 1) − m(m ± 1)|j, m ± 1〉 

(9.8.15) 

Für die Operator auftretenden Operatoren gelten folgende einfachen Vertauschungsrelationen: 

[ˆ⃗ J 2 , ˆ⃗ J 

2 

1 ] = [ˆ⃗ J 2 , ˆ⃗ J 

2 

2 ] = 0, [Ĵz, ˆ⃗ J 

2 

1 ] = [Ĵz, ˆ⃗ J 

2 

2 ] = 0, [Ĵz, Ŝ1z] = [Ĵz, Ŝ2z] = 0 (9.8.16) 

Zusätzlich lässt sich ˆ⃗ J 2 noch folgendermaßen ausdrücken: 

ˆ⃗J 2 = ˆ⃗ J 

2 

1 + ˆ⃗ J 

2 

2 + 2ˆ⃗ J1 · ˆ⃗ J2 = ˆ⃗ J 

2 

1 + ˆ⃗ J 

2 

2 + 2Ĵ1zĴ2z + Ĵ1+Ĵ2− + Ĵ1−Ĵ2+ (9.8.17) 

Basiswechsel: Es werden Eigenvektoren zum v.S.k.O. ˆ⃗ J 2 , Ĵz, ˆ⃗ J 

2 

1 , ˆ⃗ J 

2 

2 gesucht, die mit |J, M〉 = |J, M, j 1 , j 2 〉 

bezeichnet werden. Zusätzlich sucht man eine Rechenvorschrift, die diese aus den bisherigen Basiszuständen 

|j 1 , m 1 , j 2 , m 2 〉 konstruiert. 

Eigenwerte von Ĵz: 

Die Zustände |j 1, m 1 , j 2 , m 2 〉 sind schon Eigenzustände zu Ĵz = Ĵ1z + Ĵ2z und es gilt: 

Ĵ z |j 1 , m 2 , j 2 , m 2 〉 = (Ĵ1z + Ĵ2z)|j 1 , m 2 , j 2 , m 2 〉 = (m 1 + m 2 )|j 1 , m 2 , j 2 , m 2 〉 (9.8.18) 

Somit gilt also M = m 1 + m 2 . Damit kann M folgende Werte annehmen (folgt aus −j 1/2 ≤ m 1/2 ≤ j 1/2 ): 

M ∈ {−(j 1 + j 2 ), −(j 1 + j 2 ) + 1, ..., j 1 + j 2 − 1, j 1 + j 2 } (9.8.19) 

Um die Entartung g j1,j 2 

(M) der Zustände zu finden betrachtet man die geometrische Veranschaulichung in Abb. 

9.11. 

(-2,1) 

(-1,1) 

m 2 

(0,1) 

(1,1) 

(2,1) 

M=-1 

M=0 

M=1 

M=2 

M=3 

2 j 2 

M=-3 

(-2,0) 

(-1,0) 

(0,0) 

(1,0) 

(2,0) 

M=-2 

m 1 

(-2,-1) 

(-1,-1) 

(0,-1) 

(1,-1) 

(2,-1) 

2 j 1 

Abb. 9.11: Veranschaulichung der Addition zweier Drehimpulse j 1 = 3 und j 2 = 1. 

Daraus erhält man folgende Beziehung für die Entartung eines Zustandes auf einer der langen Diagonalen 

(− |j 1 − j 2 | ≤ M ≤ |j 1 − j 2 |): 

g j1,j 2 

(M) = 2 + max{j 1 , j 2 } + 1 (9.8.20) 

Für M < |j 1 − j 2 | nimmt g j1,j 2 

(M) dann mit M um jeweils 1 ab, bis bei |M| = j 1 + j 2 wieder 1 erreicht ist. 

Eigenwerte von ˆ⃗ J 2 : Zunächst wird angenommen, dass o.B.d.A. j 1 ≥ j 2 gilt. Zunächst betrachte man zur Veranschaulichung 

Abb. 9.12. 



j 1 

j-1 1 

j-2 1 

0 

-j 1+2 

-j 1+1 

j 2 

j-1 

2 

j-2 2 

0 

-j 

2+2 

-j 

2+1 

-j 2 

-j 1 

Abb. 9.12: Addition zwieer Drehimpulse 

Daraus erhält man anschaulich die folgenden möglichen Werte für J: Der maximal ausgerichtete Zustand ist 

sicher der größte erlaubte Zustand. Für ihn gilt J = j 1 + j 2 . Dieses J ist auch das maximale M (siehe vorheriger 

Absatz) und es kann somit kein größere J geben. Nun betrachtet man M = j 1 + j 2 − 1 dieser Eigenwert ist 

zweifach entartet und tritt für J = j 1 + j 2 nun einmal auf. Er ist damit der nächsthöhere, erlaubte Eigenwert. 

Diese Reihe geht immer so weiter, bis zu J = |j 1 − j 2 |. Dies entspricht dem maximal antiparallel ausgerichteten 

Zustand. Man erhält dann die Eigenwerte in Tabelle 9.1. 

Werte von J zugehörige Werte von M 

j 1 + j 2 −(j 1 + j 2 ), −(j 1 + j 2 ) + 1, ..., j 1 + j 2 

j 1 + j 2 − 1 −(j 1 + j 2 ) + 1, −(j 1 + j 2 ) + 1, ..., j 1 + j 2 − 1 

. 

|j 1 − j 2 | − |j 1 − j 2 | , ..., |j 1 − j 2 | 

Tabelle 9.1: Eigenwerte von ˆ⃗ J 2 unbd Ĵz. 

Damit gilt für die möglichen Werte von J: 

|j 1 − j 2 | ≤ J ≤ j 1 + j 2 (9.8.21) 

Diese Beziehung wird oft Dreiecksregel genannt. Dies beruht auf ihrer geometrischen Interpretation: Ein allgemeines 

Dreieck lässt sich nur aus Strecken zusammensetzen, die der Beziehung (9.8.21) gehorchen. In Abb. 9.13 

sind zur Veranschaulichung auch die zwei Grenzfälle dieser Regel angegeben, die den maximal parallelen und 

anti-parallelen Zuständen entsprechen. 

j 2 

J 

j 1 

Abb. 9.13: Dreiecksregel und ihre Grenzfälle (o.B.d.A. j 2 > j 1) 

9.8.4 Clebsch-Gordan-Koeffizienten 

Da die ursprünglichen Zustände {|j 1 , m 1 , j 2 , m 2 〉} eine Basis des Zustandsraumes darstellen kann man die Zustände 

der neuen Basis {|J, M〉} als Linearkombinationen dieser Zustände darstellen. Es gilt (durch Einschieben 

der Vollständigkeitsrelation der alten Basis): 

|J, M, j 1 , j 2 〉 = 

j 1 

∑ 

m 1=−j 1 

j 2 

∑ 

m 2=−j 2 

|j 1 , m 1 , j 2 , m 2 〉〈j 1 , m 1 , j 2 , m 2 |J, M〉 (9.8.22) 

Darin bezeichnet man die Skalarprodukte (Zahlen) 〈j 1 , m 1 , j 2 , m 2 |J, M〉, also die Koeffizienten dieser Entwicklung 

als Clebsch-Gordan-Koeffizienten. Für diese Koeffizienten gibt es keinen allgemeinen Ausdruck, sie können 

aber für gegebene j 1 , j 2 berechnet werden. Im Internet findet man unter http://pdg.lbl.gov/2002/ 

clebrpp.pdf Tabellen mit Clebsch-Gordan-Koeffizienten. 



9.8.5 Addition von Bahndrehimpuls und Spin 1/2 

Besonders in der Atomphysik ist der Fall wichtig, in dem zu einem Bahndrehimpuls ein Spin addiert wird. Er 

tritt z.B. bei Elektronen auf, die an einen Atomkern gebunden sind (siehe auch das folgende Kapitel 10 über das 

Wasserstoffatom). Es wird also der Fall betrachtet, in dem ein Bahndrehimpuls j 1 = l zu einem Spin j 2 = 1 2 addiert 

wird. Dann hat man folgende Basis {|l, 1 2 , m l, ± 1 2 〉 = |l, 1 2 , m l〉}. Dabei gilt natürlich wieder −l ≤ m l ≤ l. Man 

sucht nun die Eigenwerte und Vektoren des v.S.k.O. ˆ⃗ J 2 , Ĵz, ˆ⃗ L 2 , ˆ⃗ S 2 mit ˆ⃗ J = ˆ⃗L + ˆ⃗S. Die Vektoren werden mit |J, M〉 

bezeichnet. Für die J sind folgende Werte erlaubt: 

J = l − 1 2 , l + 1 2 

Dies gilt nur für l ≠ 0 für l = 0 ist nur J = 1 2 

erlaubt. Nun werden die Eigenvektoren berechnet: 

Eigenvektoren für J = l + 1/2: Man geht vom Zustand |l + 1 2 , l + 1 2 , ↑〉 = |l, l, ↑〉 aus. Nun wendet man Ĵ− = 

ˆL − + Ŝ− auf diesen Zustand an: 

|l + 1 2 , l − 1 2 〉 = 1 

√ Ĵ − |l + 1 2l + 1 2 , l + 1 , ↑〉 = (9.8.23) 

2 

1 

= 

√ 2l + 1 (ˆL − + Ŝ−)|l, l, ↑〉 = (9.8.24) 

1 

[ 

= 

√ √ ] 

2l|ll − 1, ↑〉 + |l, l, ↓〉 = (9.8.25) 

2l + 1 

√ 

2l 

= 

2l + 1 |l, l − 1, ↑〉 + 1 

√ |l, l, ↓〉. (9.8.26) 

2l + 1 

9.8.6 Zeitentwicklung gekoppelter Drehimpulse 

Zwei Drehimpulse ˆ⃗ J1 , ˆ⃗ J2 seien aneinander gekoppelt. Es gibt also eine Wechselwirkungsenergie W , die zu einem 

neuen Hamiltonian Ĥ = Ĥ0 + Ŵ führt. Aus Gleichung (4.2.2) im Kapitel 4.2 über Erhaltungsgrößen lautet erhält 

man für die Drehimpulsoperatoren, die ja keine explizite Zeitabhängigkeit enthalten: 

d 

〈Â〉 

(t) = 1 〈[Â, 〉 

dt 

i Ĥ] (t) (9.8.27) 

Der Term Ŵ = a · ˆ⃗ J1 · ˆ⃗ J2 beschreibe die Kopplung der Drehimpulse, sodass man erhält (die Komponenten der 

Drehimpulse kommutieren mit Ĥ0): 

Für den Kommutator darin erhält man: 

d 

〉〈ˆ⃗J1 = 1 〉〈[ˆ⃗ J1 , 

dt i Ŵ] = a 〈 

[ˆ⃗ J1 , ·ˆ⃗ J1 · ˆ⃗ 

〉 

J2 ] 

i 

(9.8.28) 

[ˆ⃗ J1 , ·ˆ⃗ J1 ·ˆ⃗ J2 ] = [Ĵ1x, 

} Ĵ1xĴ2x] +[Ĵ1y, 

{{ } Ĵ1yĴ2y]+[Ĵ1z, Ĵ1zĴ2z] = iĴ1zĴ2y −iĴ1yĴ2z = −i(ˆ⃗ J1 ×ˆ⃗ J2 ) x (9.8.29) 

=0 

Berechnet man so alle drei Komponenten, so erhält man: 

d 

〉〈ˆ⃗J1 = −a 

〈ˆ⃗J1 × ˆ⃗ 

〉 

J2 

dt 


d 

〉〈ˆ⃗J1 = −a 

〈ˆ⃗J2 × ˆ⃗ 

〉 

J1 

dt 

(9.8.30) 

Diese Beziehung entspricht auch der klassischen Erwartung. Es ist aber darauf zu achten, dass i.A. nicht gilt 

〈ˆ⃗J2 × ˆ⃗ 

〉〉〉 

J1 = 

〈ˆ⃗J2 × 

〈ˆ⃗J1 . 

9.8.7 Beispiel: Kopplung zweier Spin-1/2-Systeme 

Energieaufspaltung, Stationäre Zustände: Nun sei ˆ⃗ S = ˆ⃗S1 + ˆ⃗ S2 und damit ˆ⃗ S 2 = ˆ⃗ S 

2 

1 + ˆ⃗ S 

2 

2 + 2ˆ⃗ S1 · ˆ⃗ S2 . Daraus 

erhält man dann folgende WW-Energie: 

Ŵ = aˆ⃗ S1 · ˆ⃗ S2 = a [ˆ⃗S 2 − ˆ⃗ S 

2 

2 

1 − ˆ⃗ 

] 

S 

2 

2 = a [ˆ⃗S 2 − 3 ] 

2 2 2 (9.8.31) 



Damit sind alle Eigenvektoren zu ˆ⃗ S 2 (also auch zu Ĥ0) auch Eigenvektoren zu Ŵ. Und man kann schreiben: 

a2 

(Ĥ0 + Ŵ)|S, M〉 = 

[S(S + 1) − 3 ] 

2 

2 2 |S, M〉 (9.8.32) 

In Abschnitt 9.8.2 wurden die möglichen Basisvektoren {|0, 0〉, |1, − 1 2 〉, |1, 0〉, |0, 1 2 

〉} des Systems berechnet. Diese 

gehören aber alle zum selben Energie-Eigenwert. Mit (9.8.32) spaltet die Energie dieser vier Zustände nun aber 

auf und der Singulett-Zustand (S = 0) gehört zu E S = E 0 − 3a2 

4 

. Der Triplett-Zustand (S = 1) gehört aber zu 

E T = E 0 + a2 

4 

. Die Zustände |S, M〉 sind aber auch Eigenzustände (stat. Zustände) des gestörten Hamiltonian. 


10 Das Wasserstoffatom 

In diesem Abschnitt soll diskutiert werden, wie man die Bewegung eines Elektrons um einen Atomkern quantenmechanisch 

beschreiben kann. Diese Betrachtung startet beim klassischen Zweikörperproblem und endet bei den 

Orbitalen und Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms. 

10.1 Das Zweikörperproblem – quantenmechanisch betrachtet 

wegung ausführen. Der Hamilton-Operator eines solchen Systems 

hat die folgende Form: 

Ĥ = 

ˆ⃗P 2 e 

ˆ⃗P 2 K 

+ + V (ˆ⃗ Xe − ˆ⃗ XK ) (10.1.1) 

2m e 2m K 

Dabei ist V (⃗x e − ⃗x K ) ein Potential, das die Wechselwirkung zwischen 

Kern und Elektron beschreibt und das nur vom Abstand dieser 

beiden abhängt. Mit der Gesamtmasse M = m e + m K und der 

reduzierten Masse µ = 

mem K 

m e+m K 

kann man dann Relativkoordinaten 

einführen, denen der Operator ˆ⃗ Xr = ˆ⃗ Xe − ˆ⃗ XK entspricht. Die 

Schwerpunktsbewegung wird mit mit der Schwerpunktskoordinate 

ˆ⃗X s = ˆ⃗ me Xe+m K ˆ⃗XK 

M 

Ein wasserstoffähnliches System besteht aus einem Elektron (Masse m e , Ladung −e), das im elektrischen Feld 

eines Atomkerns (Masse m K , Ladung Z · e) bewegt. Die Abb. 10.1 verdeutlicht dieses. 

Das gesamte System kann natürlich noch eine Schwerpunktsbe- 

Schwerpunktsbewegung 

Elektron 

F Coulomb 

Kern 

m K, Ze 

m e, -e 

Abb. 10.1: Zweikörperproblem am Beispiel 

eines Elektrons, das um einen 

Atomkern der Ladung Z · e kreist 

beschrieben. Für die Impulse erhält man ähnliche Beziehungen. Zusammenfassend gilt: 

ˆ⃗X r = ˆ⃗ Xe − ˆ⃗ XK 

ˆ⃗X s = m e ˆ⃗ Xe + m K 

ˆ⃗XK 

M 

ˆ⃗Pr = m K ˆ⃗ Pe − m e 

ˆ⃗PK 

M 

(10.1.2) 

ˆ⃗P s = ˆ⃗ Pe + ˆ⃗ PK (10.1.3) 

Die kanonischen Vertauschungsrelationen übertragen sich von den Einzelteilchenoperatoren auf die Relativ- und 

Schwerpunktsoperatoren. Der Hamilton-Operator (10.1.1) schreibt sich dann als: 

Ĥ = 

ˆ⃗P 2 r 

2µ + ˆ⃗P 

2 

s 

2M + V (ˆ⃗ Xr ) (10.1.4) 

Dies bedeutet, das die Eigenzustände |ψ〉 der zugehörige Schrödingergleichung Ĥ|ψ〉 = E|ψ〉 in zwei Anteile 

separieren und man den folgenden Ansatz im Ortsraum macht: 

Man erhält dann die Schrödingergleichung: 

Ĥψ(⃗x s , ⃗x r ) = 

( ˆ⃗P 

2 

r 

ˆ⃗P 2 s 

+ + V (ˆ⃗ Xr ) 

2m e 2m K 

ψ(⃗x s , ⃗x r ) = ψ s (⃗x s ) · ψ r (⃗x r ) (10.1.5) 

) 

ˆ⃗P 2 s 

2M ψ s(⃗x s )ψ r (⃗x r ) + 

ψ s (⃗x s ) · ψ r (⃗x r ) = 

( ˆ⃗P 

2 

r 

2µ + V (ˆ⃗ Xr ) 

) 

ψ r (⃗x r )ψ s (⃗x s ) = Eψ s (⃗x s ) 

si r (⃗x r ) + E ′ ψ r (⃗x r )ψ s (⃗x s ) (10.1.6) 

Der Separationsansatz bedeutet auch, dass jeder Vektor |ψ〉 ∈ H des Gesamthilbertraumes als Tensorprodukt aus 

zwei Elementen der niederdimensionalen Hilberträume H s , H r darstellbar ist: 

|ψ〉 = |ψ s 〉 ⊗ |ψ r 〉. 

97


Auf beiden Unterräumen kann man nun eine eigenständige Schrödingergleichung definieren: 

Die Gleichung (10.1.7a) lässt sich einfach lösen: 

ˆ⃗P 2 s 

2M ψ s(⃗x s ) = Eψ s (⃗x s ) (10.1.7a) 

( ) 

ˆ⃗P 

2 

r 

2µ + V (ˆ⃗ Xr ) ψ r (⃗x r ) = E ′ ψ r (⃗x r ) (10.1.7b) 

ψ s (⃗x s ) = e i⃗ k s·⃗x s 

, 

E = 2⃗ k 2 s 

2M 

(10.1.8) 

Damit hat die Gesamtwellenfunktion die Form ψ(⃗x s , ⃗x r ) = e i⃗ k s·⃗xs 

· ψ r (⃗x r ), wobei ψ r (⃗x r ) über Gleichung 

(10.1.7b) definiert ist. Die Energie des Gesamtsystems ist dann E ′ + 2 ⃗ k 

2 

s 

2M 

. Es genügt also im Folgenden das 

Eigenwertproblem auf dem Unterraum H r zu lösen (siehe (10.1.7b)). 

10.2 Klassische Problemstellung 

Man betrachtet ein Teilchen der Masse m, dass sich in einem radialsymmetrischen 

Potential V (r). Für Kraft F ⃗ und Drehimpuls L ⃗ des 

Teilchens gilt also: 

⃗F = −∇V ⃗ (r) = − dV ⃗r 

dr r , L ⃗ = ⃗r × ⃗p (10.2.1) 

Da ⃗r und ⃗ F immer antiparallel liegen ist nach dem Drehimpulssatz ⃗ L 

eine Erhaltungsgröße: 

v 

v 

vr 

d ⃗ L 

dt = ⃗r × ⃗ F = 0 (10.2.2) 

Damit bewegt sich das Teilchen auf einer Ebene durch den Ursprung, 

die senkrecht auf L ⃗ steht. Zerlegt man weiter die Geschwindigkeit ⃗v in 

einen Tangential- ⃗v ⊥ und einen Radialanteil ⃗v r (siehe Abb. 10.2), so 

erhält man noch: 

|⃗r × ⃗v| = r · |⃗v ⊥ | und ∣L 

⃗ ∣ 

Damit ist die Gesamtenergie des Teilchen: 

Und der klassische Hamiltonian ist: 

0 

Abb. 10.2: Radial- ⃗v r und Tangentialkomponente 

⃗v ⊥ der bahngeschwindigkeit 

⃗v 

∣ = |⃗r × m⃗v| = mr |⃗v ⊥ | (10.2.3) 

E = m⃗v2 

2m + V (r) = m⃗v2 r 

2m + m⃗v2 ⊥ 

2m + V (r) = m⃗v2 r 

2m + L ⃗2 

+ V (r) (10.2.4) 

2mr2 H = p2 r 

2m + ⃗ L 2 

2mr 2 + V (r), 

mit p r = m dr 

dt , ⃗ L 2 = p 2 θ + 1 

sin 2 θ p2 φ (10.2.5) 

Man kann die beiden letzten Terme zu einem sog. effektiven Potential zusammenfassen: 

L 

V eff (r) = ⃗2 

+ V (r) (10.2.6) 

2mr2 Als Beispiel betrachtet man das Coulomb-Potential V (r) ∝ − 1 r 

. Dafür ist in der folgenden Abb. 10.3 das Potential 

selber und das effektive Potential gezeichnet. 



pot. Energie 

Zentralpotential -5/r 

2 

Zentrifugalpotential 1/r 

eff. Potential 

r 

Abb. 10.3: Effektives Potential 

10.3 Hamilton-Operator 

Nun kann man über das Korespondenzprinzip den Hamilton-Operator des Systems aufstellen. Nach (10.2.5) folgt: 

Ĥ = − 2 

∇ 

2µ ⃗ 2 + V (r) = ˆP 2 2 

r 

ˆ⃗L 

2µ + + V (r) (10.3.1) 

2µr2 Dabei ist ˆ⃗ L 2 das Quadrat des Drehimpulsoperators und ˆP r = − i ∂ 

r ∂r 

r der radiale Impulsoperator, der sich aus der 

Darstellung des Laplace-Operators ∇ ⃗ 2 = ∆ in Kugelkoordinaten zusammen mit der Schrödingergleichung ergibt: 

∆ = 1 ∂ 2 

r ∂r 2 r + 1 ( ∂ 

2 

r 2 ∂θ 2 + 1 ∂ 

tan θ ∂θ + 1 ∂ 2 ) 

sin 2 θ ∂ϕ 2 . (10.3.2) 

Im folgenden soll die zweite Darstellung des Hamiltonians in (10.3.1) betrachtet werden. Zur Lösung der Schrödingergleichung 

wählt man einen Separationsansatz: 

Dies führt auf die folgende Schrödingergleichung: 

ψ(⃗r) = ψ(r, θ, ϕ) = R(r) · Θ(θ, ϕ) (10.3.3) 

Ĥψ(r, θ, ϕ) = E · ψ(r, θ, ϕ) (10.3.4) 

Alle Komponenten von ˆ˜L, sowie ˆ˜L2 vertauschen mit Ĥ, sind also Erhaltungsgrößen. Man verwendet deshalb das 

vollständige System kommutierender Observabler (ˆ˜L2 , ˆL z , Ĥ) um eine Basis des Zustandsraumes des Teilchens 

aufzubauen. Alles Lösungen des Eigenwertproblems (10.3.4) müssen also auch Eigenfunktionen zu ˆ˜L2 und ˆL z 

sein. Damit hat man das Problem auf drei Eigenwertgleichungen überführt: 

Ĥψ(⃗r) = E · ψ(⃗r) (10.3.5a) 

ˆ˜L 2 ψ(⃗r) = l(l + 1) 2 · ψ(⃗r) (10.3.5b) 

ˆL z ψ(⃗r) = m · ψ(⃗r) (10.3.5c) 

Die Lösung zu den letzten beiden Gleichungen wurde bereits im vorherigen Abschnitt 9 (genauer 9.4) angegeben. 

Damit gilt für den Produktansatz (10.3.3): 

Θ(θ, ϕ) ≡ Y m 

l (θ, ϕ) (10.3.6) 

10.4 Lösung der Radialgleichung des Wasserstoff-Systems 

10.4.1 Die Radialgleichung 

Setzt man dann ψ(r, θ, ϕ) = R(r) · Yl 

m (θ, ϕ) in das oben gegebene Eigenwertproblem (10.3.5a) ein, so bleibt 

(unter Verwendung des Eigenwertes von ˆ˜L2 ) noch folgende Radialgleichung übrig: 

[− 2 1 ∂ 2 

] 

2l(l + 1)2 

r + 

2µ r ∂r2 2µr 2 + V (r) R(r) = E · R(r). (10.4.1) 



In dieser tritt immernoch ein recht komplizierter Differentialoperator 1 ∂ 2 

r ∂r 

r auf, den man durch eine einfache 

2 

Setzung vereinfachen kann: 

R(r) = 1 · u(r) (10.4.2) 

r 

Setzt man diesen in (10.4.1) ein und multipliziert danach mit r, so erhält man: 

[− 2 ∂ 2 

] 

2l(l + 1)2 

+ 

2µ ∂r2 2µr 2 + V (r) u(r) = E · u(r). (10.4.3) 

Durch Einsetzen der pot. Energie eines Elektrons q = −e im Abstand r von einer Punktladung Q = Ze (Atomkern 

mit Ladungszahl Z) 

V (r) = − Ze2 1 

(10.4.4) 

4πɛ 0 r 

kann man dann die Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms ermitteln. Die reduzierte Masse in diesem System ist: 

µ = m ( 

em p 

≈ m e 1 − m ) 

e 

(10.4.5) 

m e + m p m p 

E 

ungebundener Zustand 

E>0 

E 0) geben muss. Im ungebundenen Fall gibt es zwar einen Bereich um den Kern, in dem die 

Wellenfunktion gegen 0 abfällt, die Funktionen sind aber für r → 0 unbeschränkt. Damit können sie auch nicht 

quadratintegrabel sein. Da zu jeder Energie E > 0 eine solche Funktion als Lösung von (10.4.3) existiert, ist das 

Spektrum dort kontinuierlich. Im gebundenen Bereich wird man später sehen, dass ein diskretes Spektrum E nlm 

vorliegt. Auch über die Eigenfunktionen hat man schon einige Informationen. Sie müssen von der folgenden Form 

sein: 

ψ(r, θ, ϕ) = 1 r u(r) · Y m 

l (θ, ϕ) (10.4.6) 

Es bleibt also die folgende Differentialgleichung für die noch unbekannten u(r) zu lösen: 

[− 2 ∂ 2 

] 

2l(l + 1)2 

+ 

2µ ∂r2 2µr 2 − Ze2 1 

u(r) = E · u(r). (10.4.7) 

4πɛ 0 r 

Man fordert zusätzlich die Randbedingung 

u(r = 0) = 0. (10.4.8) 

Aus dem halbklassischen Bohr-Modell erhält man Ausdrücke für die „Bahnradien“ r n und die Energien E n der 

einzelnen Zustände zur Hauptquantenzahl n: 

E n = 1 n 2 E I, E I = µe4 

2 2 

r n = n 2 a 0 , 

(10.4.9a) 

a 0 = 2 

µe 2 (10.4.9b) 

Man misst dann zweckmäßigerweise die Radien r in Einheiten des Bohrradius a 0 und die Energien in Einheiten 

der Ionisierungsenergie E I . Für den Fall E < 0 kann man dann zu folgenden Variablen übergehen: 

√ 

ρ = r a 0 

, λ = 

− E E I 

(10.4.10a) 

und erhält daraus und aus (10.4.7) die transformierte Schrödingergleichung für den Radialanteil: 

[ ∂ 

2 

2l(l + 1) 

+ 

∂ρ2 ρ 2 + 2 ] 

ρ − λ2 u(ρ) = 0. 

(10.4.10b) 



10.4.2 Asymptotisches Verhalten 

Lässt man den Abstand ρ gegen unendlich laufen, so bleibt von (10.4.10b) noch die folgende DGl übrig (Terme 

1/ρ 2 , 1/ρ → 0): 

[ ] ∂ 

2 

∂ρ 2 − λ2 u(ρ) = 0. (10.4.11) 

Diese DGl hat aber eine einfache Lösung, nämlich e ±λρ , sodass u(ρ) für ρ → ∞ wie e −λρ gegen null fallen muss. 

Damit gilt offensichtlich mit einer neuen Funktion y(ρ): 

u(ρ) = e −λρ y(ρ). (10.4.12) 

Die Lösung e +λρ ist unphysikalisch (die Wellenfunktion wäre nicht mehr normierbar) und muss deswegen zum 

Schluss weggelassen werden. Durch einsetzen von (10.4.12) in (10.4.10b) erhält man dann eine DGl für y(ρ): 

{ ∂ 

2 

∂ρ 2 − 2λ ∂ ∂ρ 

+ 

l(l + 1) 

ρ 2 

+ 2 ρ 

} 

y(ρ) = 0. (10.4.13) 

Von diesem Ergebnis aus wird in den folgenden Abschnitten die Lösung erarbeitet. Zur Herleitung wird benutzt, 

dass gilt: 

{ 

∂ ∂ [ 

e −λρ y(ρ) ]} = ∂ { 

} 

−λe −λρ −λρ ∂y 

y(ρ) + e = 

∂ρ ∂ρ 

∂ρ 

∂ρ 

[ 

= λ 2 e −λρ −λρ ∂y ∂y 

y(ρ) − λe − λe−λρ 

∂ρ ∂ρ + e−λρ ∂2 y 

∂ρ 2 == e−λρ λ 2 − 2λ ∂ ] 

∂ρ + ∂2 

∂ρ 2 y(ρ) 

Es muss analog zu (10.4.8) gelten: 

y(0) = 0. (10.4.14) 

10.4.3 Lösung mit Hilfe einer Potenzreihe 

Nun kann man versuchen die Gleichung (10.4.13) mit Hilfe eines Polynom-Ansatzes. Dazu setzt man ein Polynom 

an, indem ρ in der kleinsten Potenz ρ s vorkommt: 

y(ρ) = ρ s 

∞ 

∑ 

j=0 

c j ρ j = 

∞∑ 

c j ρ j+s = c 0 ρ s + c 1 ρ s+1 + c 2 ρ s+2 + ..., mit c 0 ≠ 0 (10.4.15) 

j=0 

In dieser Potenzreihenentwicklung von y(ρ sehen die ersten beiden Ableitungen relativ einfach aus: 

dy 

dρ 

= 

d 2 y 

dρ 2 = 

Man kann dies dann in (10.4.13) einsetzten: 

∞∑ 

c j (j + s)ρ j+s−1 

j=0 

∞∑ 

c j (j + s)(j + s − 1)ρ j+s−2 

j=0 

(10.4.16a) 

(10.4.16b) 

∞∑ 

∞∑ 

[ l(l + 1) 

c j (j + s)(j + s − 1)ρ j+s−2 − 2λ c j (j + s)ρ j+s−1 + 

ρ 2 + 2 ] 

∑ ∞ 

c j ρ j+s = 

ρ 

j=0 

j=0 

j=0 

∞∑ { 

= cj (j + s)(j + s − 1)ρ j+s−2 − 2λc j (j + s)ρ j+s−1 + l(l + 1)c j ρ j+s−2 + 2c j ρ j+s−1} = 0 (10.4.17) 

j=0 

Da die unendliche Gesamtsumme null sein soll, müssen alle ihre Glieder einzeln null werden. Das Glied niedrigster 

Potenz in ρ ist dann: 

[c 0 s(s − 1) + c 0 l(l + 1)] ρ s−2 = 0 

Daraus erhält man also einzige Lösungen s = l + 1 und s = −l. Es lässt sich zeigen, dass nur s = l + 1 eine 

physikalisch sinnvolle Lösung darstellt. Dazu geht man davon aus, dass sich die Funktion y(ρ) wie eine Potenz 

C ·ρ s in der Nähe des Urpsrungs verhält. Man kann dann weiter zeigen, dass die Lösung C die Eigenwertgleichung 

ρ l 



im Urpsrung nicht erfüllt. Außerdem widerspricht eine solche Lösung der Randbedingung y(0) = 0. Man erhält 

also die folgende Rekursionsbeziehung für die c j : 

j(j + 2l + 1)c j = 2[(j + l)λ − 1]c j−1 (10.4.18) 

Um diese zu berechnen wird allgemein der j-te Koeffizient null gesetzt. Für die ersten c j gilt dann: 

c 1 = 

(l + 1)λ − 1 

2l + 2 

· c 0 , c 2 = 

(l + 2)λ − 1 

2(2l + 3) 

· 

(l + 1)λ − 1 

2l + 2 

Quantisierung: Die so berechneten Koeffizienten sollten für j → ∞ gegen 0 konvergieren, damit die Gesamtreihe 

nicht divergiert. Für das Verhältnis zweier aufeinander folgender Koeffizienten gilt 

c j 

c j−1 

∝ 1 j 

. Dies führt 

aber auf einen Exponentialreihe, sodass y(ρ) divergieren würde. Damit kann man nur solche Folgen c j nehmen, 

die nach einer festen Zahl k > 0 von Koeffizienten abbrechen. Damit muss die eckige Klammer auf der rechten 

Seite von (10.4.18) für ein bestimmtes k ∈ N Null werden. Dies bedeutet: 

(k + l)λ − 1 = 0 

Daraus erhält man eine Quantisierungsbedingung für die λ und damit auch für die Gesamtenergie: 

· c 0 

λ = 1 

k + l 

⇒ E k,l = −E I 

(k + l) 2 (10.4.19) 

Man erhält dann auch eine neue rekursive Beziehung für die c j : 

( 

2(k − j) 

2 

c j = − 

j(j + 2l + 1)(k + l) · c j−1 oder c j = (−1) j k + l 

) j 

(k − 1)! 

(k − j − 1)! · 

(2l + 1)! 

j!(j + 2l + 1)! 

(10.4.20) 

Mit dem obigen Ergebnis s = l + 1 ist also der Term niedrigster Ordnung im Radialpolynom (10.4.15) gerade 

ρ l+1 . Der Term höchster Ordnung ist dann ρ l+1+k−1 = ρ l+k (für ρ s+k−1 , da k Terme 0..k − 1 auftreten). 

Für das Wasserstoffatom hängen alle bisherigen Formeln nur von 

n := k + l (10.4.21) 

ab, sodass man n als Hauptquantenzahl einführt und für die Energie des n-ten Niveaus erhält: 

E n,l = −E I 

n 2 (10.4.22) 

Aufgrund der Definition (10.4.21) kann man mit k > 0 bei gegebenem n die erlaubten Werte für die Drehimpulsquantenzahl 

l (und damit auch m) ermitteln (es muss gelten n − l = k > 0 und l > 0): 

l = 0, 1, 2, ..., n − 1 ⇔ l < n −l ≤ m ≤ l (10.4.23) 

Zu jedem Niveau n gibt es n Drehimpulsquantenzahlen l zu denen jeweils wiederum 2l + 1 Quantenzahlen m 

gehören. Damit erhält man für den Entartungsgrad des n-ten Niveaus: 

n−1 

∑ 

n(n − 1) 

(2l + 1) = 2 

2 

l=0 

Damit erhält man das folgende Termschema Abb. 10.5. 

+ n = n 2 (10.4.24) 



Kontinuum 

n = 4 

3 

n = 2 

0 

4s 

3s 

2s 

4p 

3p 

2p 

4d 

3d 

4f 

n = 1 

-E I 

1s 

l=0 l=1 l=2 l=3 

Abb. 10.5: Termschema des Coulomb-Potentials 

10.4.4 Lösung mit Hilfe von Laguerre’chen Polynomen 

Die bisherige Lösung liefert Polynome, die über eine Rekursionsbeziehung definiert sind. Die DGl des Radialanteils 

ist aber in der Mathematik wohl bekannt. Die obigen Polynome heißen dort Laguerre’sche Polynome. 

10.4.5 Radialteil der Wellenfunktion 

Die folgende Abb. 10.6 zeigt die Graphen der ersten Radialteile der Wasserstoffwellenfunktionen. 

0.5 

n=1, l=0 

0.3 

0.1 

5 10 15 20 25 30 

r 

0.2 

0.2 

n=2, l=0 n=2, l=1 

0.1 

0.1 

0.05 

5 10 15 20 25 30 

r 

0.05 

5 10 15 20 25 30 

r 

0.1 

0.1 

0.5 

n=3, l=0 n=3, l=1 n=3, l=2 

0.06 

0.06 

0.3 

0.02 

0.02 

10 20 30 40 50 

r 

0.02 

0.02 

10 20 30 40 50 

r 

0.1 

10 20 30 40 50 

r 

Abb. 10.6: Radialanteil der Wasserstoff-Wellenfunktion für die ersten Terme (willkürliche Einheiten) 

10.5 Explizite Lösungen 

Nun kann man alle Ergebnisse zusammentragen: 



Satz 10.1 (Eigenzustände des Coulomb-Potentials) 

Die Schrödingergleichung des Coulomb-Potentials 

V (r) = − Ze2 1 

4πɛ 0 r 

(10.5.1a) 

ergibt die folgenden erlaubten Energiestufen zu den Quantenzahlen n, l, m: 

Für die Quantenzahlen gilt: 

Damit ergeben sich die Lösungen: 

E n = − E I 

n 2 , E I = µe4 

2 2 

(10.5.1b) 

n > 0, l < n, −l ≤ m ≤ l (10.5.1c) 

〈⃗x|nlm〉 = ψ nlm (r, θ, ϕ) = Yl 

m (θ, ϕ) · a0 · e −r/(a0n) n−l−1 

∑ 

( ) l+1+j r 

c j 

r 

a 0 

j=0 

(10.5.1d) 

Dabei sind Yl 

m (θ, ϕ) die Kugelflächenfunktionen und die Koeffizienten c j ergeben sich zu: 

c j = (−1) j ( 2 

n 

) j 

(n − l − 1)! 

(n − l − j − 1)! · (2l + 1)! 

j!(j + 2l + 1)! 

(10.5.1e) 

Die folgende Zusammenstellung zeigt einige Lösungen und deren Dichteplots in einer Ebene. 

1s-Niveau: |1, 0, 0〉 = √ 1 e −r/a0 

πa 3 

0 

) 

2s-Niveau: |2, 0, 0〉 = √ 

(1 1 − r 

8πa 3 2a 0 

e −r/2a0 

0 

2p-Niveau: |2, 1, 1〉 = − 1 

8 √ πa 3 0 

|2, 1, 0〉 = − 1 

4 √ 2πa 3 0 

r 

a 0 

|2, 1, −1〉 = − 1 

8 √ πa 3 0 

r 

a 0 

· e −r/2a0 · sin(θ) · e iϕ 

· e −r/2a0 · cos(θ) 

r 

a 0 

· e −r/2a0 · sin(θ) · e −iϕ 

6 

4 

1s 

z 

2 

0 

2p 

x 

6 

6 

6 

-2 

4 

4 

4 

-4 

2 

2 

2 

-6 

-6 -4 -2 0 2 4 6 

0 

0 

0 

6 

4 

2s 

-2 

-4 

-2 

-4 

-2 

-4 

2 

0 

-6 

-6 -4 -2 0 2 4 6 

-6 

-6 -4 -2 0 2 4 6 

-6 

-6 -4 -2 0 2 4 6 

-2 

-4 

-6 

-6 -4 -2 0 2 4 6 

Die 2p-Niveaus entsprechen aber nicht den Orbitalen, die die Elektronen besetzen. Für die np-Orbitale gelten 

folgende Superpositionen als Zustände der Elektronen: 

|np x 〉 = |n, 1, 0〉, |np y 〉 = − 1 √ 

2 

(|n, 1, 1〉 − |n, 1, −1〉) , |np x 〉 = i √ 

2 

(|n, 1, 1〉 − |n, 1, −1〉) 

Diese stellen die bekannten Keulen in x, y, z-Richtung dar. An den Plots sieht man auch, dass das Hüllenelektron 

eine endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Kern aufweisen kann (1s-, 2s-Zustände). Man kann auch die 

radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit r 2 R 2 n,l (r) auftragen. Dies zeigt Abb. 10.7. Der Faktor r2 rührt von der Integration 

über eine Kugelschale her. Man sieht direkt, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit auch am Kern nicht 

streng 0 ist. Außerdem verschiebt sich das Maximum der AUfenthaltswahrscheiunlichkeit wie n 2 nach außen. Dies 

entspricht der klassischen Vorstellung von Atomorbitalen mit den Bohr-Radien r n = n2 a 0 

Z . 



n=1, l=0 n=2, l=0 n=3, l=0 

r 

Abb. 10.7: radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit (integriert über eine Kugelschale) für verschiedene nS-Zustände (schematisch). 

r 

r 

10.6 Korrekturen für realistische Betrachtung 

Es gibt verschiedene Korrekturterme für den Wasserstoff-Hamiltonian, die hier kurz aufgeführt werden sollen: 

10.6.1 Relativistische Korrektur 

In der Relativitätstheorie gilt für die Energie eines Teilchens: 

E 2 − c 2 p 2 = m 2 0c 4 ⇒ E = 

√ 

m 2 0 c4 + c 2 p 2 = m 0 c 2 · 

√ 

1 + p2 

m 2 0 c2 

Man führt dann den kinetischen Anteil des Hamiltonian über, in: 

Ĥ = ˆP 

√ 

2 

2m → Ĥ = m 0c 2 · 1 + ˆP 

( 

) 

2 

m 2 ≈ m 0c 2 · 1 + 1 P 2 

0 c2 2 m 0 c 2 − 1 ˆP 4 

8 m 4 0 c4 

Daraus ergibt sich der folgende Korrekturterm: 

10.6.2 Spin-Bahn-Kopplung 

Ĥ rel = − 1 ˆP 4 

8 m 3 (10.6.1) 

0 c3 

Das Elektron erzeugt beim „Umkreisen“ des Kernes einen Strom. Im Ruhesystem des Elektrons bewegt sich entsprechend 

der Kern und erzeugt den Strom ⃗j(⃗x) = Z · e · ⃗v · δ(⃗x + ⃗r). Dabei ist ⃗r die relative Position des Kerns, 

im Vergleich zum Elektron. Aus dem Biot-Savard-Gesetz kann man dann das Magnetfeld berechnen, das der Kern 

am Elektron (⃗x = 0) induziert: 

⃗B(⃗x) = 1 ∫ 

d 3 x ′ ⃗j(⃗x ′ ⃗x − ⃗x′ 

) × 

c 

|⃗x − ⃗x ′ | 3 

⇒ B(0) ⃗ = 1 ∫ 

d 3 x ′ Z · e · ⃗v · δ(⃗x ′ + ⃗r) × −⃗x′ 

c 

|⃗x ′ | 3 = 

= Z · e · ⃗v × ⃗r 

|⃗r| 3 = − Zė 

m e c · r 3 ⃗r × (m e⃗v) = − 

Zė ⃗r × ⃗p = − 

Zė 

m e c · r3 m e c · r ⃗ 3 L 

Der Spin ˆ⃗ S des Elektrons wechselwirkt nun mit diesem Magnetfeld. Man erhält dann folgenden Korrekturterm: 

Ĥ SB = ˆL (e−) · ⃗B = − 

e ˆ⃗S · 

m e c 

⃗B = 

Ze2 ˆ⃗L 

˙ˆ⃗S (10.6.2) 

m 2 ec 2 · r 3 

Zur Auswertung dieses Ausdruckes kann man folgenden Zusammenhang verwenden: 

⃗J = ( L ⃗ + S) ⃗ 2 = L ⃗ 2 + S ⃗2 + 2L ⃗ · ⃗S ⇒ L ⃗ · ⃗S = 1 ( 

2 · ⃗J 2 − L ⃗ 2 − S ⃗2) 

10.6.3 Hyperfeinstruktur 

Für die Hyperfeinstrukturaufspaltung der Energieniveaus koppelt der Spin des Elektrons an den Spin des Protons: 

Ĥ HFS = const · ˆ⃗ S 

(e) · ˆ⃗ S 

(p) 

(10.6.3) 


11 Mehrteilchensysteme, 

Quantenstatistik 

11.1 Zwei freie Spins 

Hier soll ein System von zwei freien Spins betrachtet werden. Jeder Spin kann entweder nach oben |↑〉, oder nach 

unten |↓〉 ausgerichtet sein. Die Spins seien an zwei Elektronen (Fermionen) mit den Ortswellenfunktionen |1〉 und 

|2〉 gebunden. Die Teilchen seien hier (vereinfacht) durch ebene Wellen beschrieben, sodass gilt: 

〈⃗r|1〉 = ψ 1 (⃗r) = e i⃗ k 1·⃗r 


〈⃗r|2〉 = ψ 2 (⃗r) = e i⃗ k 2·⃗r 

(11.1.1) 

Die Gesamtwellenfunktion des Teilchens i lautet dann: 

|ψ i 〉 = |i〉|s i 〉, (11.1.2) 

wobei |s i 〉 den Spinzustand darstellt. Die Teilchen befinden sich nun an solchen Orten, dass sie miteinander wechselwirken 

können. Damit muss man das System durch eine Zweiteilchenwellenfunktion beschreiben. Hierbei ist 

zu beachten, dass sich die Spins zueinander ausrichten. Dabei sind nun zwei Fälle zu unterscheiden: 

1. (antisymmetrischer) Singulett-Zustand: Der Spinanteil der Gesamtwellenfunktion ist antisymmetrisch. 

Es gibt also nur die Darstellung |S〉 = √ 1 

2 

(|↑↓〉 − |↓↑〉) und die Spins sind antiparallel ausgerichtet. Da die 

Gesamtwellenfunktion antisymmetrisch sein soll (Elektronen sind Fermionen!), muss die Ortswellenfunktion 

symmetrisch sein. Damit kann man sie als symmetrische Überlagerung der Einteilchenwellenfunktionen 

darstellen: 

⇒ 

|ψ s 〉 = 1 √ 

2 

(|1〉|2〉 + |2〉|1〉) 

ψ s (⃗r 1 , ⃗r 2 ) = 1 ) 

(e i⃗ k 1·⃗r 1 

e i⃗ k 2·⃗r 2 

+ e i⃗ k 2·⃗r 1 

e i⃗ k 1·⃗r 2 

= 1 ( 

) 

N 

N ei(⃗ k 1·⃗r 1+ ⃗ k 2·⃗r 2) · 1 + e i(⃗ k 2·⃗r 1+ ⃗ k 1·⃗r 2− ⃗ k 1·⃗r 1− ⃗ k 2·⃗r 2) 

= 

= 1 ( 

) 

N ei(⃗ k 1·⃗r 1+ ⃗ k 2·⃗r 2) · 1 + e i(⃗ k 2− ⃗ k 1)·(⃗r 1−⃗r 2) 

(11.1.3) 

⇒ |ψ s vr 1 , ⃗r 2 )| 2 = 1 N ′ [ 

1 + cos(( ⃗ k2 − ⃗ k 1 ) · (⃗r 1 − ⃗r 2 )) ] (11.1.4) 

Dies bedeutet, dass sich die zwei Teilchen durchaus am selben Ort (r = |⃗r 1 − ⃗r 2 | = 0) befinden können. 

Dies ist eine direkte Folge des Pauli-Prinzips. 

2. (symmetrischer) Triplett-Zustand: Nun sei der Spinzustand symmetrisch, die Spins sind also parallel in 

die selbe Richtung zeigend ausgerichtet. Analog zu obiger Rechnung muss man nun die Ortswellenfunktion 

antisymmetrisch darstellen und erhält: 

ψ a (⃗r 1 , ⃗r 2 ) = 1 N 

(e i⃗ k 1·⃗r 1 

e i⃗ k 2·⃗r 2 

− e i⃗ k 2·⃗r 1 

e i⃗ k 1·⃗r 2 

) 

= 1 N ei(⃗ k 1·⃗r 1+ ⃗ k 2·⃗r 2) · 

(1 ) 

− e i(⃗ k 2− ⃗ k 1)·(⃗r 1−⃗r 2) 

(11.1.5) 

⇒ |ψ a (⃗r 1 , ⃗r 2 )| 2 = 1 N ′ [ 

1 − cos(( ⃗ k2 − ⃗ k 1 ) · (⃗r 1 − ⃗r 2 )) ] (11.1.6) 

Daraus erhält man für r = |⃗r 1 − ⃗r 2 | = 0 eine verschwindende Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Zwei fermionische 

Teilchen dürfen also niemals den exakt selben Quantenzustand besetzen. 

Aus den Aufenthaltswahrscheinlichkeiten (11.1.4) und (11.1.6) in diesen zwei Fällen kann man noch eine Modulation 

der Spinausrichtung für verschiedene Abstände r ableiten. Mit r oszilliert die Aufenthaltswahrscheinlichkeit 

für die Teilchen mit gleichem und gegengleichem Spin nämlich, sodass sich die entsprechenden Teilchen mit der 

Periode ⃗ k 2 − ⃗ k 1 ansammeln werden. 

106

12 Streutheorie 

12.1 Klassische Streu-Theorie 

12.1.1 Streuquerschnitt und andere Definitionen 

Bei der klassischen Potentialstreuung wird ein Teilchen an einem sphärisch-symmetrischen Potential gestreut. 

Diese Situation kann auch dazu herangezogen werden die Streuung von zwei Teilchen aneinander zu beschreiben. 

Das Potential entspricht dann dem Wechselwirkungspotential der zwei Teilchen und man setzt den Ursprung in 

den Schwerpunkt des einen Teilchens. Die folgende Abb. 12.1 verdeutlicht die dabei auftretenden Größen. 

(a) 

A 

σ 

Target 

(b) 

Detektor 

j 

d 

j det 

dA D 

∆Ω D 

j ein 

θ 

N 

target 

=A d n 

d 

target 

Target 

Abb. 12.1: (a) Streuquerschnitt und Target (b) Klassisches Streuexperiment mit Strahlparameter b 

Der einfallende Strahl habe einen Teilchenfluss j, die wie folgt definiert ist: 

Definition 12.1 (Teilchenfluss) 

j := 

dN 

dA · dt = 

Teilchen 

Zeit × Fläche = n a · v a [j] = 1 

1 

m 2 · s . (12.1.1) 

Er gibt die Anzahl der Teilchen an, die in einer Zeit dt durch die Fläche dA fliegen. Der Fluss j kann auch aus der 

Anzahldichte der Teilchen n a im Strahl und deren Geschwindigkeit v a berechnet werden. 

Die Teilchen im einfallenden Strahl treffen nun auf ein Ziel (Target), mit dem sie reagieren können. Die einfachste 

Reaktion ist eine Ablenkung der Teilchen (inelastische Streuung). Auch Umwandlungend er Stoßpartner sind 

möglich, man spricht dann von inelastischer Streuung, weil evtl. Energie umgewandelt wird. Die Reaktionsrate Ṅ 

kann man einfach berechnen, wenn man jedem Streuzentrum eine Fläche σ quasi als Zielscheibe zuordnet (siehe 

Abb. 12.1 (a)). Trifft ein einfallendes Teilchen eine solche Zielscheibe, so wird es gestreut/reagiert, andernfalls 

nicht. Es gilt dann: 

Ṅ = j · N target · σ (12.1.2) 

Dabei gibt N target die Anzahl der Streuzentren im Target an. Daraus kann man σ, den totalen Streu- oder Wirkungsquerschnitt 

bestimmen. 

Definition 12.2 (Totaler Streuquerschnitt) 

σ tot = 

Ṅ Zahl der pro Zeiteinheit gestreuten Teilchen 

= 

j · N target einfallender Fluss × Anzahl der Streuzentren 

[σ] = 1 m 2 . (12.1.3) 

Unter einem Winkel θ stellt man nun einen Detektor auf, der einen Raumwinkel ∆Ω D = dA D /d 2 abdeckt 

(d ist der Abstand vom Detektor zum Traget). Damit vermisst man also die Winkelverteilung dσ 

dΩ 

der gestreuten 

Teilchen. Analog zu (12.1.4) gilt dann: 

Ṅ det = j · N target · 

dσ(θ, ϕ) 

dΩ 

Mit diesem definiert man dann den differentiellen Wirkungsquerschnitt: 

· ∆Ω D (12.1.4) 

107


Definition 12.3 (Differentieller Streuquerschnitt) 

dσ(ϕ, θ) 

dΩ 

· ∆Ω D := 

Ṅ det Zahl der pro Zeiteinheit gestreuten und gemessenen Teilchen 

= 

j · N target einfallender Fluss × Anzahl der Streuzentren 

(12.1.5) 

Zwischen differentiellem und totalem Wirkungsquerschnitt gilt die Beziehung: 

∫ dσ 

σ tot = dΩ (12.1.6) 

dΩ 

Insofern ist der differentielle Wirkungsquerschnitt einfach die Winkelverteilung des totalen Wirkungsquerschnitts. 

12.1.2 klassische Potentialstreuung 

Um zu verstehen, wie man die Streuquerschnitte für eine bestimmte Art der Streuung berechnet, betrachtet man 

nun das Verhalten eines einzelnen, zu streuenden Teilchens in einem Streupotential. Das betrachtete Potential V (r) 

sei kugelsymmetrisch und verschwinde im unendlichen ( lim V (r) = 0). Die folgende Abb. 12.2 verdeutlicht 

nochmals alle im Folgenden verwendeten Größen. 

r→∞ 

Teilchenbahn: r(ϕ) 

p E 

p A 

b 

r(t) 

θ 

ϕ(t) 

Streuzentrum 

b 

db 

Rotationssymmetrie um 

z-Richtung 

dθ 

θ 

Abb. 12.2: Wichtige Größen bei der Potentialstreuung 

Für den Streuwinkel θ gilt zusammen mit dem Anfangs- ⃗p A und Endimpuls ⃗p E des Teilchens: 

cos θ = 

⃗p A · ⃗p E 

|⃗p A | · |⃗p E | . (12.1.7) 

Im folgenden wird die Streuung nun in ebenen Polarkoordinaten (x, y) = r · (sin ϕ, cos ϕ) betrachtet, weil das 

Problem, wie Abb. 12.2 zeigt rotations-symmetrisch bezüglich der Einfallsrichtung ist. Wie die Bahnkurve des 

betrachteten Teilchens aussieht hängt wesentlich vom sog. Streuparameter b ab (siehe Abb. 12.2).Es ist zu beachten, 

dass ϕ(t) die Koordinate des Teilchens während des Vorbeifluges angibt, während der Streuwnkel θ ein 

asymptotisches Ergebnis für t → ∞ ist: 

θ = ϕ(t → ∞) = ϕ(r → ∞) 

Betrachtet man den rechten Teil von Abb. 12.2, so kann man eine grundlegende Beziehung für den differentiellen 

Wirkungsquerschnitt ableiten: Dazu beginnt man mit der in der Abbildung gekennzeichneten (infinitesimalen) 

Fläche auf der Einheitskugel. Diese lässt sich berechnen als: 

∆Ω = 2π sin θ dθ (12.1.8) 

Dabei ist dθ der Winkelbereich, den die Fläche abdeckt und θ der Winkel, der die Lage der Ringfläche auf der 

Kugel angibt (=Streuwinkel). Nutzt man nun die Definition (12.1.5) des differentiellen Wirkungsquerschnittes, so 

erhält man weiter: 

dσ · 2π sin θ dθ = 

Ṅ dΩ 

det 

j · N target 

(12.1.9) 

Alle Teilchen, die durch den markierten Ring auf der Kugel laufen wurden in einem Bereich db um einem bestimmten 

Strahlparameter b(θ) eingestrahlt. Dieser Bereich ist als blauer Ring in Abb. 12.2 eingezeichnet. Die Fläche 

dieses Ringes ist dA = 2πb · db. Damit ist die Anzahl der Teilchen in diesem Bereich dN 

dt 

= j · dA = j · 2πb · db. 

Dieser Teilchenfluss ist gleich des Flusses durch den Detektorstreifen Ṅdet, also gilt zusammen mit (12.1.9): 

dσ 

j · 2πb · db 

· 2π sin θ dθ = (12.1.10) 

dΩ j · N target 



Da hier N target = 1 gilt folgt damit weiter: 

dσ 

dΩ = 

b 

sin θ · 

db 

∣dθ 

∣ (12.1.11) 

Diese Gleichung gibt eine Anleitung, wie der differentielle Streuquerschnitt für ein gegebenes Potential V (r) 

berechnet werden kann. Es ist „nur“ nötig den Streuwinkel als Funktion des Streuparameters zu bestimmen. Ist 

dieses θ(b) noch umkehrbar, so kann man (12.1.11) einfach auswerten. 

Bei der Streuung bewegt sich das Teilchen nun in einem rotations-symmetrischen Potential. Dies impliziert für 

eine elastische Streuung zwei Erhaltungsgrößen: 

1. Energie: 

E = ⃗p2 

2m + V (r) = m (ṙ2 + r 2 ˙ϕ 2) + V (r) = m 2 

2 v2 0 = const (12.1.12) 

Die letzte Identität gilt, weil das Potential im unendlichen verschwinden soll. Dabei ist v 0 die Geschwindigkeit 

der einfallenden Teilchen und m ihre Masse. 

2. Gesamtdrehimpuls: 

Setzt man (12.1.13) in (12.1.12) ein, so erhält man: 

| ⃗ l| = l = mr 2 ˙ϕ = mbv 0 ⇒ ˙ϕ = dϕ 

dt = l 

mr 2 (12.1.13) 

ṙ 2 = 2 m · [E − V (r)] − r2 · 

Daraus erhält man dann weiter folgende Differentialgleichung: 

√ 

ṙ = dr 

dt = ± 2 

m · 

[ 

E − V (r) − 

Diese kann weiter umgeformt werden (Separation der Variablen): 

dt = ± √ 

dr 

2 

m · [E 

− V (r) − 

l 2 

m 2 r 4 

] 

l2 

2mr 2 

] (12.1.14) 

l2 

2mr 2 

Durch Integration dieser Gleichung kann man r(t) berechnen. Hier interessiert aber die geometrische Bahnkurve 

r(ϕ). Diese lässt sich berechnen, wenn man mit Hilfe von (12.1.13) dt durch dt = mr2 

l 

· dϕ ersetzt: 

mr 2 

· dϕ = ± √ 

l 

Diese Gleichung lässt sich einfach integrieren und man erhält: 

ϕ(r) = ϕ(r 0 ) ± l ∫ r 

m · 1 

r ′2 · 

r 0 

dr 

2 

m · [E 

− V (r) − 

√ 

] (12.1.15) 

l2 

2mr 2 

dr ′ 

2 

m · [E ] (12.1.16) 

− V (r ′ ) − 

l2 

2mr ′2 

Um nun den Streuwinkel zu berechnen betrachtet man die folgende Abb. 12.3, die das Perihel der Bahnkurve 

zeigt (=Punkt des geringsten Abstandes zum Streuzentrum). 

Perihel = Punkt des kleinsten Abstandes 

r zum Streuzentrum 

min 

π−ϕ min 

π−ϕ min 

θ 

r min ϕ 

min=ϕ( 

r 

min) 

Streuzentrum 

Abb. 12.3: Perihel der Bahnkurve des gestreuten Teilchens 



Im Perihel liegt ein Minimum des Abstandes r(t) vor. Also gilt dort auch dr 

dt 

= ṙ = 0. Setzt man dies in 

die Energieerhaltungsgleichung (12.1.12) ein, so kann man den minimalen Abstand r min in Abhängigkeit vom 

Strahlparameter b berechnen: 

E = mv2 0 

2 

= l2 

2mr 2 + V (r) 

Laut (12.1.13) gilt weiter l = mbv 0 und damit erhält man dann folgende Gleichung (12.1.17), woraus man r min (b) 

berechnen kann. 

E − V (r min ) = mv2 0 

2 

· 

b 2 

r 2 min 

= E · 

b 2 

r 2 min 

. (12.1.17) 

Aus der Symmetrie der Bahnkurve kann man nun den Streuwinkel θ berechnen (siehe Abb. 12.3). Es gilt: 

θ = π − 2 · (π − ϕ min ) = 2ϕ min − π (12.1.18) 

Führt man nun die Ergebnisse (12.1.18) und (12.1.16) zusammen, so ergibt sich: 

π − ϕ min = ϕ min − θ = ϕ(r min ) − ϕ(r ∞ ) = l m 


θ(b) = π − 2 · (π − ϕ min ) = 

(12.1.19) π − 2 · bv 0 

Diese Ergebnisse lassen sich zusammenfassen: 

∫ ∞ 

r min(b) 

1 

r ′2 · 

∫ ∞ 

r min 

1 

r ′2 · 

√ 

dr ′ 

2 

m · [E ] (12.1.19) 

− V (r ′ ) − 

l2 

2mr ′2 

dr ′ 

√ [ 

] = 

v0 2 · 1 − V (r′ ) 

E 

− b2 

r ′2 

= π − 2 · 

∫ ∞ 

r min(b) 

1 

r ′ · 

√ 

r ′2 

b 2 [ 

dr ′ 

1 − V (r′ ) 

E 

] 

− 1 

Satz 12.1 (Streuwinkel bei Potentialstreuung) Der Streuwinkel θ(b) in Abhängigkeit des Strahlparameters b 

bei der Streuung am radialsymmetrischen Potential V (r) ergibt sich zu: 

θ(b) = π − 2 · 

∫ ∞ 

r min(b) 

1 

r · 

√ 

r 2 

b 2 [ 

dr 

1 − V (r) 

E 

] 

− 1 

(12.1.20) 

Der minimale Abstand r min (b) vom Streuzentrum ergibt sich aus (12.1.17). Aus diesem Ergebnis lässt sich dann 

mit (12.1.11) der differentielle Wirkungsquerschnitt dσ 

dΩ berechnen: 

12.1.3 Rutherford-Streuung 

dσ 

dΩ = 

b 

sin θ · 

db 

∣dθ 

∣ 

Bei der Rutherford-Streuung betrachtet man die Streuung an einem Coulomb-Potential 

V (r) = − 4π 

ɛ 0 

· Q 

r = −k r , 

k = 4πQ 

ɛ 0 

(12.1.21) 

Ernest Rutherford streute 1906 α-Teilchen an einer dünnen Gold-Folie. So konnte er zeigen, dass die Gold-Atome 

fast ausschließlich aus leerem Raum bestehen und keine harten Kugeln sind. Diese Voraussetzungen setzt man nun 

in (12.1.20) ein und nutzt die folgende Substitution: 

u := 1 r , 

du 

dr = − 1 r 2 ⇒ dr = −r 2 du = − 1 du (12.1.22) 

u2 c○ 2004-2007 by Jan Krieger (http://www.jkrieger.de/) – 110 –


Somit erhält man: 

θ = π − 2 

= π − 2 

∫ ∞ 

r min(b) 

∫ ∞ 

r min(b) 

= π − 2 · arccos 

( ) π − θ 

⇒ cos = 

2 

u 

u 2 · 

√ 

du 

[ ] = π − 2 

1 

b 2 u 1 + 

ku 

2 E − 1 

∫ ∞ 

r min(b) 

1 

u · 

k 

du 

√ 

= π − 2 · arccos √ b2 E − 2u = 

1 

b 

+ k 

2 b 2 E u − u2 k 2 

b 4 E 

+ 4 2 b 2 

2 

b 

√ 2ax+b 

b2 

verwendet. Dies lässt sich weiter um- 

−4ac 

Hier wurde das tabellierte Integral ∫ 

wandeln und man erhält: 

Dabei gilt p := 2E k 

k 

b 2 E − 2 r 

√ 

1 + k2 

4b 2 E 2 

= π − 2 · arccos 

k 

√ 2bE − 1 br 

1 + k2 

4b 2 E 2 

du 

√ 

= 

1 

b 2 u 

+ k 

2 b 2 uE − 1 

k 

√ 2bE − 1 br 

1 + k2 

4b 2 E 2 (12.1.23) 

dx √ 

ax2 +bx+c = 1 √ −a · arccos 

1 

r = 1 [ 

p · 1 − ɛ · cos 

( )] π − θ 

2 

= 1 [ 

p · 1 − ɛ · sin θ ] 

2 

√ 

und ɛ := 1 + 4b2 E 2 

. Aus (12.1.24) erhält man weiter: 

k 2 

sin θ 2 = 1 − p r 

ɛ 

Dies kann man nun nach b auflösen und erhält: 

b = 

1 

= 

r→∞ ɛ = 1 

√ 

1 + ( 2Eb 

k 

2E · cot θ 2 

k 

(12.1.24) 

) 2 

(12.1.25) 

(12.1.26) 

Damit sind alle Ergebnisse zur Berechnung der differentiellen Wirkungsquerschnittes bekannt und man kann einfach 

in (12.1.11) einsetzen und erhält nach einigen Umformungen die Rutherford’sche Streuformel: 

dσ 

dΩ = 1 ( ) 2 k 

4 · · 

2E 

1 

sin 4 θ 2 

(12.1.27) 

Die folgende Abb. 12.4 zeigt diesen differentiellen Wirkungsquerschnitt. Es ist noch wichtig zu bemerken, dass der 

zugehörige totale Wirkungsquerschnitt unendlich wird. Dies liegt an der unendlichen Reichweite des Potentials, 

das dazu führt, dass auch Teilchen mit einem riesigen (beliebigen) Stoßparameter b gestreut werden. 

dσ 

1 k 

d 4 4 E 2 

Ω [ ] 

10 12 

10 10 

10 8 

10 6 

10000 

100 

1 

3 2 1 0 1 2 3 

θ 

Abb. 12.4: Differentieller Rutherford-Streuquerschnitt 

12.1.4 Historische Bemerkung: Atommodelle 

Im Kapitel 10 wurde das Wasserstoffatom als Proton beschrieben, das von einem Elektron „umkreist“ wird. Dies ist 

das heute immer noch gültige und sehr gut bestätigte Atommodell. Aus historischer Sicht hat sicher der Begriff des 

Atoms aber anders entwickelt. Der Name leitet sich vom Altgriechischen ατoµoς (=àtomos, unteilbare (Materie)) 

her. 



Um 400 vor Christi schlug der griechische Philosoph Demokrit als erster vor, dass die Welt aus unteilbaren Grundeinheiten, 

den Atomen besteht. Dies blieb aber eher unbeachtet und bis in die Neuzeit galt die Vorstellung, dass 

sich Materie aus den Grundelementen Feuer, Erde Wasser und Luft zusammensetzt. Erst um 1803 wurde Demokrits 

Atomtheorie wieder aufgegriffen. Der englische Chemiker John Dalton schloss aus konstanten Mengenverhältnissen 

der Pro- und Edukte bei chemischen Reaktionen auf die Existenz von kleinsten Materiebausteinen. 

Ende des 19. Jahrhunderts fanden sich dann immer mehr Hinweise für die Atomtheorie, so konnte J. J. Thomson 

1 um 1897 bei Versuchen mit Vakuumröhren zeigen, dass die dortigen Strahlen aus kleinen Teilchen negativer 

Ladung bestanden, den sog. Elektronen [Thomson 1897]. Er entwickelte daraus das sog. Rosinenkuchen-Modell, 

wonach Atome aus einer homogenen Massenverteilung bestehen, die homogen positiv geladen ist. Darin sind 

Elektronen frei beweglich. Die Gesamtladung addiert sich so zu null. Um 1900 konnte dann Ludwig Boltzmann, 

ausgehend von der Existenz von Atomen, die er als harte Kugeln annahm einige Eigenschaften von idealen Gasen 

ableiten, was die Atomtheorie weiter erhärtete, da sich aus ihr nun mit wenigen Grundannahmen bekannte 

Gesetzmäßigkeiten ableiten ließen. 

Thomsons Atommodell wurde dann 1906 von Ernest Rutherford 2 widerlegt, der mit seinem Streuversuch zeigen 

konnte, dass Atome fast nur aus „leerem Raum“ bestanden. Die Unterscheidung zwischen den Beiden Modellen 

erfolgt nach einem einfachen Prinzip: Im Thomson-Modell sind die Atome harte Kugel mit homogener Massenverteilung. 

Streuung an diesen Atomen führt auch bei dünnen Schichten zu einem random walk der gestreuten 

Teilchen, also zu einer Gauß-Verteilung nach der streuenden Schicht. Im Gegensatz dazu konnte Rutherford aber 

eine der Formel (12.1.27) entsprechende Verteilung messen, was die Thomson-These wiederlegte. Die folgende 

Abb. 12.5 zeigt den Unterschied nochmals. Rutherford bestrahlte in seinem Versuch eine dünne Goldfolie mit 

α-Strahlen aus einem entsprechenden Präparat. 

Thomson-Streuung: 

Rutherford-Streuung: 

Rutherford-Versuch: 

_ 

+ 

+ 

_ 

α-Strahler 

Gold-Folie 

Szintillator+ 

Objektiv 

Abb. 12.5: Vergleich von Thomson- und Rutherford-Atommodell, Rutherford’s Streuversuch 

12.2 Quantenmechanische Streutheorie 

1 Joseph John Thomson (1856-1940): Ingenieursstudium am Owens College, später Trinity College und dort ab 1884 Cavendish-Professur für 

Physik, erhielt 1906 den Nobelpreis für seine Forschung über die elektrische Leitfähigkeit von Gasen, 1908 Ritter-Schlag und 1912 Order 

of Merrit, Liegt in der Westminster Abbey in der Nähe von Sir Isaac Newton begraben. 

2 Sir Ernest Rutherford, 1. Baron Rutherford of Nelson (1871-1937): neuseeländischer, in England wissenschaftlich arbeitender Atomphysiker, 

1908 Nobelpreis für Chemie, 1914 Ritterschlag, seit 1931 Baron Rutherford of Nelson. Zu seinen Ehren ist das Element 104 Rutherfordium 

benannt, außerdem heißt ein Asteroid (1249) Rutherfordia. 


13 Elektromagnetische 

Wechselwirkung 

13.1 Der Hamilton-Operator 

Ein Teilchen der Masse m und der Ladung q befinde sich in einem elektromagnetischen Feld, das durch die 

skalare Potential Φ(⃗x, t) und das Vektorpotential A(⃗x, ⃗ t) beschrieben wird. Für ein solches System erhält man in 

der Elektrodynamik die folgende Hamilton-Funktion: 

H = − 1 

2m 

( 

⃗p − e c ⃗ A(⃗x, t)) 2 

+ q · Φ(⃗x, t) (13.1.1) 

Über das Korespondenprinzip kann man daraus den entsprechenden Hamilton-Operator ableiten. Mit einem (noch 

zu bestimmenden) Operator ˆ⃗ A für das Vektorpotential ergibt sich: 

Ĥ = 1 

2m 

(ˆ⃗P 

e 

2 

1 

( 

− 

ˆ⃗A(⃗x, t)) 

+ q · Φ(⃗x, t) = − i∇ c 

2m 

⃗ − e ) 2 

ˆ⃗A(⃗x, t) + q · Φ(⃗x, t) (13.1.2) 

c 

Daraus erhält man durch Verwendung der Coulomb-Eichung ⃗ ∇ · ⃗A = 0 und Ausmultiplizieren: 

Ĥ = 1 [ 

− 2 ∇ ⃗ 2 − ie ( ) ] 

⃗∇ · ˆ⃗A − ˆ⃗A · ∇ ⃗ + e2 2 ˆ⃗A 

2m 

c 

c 2 + q · Φ = 

Diese Gleichung gilt unter der Coulomb-Eichung in voller Allgemeinheit. 

= − 2 

∇ 

2m ⃗ 2 + ie A 

2mc ⃗ · ⃗∇ + 

e2 ˆ⃗A 2 

2mc 2 + q · Φ (13.1.3) 

konstantes Magnetfeld: Nun soll der Fall eines Konstanten Magnetfeldes B ⃗ = B z · ⃗e z in z-Richtung diskutiert 

werden. Dafür schreibt sich das Vektorpotential als: 

⃗A = − 1 ( 

⃗x × B 

2 

⃗ ) 

. (13.1.4) 

Für diesen Spezialfall sollen nun die Terme in der Schrödingergleichung Ĥψ = Eψ (mit (13.1.3)) untersucht 

werden: 

ie 

A 

2mc ⃗ · ⃗∇ψ = − 1 2 · ie 

( 

⃗x × B 

2mc 

⃗ ) 

· ⃗∇ψ = − ie ( 

⃗x × ∇ 

4mc 

⃗ ) 

· ⃗Bψ = − e ˆ⃗L · 

4mc 

⃗Bψ = − eB z 

4mc ˆL z ψ (13.1.5a) 

Dabei tritt der Drehimpulsoperator ˆ⃗ L auf. Weiter gilt: 

e 2 

2mc ⃗ 2 A 2 ψ = 1 4 · e 2 ( 

2mc 2 ⃗x × B ⃗ ) 2 e 2 ( 

ψ = 

8mc 2 ⃗x 2 B ⃗ 2 − (⃗x · ⃗B) 2) ψ = 

= e2 

8mc 2 ( 

(x 2 + y 2 + z 2 )B 2 z − (zB z ) 2) ψ = e2 B 2 z 

8mc 2 (x2 + y 2 )ψ 

(13.1.5b) 

Für das Wasserstoffatom kann man zeigen, dass üblicherweise der Term (13.1.5b) gegenüber (13.1.5a) vernachlässigbar 

ist. In diese Abschätzung gehen die Ergebnisse des Kapitels 10 ein (Bahnradius a 0 , Drehimpuls m 

...). 

13.2 Eichtransformationen und Schrödingergleichung 

In der Elektrodynamik erhält man folgenden Ausdruck für die Lorentz-Kraft auf ein Teilchen der Masse m und 

Ladung q, in einem Magnetfeld B ⃗ und einem elektrischen Feld E: ⃗ 

⃗F Lorentz = m¨⃗x = e ( ) 

˙⃗x × B ⃗ + qE c 

⃗ (13.2.1) 

113

13 Elektromagnetische Wechselwirkung 

Diese Kraft bestimmt im klassischen Fall die Bewegung des Teilchens im EM-Feld. In der quantenmechanischen 

Sicht wird diese Bewegung durch eine Schrödingergleichung mit dem Hamiltonian aus (13.1.2) beschrieben: 

{ 

− 1 ( 

i∇ 2m 

⃗ − e A(⃗x, 

c ⃗ ) } 

2 

t) + q · Φ(⃗x, t) ψ(⃗x, t) = i ∂ ψ(⃗x, t) (13.2.2) 

∂t 

In dieser Gleichung tritt im Unterschied zu (13.2.1) das Vektorpotential ⃗ A auf. Es stellt sich nun die Frage, welche 

Auswirkung eine Eichtransformation der Potentiale auf die Wellenfunktion hat. Es gilt nun folgender Satz: 

Satz 13.1 (Transformation der Wellenfunktion unter Eichtransformationen) Man betrachte die Schrödingergleichung 

eines Teilchens (Ladung q, Masse m) in einem EM-Feld. Dann betrachte man die folgenden 

Eichtransformationen der Potentiale, die das Feld beschreiben: 

⃗A → ⃗ A ′ = ⃗ A + ⃗ ∇Λ, 

Φ → Φ ′ = Φ − 1 c · ∂Λ 

∂t 

(13.2.3) 

Für die Wellenfunktion ergibt sich nur ein zusätzlicher Phasenfaktor: 

[ ] iq 

ψ(⃗x, t) → ψ ′ (⃗x, t) = exp 

c Λ(⃗x, t) · ψ(⃗x, t). (13.2.4) 

Üblicherweise ist die Phase einer komplexen Wellenfunktion nicht messbar, da immer nur das Betragsquadrat 

physikalisch sichtbar wird. In Interferenzexperimenten ist dies aber anders. Man kann sich etwa vorstellen, dass 

ein Vektorpotential ⃗ A vorliegt, das kein Magnetfeld ergibt (z.B. ein radial verlaufendes ⃗ A ∝ ⃗r). Dieses ist dann 

klassisch nicht messbar. Führt man allerdings ein Interferenzexperiment in diesem Potential durch, so kann eine 

Änderung des Potentials zu einer Änderung der Interferenz führen. Ein Beispiel hierfür ist der Aharonov-Bohm- 

Effekt: 

A0 

Weg 1 

Weg 2 

B0 

B0 

_ 

e -Quelle 

Doppelspalt abgeschirmte 

Spule 

Beobachtungsschirm 

Abb. 13.1: Versuchsaufbau zum Aharonov-Bohm-Effekt. Das ⃗ B-Feld ist nur innerhalb der blauen Spule verschieden 0. 

Außerhalb liegt aber ein (klassisch nicht messbares) radiales Vektorpotential ⃗ A vor. 

Je nach Position der Spule und damit Zentrum des radialen Potentials ⃗ A sammeln die zwei Wege 1 und 2 

unterschiedliche Phasen auf. Diese hängen vom Potential über die Eichtransformationen ab. Man kann nämlich 

⃗B = 0 durch zwei Situationen erreichen: 

Diese hängen aber über eine Eichtrafo zusammen: 

⃗A = 0 und ⃗ A ′ ∝ ⃗r 

⃗A ′ = ⃗ A + ⃗ ∇χ = ⃗ ∇χ 

Die Wellenfunktion sammelt eine Phase auf, die von χ abhängt, das nun aus ⃗ A ′ berechnet werden kann: 

χ(⃗x, t) = 

∫ x 1 

x 0 

⃗ A ′ (⃗x ′ , t) d⃗x ′ 

Damit wird also das Vektorpotential ⃗ A direkt messbar. Die Interferenz ändert sich nun z.B. wenn man die Spule 

verschiebt oder das Magnetfeld in ihr ein- und ausschaltet. In klassischer Betrachtung sollte das Magnetfeld 

natürlich keinen Einfluss auf das Interferenzexperiment haben. 



13.3 Der Zeeman-Effekt 

13.3.1 Der normale Zeeman-Effekt 

Bei normalen Zeeman-Effekt bewegt sich ein Atom (hier Wasserstoff) in einem konstanten Magnetfeld, das o.B.d.A. 

in z-Richtung ausgerichtet ist. Der Hamilton-Operator des Gesamtsystems lautet dann: 

Ĥ = ĤAtom + ĤZeeman = ĤAtom − eB z 

2mc ˆL z (13.3.1) 

Dabei wurde die allgemeine Form (13.1.3) des Hamilton-Operators verwendet. Der A ⃗2 -Term wurde vernachlässigt 

(siehe Abschnitt 13.1) und das elektrische Feld auf Φ = 0 gesetzt. Man erkennt sofort, dass die Eigenfunktionen 

|n, l, m l 〉 zu ĤAtom auch Eigenfunktionen zu Ĥ sind. Es ändern sich aber die Energieeigenwerte: 

E ′ nlm l 

= E nl − eB z 

2m e 

m l = µ B 

· m l = E nl − ω L m l (13.3.2) 

Dabei ist ω L = eBz 

2m e 

die Lamorfrequenz des Elektrons und µ B = 9.274015 · 10 −24 J T 

das Bohrsche Magneton. 

Dies führt also dazu, dass die Entartung des Eigenwertes l aufgehoben wird. Die folgende Abb. 13.2 verdeutlicht 

dies. 

l=2 

m=2 l 

m=1 l 

m=0 l 

m l=-1 

m l=-2 

l=1 

L 

m=1 l 

m=0 l 

m l=-1 

Abb. 13.2: Aufhebung der Entartung beim normalen Zeeman-Effekt 

13.3.2 Annomaler Zeeman-Effekt der Feinstruktur 

Ein Magnetfeld kann an beliebige magnetische Momente in Atomen koppeln, also nicht nur an das magnetische 

Moment des Bahndrehimpulses ˆ⃗ L, für die relativ große Feldstärken nötig sind, wenn nur sie beobachtet werden 

soll. Eine Kopplung kann auch an den Drehimpuls ⃗ J = ⃗ L + ⃗ S der Feinstrukturzustände erfolgen. Die Aufspaltung 

ist dann proportional zu m J = −J..J. Hierbei ist zu beachten, dass das Elektron ein gyromagnetisches Moment 

g s von etwa 2 besitzt. Damit gilt dann für das magnetische Moment: 

⃗µ J = − e 

2m e 

(ˆ⃗ L + gsˆ⃗S) 

Ohne externes Magnetfeld ist ⃗ J räumlich konstant. Damit muss das magnetische Moment ⃗µ J um die Richtung von 

⃗J präzedieren und man erhält sein zeitliches Mittel über viele Präzessionsperioden als Projektion auf ⃗ J: 

〈⃗µ J 〉 t 

= ⃗µ J · ˆ⃗ J 

J 

= − 2 (ˆ⃗L 

2m e J · · ˆ⃗J + gs · ˆ⃗ 

) 

S · ˆ⃗J 

Die Beiden Skalarprodukte lassen sich aus J ⃗2 = ( L ⃗ + S) ⃗ 2 = L ⃗ 2 + S ⃗2 + 2L ⃗ · ⃗S berechnen: 

ˆ⃗L · ˆ⃗ 1 J = 

(ˆ⃗J 2 + ˆ⃗ L 2 − ˆ⃗ ) S 

2 

= 1 [J(J + 1) + L(L + 1) − S(S + 1)] 

2 

2 

ˆ⃗S · ˆ⃗ 1 J = [J(J + 1) − L(L + 1) + S(S + 1)] 

2 

Im letzten Ausdruck wurden die Mittelwerte der Operatoren eingesetzt. Setzt man dies in den Ausdruck für 〈⃗µ J 〉 t 

ein, so erhält man: 

〈⃗µ J 〉 t 

= −m J · g j ˙µ B , mit g j = 1 + 

J(J + 1) + S(S + 1) − L(L + 1) 

2J(J + 1) 

(13.3.3) 

Der Ausdruck g j heißt Landé-Faktor; er zeichnet den annomalen Zeeman-Effekt aus. Nun erhält man leicht die 

Auspaltung der Energieniveaus zu: 

Dies nennt man annomalen Zeeman-Effekt. 

∆E mJ ,m J−1 

= − 〈⃗µ J 〉 t · ⃗B = g j · µ B · B = (13.3.4) 



13.3.3 Zeeman-Effekt der Hyperfeinstruktur 

Es finden sich einige Quellen zum Thema 1 [Gehm 2003, Günter 2004]. Man interessiert sich für die Zeeman- 

Aufspaltung eines Hyperfeinstruktur-Zustandes. Dieser wird durch einen Satz von Quantenzahlen definiert (siehe 

Abb. 13.3). 

Elektron im 

Potential 

Feinstruktur Hyperfeinstruktur HFS-Zeeman-Effekt 

l < n 

m l=-l ... l 

n=4 

n=3 

n=2 

n=1 

J = |L-S| ... |L+S| 

F = |J-I| ... |J+I| 

2 

F=3 

3 P 3/2 

F=2 

F=1 

F=0 

2 

3 P 1/2 

m F = -F ... F 

Na: I=3/2, S=1/2 

Abb. 13.3: HFS-Zeeman-Aufspaltung 

Für die Aufspaltung der Hyperfeinstruktur gilt: 

∆E HFS = A HFS 

[ ] 

F (F + 1) − J(J + 1) − I(I + 1) 

2 

(13.3.5) 

Dabei ist ⃗ J = ⃗ L + ⃗ S und der hintere Term entspricht ⃗ J · ⃗I, also der Kopplung des Hüllendrehmoments an das 

Kernmoment. Die Konstante A HFS ist tabelliert und kann auch numerisch über das Magnetfeld am Ort des Kernes 

berechnet werden. Die verschiedenen Hyperfein-Zustände können in unterschiedlichen Basen betrachtet werden: 

{|L, S, J, m J , I, m I 〉} = {|J, m J , I, m I 〉} (13.3.6) 

{|L, S, J, I, F, m F 〉} = {|F, m F 〉} (13.3.7) 

Beim Zeeman-Effekt fügt man zum „normalen“ Hamiltonian des Atoms (und dem HFS-Hamiltonian) einen 

Störterm ĤZ hinzu (o.B.d.A.: B ⃗ = B · ⃗e z ): 

Ĥ = ĤAtom + ĤHFS + ĤZ = ĤAtom + ĤHFS + µ B 

(g 

· s Ŝ z + ˆL 

) 

z · B z + µ K 

g IÎz · B z (13.3.8) 

Im folgenden sollen nun die Eigenwerte dieses Operators bestimmt werden. Dazu sucht man eine (Matrix)- 

Darstellung in der {|F, m F 〉}-Basis und diagonalisiert diese Matrix (numerisch). Zuerst lässt man den Operator 

Ĥ Atom außer Acht, weil hier nur die Aufspaltung der Zustände interessiert. Der Operator ĤHFS ist in der {|F, m F 〉}- 

Basis diagonal und es gilt: 

(ĤHFS) |F,mF 〉 = 

⎛ 

⎞ 

〈3, −3|ĤHFS|3, −3〉 0 

. .. 〈3, 3|ĤHFS|3, 3〉 

, 

〈2, −2|ĤHFS|2, −2〉 

⎜ 

. 

⎝ 

.. 

⎟ 

⎠ 

0 〈0, 0|ĤHFS|0, 0〉 

A HFS 

[ ] 

mit 〈F, m F |ĤHFS|F, m F 〉 = F (F + 1) − J(J + 1) − I(I + 1) (13.3.9) 

(13.3.5) 2 

In der Basis {|J, m J , I, m I 〉} lässt sich der Operator ĤZ auf Diagonalform bringen: 

∆E Z (B, m J , m I ) = 〈J, m J , I, m I |ĤZ|J, m J , I, m I 〉 = 

(13.3.8) 

m J · g J · µ B · B + m I · g I · µ K · B (13.3.10) 

1 gute Quelle im Netz (incl. Mathematica-Code): http://www.physics.umd.edu/courses/Phys721/Fall2005/ 

lecture18.pdf 



Dabei ist g j der Hüllen-Landé-Faktor 

g J = 1 + 

j(j + 1) + s(s + 1) + l(l + 1) 

, (13.3.11) 

2j(j + 1) 

g I der Kern-Landé-Faktor, der z.B. für Natrium zu g I = −0.0008046108(8) bestimmt wurde und µ K = 5.05078343(43)· 

10 −27 J T das Kern-Magneton. Werte für g J können mit (13.3.11) berechnet werden. Nun muss man den Zeeman- 

Operator ebenfalls in die {|F, m F 〉}-Basis überführen. Somit hat man dann zwei Matritzen in der selben Basis, 

die addiert und danach diagonalisiert werden können. Zur Umrechnung der Basen nutzt man im Endeffekt die 

Clebsch-Gordon-Koeffizienten. Das sieht man so ein: 

〈F ′ , m ′ F |ĤZ|F, m F 〉 = 〈F ′ , m ′ F | 

= ∑ m ′ J 

J∑ 

I∑ 

m J =−J m I =−I 

∑ 

〈F ′ , m ′ F |J ′ , m ′ J, I ′ , m ′ I〉 · ∑ ∑ 

m ′ I 

= ∑ m J 

∑ 

m J 

Ĥ Z |J, m J , I, m I 〉〈J, m J , I, m I |F, m F 〉 = 

} {{ } 

CG-Koeffizient 

m I 

〈J ′ , m ′ J, I ′ , m ′ I|ĤZ|J, m J , I, m I 〉 · 〈J, m J , I, m I |F, m F 〉 = 

〈F ′ , m ′ F |J, m J , I, m I 〉 · 〈J, m J , I, m I |ĤZ|J, m J , I, m I 〉 · 〈J, m J , I, m I |F, m F 〉 = 

m I 

∑ ∑ 

= 〈F ′ , m ′ F |J, m J , I, m I 〉 · ∆E Z (B, m J , m I ) · 〈J, m J , I, m I |F, m F 〉 (13.3.12) 

(13.3.10) 

m I 

m J 

Zwei Summationen fielen dabei weg, weil der Ausdruck ∆E Z (B, m J , m I ) = 〈J, m J , I, m I |ĤZ|J, m J , I, m I 〉 

aus (13.3.10) diagonal in der {|J, m J , I, m I 〉}-Basis ist. Somit kann man nun auch die Matrix des Zeeman- 

Operators ĤZ in der {|F, m F 〉}-Basis hinschreiben. 

Die so erhaltene Matrix-Darstellung kann man nun z.B. mit Mathematica diagonalisieren, also die Eigenwerte 

bestimmen. In Abb. 13.4-Abb. 13.7 sind einige Ergebnisse für Natrium und Lithium gezeigt. Man beobachtet, dass 

die Niveaus sich für große Magnetfelder den Niveaus des Feinstruktur-Zeeman-Effektes annähern (Abknicken der 

Energieniveaus). Man nennt dies den Übergang vom Zeeman- ins Pachen-Back-Regime. 

75 

50 

∆E [MHz] 

Na(I=3/2): 

2 

S 1/2 

B [G] 

25 

F=2 

10 20 30 40 50 

-25 

F=1 

-50 

-75 

Abb. 13.4: Zeeman-Aufspaltung des 3 2 S 1/2 -Zustandes von Natrium, berechnet mit Mathematica nach den obigen Formeln. 

Die für das Kühlen wichtigen Niveaus (F = 2, m F = ±2) sind fett eingezeichnet. 



∆E [MHz] 

750 

2 

Na(I=3/2): 3 P 3/2 

500 

250 

F=3 

F=2 

F=1 

F=0 

B [G] 

50 100 150 200 

-250 

-500 

-750 

200 

100 

∆E [MHz] 

F=3 

F=2 

F=1 

F=0 

10 20 30 40 50 

B [G] 

-100 

-200 

Abb. 13.5: Zeeman-Aufspaltung des 3 2 P 3/2 -Zustandes von Natrium, berechnet mit Mathematica nach den obigen Formeln. 

Die für das Kühlen wichtigen Niveaus (F = 3, m F = ±3) sind fett eingezeichnet. 

300 

∆E [MHz] 

200 

Li(I=1): 

2 

S 1/2 

B [G] 

100 

F=3/2 

20 40 60 80 100 120 140 

-100 

F=1/2 

-200 

-300 

Abb. 13.6: Zeeman-Aufspaltung des 2 2 S 1/2 -Zustandes von Lithium, berechnet mit Mathematica nach den obigen Formeln. 

Die für das Kühlen wichtigen Niveaus (F = 5/2, m F = ±5/2) sind fett eingezeichnet. 



∆E [MHz] 

40 

2 

Li(I=1): P 3/2 

B [G] 

20 

F=1/2 

F=3/2 

F=5/2 

2 4 6 8 10 

-20 

-40 

∆E [MHz] 

15 

10 

F=1/2 

F=3/2 

F=5/2 

5 

1 2 3 4 

B [G] 

-5 

-10 

-15 

Abb. 13.7: Zeeman-Aufspaltung des 2 2 P 3/2 -Zustandes von Lithium, berechnet mit Mathematica nach den obigen Formeln. 

Die für das Kühlen wichtigen Niveaus (F = 3/2, m F = ±3/2) sind fett eingezeichnet. 

13.4 Landau-Niveaus 

13.4.1 Quantisierung der Bewegung im konstanten Magnetfeld 

Man betrachte eine einfache Situation: Ein Teilchen der Masse µ und der Ladung q befindet sich in einem homogenen 

Magnetfeld B(⃗r) ⃗ = (0, 0, B), das nur eine Komponente in z-Richtung aufweist. 

Ein beliebiges Magnetfeld B(⃗r) ⃗ kann mithilfe des Vektorpotentials A(⃗r) ⃗ ausgedrückt werden. Für dieses Vektorpotential 

gilt: 

∣ ⎛ 

⎞ 

⃗B(⃗r) = ∇ ⃗ × A(⃗r) ⃗ ⃗e x ⃗e y ⃗e z ∣∣∣∣∣ ∂A z /∂y − ∂A y /∂z 

= 

∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z = ⎝∂A x /∂z − ∂A z /∂x⎠ (13.4.1) 

∣ A x A y A z ∂A y /∂x − ∂A x /∂y 

Damit ist das Magnetfeld bis auf eine additive Funktion grad φ(⃗r) festgelegt. DIe Funktion φ(⃗r) wird durch die 

sog. Eichung festgelegt. Für ein homogenes Magnetfeld kann man z.B. das folgende Potential verwenden: 

⃗A(⃗r) = − ⃗r × B ⃗ , B ⃗ = const. (13.4.2) 

2 

Man kann das Koordinatensystem immer so wählen, dass ein solches homogenes Feld parallel zur z-Achse ist. 

Darum kann man wie oben B(⃗r) ⃗ = (0, 0, B) schreiben und erhält: 

⎛ 

⃗A(⃗r) = B ⎝ −y 

⎞ 

⎛ 

x ⎠ oder A(⃗r) ⃗ = B ⎝ 0 ⎞ 

x⎠ (13.4.3) 

2 

0 

0 

Die Zweite Möglichkeit in (13.4.3) ist einfacher und wird deswegen im Folgenden verwendet. Die Hamilton- 

Funktion des Systems ergibt sich dann als: 

H(⃗r, ⃗p) = 1 [ ] 

⃗p − q · A(⃗r) ⃗ 2 1 [ 

= p 

2 

2µ 

2µ x + (p y − qBx) 2 + p 2 1 

z] 

= 

2 µ⃗ V 2 (13.4.4) 



Hierbei wurde die Funktion 

⃗V = 1 µ 

⎛ 

⎞ 

[ ] p 

⃗p − qA(⃗r) ⃗ 

1 

x 

= ⎝p y − q · B · x⎠ (13.4.5) 

µ 

definiert. Ersetzt man in (13.4.4) und (13.4.5) die Orts- und Impulsvariablen durch die entsrpechenden quantenmechanischen 

Operatoren, so erhält man den Hamilton-Operator des Problems. Aus der klassichen Behandlung weiß 

man, dass sie Lösung des Problems eine Spiralbewegung in z-Richtung ist. Darum ist es sinnvoll (was sich in den 

späteren Rechnungen auch zeigen wird), die folgende Aufteilung des Hamilton-Operators vorzunehmen: 

p z 

Ĥ = Ĥ⊥ + Ĥ‖, mit: Ĥ ⊥ = µ 2 

( ˆV2 x + ˆV 2 y) 

, Ĥ‖ = µ 2 ˆV 2 z (13.4.6) 

Man erhält für den „Geschwindigkeitsoperator“ ˆṼ folgende Vertauschungsrelation: 

[ ˆV x , ˆV y ] = 1 ([ˆP 

µ 2 x , ˆP y ] − qB · [ˆP x , ˆX] 

) 

= i qB 

µ 2 = −i · ω c 

µ . (13.4.7) 

Dabei wurde die Zyklotronfrequenz ω c = − q·B µ 

eingesetzt. Desweiteren sieht man in (13.4.5) leicht, dass 

[ ˆV x , ˆV z ] = [ ˆV y , ˆV z ] = 0 (13.4.8) 

Damit vertauschen auch Ĥ⊥ und Ĥ‖ miteinander und es gibt eine Basis von gemeinsamen Eigenvektoren zu Ĥ⊥ 

und Ĥ‖. 

Es gilt folgende Vertauschungsrelation: 

µ · [Ẑ, ˆV z ] = [µ · Ẑ, ˆP z ] = i. (13.4.9) 

Damit ist ein Satz aus 2.5 anwendbar und wir können schließen, dass alle Zahlen v z ∈ R Eigenwerte von ˆV z sind. 

Nach (13.4.6) sind weiterhin alle Eigenvektoren von ˆV z ebenfalls Eigenvektoren zu Ĥ‖. Die Eigenwerte E ‖ von 

Ĥ ‖ können damit in folgender Form geschrieben werden: 

E ‖ = µ 2 v2 z (13.4.10) 

Damit beschreibt also Ĥ‖, in Analogie zur klassischen Mechanik die freie Propagation eines Teilchens in z- 

Richtung. 

Um die Energieeigenwerte von E ⊥ (und damit die sog. Landau-Niveaus) zu erhalten, führt man folgende Operatoren 

mit ihrer Vertauschungsrelation ein: 

ˆQ = 

√ µ 

ω c 

· ˆV y , Ŝ = 

√ µ 

· 

ω ˆV µ 

x , [ ˆQ, Ŝ] = · [ 

c ω ˆV x , ˆV x ] = i (13.4.11) 

c 

Damit hat dann Ĥ⊥ die Form eines quantenharmonischen Oszillators, der mit Frequenz ω c schwingt. 

Ĥ ⊥ = ω c 

2 

( ˆQ2 + Ŝ2) (13.4.12) 

Damit erhält man aber sofort die selbe Quantelungsbedingung, wie für den harmonischen Oszillator. Damit erhält 

man die Energieeigenwerte des Systems, also die erlaubten Energiewerte zu: 

( 

E(n, v z ) = n + 1 ) 

ω c + µ · v2 z 

, n ∈ N, v z ∈ R (13.4.13) 

2 2 

Diese Niveaus bezeichnet man als Landau-Niveaus. Aufgrund des kontinuierlichen, freien Parameters v z sind die 

Niveaus unendlich fach entartet. In Abb. 13.8 sieht man die erlaubten Energien des Teilchens im transversalen 

Impulsraum (nur p x - und p y -Komponente). Betrachtet man den vollen 3-dimensionalen Impulsraum, so bewegt 

sich das Teilchen auf den sog. Landau-Zylindern. Dabei gilt p r = 

sich das Teilchen auf einer Spiralbahn um das Magnetfeld. 

√ 

p 2 x + p 2 y ∝ 

√ 

n + 1 2 

. Im Ortsraum bewegt 



n=0 

p y 

n=5 

n=4 

n=3 

n=2 

n=1 

erlaubte 

Teilchenbahn 

p x 

B||e z 

Abb. 13.8: Landau-Niveaus: Erlaubte Zustände von Teilchen im transversalen Impulsraum und die Bahn eines Teilchens 

im Ortsraum (Spiralbahn um das Magnetfeld) 

Je nach angelegtem Magnetfeld erhält man für festes v z verschiedene Aufspaltungen. Es gilt nach (13.4.13): 

∆E = ω c = q · B · 

µ 

(13.4.14) 

13.4.2 De Haas-van Alphén-Effekt 

In der Festkörperphysik kann man die Landau-Aufspaltung im Magnetfeld beobachten, wenn man Metalle bei sehr 

tiefen Temperaturen in starken Magnetfeldern untersucht. Dabei werden die Elektronenbahnen der Leitungselektronen 

im Magnetfeld nach Gleichung (13.4.13) quantisiert. Verändert man nun das Magnetfeld, so ergeben sich 

Oszillationen aufgrund der unterschiedlichen Besetzung der Landau-Niveaus. Wir betrachten nur die x-y-Ebene: 

Ein einzelner Elektronenzustand nimmt im ⃗ k-Raum bekannterweise das Volumen (2π/L) 2 ein. Die Fläche eines 

Zustandes obiger Energie ergibt sich aus 2 k 2 

2µ = E n zu (v z -Anteil vernachlässigt): 

S n = πk 2 = 2π · ω c · µ 

 

· 

( 

n + 1 ) 

2 

= 2π · e · B 

 

Daraus erhält man die Anzahl freier Elektronenbahnen in einem Niveau: 

D = 

( 

· n + 1 ) 

. (13.4.15) 

2 

2π · e · B ∝ B. (13.4.16) 

· (2π/L) 

2 

Dabei gehen nur die Niveaus, die zwischen zwei Bahnen (Flächen-Differenz ∆S = 2π·e·B 

 

) liegen in das nächsthöhere 

Niveau ein. Das bedeutet, dass alle Landau-Niveaus mit der gleichen maximalen Anzahl von Elektronen 

besetzt werden können (unabhängig von n!!!). Bei sehr tiefen Temperaturen liegt ein nahezu ideales Fermigas 

vor. Die Elektronen des Gases besetzen alle Zustände bis zur Fermi-Energie E F . Ändert man das Magnetfeld, so 

überstreichen die quantisierten Niveaus die Fermi-Energie-Grenze und es finden Oszillationen der Besetzungszahl 

der Niveaus statt. Da aber die Gesamtenergie mit der Energie auch von der Besetzungszahl der Landau-Niveaus 

abhängt und die Magnetisierung durch µ = −∂U/∂B gegeben ist, oszilliert diese mit dem sich verändernden Magnetfeld. 

Diese Oszillation der Magnetisierung wird De Haas-van Alphén-Effekt genannt. Es ist noch zu beachten, 

dass die Landau-Niveaus im 3-dimensionalen natürlich mit unendlich vielen Elektronen besetzt werden können, 

da die Impulskomponente k z nicht quantisiert ist. 

Indiziert man die Magnetfeldstärken B q , bei denen die Fermi-Energie gerade gleich der Energie des q-ten Niveaus 

ist, so erhält man: 

B q = E F · m 

} {{ 

e 

} 

q = 1 q · B 0 (13.4.17) 

=:B 0 

·1 

Man erhält also eine Zunahme des Abstandes zwischen zwei Resonanzen, bei steigendem angelegten Magnetfeld, 

da die B q mit steigendem q immer dichter liegen und kleiner werden. Die Oszillationen hören auf, sobald das 

angelegte Magnetfeld B > B 1 ist. 


14 Atom-Licht-Wechselwirkung 

14.1 Wechselwirkungs-Hamiltonian 

φ(⃗r, t) = 0 (14.1.1) 

⃗A(⃗r, t) = A 0 ⃗e x e i(kz−ωt) +A ∗ 0⃗e x e −i(kz−ωt) = 2Re {A 0 }⃗e x cos(kz − ωt) (14.1.2) 

Daraus kann man leicht das E- ⃗ und B-Feld ⃗ der EM-Welle berechnen: 

⃗E(⃗r, t) = − ∂ A(⃗r, 

∂t ⃗ t) = −2iωRe {A 0 }⃗e x sin(kz − ωt) = E 0 ⃗e x · cos(kz − ωt) 

Zunächst soll die Herleitung einer Wechselwirkung zwischen einem QM-System (beschrieben durch den Hamiltonian 

Ĥ0) und einer elektromagnetischen Welle behandelt werden. Die Behandlung geht dabei zunächst von den 

allgemeinen Hamiltonians in Abschnitt 13.1 aus. Später wird dann noch ein intuitiver Zugang präsentiert. Beide 

erweisen sich aber als Äquivalent. 

Hier soll die Wechselwirkung eines Atomelektrons mit einem oszillierenden Strah- 

x 

lungsfeld betrachtet werden. Eine elektromagnetische Welle kann man (mit der richtigen 

E || A 

Eichung) immer so darstellen, dass ihr skalares Potential verschwindet. Es gilt dann: 

y 

B 

k 

Abb. 14.1: 

Koordinaten 

der EM-Welle 

z 

⃗B(⃗r, t) = ⃗ ∇ × ⃗ A(⃗r, t) = B 0 ⃗e y · cos(kz − ωt) 

Es handelt sich also um eine, sich in z-Richtung ausbreitende, linear polarisierte EM-Welle. Hier wurden die 

folgenden Konstanten eingeführt: 

E 0 = 2iωRe {A 0 } und B 0 = 2ikRe {A 0 } (14.1.3) 

Der Hamilton-Operator des Atomelektrons in dieser Welle lautet nach (13.1.2): 

Ĥ = 1 

] [ˆ⃗P − q ˆ⃗A(ˆ⃗R, 2 

t) + 

2m 

V (ˆR) 

} {{ } 

Atom-Potential 

− q m 

ˆ⃗ S · ˆ⃗ B(ˆ⃗R, t) 

} {{ } 

e − -Spin WW 

= 

= 

ˆ⃗P 2 

2m + V (ˆR) − q ˆ⃗P · ˆ⃗ q A − 

ˆ⃗S · ˆ⃗ q 2 

B + 

ˆ⃗A 2 

} {{ } } 

m m 

{{ 

2m 

} 

=Ĥ0 Atomoperator 

Die (zeitabhängige) Störung des Atom-Hamiltonian besteht in diesem Modell aus drei Termen: 

=Ŵ(t) Störoperator (14.1.4) 

• Der letzte Term ∝ ˆ⃗ A 2 kann üblicherweise vernachlässigt werden, weil die EM-Felder klein sind. 

• Der Wechselwirkungsterm des Elektronen-Spins mit dem ⃗ B-Feld der EM-Welle kann ebenfalls vernachlässigt 


• Es bleibt der Term q m 

ˆ⃗ P · ˆ⃗ A, mit ⃗ A = 2Re {A0 }⃗e x cos(kz − ωt) Da hier λ = 2π k ≫ a 0 (a 0 ist der Bohr- 

Radius) gelten soll, variiert das EM-Feld nur zeitlich am Ort des Atoms und kann auf der Größenskala eines 

Atoms als räumlich konstant angesehen werden (elektrische Dipolnäherung!!!). Es bleibt also: 

Dabei wurde der Operator ˆ⃗ P = −i ⃗ ∇ bereits auf ⃗ A(⃗r, t) angewendet. 

Ŵ DE (t) = qE 0 

mω sin(ωt)ˆP x (14.1.5) 

Mit Hilfe von (14.1.3) kann man die Größenordnungen der Terme abschätze und damit obige Aussagen begründen: 

Zunächst gilt 

E 0 

B 0 

= ω k = c ⇒ E 0 = c · B 0 ≫ B 0 

122


Dann kann man die beiden Terme ŴI = q m 

ˆ⃗ P · ˆ⃗ A und Ŵ II = q m 

ˆ⃗ S · ˆ⃗ B vergleichen. Dazu beachtet man, dass ˆ⃗S von 

der Größenordnung ist. Es gilt dann mit B 0 ≈ kA 0 : 

Ŵ II 

Ŵ I 

≈ 

q 

m kA 0 

q 

m pA = k 

0 p 

Der Impuls p des Elektron wird durch die Unschärferelation ∆x · ∆p ≥ /2 beschränkt, wenn man davon ausgeht, 

dass sich das Teilchen in einem Gebiet der Größenordnung 2a 0 des Bohr’schen Radius aufhällt. Es gilt dann, dass 

 

p ≈ a 0 gelten muss. Nutzt man noch k = 2π λ 

, so erhält man weiter: 

Ŵ II 

Ŵ I 

≈ a 0 

λ ≪ 1 

Die letzte Abschätzung gilt, weil man Übergänge mit optischen und größeren Wellenlängen (bis hinunter zu einigen 

zehn Nanometer) betrachtet, wohingegen a 0 ≈ 0, 5 nm gilt. 

E-Feld der EM-Welle 

Atom 

2a 0 

Abb. 14.2: zur Erläuterung der Dipolnäherung 

λ 

Matrixelemente des Dipol-Wechselwirkungs-Operator: Den so erhaltenen Dipol-Wechselwirkungsoperator 

kann man mit den Methoden der zeitabhängigen Störungsrechnung behandeln (siege Abschnitt 5.2 und dort besonders 

Unterabschnitt 5.2.4 über Fermi’s Goldene Regel). Im folgenden Abschnitt werden die Übergangswahrscheinlichkeiten 

bei einem durch EM-Wellen angeregten atomaren Übergang berechnet. Dazu benötigt man auch 

die Matrixelemente des Operators ŴDE. Diese kann so erfolgen: 

〈f|ŴED|i〉 = qE 0 

mω sin(ωt) · 〈f|ˆP x |i〉 

Es bleibt also die Matrixelemente des Impulsoperators ˆP x zu berechnen (parallel zur Schwingungrichtung des 

⃗E-Feldes). Dazu kann man folgende Vertauschungsrelation benutzen, die sich aus Gleichung (3.2.8) für die zwei 

konjugierten Operatoren ˆX, ˆP x zusammen mit dem Operator Ĥ0 ≡ Ĥ0(ˆP x ) ergibt: 

[ˆX, Ĥ0(ˆP x )] = i ∂Ĥ0 

∂ ˆP 

= i ˆP x 

x 

m 

Sie liefert eine neue Darstellung des Impulsoperators, mit der man erhält: 

(14.1.6) 

〈f|ˆP x |i〉 = m i 〈f|[ˆX, Ĥ0]|i〉 = m i 〈f|ˆXĤ0 − Ĥ0 ˆX|i〉 = 

= m [ 

i · 〈f|ˆXĤ0|i〉 − 〈f|Ĥ0 ˆX|i〉 

] 

m 

= 

Ĥ 0|i〉=E i|i〉 i · (E f − E i ) · 〈f|ˆX|i〉 (14.1.7) 

Die Berechnung der Matrixelemente von W DE (t) lässt sich also auf die Berechnung der Matrixelemente von ˆX 

zurückführen. 

Phänomenologischer Dipol-Operator: Man kann (durch Umeichung der EM-Welle, siehe z.B. [Cohen-Tannoudji u.a. 1999b]) 

noch eine andere, äquivalente Darstellung des Operators ŴDE(t) finden: 

Ŵ DE (t) = − ˆ⃗ D · ⃗ E(⃗r, t) = −qE0 ˆX cos(ωt) (14.1.8) 

Dabei ist ˆ⃗ D = q · ˆ⃗R das elektrische Dipolmoment des Atomelektrons (als Operator!). Im letzten Schritt wurde 

wieder die Dipolnäherung angewendet. In dieser Form ist die Wechselwirkungsenergie des elektrischen Feldes 

⃗E(t) der EM-Welle mit dem Dipolmoment ˆ⃗ D des Atomelektrons direkt sichtbar. Auch ergibt sich die Berechnung 

der Matrixelemente über 〈f|X|i〉 ganz natürlich aus obiger Form. 



Beliebig polarisierte Schwingung: Bisher war die EM-Welle immer in x-Richtung polarisiert. Man kann aber 

auch von dem allgemeineren Ansatz E(⃗r, ⃗ t) = E ⃗ 0 · e i·(⃗k·⃗r−ωt) ausgehen. Damit erhält man dann: 

Ŵ DE (t) = − ˆ⃗ D · ⃗ E(⃗r, t) = −q ⃗ E0 · ˆ⃗ R · e 

i·( ⃗ k·⃗r−ωt) 

(14.1.9) 

Nutzt man wieder die Dipolnäherung λ ≫ a 0 und damit ⃗ k · ⃗r ≪ 1 aus, so erhält man weiter: 

Ŵ DE (t) = −q ⃗ E 0 · ˆ⃗ R · e 

−iωt 

(14.1.10) 

Dies entspricht der allgemeinen Form eines periodischen Störoperators, wie er in 5.2.4 behandelt wurde. Man 

∣ 

erhält deswegen Übergangswahrscheinlichkeiten, die proportional zu ∣〈f| E ⃗ 0 · ˆ⃗ 

∣ ∣∣ 

2 

R|i〉 sind. Man kann so zusammenfassen: 

Satz 14.1 (Dipolübergänge) 

elektromagnetischen Welle mit 

Ein Atomelektron, beschrieben durch den Hamiltonian Ĥ0, wechselwirkt mit einer 

⃗E(⃗r, t) = ⃗ E 0 · e i·(⃗ k·⃗r−ωt) . 

Das System wird dann unter der Dipolnäherung λ ≪ a 0 durch den folgenden Hamiltonian beschrieben: 

Ĥ = Ĥ0 + ŴDE(t) = Ĥ0 − q ⃗ E 0 · ˆ⃗ R · e 

−iωt 

(14.1.11) 

Nach Fermi’s Goldener Regel (siehe 5.2.4) ist also die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen zwei Zuständen 

|i〉, |f〉 des Systems Ĥ0 proportional zum Betragsquadrat von ⃗ E 0 · ⃗M if mit den Übergangsmatrixelementen ⃗ M if : 

⃗M if = e〈f|ˆ⃗ R|i〉 = e 

∫∫ 

ψ ∗ f · ⃗r · ψ i d⃗r (14.1.12) 

Bisher wurde also die Form des Wechselwirkungshamiltonian hergeleitet. Das hier tatsächlich Übergänge stattfinden 

ist experimentell bekannt. Theoretisch kann es aus der Behandlung des Systems als Zwei-Zustands-System 

und der zeitabhängigen Störungsrechnung hergeleitet werden. Dies leistet die sog. Rabi-Theorie, die in Abschnitt 

14.2 eingeführt wird. Der danach folgende Abschnitt 14.4 beschreibt die Verhältnisse mehr phänomenologisch. 

Er orientiert sich an der Darstellung in experimentalphysikalischen Lehrbüchern und hier insbesondere das Buch 

[Demtröder 2002]. Welche aller möglichen Übergänge im Energiespektrum eines Atoms erlaubt sind wird im Abschnitt 

14.3 über Auswahlregeln beschrieben. 



14.2 Rabi-Theorie der atomaren Übergänge 

Im letzten Abschnitt wurde die allgemeine Form des Wechselwirkungs-Hamiltonians hergeleitet. Dieser Abschnitt 

führt ein Zwei-Niveau-Modell für den atomaren Übergang ein, in dem sich einige experimentell beobachtbare 

Effekte herleiten lassen. 

14.2.1 Atom als Zwei-Zustands-System 

2 

P 3/2 

2 

P 1/2 

E e 

e 

ω L 

ω ge 

2 

S 1/2 

g 

E g 

Abb. 14.3: Vereinfachung eines atomaren Überganges im Zwei-Niveau-System 

Dieser Abschnitt gibt eine etwas theoretischere Einführung in das System eines atomaren Überganges. Man betrachtet 

wieder ein Atom als Zwei-Niveau-System (siehe Abb. 14.3 und auch Kapitel 6.4). Es werde durch den 

Hamiltonian ĤA beschrieben. Im Allgemeinen hat der Hamiltonian eines Atoms natürlich mehr als zwei Eigenzustände 

(siehe etwa das Wasserstoffatom in Kapitel 10), für die Betrachtung eines angeregten Überganges reicht es 

aber meist nur den entsprechenden Grund- und angeregten Zustand zu betrachten. Es gelte also im folgenden für 

das ungestörte System: 

Ĥ A |g〉 = E g |g〉 und Ĥ A |e〉 = E e |e〉 (14.2.1) 

Diese Zustände |e〉, |g〉 sind stationäre Lösungen der Schrödingergleichung des Atoms mit 〈i|j〉 = δ ij . Die Zeitentwicklung 

dieser Zustände erhält man also Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichungen: 

i ∂ ∂t |φ t〉 = ĤA|φ t 〉 (14.2.2) 

Als Ansatz für die |φ t 〉 nutzt man, dass |e〉, |g〉 eine Basis des Hilbertraumes des Problems bilden und stellt |φ t 〉 

durch diese dar: |φ t 〉 = b g (t)|g〉 + b e (t)|e〉. Danach betrachtet man die zeitabhängige Schrödingergleichung in der 

|e〉, |g〉-Darstellung und nutzt aus, dass hier ĤA Diagonalgestallt hat 〈i|ĤA|j〉 = E i δ ij : 

i〈g| [ ḃ g (t)|g〉 + ḃe(t)|e〉 ] = b g (t)〈g|ĤA|g〉 + b e (t)〈g|ĤA|e〉 ⇒ iḃg(t) = b g (t)E g + 0 

i〈e| [ ḃ g (t)|g〉 + ḃe(t)|e〉 ] = b g (t)〈e|ĤA|g〉 + b e (t)〈e|ĤA|e〉 ⇒ iḃe(t) = 0 + b e (t)E e 

Diese Differentialgleichungen haben eine einfache Lösung: 

b g (t) = e −iEgt/ und b e (t) = e −iEet/ (14.2.3) 

Präpariert man das System bei t = 0 in einem der Zustände |e〉, |g〉, so bleibt es in diesem Zustand. Er erhält 

allerdings eine zusätzliche Phase nach Gleichung (14.2.3). Dies ergibt folgendes orthogonale System von zeitabhängigen 

Basisvektoren: 

|g t 〉 = e −iEgt/ |g〉 und |e t 〉 = e −iEet/ |e〉 (14.2.4) 

14.2.2 Störung durch ein Lichtfeld, Rabi-Frequenz 

Das Lichtfeld, das an dieses Atom koppelt kann nun durch einen zusätzlichen Term ĤL im Hamilton-Operator 

geschrieben werden. Das Zwei-Niveau-System wird also gestört: Ĥ = ĤA + ĤL. Gesucht ist nun das Verhalten 

des so gestörten Systems, das durch folgende Schrödingergleichung beschrieben wird: 

Ĥ|ψ t 〉 = ( Ĥ A + ĤL) 

|ψt 〉 = i ∂ ∂t |ψ t〉 (14.2.5) 



Die Aufgabenstellung entspricht weitgehend der zeitabhängigen Störungstheorie aus Abschnitt 5.2, allerdings mit 

dem Unterschied, dass die Störung ĤL hier nicht klein sein muss. Man kann aber auch hier einen ähnlichen Ansatz 

nutzen: Dazu stellt man die gesuchte (zeitabhängige) Lösung |ψ t 〉 der zeitabhängigen Schrödingergleichung 

(14.2.5) als Superposition der ungestörten Lösungen |g t 〉, |e t 〉 dar: 

|ψ t 〉 = c g (t)|g t 〉 + c e (t)|e t 〉 = c g (t) e −iEgt/ |g〉 + c e (t) e −iEet/ |e〉 mit c i (t) = 〈i t |ψ t 〉 (14.2.6) 

Dies entspricht Gleichung (5.2.9) für den Spezialfall eines Zwei-Niveau-Systems. Die Zeitabhängigkeit steckt jetzt 

also vollständig in den Parametern c g (t) und c e (t). Zur Lösung des Problems setzt man nun in die zeitabhängige 

Schrödingergleichung (14.2.5) ein: 

)( (ĤA + ĤL cg (t) e −iEgt/ |g〉 + c e (t) e −iEet/ |e〉 ) = i ∂ ( 

cg (t) e −iEgt/ |g〉 + c e (t) e −iEet/ |e〉 ) (14.2.7) 

∂t 

Man betrachtet nun wieder die Projektion dieser Gleichung auf |e〉 und |g〉. Daraus ergeben sich zwei gekoppelte 

Differentialgleichungen. Die Rechnung wir hier exemplarisch an der Projektion auf |g〉 durchgeführt: 

[ 

i e −iEgt/ ∂c g(t) 

− i E ] 

g 

∂t e−iEgt/ c g (t) = c g (t) e −iEgt/[ E g + 〈g|ĤL|g〉 ] + c e (t) e −iEet/ 〈g|ĤL|e〉 

⇒ i ∂c g(t) 

= c g (t) · 〈g|ĤL|g〉 + c e (t) e −iωget 〈g|ĤL|e〉 

∂t 

Dabei ist ω ge = Ee−Eg 

 

die Übergangsfrequenz zwischen den Zuständen |g〉 und |e〉. Man erhält also folgende 

zwei Differentialgleichungen: 

i ∂c g(t) 

∂t 

i ∂c e(t) 

∂t 

= c g (t) · 〈g|ĤL|g〉 + c e (t) e −iωget 〈g|ĤL|e〉 

= c e (t) · 〈e|ĤL|e〉 + c g (t) e iωget 〈e|ĤL|g〉 

(14.2.8) 

Für den Störoperator ĤL setzt man den elektrischen Dipoloperator aus dem letzten Abschnitt 14.1 ein: 

Ĥ L = −e ⃗ E(⃗r, t) · ˆ⃗ R 

mit ⃗ E(⃗r, t) = E0 ⃗ɛ · e i(kz−ω Lt) 

(14.2.9) 

Das Symbol ⃗ɛ steht für einen Einheitsvektor (|⃗ɛ| = 1) parallel zur Schwingungsebene des elektrischen Feldes. DIe 

Frequenz des eingestrahlten Lichtes ist ω L (Laser-Frequenz). Unter Einführung der Rabi-Frequnz Ω R kann man 

dies noch etwas umschreiben: 

〈e|ĤL|g〉 = 〈g|ĤL|e〉 ∗ = Ω R · e i(kz−ω Lt) 

mit Ω R := − eE 0 

⃗ɛ · 〈e|ˆ⃗ R|g〉 = − 

E 0 

⃗ɛ · ⃗M ge (14.2.10) 

Dabei ist die Rabi-Frequenz also ein Maß für die Kopplung zwischen den zwei Zuständen |g〉 und |e〉. Sie hängt 

im Wesentlichen von der elektrischen Feldstärke E 0 und dem Übergangsmatrix-Element ⃗ M ge = e · 〈e|ˆ⃗ R|g〉 ab. 

14.2.3 Lösung der Bewegungsgleichungen 

Nun sollen die Bewegungsgleichungen (14.2.8) gelöst werden, wenn man den Dipoloperator in der Form (14.2.10) 

einsetzt. Als zusätzliche Vereinfachung kann man die Diagonalelemente des Operator ĤL mit in den Operator ĤA 

übernehmen, sodass gilt 〈g|ĤL|g〉 = 〈e|ĤL|e〉 = 0. Diese Diagonalelemente bewirken dann nur eine Verschiebung 

der Energie-Eigenwerte von ĤA (Light-Shift). Die beiden Gleichungen (14.2.8) kann man entkoppeln, wenn man 

die erste nach der Zeit differenziert und in die zweite einsetzt: 

δ=ω L −ω ge 

⇒ 

i ∂c g(t) 

∂t 

= c e (t) e −iωget Ω ∗ R · e −i(kz−ωLt) = c e (t) e i(ω L−ω ge)t · e −ikz Ω ∗ R 

[ ] 

∂ce (t) 

e iδt +iδ e iδt c e (t) 

∂t 

i 

∂ 2 c g (t) 

∂t 2 = Ω ∗ R e −ikz · 

Nun kann man die zweite DGL aus (14.2.8) in der Form 

i ∂c e(t) 

∂t 

= c g (t) e −iδt · e ikz Ω R (14.2.11) 



einsetzen und erhält weiter: 

[ 

i ∂2 c g (t) 

1 

∂t 2 = Ω ∗ R e −ikz e iδt · 

i c g(t) e −iδt · e ikz Ω R + iδ i 

Ω ∗ e ikz e −iδt ∂c ] 

g(t) 

= 

R 

∂t 

= −iΩ ∗ RΩ R c g (t) − δ ∂c g(t) 

∂t 

Insgesamt ergeben sich also die folgenden Beiden DGL: 

∂ 2 c g (t) 

∂t 2 

∂ 2 c e (t) 

∂t 2 

− iδ ∂c g(t) 

∂t 

+ iδ ∂c e(t) 

∂t 

+ |Ω R | 2 c g (t) = 0 

+ |Ω R | 2 c e (t) = 0 

(14.2.12) 

Diese Differentialgleichungen haben eine einfache Lösung. Man verwendet den Ansatz c g (t) = a · e λt , weil diese 

DGl den Bewegungsgleichungen eines gedämpften Oszillators ähneln. Damit erhält man dann für c g (t): 

⇒ 

aλ 2 + iδaλ + |Ω R | 2 a = 0 

√ 

λ 1/2 = −iδ ± −δ 2 − 4 |Ω R | 2 [ √ ] 

δ δ 

= −i 

2 

2 ∓ 2 

4 + |Ω R| 2 

Die allgemeine Lösung der DGl für c g (t) lautet dann: 

c g (t) = α e −i [ 

δ/2−Ω ′ ] 

·t +β e −i [ 

δ/2+Ω ′ ]·t 

mit Ω ′ = 

√ 

δ 

2 

4 + |Ω R| 2 (14.2.13) 

Die Vorfaktoren α und β ergeben sich aus den Startbedingungen. Analog erhält man für c e (t): 

[ ] [ 

c e (t) = α ′ e i δ/2+Ω ′ ·t +β ′ e i δ/2−Ω 

]·t 

′ 

(14.2.14) 

Aus diesen Gleichungen sieht man bereits, dass die Besetzung der Zustände für δ = 0 mit der Rabi-Frequenz Ω R 

oszilliert. Für den Spezialfall c g (0) = 1 und c e (0) = 0 erhält man α + β = 1 und α ′ + β ′ = 0 und daraus: 

[ ] 

c g (t) = e −i δ/2+Ω ′ ·t +α e −iδt/2 · 

(e ) ] 

iΩ′t − e −iΩ′ t 

[δ/2+Ω 

= e −i ′ ·t +α e −iδt/2 2i sin(Ω ′ t) = 

] 

[ 

= e −iδt/2 · 

c e (t) = α ′ e iδt/2 · 

e −iΩ′t +2αi sin(Ω ′ t) = e −iδt/2 · [cos(Ω ′ t) + (2α − 1) · i sin(Ω ′ t)] (14.2.15) 

( 

) e iΩ′t − e −iΩ′ t 

= α ′ e iδt/2 2i sin(Ω ′ t) (14.2.16) 

Hierin bleiben noch zwei Konstanten α und α ′ zu bestimmen. Dazu geht man von der Gleichung (14.2.11) aus und 

setzt dort die obigen Anfangsbedingungen ein. Es gilt dann für t = 0: 

∂c g (0) 

∂t 

= 0 und 

∂c e (0) 

∂t 

= 〈e|ĤL|g〉 

i 

= −iΩ R 

Nun kann man die obigen Ausdrücke für c g (t) und c e (t) nach der Zeit Differenzieren und mit diesen Bedingungen 

kombinieren. Daraus erhält man: 

∂c 

[ 

e 

∂t = α′ · −δ e iδt/2 sin(Ω ′ t) + Ω ′ · 2i e iδt/2 cos(Ω t)] ′ ! 

= −iΩ r (t = 0) 

Damit gilt dann insgesamt: 

⇒α ′ Ω ′ · 2i ! = −iΩ R 

α ′ Ω R 

−iΩ 

= − √ und damit: c e (t) = √ R 

δ 

2 

2 4 + |Ω R| 2 δ 2 4 + |Ω R| 2 eiδt/2 sin(Ω ′ t) (14.2.17) 

Daraus ergibt sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im angeregten Zustand als Betragsquadrat von c e (t): 

|c e (t)| 2 = 

Ω 2 R 

δ 2 4 + |Ω R| 2 sin2 (Ω ′ t) und natürlich |c g (t)| 2 = 1 − |c e (t)| 2 (14.2.18) 



Durch eine analoge Rechnung erhält man noch: 

α = 

δ 

4Ω ′ + 1 2 

[ 

und damit: c g (t) = e −iδt/2 · cos(Ω ′ t) + ∆ 

] 

2Ω ′ · i · sin(Ω′ t) 

(14.2.19) 

Dazu berechnet man zunächst die zeitliche, partielle Ableitung von (14.2.15) und wertet sie bei t = 0 aus: 

∂ 

[ 

] 

e −δt/2 · (cos Ω ′ t + (2α − 1) · i · sin Ω ′ t) = 

∂t 

= −i δ 2 e−δt/2 · (cos Ω ′ t + (2α − 1) · i · sin Ω ′ t) + e −δt/2 · (−Ω ′ sin Ω ′ t + (2α − 1) · iΩ ′ · cos Ω ′ t) = 

= − δ 

t=0 2 i + (2α − 1) · iΩ′ ! 

= 0 

Löst man die Gleichung in der letzten Zeile, so erhält man α und damit dann (14.2.19). 

Man kann aus (14.2.18) direkt ablesen, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in den Zuständen oszilliert. Diese 

Rabi-Oszillationen werden dabei umso schwächer, je weiter der anregende Laser von der Resonanz verstimmt ist. 

Im Grenzfall δ ≫ 0 verschwinden die Oszillationen vollständig und der angeregte Zustand wird nicht besetzt, falls 

das System im Grundzustand präpariert wurde. 

1.2 

1 

0.8 

2 

|c e | 

Rabi-Oszillationen (Ω =1) R 

d=0 

d=Ω R 

d=2 Ω R 

d=10 Ω R 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

0 2 4 6 8 10 

Zeit t 

Abb. 14.4: Rabi-Oszillationen 



14.3 Auswahlregeln 

Es zeigt sich, dass nicht alle möglichen Übergänge in einem Atom auch erlaubt sind. Welche Übergänge erlaubt 

sind, also beobachtet werden können hängt vom Übergangsmatrixelement ⃗ M if ab. Im Falle des Wasserstoffatoms 

kann man für die allgemeinen Zustände |i〉, |f〉 die Wasserstoff-Wellenfunktionen einsetzen (siehe Abschnitt 10). 

Dabei erkennt man dann, dass nur für bestimmte Übergänge die Übergangsmatrixelemente ⃗ M if nicht verschwinden. 

Ist ein solches Übergangsmatrixelement null, so kann der Übergang mit einem einzelnen (!) Photon nicht 

angeregt werden. Es ist aber zu beachten, dass hier die Dipolnäherung angenommen wurde. Übergänge höherer 

Ordnung (z.B. magnetische Dipolübergänge, Quadrupolübergänge etz.) sind durchaus erlaubt und können zu einer 

Aufhebung des Verbots führen. Solche Übergänge sind aber um Größenordnungen schwächer, als elektrische 

Dipolübergänge. 

Die Wasserstoff-Wellenfunktionen haben folgende allgemeine Form: 

ψ n,l,ml (r, ϑ, ϕ) = 〈⃗x|nlm l 〉 = 1 √ 

2π 

R n,l (r) · Θ l m(ϑ) · e imϕ (14.3.1) 

Linear polarisierte EM-Wellen: 

(M if ) z = e〈f|Ẑ|i〉 = 1 

2π · 

∫ ∞ 

r=0 

Zunächst betrachtet man den z-Anteil des Matrixelementes: 

R f R i r 3 dr · 

∫π/2 

ϑ=−π/2 

Θ l f 

mf Θ li m i 

sin ϑ cos ϑ dϑ · 

∫2π 

ϕ=0 

e i(m f −m i)ϕ dϕ (14.3.2) 

Dabei wurde die Beziehung z = r · cos ϑ für Kugelkoordinaten und das Volumenelement dV = r 2 sin ϑ dr dϑ dϕ 

eingesetzt. Es sind also nur solche Übergänge erlaubt, in denen alle drei Integrale in (14.3.2) ungleich 0 sind. Für 

das letzte Integral kann man direkt ablesen, dass es nur dann nicht verschwindet, wenn gilt: 

∆m = m f − m i = 0 

Dies bedeutet, dass für linear polarisierte EM-Wellen zwingend ∆m = 0 erfüllt sein muss, um den Übergang 

anregen zu können. Die Anregung erfolgt hier mit einer in z-Richtung polarisierten Welle. Die selben Ergebnisse 

ergeben sich natürlich für x- und y-polarisierte Wellen. Da dem Atom aber keine Vorzugsrichtungs vorgegeben ist, 

kann es unter diesen nicht unterscheiden. 

zirkular polarisierte EM-Wellen: Es zeigt sich, dass noch weitere Auswahlregeln erhält, wenn man auch zirkular 

polarisiertes Licht E ⃗ 0 ∝ ⃗e x ± i⃗e y betrachtet. Dazu betrachtet man die folgenden Matrixelemente: 

(M if ) x + i(M if ) y = 1 

2π · 

(M if ) x − i(M if ) y = 1 

2π · 

∫ ∞ 

r=0 

∫ ∞ 

r=0 



∫π/2 

ϑ=−π/2 

∫π/2 

ϑ=−π/2 

Θ l f 

mf Θ li m i 

sin 2 ϑ dϑ · 

Θ l f 

mf Θ li m i 

sin 2 ϑ dϑ · 

∫2π 

ϕ=0 

∫2π 

ϕ=0 

e i(m f −m i+1)ϕ dϕ (14.3.3) 

e i(m f −m i−1)ϕ dϕ (14.3.4) 

Dabei wurde (analog zu oben) benutzt, dass für Kugelkoordinaten x = r sin ϑ cos ϕ und y = r sin ϑ sin ϕ gilt. Es 

ergibt sich dann: 

x ± iy = r sin ϑ · (cos ϕ ± i sin ϕ) = r sin ϑ · e ±ϕ . 

Man kann aus (14.3.4) und (14.3.4) wieder direkt ablesen, dass folgende Auswahlregel für die Quantenzahl m 

gelten muss: 

∆m = ±1 

Dabei kann ein Übergang mit ∆m = +1 nur von σ + -Licht und ein Übergang ∆m = −1 nur von σ − -Licht 

angeregt werden. 

Paritätsauswahlregel: Man kann außerdem zeigen, dass das Integral über die Koordinate ϑ in (14.3.2) nur dann 

von null verschieden ist, wenn sich die Bahndrehimpuls-Quantenzahl l um genau 1 ändert: 

∆l = 1 

Dies ist auch anschaulich vollkommen klar, weil das Photon l = 1 hat, also bei Absorption oder Emission den 

Drehimpuls des Atoms nur um maximal 1 ändern kann. Das Integral verschwindet dann, wenn es über ein Funktionen 

Θ l m berechnet wird, die unterschiedliche Parität aufweisen. Andernfalls wäre Θ l f 

mf Θ li m i 

symmetrisch und 

sin ϑ cos ϑ antisymmetrisch. Das Gesamtintegral wäre also 0 und der Übergang ist verboten. Es sei hier noch 

angemerkt, dass die Parität der Wasserstoffwellenfunktionen (−1) l ist. 



Quadrupolübergänge: Betrachtet man auch elektrische Quadrupolübergänge, so erhält man Matrixelemente, 

die von zwei Ortsoperatoren abhängen, also insgesamt gerade Parität aufweist. Damit muss die Parität der zwei 

Zustände gleich sein und es gilt: 

∆l = 0, ±2 

Da die Wahrscheinlichkeit für Quadrupolübergänge sehr viel kleiner ist, als die Wahrscheinlichkeit für Dipolübergänge, 

können diese nur in Dipol-verbotenen Linien beobachtet werden. 

Auswahlregeln der Spinquantenzahl, Interkombinationsverbot: Der Gesamtspin eines Atoms darf sich bei 

Übergängen nicht ändern, da der Spin in der hier angewendeten Näherung nicht mit dem EM-Feld interagiert. 

Darum gilt bei Atomen mit einem Elektron (H-Atom, näherungsweise Alkali-Atome) die Regel 

∆S = 0. 

Dies kann man leicht einsehen, wenn man beachtet, dass nach den Näherungen in Abschnitt 14.1 in ŴDE kein 

Spin-Operator enthalten ist. berechnet man dann die Matrixelemente zu zwei Zuständen |ψ i/f 〉 = |φ i/f 〉|s i/f 〉, 

wobei |s i/f 〉 den Spinanteil des atomaren Zustandes darstellt, so erhält man: 

〈s f |〈φ f |ŴDE|φ i 〉|s i 〉 = 〈φ f |ŴDE|φ i 〉〈s f |s i 〉 

Dabei ist 〈s f |s i 〉 = δ si,s f 

aufgrund der Orthogonalität der Spin-Zustände nur dann ungleich 0, wenn s i = s f , also 

auch ∆s = 0 gilt. 

Da der Spin-Term in Abschnitt 14.1 sehr klein war, kann zwar in der Realität ein Anteil auftreten, der diese 

Auswahlregel verletzt, die Intensität eines solchen Überganges ist aber sehr viel kleiner als diejenige der normalen 

Dipolübergänge. 

Sind mehrere Elektronen im Atom vorhanden, so erhält man Matrixelemente der folgenden Form: 

∫∫ 

⃗M if = e ψi ∗ (⃗r 1 , ⃗r 2 ) · [⃗r 1 + ⃗r 2 ] · ψ k (⃗r 1 , ⃗r 2 ) dV 1 dV 2 

Aus der Theorie des Mehrelemtronensysteme (z.B. Helium) weiß man, dass es dort ein Liniensystem für S = 0 und 

eines für S = 1 gibt (Singulett- und Triplett-System). Im Singulett-System (S = 0, M S = 0) ist der Ortsanteil von 

ψ(⃗r 1 , ⃗r 2 ) symmetrisch, im Triplett-System (S = 1, M S = 0, ±1) antisymmetrisch. Da die Elektronen desweiteren 

ununterscheidbar sind, muss ⃗ M if unabhängig von der Vertauschung der Koordinaten ⃗r 1 ↔ ⃗r 2 sein. Dies ist aber 

nur dann gewährleistet, wenn beide Zustände ψ i , ψ k symmetrisch oder antisymmetrisch sind. Es ist also kein 

Wechsel der Systeme erlaubt (Interkombinationsverbot). 

Auswahlregeln des Gesamtdrehimpulses: 

Zusammenfasung: 

Man erhält also Zusammenfassend folgenden Auswahlregeln: 

Auswahlregel 

∆l = ±1 

∆M = 0 

∆M = ±1 

∆S = 0 

∆J = 0, ±1 

Bemerkungen 

gilt für Einelektronenatome streng 

wird durch linear polarisiertes Licht angeregt 

wird durch σ ± -Licht (zirkular polarisiert) angeregt 

gilt für leichte Atome streng, bei schweren Atomen (Mehrelektronensysteme) 

überwiegt die⃗j-⃗j-Kopplung, sodass S keine gute Quantenzahl 

mehr ist und die Auswahlregel aufgeweicht wird 

Der Übergang zwischen zwei J = 0-Niveaus ist aber verboten 

14.4 Phänomenologie der atomaren Übergänge 

Bisher wurde diskutiert, wie Atomzustände an ein Strahlungsfeld koppeln können und welche Übergänge dabei 

erlaubt sind (Auswahlregeln). In diesem Abschnitt soll nun darauf aufbauend etwas allgemeiner auf die Art der 

Übergänge eingegangen werden. Er klärt die Frage, was im Photonenbild an einem Übergang passiert und mit 

welcher Wahrscheinlichkeit die Zustände ineinander übergehen. Außerdem werden die Einstein’schen Koeffizienten 

eingeführt, mit denen man Ratengleichungen für die Besetzung der einzelnen Niveaus aufstellen kann. Dieser 

Abschnitt ist eher experimentell gehalten und orientiert sich an dem Buch [Demtröder 2002]. Es werden einige 

Phänomene betrachtet, die vor Allem experimentell von Bedeutung sind (Linienverbreiterung etz.). 



14.4.1 Induzierte und spontane Übergänge 

Stellt man sich die EM-Welle als Strom von Photonen (Lichtquanten) vor, so gibt es drei mögliche Wechselwirkungen 

mit einem atomaren Übergang (Zwei-Niveau-System): 

Absorption 

induzierte 

Emission 

spontane 

Emission 

e 

Bge⋅w(ν) 

B w(ν) 

eg⋅ 

A eg 

g 

Abb. 14.5: Emission und Absorption am atomaren Übergang 

1. (stimulierte) Absorption: Ein Photon wird vom Elektron aufgenommen. Die Energie des Photons wird 

dazu benutzt, das Elektron auf ein höheres Energieniveau zu heben: |g〉 → |e〉 

2. stimulierte Emission: Ein atomarer Übergang ist nur dann möglich, wenn ein EM-Feld vorhanden ist, 

das sich in Resonanz mit dem Übergang befindet. In diesem Fall ist natürlich auch der umgekehrte Effekt, 

der Absorption erlaubt. Dies bedeutet, dass unter Anwesenheit eines Photons ein System vom angeregten 

Zustand |e〉 in den Grundzustand |g〉 übergeht. Dabei wird die überflüssige Energie als zweites Photon frei, 

dass die selbe Energie und Richtung wie das erste Photon besitzt. Man kann das auch so auffassen, dass 

der Übergang an die Mode des Strahlungsfeldes koppelt, die zum eingestrahlten Photon gehört und deren 

Photonenzahl um eins erhöht. 

3. spontane Emission: Der Übergang kann auch an das Vakuumfeld (Feldfluktuationen aufgrund der Quantisierung 

des Strahlungsfeldes, auch wenn kein externes Feld angelegt wird) koppeln und so spontan zerfallen. 

Ein dabei abgestrahltes Photon wird mit gleicher Wahrscheinlichkeit in alle Raumrichtungen emittiert. 

Bei all diesen Vorgängen werden Photonen aus einem Strahlungsfeld entnommen oder in dieses abgegeben. Das 

Strahlungsfeld kann über die spektrale Energiedichte 

w(ν) = n(ν) · hν 

beschrieben werden. Diese gibt an, wieviel Energie in einer Schwingungsmode ν eines Feldes enthalten ist. Dabei 

ist n(ν) die Dichte der Photonen bei einer Frequenz ν (also die Anzahl der Photonen in einem Einheitsintervall 

[ν..ν + dν]. 

Einstein-Koeffizienten: Um die obigen Vorgänge zu beschreiben führt man die sog. Einstein-Koeffizienten ein. 

Diese geben die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Übergänge an: 

Definition 14.1 (Einstein-Koeffizienten) Ein Zweiniveausystem der Frequenz ν = ∆E 

h 

= Ee−Eg 

h 

mit den Zuständen 

|g〉, |e〉 kann drei verschiedene Übergangsprozesse ausführen. Dabei werden Photonen aus einem externen 

Strahlungsfeld der spektralen Energiedichte w ν (ν) absorbiert und in diese emittiert. 

1. spontane Emission: Die Wahrscheinlichkeit We→g 

spontan 

ab. Sie wird als konstant angenommen: 

W spontan 

e→g 

für diesen Übergang hängt nicht vom Strahlungsfeld 

= A eg 

2. Absorption: Die Wahrscheinlichkeit für die Aufnahme eines Photons hängt linear von der Anzahl der Photonen 

in der zugehörigen Mode ab: 

W g→e = B ge · w(ν) 

3. induzierte Emission: Die Wahrscheinlichkeit für die stimulierte Abgabe eines Photons hängt ebenfalls linear 

von der Anzahl der Photonen in der zugehörigen Mode ab: 

W induziert 

e→g 

= B eg · w(ν) 



Stationärer Zustand (Gleichgewicht): Nach gewisser Zeit wird sich in einem System aus einem atomaren Übergang 

und einem Strahlungsfeld ein Gleichgewicht einstellen. Angenommen der Grund- bzw. angeregte Zustand des 

Überganges ist mit N g , N e Elektronen besetzt, so müssen sich im Gleichgewicht Absorptions- und Emissionsprozesse 

die Waage halten: ( 

Aeg + B eg w ν (ν) ) · N e = B ge w(ν)N g (14.4.1) 

Sind die Niveaus thermisch besetzt (Gleichgewichtstemperatur T ), so folgt die Besetzungszahl N α einer Boltzmannverteilung: 

N α (E) = N 0 · e − E 

k B T 

(14.4.2) 

Jeder Zustand wird jetzt noch zusätzlich durch seinen Entartungsgrad g α beschrieben, der angibt wie viele energetisch 

entartete Unterniveaus es zu einem Zustand |α〉 gibt. Je größer g α , desto größer ist auch das Gewicht des 

Zustandes. Damit ergibt sich dann aus (14.4.2): 

N e 

= g e 

· e − Ee−Eg 

k B T 

N g g g 

= g e 

g g 

· e − hν 

k B T 

(14.4.3) 

Dieses Ergebnis kann man in (14.4.1) einsetzen und so einen Ausdruck für w(ν) erhalten: 

A eg N e = B ge w(ν)N e 

g g 

g e 

· e hν 

k B T 

−B eg w(ν)N e 

⇒ A eg = ( B ge 

g g 

g e 

· e hν 

k B T 

−B eg 

) 

· w(ν) 

Für sehr große Photonendichten w(ν) wird die spontane Emission vernachlässigbar (A eg /w(ν) ≪ 1). Daraus 

erhält man dann: 

g g 

B ge · e hν 

k B T 

−B eg = 0. 

g e 

Dies gilt also auch für T → ∞. Daraus folgt dann: 

B ge 

B eg 

= g e 

g g 

(14.4.4) 

Da die Einstein-Koeffizienten nicht von der Temperatur abhängen (per Definition) muss diese Beziehung für jede 

Temperatur gelten. Insbesondere sind die Koeffizienten bei gleichen statistischen Gewichten g g = g e gleich. Dies 

ist auch anschaulich klar, weil die Absorption und die induzierte Emission inverse Prozesse darstellen. Aus obigem 

Ausdruck 

A eg = ( g g 

) 

B ge · e hν 

k B T 

−B eg · w(ν) 

g e 

folgt jetzt mit B ge 

g g 

g e 

= B eg weiter: 

( hν 

A eg = B eg e 

k B T 

−1 ) A eg 

· w(ν) ⇒ w(ν) = ( hν 

B eg e 

k B T 

−1 ) (14.4.5) 

Aus dem Planck’schen Strahlungsgesetz kennt man die Energiedichte des EM-Feldes: 

w(ν) = 8πhν3 

c 3 · 

1 

e hν 

k B T 

−1 

(14.4.6) 

Nun kann man (14.4.5) und (14.4.6) vergleichen und folgende Beziehung ableiten: 

A eg = 8πhν3 

c 3 · B eg (14.4.7) 

Nun kann man noch das Verhältnis zwischen spontaner und induzierter Emission berechnen, wenn man (14.4.5) 

verwendet: 

Weg 

induziert 

Weg 

spontan = B egw(ν) 

= B eg A eg 

· 

A eg A 

( hν 

eg B eg e 

k B T 

−1 ) 1 

= 

(14.4.8) 

e hν 

k B T 

−1 

Diese Bose-Verteilung gibt die Anzahl der Photonen in einer bestimmten Mode bei bestimter Temperatur T an. 

Je stärker also eine Mode besetzt ist, desto mehr überwiegt die induzierte Emission. Dieses Prinzip kann man 

umgekehrt beim Laser ausnutzen, indem man die induzierte Emission begünstigt und damit viele Photonen in eine 

einzige Mode bekommt (=hohe Strahlleistung). 

Zusammenfassend erhält man also: 



Satz 14.2 (induzierte und spontane Übergänge) Mit den Einsteinkoeffizienten A eg für die spontane Emission, 

B eg für die induzierte Emission und B ge für die Absorption erhält man folgende Gesetze: 

B ge 

B eg 

= g e 

g g 

Dies zeigt die Komplementarität der induzierten Emission und der Absorption, weil für gleiche statistische Gewichte 

g e = g g beie Prozesse gleich wahrscheinlich sind. Außerdem gilt: 

A eg = 8πhν3 

c 3 

Man kann zum dritten zeigen, dass das Verhältnis von induzierter zu spontaner Emission von der Anzahl der 

Photonen in der Mode abhängt: 

Weg 

induziert 1 

Weg 

spontan = 

e hν 

k B T 

−1 

· B eg 

Beispiele: 

1. Nahe einer 100 W-Glühbirne befinden sich bei λ ≈ 500 nm etwa 10 −8 Photonen in einer Mode. Hier 

überwiegt also die spontane Emission wesentlich. 

2. In einem HeNe-Laser befinden sich dagegen etwa 10 7 Photonen in der Lasermode (λ = 632.2 nm), sodass 

hier die induzierte Emission überwiegt und man einen kollimierten und kohärenten Lichtstrahl erhält. 

Berechnung des Einstein-Koeffizienten der Absorption: Im Abschnitt 14.1 wurde gezeigt, dass die Übergangswahrscheinlichkeit 

in einem Zweizustandssystem vom Betragsquadrat der Übergangsmatrixelemente M ⃗ eg . 

Im Abschnitt 14.3 wurden diese verwendet, um erlaubte und verbotene Übergänge im Atomspektrum zu unterscheiden. 

Man kann noch etwas weiter gehen und die obigen Einstein-Koeffizienten mit Hilfe dieser Matrixelemente 

berechnen. Zunächst betrachtet man die induzierte Emission und die Absorption. Dabei treten die Koeffizienten 

B eg und B ge auf. Ist einer von ihnen bekannt, so kann man mit Hilfe von (14.4.4) den anderen Berechnen. 

Nach Fermi’s goldener Regel (5.2.23) ist die Übergangswahrscheinlichkeit bei der Absorption (Dipolübergang): 

P ge = 2π ∣ ∣∣〈e| 2 Ŵ DE |g〉 ∣ 2 = 2π ∣ ∣∣〈e|e E0 ⃗ 

2 · ˆ⃗ 

∣ ∣ ∫ 

∣∣ 

2 

2π ∣∣∣ 

R|g〉 = 

2 e ψe ∗ · ⃗E 

2 

0 · ⃗r · ψ g d 3 r 

∣ 

(14.4.9) 

Hier wurde ein Strahlungsfeld E(⃗r, ⃗ t) = E ⃗ 0·e i(⃗k·⃗x−ωt) angenommen und die Dipolnäherung ⃗ k·⃗x ≪ 1 angewendet. 

Wenn das Strahlungsfeld isotrop ist, so kann man die drei Raumrichtungen im Skalarprodukt E ⃗ 0·⃗r getrennt mitteln. 

Für jede Raumrichtung gilt 〈x · E 0x 〉 = 1 3 

〈r〉, sodass man erhält: 

〈 ∣∣∣⃗r ∣ 〉 [ ] 

· E0 ⃗ ∣∣ 

2 2 1 

= 3 · 

3 〈r〉 = 1 〈|⃗r| 2〉 

3 

〈〉∣ Die Energiedichte des EM-Feldes ist 〈w(ν)〉 = ɛ 0 · ∣ ⃗E(ν) ∣∣ 

2 

= 

1 

2 ɛ 0 · E0. 2 Setzt man diese beiden Gleichungen 

in (14.4.9), so erhält man: 

P ge = 2π ∣ ∫ 

∣∣∣ 

2 e ψe ∗ · ⃗E 

2 

0 · ⃗r · ψ g d 3 r 

∣ ≈ 6π ∣ ∫ 

∣∣∣ 

2 

eE 0 

2 ψe ∗ · ⃗r · ψ g d 3 r 

3 

∣ = 

∣ 

= 6πe2 E0 

2 ∫ 

∣∣∣ 

2 

9 2 ψe ∗ ⃗r ψ g d 3 r 

∣ = 4 ∣ 

πe 2 ∫ 

w(ν) ∣∣∣ 

2 

3 ɛ 0 2 ψe ∗ ⃗r ψ g d 3 r 

∣ 

(14.4.10) 

Daraus ergibt sich also der Einteinkoeffizient B eg unter Vergleich mit P ge = B ge · w(ν) zu: 

B ge = 4 ∣ 

πe 2 ∫ ∣∣∣ 

3 ɛ 0 2 

ψe ∗ ⃗r ψ g d 3 r 

∣ 

2 

= 4 πe 2 ∣ ∣ ∣∣〈e|ˆ⃗R|g〉 ∣∣ 

2 

4 π 

∣ ∣ ∣∣ = ⃗ ∣∣ 

2 

Meg 

3 ɛ 0 2 3 ɛ 0 2 

(14.4.11) 

Berechnung des Einstein-Koeffizienten der spontanen Emission: Ein Herzscher Dipol strahlt (integriert über 

alle Raumwinkel) die Leistung 

P = 2 p 2 ω 4 

3 4πɛ 0 c 3 (14.4.12) 



ab. Dabei ist ω = 2πν die Kreisfrequenz des Dipols und p sein Dipolmoment. Die Mittelung (...) bedeutet eine 

Mittelung über die Zeit, sodass man für einen sinusförmig schwingenden Dipol p 2 = 1 2 p2 0 erhält. In der quantenmechanischen 

Behandlung berechnet man den Erwartungswert des Dipolmoments 〈⃗p〉 = e · 〈⃗r〉 und erhält so mit 

den Matrixelementen ⃗ M eg die in eine Mode emittierte Leistung: 

〈P eg 〉 = 4 ω 4 eg 

3 4πɛ 0 c 3 · 

∣M ⃗ ∣ ∣∣ 

2 

eg 

Andererseits gilt mit dem Einsteinkoeffizienten A eg für die abgestrahlte Leistung: 

(14.4.13) 

〈P eg 〉 = N e · A eg · ω eg (14.4.14) 

Aus dem Vergleich von (14.4.13) und (14.4.14) erhält man dann folgenden Ausdruck: 

A eg = 1 ω 3 eg 

3 4πɛ 0 c 3 · 

∣M ⃗ ∣ ∣∣ 

2 

eg 

(14.4.15) 

14.4.2 Lebensdauer und nicht-strahlende Übergänge 

Die folgende Abb. 14.6 zeigt, wie die Energie eines angeregten Zustandes verloren gehen kann. Dabei kann es 

neben der spontanen Emission (charakterisiert durch den Koeffizienten A eg ) noch zu Fluoreszenz-Übergängen 

(charakterisiert durch A e i, i = 1, 2, ...) und zu inelastischen Stößen (strahlungsloser Übergang, charakterisiert 

durch R ei , i = 1, 2, ...) kommen. Bei inelastischen Stößen wird die Energie des angeregten Elektrons nicht als 

Strahlung frei. Sie kann z.B. in Gitterschwingungen im Kristall o.ä. umgesetzt werden. Die verschiedenen Übergangskoeffizienten 

addieren sich für jeden angeregten Zustand |e〉 zu zwei Konstanten: 

A e = ∑ i 

A ei und R e = ∑ i 

R ei (14.4.16) 

Energie 

e 

A e1 

Fluoreszenzübergänge 

e 1 

e 

R e1 

inelastische 

Stöße 

A e2 

e 1 

A eg 

e 2 

A eg 

g 

Anregung 

resonante 

Emission 

g 

Anregung 

resonante 

Emission 

Abb. 14.6: Abregung eines Niveaus |e〉 durch spontane Resonante Emission, Fluoreszenz (links) und inelastische Stöße 

(rechts) 

Mit der Definition der Einstein-Koeffizienten kann man nun Ratengleichungen für die Lebensdauer der Zustände 

aufstellen: 

dN e 

= − ∑ (A ei + R ei ) · N e = −(A e + R e ) · N e (14.4.17) 

dt 

i 

Diese Differentialgleichung hat eine einfache Lösung: 

N e (t) = N e (0) · e −(Ae+Re)·t = N e (0) · e −t/τe mit τ e = 

1 

A e + R e 

(14.4.18) 

Dabei wird τ e = 1 

A e+R e 

als effektive Lebensdauer bezeichnet. Berücksichtigt man nur die Fluoreszenz-Anteile, 

so erhält man die sog. mittlere Lebensdauer t = 1 A e 

. 



Experimentelle Bestimmung der spontanen Lebensdauer: Wird die Energie durch Stöße mit anderen Gasatomen 

abgegeben, so kann man die Rate R e auch so formulieren: 

R e = n · v · σ inelastisch 

e (14.4.19) 

Dabei ist n die Teilchendichte, die man aus der allgemeinen Gasgleichung pV = nk B T ableiten kann und σe 

inelastisch 

der Wirkungsquerschnitt des Stoßprozesses. Die mittlere Geschwindigkeit erhält man aus der allgemeinen Gastheorie: 

√ 

8k B T 

v = 

πµ 

Dabei ist µ die effektive Masse des Stoß-Systems. Für die Lebensdauern gilt dann: 

1 

= 1 + n B · v · σe 

inelastisch 

(14.4.20) 

τ 

}{{} eff τ spontan } {{ } 

} {{ } 

=R e 

=A e+R e =A eg 

Dies beschreibt eine Gerade, wenn man n · v gegen 1/τ eff aufträgt. Aus der Extrapolation kann dann 1/τ spontan als 

Achsenabschnitt und σ inelastisch 

e als Steigung extrahiert werden. Dies zeigt Abb. 14.7. 

1/τ eff 

n v 

inel 

tan(α) = σ e 

1/τ spontan 

Abb. 14.7: Stern-Volmer-Plot 

14.4.3 Linienbreite 

Auch bei beliebig großer Auflösung eines Spektrometers hat die Linienbreite eines atomaren Überganges eine 

Mindestbreite. Die Breite eines solchen Überganges wird als Halbwertsbreite angegeben, es gilt: 

δν = |ν i − ν k | 

oder 

δω = 2π · δν oder 

δλ = 

c 

∣ − c ∣ ∣∣∣ 

= λ ν i ν k ν ˙δν 

(14.4.21) 

Dabei sind ν i und ν k die Frequenzen bei denen die Linienintensität 

auf I max /2 abgefallen ist. Außerdem wird noch das Maß der relativen 

Linienbreite verwendet: 

∣ 

δν 

ν 

∣ ∣ ∣∣∣ ∣ = δω 

∣∣∣ ω ∣ = δλ 

λ ∣ (14.4.22) 

Für die Verbreiterung einer Spektrallinie gibt es verschiedene Gründe: 

I 0 

I/2 0 

v i 

Linienkern 

Linienflügel 

v 

δν 

Abb. 14.8: zur Breite einer Spektrallinie 

• Aufgrund der Energie-Zeit-Unschärfe (siehe Formel (4.3.3) in Abschnitt 4.3) führt die Lebensdauer τ eines 

Zustandes zu einer endlichen Energie-Unschärfe δE, die aber für stabile Zustände gegen null geht: 

δE ≥ 

2τ 

v k 

v 

(14.4.23) 

• Durch die (zufällige) Abstrahlrichtung der Photonen und die unterschiedliche Relativgeschwindigkeiten der 

Atome zum Detektor ergibt sich eine Verbreiterung der Linie aufgrund des Doppler-Effektes. 

• Die Wechselwirkung der emittierten Photonen mit den Nachbaratomen führt zu einer Verschiebung der atomaren 

Energieniveaus. 



natürliche Linienbreite: Ein atomarer Übergang kann als elektrischer Dipol modelliert werden. Nach Aufnahme 

eines Photons führt dieser eine gedämpfte Schwingung aus. Mit einer Dämpfungskonstante γ ≪ ω 0 und einer 

Resonanzfrequenz ω erhält man daher die folgende Lösung der Bewegungsgleichung des Dipolmomentes ⃗p = 

e · [0, 0, x] t : 

x ≈ x 0 e −(γ/2)t · cos(ωt) (14.4.24) 

Aufgrund der exponentiellen Dämpfung kommt es zu einer Veränderung der Frequenz mit der Zeit t. Man kann die 

Frequenzbreite (das Linienprofil) einer solchen Schwingung berechnen, wenn man seine Fourier-Transformierte 

berechnet. Es ergibt sich: 

A(ω) = x [ 

0 

√ · 8π 

1 

i(ω 0 − ω) + γ/2 + 1 

i(ω 0 + ω) + γ/2 

] 

(14.4.25) 

Das Betragsquadrat dieser Funktion (= Power-Spectrum) gibt die Intensitätsverteilung bei einem solchen Übergang 

an. Es ergibt sich ein Lorenz-Profil: 

I(ω) = |A(ω| 2 = 

const 

(ω − ω 0 ) 2 + (γ/2) 2 (14.4.26) 

Diese Funktion hat eine Halbwertsbreite von γ und ein (eigentlich zwei) um ±ω 0 zentriertes Maximum. In Abb. 

14.9 ist das ganze illustriert. 

E e 

x 

Schwingung x(t) 

Linienprofil I(ω) 

I 0 

t 

I/2 0 

γ 

E g 

0 

ω 0 

Abb. 14.9: Schema des verbreiterten Überganges; exponetiell gedämpfte harmonische Schwingung und ihr Power- 

Spectrum (Lorenz-Profil). 

Diese Linienbreite γ heißt natürliche Linienbreite, weil sie durch die gedämpfte Schwingung, also endliche 

Abstrahldauer, des atomaren Überganges erzeugt wird. Die Größenordnung der natürlichen Linienbreite sind etwa 

10 MHz bei einer Lebensdauer von τ = 16 ns. 

Doppler-Verbreiterung: Die Atome in einem Gas bewegen sich in zufällige, aber gleichverteilte, Richtungen. 

Angenommen das Atom hat die Geschwindigkeit ⃗v relativ zum Detektor, dann misst man am Detektor die Frequenz 

ω d = ω 0 + ⃗ k · ⃗v mit ∣ ⃗ k∣ = 2π (14.4.27) 

λ 

Dabei ist ⃗ k der Wellenvektor des Photons und gibt die Richtung an, in das das Photon ausgesannt wurde. Umgekehrt 

nimmt das Atom eine eingestrahlte Welle der Frequenz ω und des Wellenvektors ⃗ k mit der verschobenen Frequenz 

ω ′ wahr: 

ω ′ = ω − ⃗ k · ⃗v (14.4.28) 

In einem thermischen Gas folgt die Geschwindigkeit der Atome einer Boltzmann-Verteilung. Das bedeutet, dass 

eine Richtungskomponente z.B. v z ) Gauß-verteilt ist. Es gilt also: 

n(v z ) = 

N 

v w 

√ π 

e −(vz/vw)2 (14.4.29) 

Dabei ist v w = √ 2k B T/m die wahrscheinlichste Geschwindigkeit eines Atoms. Nimmt man an, dass ⃗ k = 

[0, 0, k z ] t nur eine z-Komponente hat, so kann man (14.4.28) auch so schreiben: 

ω ′ = ω − k z v z ⇒ v z = ω − ω′ 

k z 

, dv z = 1 k z 

dω (14.4.30) 

Damit kann man (14.4.29) auf Frequenzen umschreiben und erhält eine Gauß-förmige Verbreiterung der Absorptionslinie: 

n(ω) ∝ e −(ω−ω0)2 (14.4.31) 



Man erhält noch die Breite dieser Verteilung zu 

δω D = ω √ √ [ 

] 

0 

c · 8kB T · ln 2 T 2 

∝ 

m m und damit n(ω) = n 0 · e − (ω−ω 0)/(0.6δω D ) 

(14.4.32) 

Die Doppler-Verbreiterung einer Spektrallinie liegt üblicherweise etwa zwei Größenordnungen über der natürlichen 

Linienbreite (bei Raumtemperatur). 

Stoßverbreiterung: Es können elastische und inelastische Stöße zwischen den Atomen eines Gases vorkommen. 

Bei elastischen Stößen nähern sich zwei Atome A und B bis auf einen Abstand R min an. Je nach dem Abstand 

R(A, B) verschieben sich die Energieniveaus der einzelnen Atome etwas, das sich die Wellenfunktionen leicht 

überlappen. Dies führt zu einer Frequenzverschiebung in der Absorption und Emission bei atomaren Übergängen. 

Aufgrund der statistischen Verteilung der Stoßabstände R im Gas bewirkt dieser Prozess auch eine Verbreiterung 

der Linie. Man kann dies auch so interpretieren: Während des Vorbeifluges stört das Atom B die Frequenz des 

Überganges. Dies führt insgesamt zu einer Phasenverschiebung in der Abstrahlung. Dauert die Störung lange 

genug an, so erhält man zwei getrennte, sich außer Phase befindende, Wellenzüge. 

Bei inelastischen Stößen wird ein Teil der Energie nicht als Strahlung abgegeben, sondern in Bewegungsenergie 

umgesetzt. Andersherum kann die Energie auch durch einen Stoß erhöht werden. Dies führt ebenfalls zu einer 

Verbreiterung der Linienprofile. 


15 Festkörperphysik 

15.1 Grundlegende Eigenschaften von Festkörpern 

In diesem Abschnitt sollen einige Größen definiert und erklärt werden, die für die Festkörperphysik grundlegend 

sind und im folgenden gebraucht werden. 

15.1.1 Aufbau von Festkörpern 

Ein kristalliner Festkörper besteht aus einem regelmäßigen Gitter von Atomen. Diese befinden sich (idealerweise) 

an den Minima der potentiellen Energie. Dabei bestimmen verschiedene Bindungsverhältnisse die potentielle 

Energie zwischen zwei Atomen: 

• Ionenkristall: Die Ionenbindung kommt durch die elektrostatische Anziehung entgegengesetzt geladener 

Ionen zustande. Damit gilt φ(r) ∝ − 1 r 

• van-der-Waals-Kräfte: Die Bindung von ungeladenen Molekülen erfolgt durch die Wechselwirkung der 

durch Fluktuationen in der Elektronenverteilung entstehenden Dipolmomente. Darum gilt φ(r) ∝ − 1 

r 

. 6 

Werden die Kerne zu weit angenähert, so stoßen sie sich aufgrund des Pauli-Prinzips gegenseitig ab. Dort 

gilt φ(r) ∝ 1 

r 

. Beispiele sind etwa Molekülkristalle, z.B. aus Ethen oder Kristalle aus Edelgasen. 

12 

• kovalente Bindung: hier überlagern sich die atomaren Orbitale und bilden Molekülorbitale. Das sind Zustände, 

in denen ein Elektron zwei oder mehr Atomrümpfen zugeordnet wird. Der Diamant ist z.B. ein 

kovalent gebundener Kristall. 

• Metallbindung: Hier sind die (positiv geladenen) Atomrümpfe zu einem Gitter angeordnet. Das Valenzelektron 

aller Atome ist quasi frei und kann sich im gesamten Festkörper bewegen. Diese „verschmierten“ 

Elektronen bewirken die Bindung. Beispiele sind natürlich alle Metalle, wie Eisen usw. 

• Wasserstoff-Brücken-Bindung: Hier wechselwirken ebenfalls Dipolmomente miteinander. Im H 2 O-Molekül 

besitzt der Sauerstoff eine wesentlich größere Elektronegativität, wie der Wasserstoff, sodass er die Elektronen 

stärker zu sich hinzieht. Dies führt dazu, dass das Wassermolekül ein permanentes Dipolmoment 

aufweist (Teilladungen δ ± ). Zwei solcher Dipolmomente können nun zu einer Bindung zusammenkoppeln: 

Ein Beispiel für einen solchen Kristall ist Wassereis. 

H − O − H δ+ · · · · · · δ− O − H 2 

In einem amorphen Festkörper ist die Anordnung der Atome nicht mehr regelmäßig. Die Bindungstypen sind 

aber noch die selben. 

15.2 Phononen (Gitterschwingungen) 

15.2.1 Adiabatische Näherung 

Ein Kristall (periodisches Gitter von Atomen) kann zu Schwingungen angeregt werden. Dabei schwingen die Atome 

um ihre Ruhelage im Kristallpotential φ. Zunächst beginnt man aber etwas allgemeiner mit dem Hamiltonian 

der Atome und Elektronen im Festkörper: 

Ĥ 0 = ∑ k 

Ĥ = 1 2 

∑ 

k 

ˆ⃗P 2 k 

2M k 

+ ∑ i 

m e 

M k 

ˆ⃗P 

2 

k + 1 2 

ˆ⃗p 2 i 

2m e 

+ ∑ i


In (15.2.1) und (15.2.2) beschreiben die ersten zwei Terme die kinetische Energie der Atomkerne und der Elektronen. 

Danach folgt die elektromagnetische Wechselwirkung der Elektronen untereinander, der Kerne untereinander 

und der Elektronen mit den Kernen. In der zweiten Formel (15.2.2) wurden die Skalen transformiert, sodass nur 

noch wenige Parameter übrig bleiben. Für das Verhältnis von Elektronen- zu Kernmasse gilt me 

M k 

< 1 

1800 , sodass 

man die kinetische Energie im Ĥ gegenüber der Energie der Elektronen vernachlässigen kann. Ist man also nur an 

der Bewegung der Elektronen interessiert (z.B. bei der Aufklärung der Bandstruktur von Metallen), so kann man 

die kinetische Energie der Kerne vernachlässigen. Dies nennt man die adiabatische oder Born-Oppenheimer- 

Näherung. Sie bedeutet, dass die Elektronenbewegung so schnell erfolgt, dass sie jeder Veränderung der Lage der 

Kerne sofort folgen kann. Mit diese Näherung erhält man den einfacheren adiabatischen Hamiltonian: 

⎛ 

∑ 

ˆ⃗p 2 i + m e e 2 ⎜∑ 

1 

Z k Z l 

Z k ⎟ 

Ĥ a = 1 2 

i 

⎝ 

i


Dabei ist φ(⃗r i − ⃗r j ) das Wechselwirkungspotential zwischen zwei Atomen. Hierbei kann es sich z.B. um ein 

Coulomb-Potential (Ionenkristall) oder ein Lennard-Jones-Potential handeln, wie es in Abb. 15.2 gezeigt ist. 

parabolische Näherug 

Lennard-Jones-Potential 

σ 

r 0 

r 

−ε 

Abb. 15.2: Lennard-Jones-Potential mit parabolischer Näherung 

Nun wird das Potential Φ K (..., ⃗r nα , ...) um die relative Auslenkung ⃗u nα − ⃗u mβ (=relative Abweichung aus der 

Ruhelage ⃗ R 0nα − ⃗ R 0mβ ) entwickelt. Man erhält dann: 

Φ K (..., ⃗r nα , ...) = 

∑ 

nα≠mβ 

φ( ⃗ R 0nα − ⃗ R 0mβ ) + ∑ 

nα≠mβ 

+ 1 2 

(⃗u nα − ⃗u mβ ) · ⃗∇φ( ⃗ R 0nα − ⃗ R 0mβ )+ 

∑ 

nα≠mβ 

[ 

⃗unα − ⃗u mβ · ⃗∇ ] 2 

φ( ⃗ R0nα − ⃗ R 0mβ ) + ... (15.2.9) 

Dabei ist der erste Term die potentielle Energie der Ruhelage, die man durch Verschieben des Energienullpunktes 

auf null setzen kann. Der zweite Term summiert über alle Kräfte ⃗ ∇φ auf alle Atome im Gleichgewichtszustand. Da 

diese stationär ist muss auch dieser Term verschwinden, sonst würde sich eine Bewegung der Atome ergeben. Es 

bleibt also der dritte, quadratische Term. Die Entwicklung kann natürlich noch fortgeführt werden, für die Einführung 

der Gitterschwingungen genügt hier aber die zweite Ordnung, sodass man das Potential in der harmonischen 

Näherung schreiben kann, als: 

Φ harmon 

K ≈ 1 2 

∑ 

nα≠mβ 

[ 

⃗unα − ⃗u mβ · ⃗∇ ] 2 

φ( ⃗ R0nα − ⃗ R 0mβ ) (15.2.10) 

Mit Hilfe dieses Potentials kann man in Analogie zum Federpotential V = k 2 x2 die zweiten Ableitungen als 

verallgemeinerte Kopplungskonstanten auffassen: 

nαi = ∂2 Φ harmon 

K 

, i, j ∈ {x, y, z} (15.2.11) 

∂r nαi ∂r mβj 

C mβj 

Man kann sich also die Gitteratome durch Federn der Härte C mβj 

nαi 

15.2.3 Normalkoordinaten und lineare Kette 

verbunden vorstellen. 

Nachdem das Potential Φ harmon 

K 

nun auf einen quadratischen Term zurückgeführt wurde kann man damit beginnen 

die Lösungen dieses Vielteilchenproblems zu ermitteln. Dazu vereinfacht man das Problem nochmals ein wenig: 

Man betrachtet nun nur noch eine lineare Kette von Atomen, die durch Federn der Stärke C verbunden sind. 

Dieses Modell ist auch für reale Festkörper nicht so schlecht, wenn man beachtet, dass ganze Gitterebenen gegeneinander 

schwingen. Auch die Beschränkung auf nächste Nachbarn entspricht den Gegebenheiten im Kristall, weil 

die Wechselwikungspotentiale relativ schnell (auf der Skala von zwei Atomabständen) abfallen. Man erhält also 

folgenden Hamiltonian: 

N∑ 

{ 1 

Ĥ = 

2M ˆp2 s + C } 

2 (ˆx s+1 − ˆx s ) 2 (15.2.12) 

s=1 

Um die Periodizität des Problemes (Kristallgitter) auszunutzen führt man eine Variablentransformation durch: 

ˆx q = 1 √ 

N 

∑ 

q 

ˆX q e iqsa bzw. ˆXq = √ 1 ∑ 

ˆx s e −iqsa (15.2.13) 

N 

c○ 2004-2007 by Jan Krieger (http://www.jkrieger.de/) – 140 – 

s


Diese Transformation entspricht der diskreten Fouriertransformation (DFT) der Koordinaten. Man nimmt also die 

Fourierkoeffizienten des Gitters als Koordinaten. Der Index s ∈ N nummeriert einfach die Atome der Kette durch. 

Es also bleibt dabei noch zu klären, über welche q hier summiert wird. Dafür betrachtet man das Modell der 

linearen Kette. Da der Festkörper sehr groß sein soll (N ≫ 1) kann man beliebige (mathematisch geschickte) 

Randbedingungen fordern, ohne die Ergebnisse stark zu beeinflussen. Deswegen sollen hier periodische Randbedingungen 

angenommen werden: 

x 1 = x N (15.2.14) 

Dies führt zu einer maximalen Wellenlänge von λ max = L, wobei die Länge der Kette mit L = N · a festgelegt 

ist. Eine Schwingung der Welle muss mindestens 3 Gitterpunkte umfassen, damit sie sinnvoll in das Modell passt 

(Nyquist-Theorem). Die kleinste Wellenlänge im Modell ist also λ min = 2a, wobei a der Abstand zweier Atome 

im Gitter ist. Daraus erhält man den minimalen und den maximalen Wellenvektor q min = − π a und q max = π a . 

Dazwischen liegen N mögliche Wellenvektoren im Abstand 2π L . Es gilt also insgesamt1 : 

q = 2π L · p = 2π a · p 

N , p = 0, ±1, ±2, ..., ±N 2 

(15.2.19) 

Der Wellenvektor q wurde so gewählt, dass die Längen symmetrisch um q = 0 liegen. Dies ist aber aufgrund der 

Periodizität des Problems eine willkürliche Festlegung. Die Transformation für den Impuls/Wellenvektor ˆp s lautet 

analog: 

ˆp s = √ 1 ∑ 

ˆP q e −iqsa bzw. ˆPq = 1 ∑ 

√ ˆp s e iqsa (15.2.20) 

N N 

q 

Man kann nun zeigen, dass auch ˆX s und ˆP q ein Paar konjugierter Variablen (siehe Abschnitt 3.1 und Abschnitt 

3.2) bilden, indem man die Kommutator-Relation 

ausnutzt. Es gilt dann nämlich weiter: 

s 

[ˆx s , ˆp q ] = iδ s,q (15.2.21) 

[ˆX q ′, ˆP q ] = 1 N [∑ s 

ˆx s e −iq′ sa , ∑ r 

ˆp r e iqra ] = 

1 ∑ 

= [ ∑ ˆx s e −iq′ sa , ˆp r e iqra 1 ∑ ∑ 

] = 

[ˆx s e −iq′ sa , ˆp r e iqra ] = 

(2.3.8) N 

(2.3.8) N 

r s 

r s 

= 1 ∑ ∑ 

[ˆx s , ˆp r ] e ia(qr−q′ s) 1 ∑ ∑ 

= 

iδ s,r e ia(qr−q′ s) = 

N 

(15.2.21) N 

r s 

r s 

= i ∑ 

e ias(q−q′ ) i ∑ 

e i2πs(n−n′ )/N = iδ q,q ′ 

N 

N 

s 

= 

p= 2π a · n 

N 

Im letzten Schritt wurde die Fourier-Darstellung des Kronecker-Delta verwendet. Dies entspricht der Vollständigkeitsrelation 

der diskreten Fourier-Basis, bzw. der Orthogonalität deren Basisvektoren e i2πsn/N : 

∑ 

e −i(q−q′ )ra = Nδ q,q ′ (15.2.22) 

r 

Damit sind also auch ˆX q und ˆP q konjugierte Variablen. Dieses Ergebnis wird sich später noch als nützlich für die 

Analogie zum quantenharmonischen Oszillator (siehe Abschnitt 8) erweisen. Mit diesen neuen Operatoren kann 

s 

1 In der klassischen Betrachtung erhält man die folgende Differentialgleichung für die Gitterschwingungen: 

M · ∂2 u n 

∂t 2 = C · (u n+1 − u n) + C · (u n−1 − u n). (15.2.15) 

Dafür kann man eine einfache Lösung für die Auslenkung des n-ten Atoms u n(t) = U(q) · e −i(ωqt−qan) finden. Daraus ergibt sich 

durch Einsetzen die Dispersionsrelation: 

ω 2 = 2C [1 − cos qa]. (15.2.16) 

M 

Nimmt man weiter periodische Randbedingungen u 0 (t) = u N (t) bei einer linearen Kette der Länge L = Na. Daraus ergibt sich dann 

weiter 

e iqa = e iqaN ⇒ e iqa(N−1) = 1. (15.2.17) 

Daraus ergibt sich die Bedingung qa(N − 1) = 2πm, m ∈ Z, oder: 

q = 

2πa 

N − 1 · m = 2π 

L − a m ≈ 2π m, m ∈ Z (15.2.18) 

L 



man nun den Hamiltonian (15.2.12) umformulieren: 

( ) 2 N∑ 

ˆp 2 s = 1 N∑ ∑ 

ˆP q e −iqsa = 1 ∑ ∑ ∑ 

ˆPq ˆPq ′ e −i(q+q′ )sa = 

N 

N 

s=1 

s=1 q 

s q q ′ 

= 1 ∑ ∑ 

ˆPq ˆPq ′δ −q,q ′ = 1 ∑ 

ˆP q ˆP−q (15.2.23) 

N 

N 

q q ′ q 

[ 

N∑ 

[ˆx s+1 − ˆx s ] 2 = 1 ∑ ∑ 

ˆX q e iq(s+1)a − ∑ ] 2 [ ] 2 

ˆX q e iqsa = 1 ∑ ∑ 

(e iqa −1)ˆX q e iqsa = 

N 

N 

s q 

q 

s q 

= 1 ∑ ∑ ∑ 

ˆXq ˆXq ′(e iqa −1) · (e iq′a −1) e i(q+q′ )sa = 

N 

s q q ′ 

= 1 ∑ ∑ 

ˆXq ˆXq ′(e iqa −1) · (e iq′a −1)Nδ q,−q ′ = ∑ ˆX q ˆX−q (e iqa −1) · (e −iqa −1) = 

N 

q q ′ q 

= 1 ∑ 

ˆX q ˆX−q · (1 − e iqa − e −iqa +1) = 2 ∑ ˆX q ˆX−q · (1 − cos qa) (15.2.24) 

N 

q 

q 

s=1 

Mit diesen Ergebnissen kann man den Hamiltonian (15.2.12) nun umschreiben: 

N∑ 

{ } { 

} 

1 

Ĥ = 

2M ˆP q ˆP−q + C · (1 − cos qa) · ˆX 

N∑ 1 

q ˆX−q = 

2M ˆP q ˆP−q + Mω2 q 

· 

2 

ˆX q ˆX−q 

q=1 

q=1 

(15.2.25) 

Dabei wurde die Oszillatorfrequenz ω q so definiert: 

√ 

2C 

ω q = (1 − cos ka) (15.2.26) 

M 

Dies entspricht gerade der auch klassisch erhaltenen Phonon-Dispersionsrelation (15.2.16). Sie ist (für kontinuierliches 

q) in Abb. 15.3 aufgetragen. 

1. BZ 

ω 

-π/a 

0 π/a 

Abb. 15.3: Phononendispersionsrelation für eine 1D-Kette und nächste-Nachbarn-Wechselwirkung. Die 1. Brillouin-Zone 

(1. BZ) ist hellgrau schattiert. In der Nähe von q = 0, also für Wellenlängen λ ≈ L ergibt sich nahezu lineare 

Dispersion. An den Rändern der 1. Brillouin-Zone (1. BZ) gilt λ ≈ 2a. Dort ergeben sich stehende Wellen. 

Nun kann man aus (15.2.25) die Bewegungsgleichungen extrahieren. Nach der Heisenberg-Gleichung (4.7.5) 

gilt: 

i dˆX q 

= [ 

dt 

ˆX q , Ĥ] = i 1 M ˆP −q (15.2.27) 

Damit folgt durch Einsetzen weiter (die Energie ist erhalten!): 

i d2 ˆXq 

dt 2 = [ ˙ˆXq , Ĥ] = 1 M [ˆP −q , Ĥ] = iω2 q ˆX q (15.2.28) 

Dieses Ergebnis entspricht aber der Bewegungsgleichung eines harmonischen Oszillators, sodass man sofort die 

Energieeigenwerte des Hamiltonian Ĥ angeben kann (siehe Ergebnisse von Abschnitt 8): 

( 

E q = n q + 1 ) 

ω q (15.2.29) 

2 

q 



Dabei gibt n q die Besetzung der Oszillator-Mode q an. Man kann die Gitterschwingungen also als System von 

N ungekoppelten harmonischen Oszillatoren auffassen, deren Frequenzen durch ω q mit den diskreten Werten für 

q = 2π L · p, p ∈ N gegeben sind. Nun kann man natürlich weiter noch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren 

â † q, â q für die einzelnen Moden q definieren und so zur 2. Quantisierung übergehen. Es bleibt noch zu bemerken, 

dass man diese Schwingungsanregung durch den Übergang zu Normalkoordinaten auf den gesamten Kristall verteilt 

hat. Dies bedeutet, dass die Schwingung nicht bei einzelnen Atomen lokalisiert ist, sondern jedes Atom in 

gewissem Maße zu jedem Phonon beiträgt. Aus den Normalmoden lassen sich nun beliebige Schwingungen als 

Linearkombination zusammensetzen. 

15.2.4 Phononenzustandsdichte 

Im letzten Abschnitt wurde der 1D-Fall der Gitterschwingungen klassisch und quantenmechanisch behandelt. Dabei 

ergab sich die Bedingung q = 2π L 

m, m ∈ Z für den Wellenvektor. Betrachtet man einen kubischen, isotropen 

Kristall der Kantenlänge L, so erhält man analog für ⃗q = (q x , q y , q z ) t : 

q i = 2π L m i, i ∈ {x, y, z}, − M 2 < m i ≤ M 2 

(15.2.30) 

Dabei ist M = N 3 die Anzahl der Atome. Der Abstand zwischen zwei Atomen beträgt wieder a. Geht man davon 

aus, dass die Kopplungskonstanten C i in allen Richtungen unterschiedlich sind, so erhält man drei unterschiedliche 

Zweige der Dispersionsrelation, die jeweils N Schwingungszustände aufweisen. Auch bei einem beliebigen 

Kristall (mit windschiefen Achsen) kann man leicht zeigen, dass die Zustände innerhalb einer Elementarzelle des 

reziproken Gitters (1. Brillouin-Zone) gleichverteilt sind. Damit kann man die Zustandsdichte im ⃗q-Raum direkt 

angeben: 

ρ ⃗q = 

M 

(2π) 3 /V Z 

= 

V 

(2π) 3 (15.2.31) 

Dabei ist V Z = V M 

das Volumen einer Elementarzelle des Kristalls mit dem Volumen V und der Anzahl der Atome 

M. Diese Gleichung besagt, dass es im ⃗q-Raum einen Schwingungszustand pro Volumen ∆q = (2π)3 

V 

gibt. Dies 

entspricht dem kleinsten erlaubten Wellenvektor q min = 2π L 

bei der linearen Kette. 

In der statistischen Mechanik ist die Zustandsdichte D(E) oder D(ω) (mit ω = E/) eine wichtige Größe. Aus 

ihr lässt sich z.B. die innere Energie U(T ) und daraus mit c V = ∂U 

∂T 

die Wärmekapazität berechnen. Darum soll 

nun die Funktion D(ω) ermittelt werden. Dazu betrachtet man zunächst Abb. 15.4. 

q y 

S(ω+dω) 

S(ω) 

dq ⊥ 

dS ω 

Bereich konstanter 

Frequenz ω 

q x 

Elementarzelle im q-Raum 

(enthält einen Zustand) 

Abb. 15.4: zur Berechnung der Zustandsdichte von Phononen: Gezeigt ist der ⃗q-Raum. jeder graue Punkt bezeichnet 

einen Zustand. Die Kurve S(ω) ist die Kurve konstanter Frequenz, die über die Dispersionsrelation q(ω) festgelegt 

ist. Außerdem sind die Integrationskonstanten eingezeichnet. 

Es gilt formal: 

D(ω) dω = ρ ⃗q · V q (ω = const) = ρ ⃗q · 

∫ 

omega+dω=const 

ω=const 

ρ ⃗q d 3 q (15.2.32) 



Dabei wird über den Raum der Schale zwischen S(ω) und S(ω + dω) integriert. Die Integration lässt sich nach 

Abb. 15.4 umformen: 

∫ ∫ 

d 3 q = dq ⊥ dS ω 

Hierin kann man das Element dq ⊥ über die Gruppengeschwindigkeit v g = dω 

dq 

= |⃗ ∇ ⃗q ω| ausdrücken. Da sich die 

Gruppengeschwindigkeit nicht auf der Oberfläche S(ω) ändert (dort ist ja ω = const), sondern nur senkrecht dazu, 

gilt weiter: v g = | ∇ ⃗ ⃗q ω| = |dω/dq ⊥ |. Daraus erhält man dann durch Einsetzen in (15.2.32): 

D(ω) dω = 

V 

(2π) 3 dω · 

∫ 

ω=const 

dS ω 

v g 

. (15.2.33) 

Im Allgemeinen muss nun die Richtungsabhängigkeit der Gruppengeschwindigkeit betrachtet werden. Für einen 

isotropen, kubischen Kristall gilt aber, dass S(ω(q)) die Oberfläche einer Kugel mit Radius q = |⃗q| ist. Man erhält 

dann: 

D(ω) dω = 

V 4πq 2 (ω) 

(2π) 3 dω = V q 2 

v g 2π 2 dω. (15.2.34) 

v g 

In isotropen Medien gilt eine lineare Dispersion ω = v g q, sodass D(ω) ∝ ω 2 wird. In Abb. 15.5 ist ein Vergleich 

von (isotropem) Modell und Realität gezeigt. 

1. Brillouin-Zone 

Diamant (schematisch) 

Modell 

D(ω) 

van-Hove-Singularität 

ω 

optische Phononen 

Abb. 15.5: Vergleich der Zustandsdichte der Phononen im Diamant und im isotropen Modell 

Im Diamant treten aufgrund der zweiatomigen Basis auch optische Phononen auf, die aber nur einen sehr kleinen 

Frequenzbereich überschreiten. Sie erzeugen das rechte Maximum in der Kurve. Für kleine Frequenzen ist die 

Dispersionsrelation auch für Diamant gut linear, sodass sich hier eine weitgehende Übereinstimmung ergibt. An 

der Brillouin-Zonengrenze erreicht das theoretische Modell sein Maximum. 

van-Hove-Singularitäten: In der Dispersionsrelation realer Kristalle gibt es immer Bereiche in denen ω(⃗q) = 

const gilt und die Gruppengeschwindigkeit somit (im 1D-Fall) divergiert. Man nennt solche Punkte kritische Punkte. 

In realen Festkörpern divergiert v g hier nicht. 

15.2.5 Wärmekapazität der Phononen (Debye-Modell) 

Wie am Anfang von Abschnitt 15.2.4 bereits erwähnt kann man mit der Zustandsdichte der Phononen die Wärmekapazität 

c V eines Festkörpers berechnen. Diese ist definiert als: 

c V = ∂U 

∂T ∣ = 1 ( 〈 

V =const 

k B T 2 Ĥ 2〉〉 2) 

− 

〈Ĥ 

(15.2.35) 

Sie gibt also einerseits an, wie sich die innere Energie U 〈Ĥ〉 bei einer Temperaturerhöhung verhält und ist andererseits 

ein Maß für die Schwankung der inneren Energie U = . Die innere Energie U(T ) des Festkörpers lässt sich 



nun mit der Besetzungszahl 〈n(ω, T )〉 berechnen: 

U(T ) = 

∫ ωD 

0 

ω D(ω) 〈n(ω, T )〉 dω (15.2.36) 

Da Phononen Bosonen sind, muss man für 〈n(ω, T )〉 die Bose-Einstein-Verteilung einsetzen: 

Insgesamt gilt dann also: 

〈n(ω, T )〉 = 

U(T ) = 

∫ ωD 

0 

1 

e ω/k BT 

−1 

(15.2.37) 

ω · D(ω) 

dω (15.2.38) 

e ω/k BT 

−1 

Um dieses Integral zu lösen muss man noch Die Zustandsdichte D(ω) bestimmen. Dabei soll hier in der Debye- 

Näherung gerechnet werden. Bei dieser setzt man eine lineare Dispersion ω = v g q an. Dies gilt für einen isotropen 

Körper exakt. Durch Einsetzen in (15.2.34) erhält man dann für jeden Zweig der Dispersionsrelation: 

D(ω) = 

V 4πq 2 

(2π) 3 = V ω 2 

v g 2π 2 vg 

3 

(15.2.39) 

Die maximal erlaubte Schwingungsfrequenz ω max kann man über die Anzahl N von Schwingungszuständen pro 

Zweig der Dispersionsrelation definieren: 

N = 

∫ 

ω max 

0 

D(ω) dω = 

∫ω max 

0 

V ω 2 

2π 2 vg 

3 dω = 

V 

6π 2 ω 3 max 

v 3 g 

(15.2.40) 

Mit V N = a3 ergibt sich daraus: 

√ 

ω max = v g · 3 6π2 N 

= v g 3√ 

6π 

2 

(15.2.41) 

V a 

Ein 3-dimensionaler Festkörper hat nun drei Zweige für akustische Phononen, zwei transversale und einen longitudinalen. 

Die Gruppengeschwindigkeit in den transversalen Richtungen ist v T und in longitudinaler Richtung 

v L . Die Zustandsdichten dieser drei Zweige müssen addiert werden. Darum definiert man die sog. Debye- 

Geschwindigkeit über: 

3 

v 3 D 

= 2 

v 3 T 

+ 2 

vL 

3 . (15.2.42) 

Damit gilt dann: 

D(ω) = V ( ω2 1 

2π 2 vL 

3 + 1 ) 

vT 

3 = 3V ω 2 

2π 2 vD 

3 (15.2.43) 

Eigentlich gibt es für jeden Zweig eine eigene obere Grenzfrequenz ω max . Für dieses Modell berechnet man aber 

üblicherweise ω max aus (15.2.41), wenn man die Debye-Geschwindigkeit v D einsetzt. Man nennt diese Frequenz 

dann Debye-Frequenz ω D . Mit diesen Voraussetzungen kann man nun (15.2.38) berechnen: 

∫ ωD 

ω 

U(T ) = 

0 e ω/k BT 

−1 · 3V ω 2 

2π 2 vD 

3 dω = 

3V ∫ ωD 

ω 3 

∫ 

9N 

ωD 

ω 3 

2π 2 vD 

3 dω = 

0 e ω/k BT 

−1 ωD 

3 0 e ω/k BT 

−1 dω 

(15.2.44) 

Mit der Debye-Frequenz ω D lässt sich noch die Debye-Temperatur Θ D definieren, über ω D = k B Θ D . Setzt 

man noch x = ω/k B T , so ergibt sich dx 

dω = 

k B T 

und man erhält aus (15.2.44): 

U(T ) = 

Daraus lässt sich dann berechnen: 

∫ 9N3 

xD 

(k B Θ D ) 3 

0 

ω 3 

e x −1 

c V (T ) = ∂U 

∂T = 9Nk B 

k B T dx 

 

T 3 ∫ xD 

Θ 3 D 0 

= 9Nk B 

T 4 

Θ 3 D 

∫ xD 

0 

x 3 

e x dx (15.2.45) 

−1 

x 4 e x 

(e x dx (15.2.46) 

−1) 

2 

Die beiden Kurven U(T ) und c V (T ) sind in Abb. 15.6 für verschiedene Stoffe (verschiedene Debye-Temperaturen) 

aufgetragen. Die Werte für Θ D bewegen sich zwischen Θ D (He) = 25 K und Θ D (C) = 2230 K. 



U(T) 

NaCl (Θ=320 K) Si (Θ=640 K) C (Θ=2230 K) 

c V(T) 

10 

8 

6 

4 

2 

T 

200 400 600 800 1000 

200 400 600 800 1000 

T 

Abb. 15.6: Innere Energie und Wärmekapazität im Debye-Modell 

Für hohe Temperaturen T geht die Wärmekapazität gegen eine Konstante c V = 3N A k B . Dieses ist als DuLong- 

Petit-Gesetz bekannt. Für kleine Temperaturen (x D → ∞) erhält man c V ∝ Nk B 

( T 

Θ) 3. 

15.2.6 Nullpunktsenergie 

Bisher wurde bei der inneren Energie die Nullpunktsenergie U 0 noch nicht berücksichtigt. Da U(T ) ≡ U 0 + U(T ) 

gilt, spielt sie für die Wärmekapazität c V = ∂U 

∂T 

keine Rolle. Man kann U 0 relativ leicht berechnen, da jede 

mögliche Schwingungsmode immer die Energie 1 2ω trägt: 

U 0 = 

∫ω D 

0 

ω 

2 D(ω)dω = 9 8 Nk BΘ D (15.2.47) 



15.3 Elektronen im Festkörper 

15.3.1 Freies Elektronengas 

Für viele Metalle kann man die erlaubten Energiezustände der Elektronen im Festkörper sehr einfach berechnen. 

Dazu geht man wieder (wie bei den Phononen aus Abschnitt 15.2) von der adiabatischen Näherung aus. Diese 

besagt, dass die Bewegung der Kerne wesentlich langsamer, als die Elektronenbewegung erfolgt und sich die 

Elektronen somit in einem quasi-statischen Potential bewegen. Zusätzlich macht man noch die sog. Einelektron- 

Näherung. Sie besagt, dass ein einzelnes Elektron herausgegriffen werden und alle anderen Elektronen zusammen 

mit den Kernen/Atomrümpfen das effektive Potential bilden, in dem sich dieses Elektron bewegt. 

Es zeigt sich nun, dass es in vielen Fällen eine gute Näherung 

E 

ist, die Valenzelektronen als freies Gas von Elektronen in einem 

Kastenpotential zu beschreiben. Dies bedeutet, dass die Wechselwirkung 

E Fermi 

mit den Atomrümpfen und untereinander vernachlässigt wird. 

Im Festkörper ist das Potential 0, außerhalb ∞. Das Kastenpotential 

wurde bereits in 6.3 besprochen. Die Teilchen (hier Elektronen) 

E n 

dürfen nur diskrete Energien annehmen, die sich im 1D-, 2D- und 

3D-Fall allerdings unterscheiden. 

Man kann mit diesen Voraussetzungen recht einfach die Schrödingergleichung 

der Elektronen aufstellen: 

0 

x 

Hierfür findet man leicht die Lösung 

mit den Energien 

− 2 

∆ψ(⃗r) = E · ψ(⃗r) (15.3.1) 

2m 

ψ(⃗r) = 1 N ei⃗ k·⃗r 

Abb. 15.7: Potentialkasten-Modell für die 

Elektronen im Festkörper (1D) 

(15.3.2) 

E = 2 k 2 

2m . (15.3.3) 

Da der Festkörper (Länge L) groß sein soll gegen den Atomabstand a 0 kann die Randbedingungen beliebig wählen. 

Hier wählt man die periodischen Randbedingungen 

Damit ergeben sich diskrete, erlaubte Werte für k: 

ψ(x + L, y, z) = ψ(x, y, z) usw. (15.3.4) 

k i = 2π L m i, m i ∈ Z, z ∈ {x, y, z}. (15.3.5) 

Aus diesen Ergebnissen kann man die Dichte der Zustände im k-Raum 

berechnen. Dort belegt jeder Zustand (m x , m y , m z ) das Volumen V k = 

(2π) d 

, wobei d die Dimensionalität des Problemes ist. Es ergibt sich also: 

L d 

k y 

ρ k = 1 V k 

= 

Ld 

(2π) d (15.3.6) 

Die Zustandsdichte eines solchen Gases D(E) berechnet man am einfachsten 

als Ableitung der Zustandssumme Z(E). Diese gibt an, wieviele 

Zustände bis zu einer Energie E existieren. In Abb. 15.8 ist gezeigt, wie 

die Zustände im k-Raum gleichverteilt sind. Die Zustände innerhalb einer 

√ 

2mE 

 

haben Energien E 2 

Zustand ≤ E. Sie müssen 

Kugel mit Radius k = 

gezählt werden. Dies kann aber einfach erfolgen, wenn man das Volumen 

der Kugel durch das Volumen pro Zustand dividiert. Im dreidimensionalen 

Fall erhält man dann: 

Z(E) = 

4π 

3 k3 

V k 

= 

4π 

3 k3 

(2π) 3 

V 

Formt man (15.3.3) um, so ergibt sich k = 

= V · k3 

6π 2 ∝ k 3 (15.3.7) 

√ 

2mE 

 

und damit schließlich: 

2 

E


Daraus berechnet man dann die Zustandsdichte: 

D(E) = dZ 

dE = (2m)3/2 V 

2π 2 3 √ 

E ∝ 

√ 

E (15.3.9) 

Für den zwei- und eindimensionalen Fall erhält man aus einer analogen Rechnung: 

In Abb. 15.9 ist die 3D-Zustandsdichte gezeigt. 

2D: D(E) = L2 m 

2π ∝ 1 (15.3.10) 

1D: D(E) = L√ 2m 

π 

· 

1 

√ 

E 

∝ 1 √ 

E 

(15.3.11) 

Zustandsdichte D(E) 

1 

〈n〉(E) 

2k B 

T 

T=0K 

T=1K 

T=10K 

0 E F 

Energie E 

Abb. 15.9: Zustandsdichte des freien Elektronengases im 3D-Fall und die Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion für verschiedene 

Temperaturen. 

Im Gegensatz zu den bisher betrachteten Phononen sind Elektronen Fermionen, gehorchen also der Fermi-Dirac- 

Verteilung (siehe auch Abb. 15.9): 

1 

〈n〉 (E, T ) = 

(15.3.12) 

e (E−µ)/k BT 

+1 

Wie man der Abbildung entnimmt nähert sich die Fermi-Dirac-Verteilung für T → 0 einer Stufenfunktion an. Die 

Stufe liegt bei E = µ, wobei µ das chemische Potential ist. Dies bedeutet, dass alle Zustände bis zur Energie µ 

besetzt sind. Zustände mit E > µ können bei T = 0 nicht besetzt sein. Im Falle von Bosonen würden sich alle 

Teilchen im niedrigsten Energiezustand sammeln (→ Bose-Einstein-Kondensation). Für Fermionen gilt aber das 

Pauli’sche Ausschlussprinzip, welches besagt, dass sich keine zwei Elektronen im selben Zustand befinden dürfen. 

Dies impliziert, dass die Elektronen die niedrigsten Energiezustände sukzessive auffüllen müssen. 

Das chemische Potential µ gibt die Mindestenergie an, die aufzuwenden ist, um ein zusätzliches Elektron in das 

Fermi-Gas einzubringen. Mit der freien Energie F gilt µ = ∂F ∣ 

∂T T,V 

. Man nennt die Energie E F , bis zu der die 

Zustände der Elektronen bei T = 0 aufgefüllt sind die Fermi-Energie. Es gilt damit: 

0 

0 

µ 

E F = µ(T = 0) (15.3.13) 

Hier ist explizit T = 0 angenommen für T > 0 verschiebt sich das chemische Potential etwas. Es gibt aber immer 

die Mitte der Kante der Fermi-Verteilung an. Dort ist 〈n〉 (E, T ) = 1 2 

, sodass man für kleine Temperaturen T 

nähern kann: 

[ ( ) ] 2 

µ(T ) ≈ E F · 1 − π2 kB T 

(15.3.14) 

12 E F 

Über die Zustandsdichte D(E) lässt sich die Fermienergie berechnen. Summiert man über alle bei T = 0 besetzten 

Zustände E < E F (innerhalb der sog. Fermi-Kugel), so muss sich die Gesamtzahl N der Valenzelektronen 

im Festkörper ergeben: 

n = N ∫∞ 

V = D(E) 〈n〉 (E, T = 0) dE = 

0 

∫E F 

0 

D(E) dE = 

Diese Gleichung kann man nach E F auflösen und erhält so: 

E F = 2 (3π 2 n) 2/3 

2m 

Zusätzlich zu dieser Fermienergie definiert man noch weitere Größen: 

∫E F 

0 

(2m) 3/2 V 

2π 2 3 

E 

√ (2m) 3/2 V 2E 3/2 

E dE = 

F 

2π 2 3 3 

(15.3.15) 

∝ n 2/3 (15.3.16) 



• Fermi-Wellenvektor über E = 2 k 2 /(2m): 

• Fermi-Geschwindigkeit über k = p = mv: 

• Fermi-Temperatur: 

k F = (3π 2 n) 2/3 (15.3.17) 

v F = m (3π2 n) 2/3 (15.3.18) 

T F = E F 

k B 

(15.3.19) 

Diese Größen beschreiben die Eigenschaften eines Elektrons an der Fermikante E = E F . Die folgende Tabelle 

gibt einige Beispiele für die Werte dieser Konstanten: 

n[10 28 m −3 ] k F [Å −1 ] v F [10 6 m/s] E F [ eV] T F [ K] 

Li 4.7 1.1 1.3 4.7 55 000 

Al 1.8 1.8 2.0 11.7 136 000 

Wie man an den ausgewählten Daten sieht liegt die Fermi-Temperatur T F immer weit über der Schmelztemperatur 

T S . Man kann also annehmen, dass sich Metalle so verhalten, als ob T ≈ 0 gelte. Die Fermikante wird durch 

T > 0 etwas aufgeweicht. Die breite des verschmierten Bereiches ist etwa 2k B T , sodass nur ein Bruchteil der 

Größenordnung T/T F der Elektronen thermisch angeregt wird. Es zeigt sich aus, dass das chemische Potential 

(15.3.14) üblicherweise als nahezu konstant angenommen werden kann. 

Wie im Kapitel über Phononen soll hier noch die Wärmekapazität der Elektronen im Kristall berechnet werden. 

Dazu bestimmt man zunächst die innere Energie U(T ): 

u = U ∫∞ 

V = E · D(E) 〈n〉 (E, T ) dE = 1 ( 2m 

2π 2 

0 

) ∞ 3/2 ∫ 

0 

E 3/2 

dE (15.3.20) 

e (E−µ)/k BT 

+1 

Dieses Integral muss numerisch gelöst werden. Für T ≪ T F erhält man folgende Näherungslösung: 

u ≈ u 0 + π2 

6 D(E F ) · 8k B T ) 2 ∝ T 2 (15.3.21) 

Dabei ist u 0 die innere Energie bei T = 0. In diesem Spezialfall lässt sich (15.3.20) lösen und man erhält: 

u 0 = U 0 

V 

∫ 

= ∞ 

0 

E · D(E) 〈n〉 (E, T = 0) dE = 

Man kann nun weiter mit der Näherung (15.3.21) die Wärmekapazität c V berechnen: 

∫E F 

c V = ∂u 

∂T ≈ π2 T 3nk B 

3 T F 2 

0 

E · D(E) dE = 3n 5 E F = 3n 5 k BT F (15.3.22) 

∝ T (15.3.23) 

Nach (15.2.46) tragen die Phononen mit c V = βT 3 bei kleinen Temperaturen zur Wärmekapazität bei. Bei 

hohen Temperaturen geht der phononische Anteil gegen eine Konstante (DuLong-Petit-Gesetz). Damit kann man 

die gesamte Wärmekapazität eines Festkörpers (elektronischer und phononischer Anteil) so anschreiben: 

{ 

3n A k B für T > Θ D 

c V = γT + 

βT 3 (15.3.24) 

für T ≪ Θ D 

c V 

reale Kurve 

3 

~ T+T 

phononischer 

3 

Anteil ~T 

elektronischer 

Anteil ~T 

Abb. 15.10: spezifische Wärmekapazität eines Metalls für kleine Temperaturen, aufgeschlüsselt in elektronischen und 

phononischen Anteil. 

T 



Bei hohen Temperaturen dominieren so die Beiträge des Phononen, während bei tiefen Temperaturen die elektronischen 

Effekte überwiegen. Dies ist für tiefe Temperaturen in Abb. 15.10 gezeigt. Das so berechnete Verhalten passt 

recht gut zu den Messergebnissen. Es ergeben sich aber auch (leichte) Abweichungen, die dadurch erklärt werden 

können, dass die Näherung eines flachen Potentials zu schlecht ist und man Wechselwirkungen mit den einzelnen 

Atomrümpfen beachten muss. Dies kann sehr einfach über die Einführung einer effektiven Masse m ∗ ≠ m Elektron 

geschehen, die die Fehler phänomenologisch ausgleicht. 



15.3.2 Anschauliche Herleitung der Bänderstruktur 

Im letzten Abschnitt wurden Elektronen in einem Kastenpotential betrachtet. Es zeigt sich, dass diese Näherung zu 

einfach ist. Darum soll im Folgenden untersucht werden, wie sich die Periodizität des Gitters auf die Wellenfunktion 

und Energiezustände der Elektronen auswirkt. Dabei wird sich eine Bänderstruktur der Elektronenniveaus im 

festkörper ergeben. In diesem Unterabschnitt soll diese anschaulich hergeleitet und motiviert werden. Der nächste 

Abschnitt beschäftigt sich dann mit einer genaueren Rechnung. 

Die nebenstehende Abb. 15.3.2 zeigt ein einfa- 

ches Modell von Elektronen im Festkörper mit Gitterkonstante 

R und kubischem Gitter. Dabei werden 

nur die Valenzelektronen (üblicherweise eines 

pro Atom) betrachtet, die sich frei im Potential der 

Atomrümpfe bewegen können. Die anderen Elektronen 

sind fest an die Rümpfe gebunden. Die Rümpfe 

selber sind fest im Raum und können sich somit 

nicht bewegen (adiabatische Näherung). Daneben 

ist das 1/r-Potential zweier Atomrümpfe mit Abstand 

R gezeigt. 

Wir betrachten zunächst ein Elektron im Potential 

zweier Rümpfe. Ist R ≫ a 0 (a 0 ist der Bohr’sche 

R 

2-dimensionales Modell 

der Valenzelektronen in 

einem Festkörpers 

Potential der Atomrümpfe: 

V(x) 

-R/2 R/2 

Abb. 15.11: links: Elektronen im Festkörper, rechts: Potential 

zweier positiver Ladungen im Abstand R. 

Radius), so überlappen die atomaren Wellenfunktionen nicht und das Elektron ist entweder an das linke oder rechte 

Atom gebunden. Man kann das System als Zweizustandssystem annähern (siehe auch Abschnitt 6.4), wobei 

die orthogonalen, stationären Zustände |l〉 und |r〉 existieren, die bedeuten, dass sich ein Elektron im Bereich des 

linken oder des rechten Atomrumpfes aufhält. Die Kopplung zwischen diesen Zuständen ist (wie gesagt) vernachlässigbar. 

Wird der Abstand R mit a 0 vergleichbar, so treten die bereits in 6.4.2 besprochenen Phänomene auf. Die Zustände 

koppeln über die Kopplunskonstante A aneinander. Es sind jetzt zwei stationäre Lösungen |+〉 und |−〉 erlaubt 

(Linearkombinationen der |l〉, |r〉), die unterschiedliche Energie-Eigenwerte E + , E − aufweisen: 

|+〉 = α + |l〉 + β + |r〉 

|−〉 = α − |l〉 + β − |r〉 

E ± = E l/r ± |A| 

Die energetische Entartung der Zustände |l〉, |r〉 (Energie E l/r ) wird also aufgehoben. Außerdem ist eine Oszillation 

zwischen den zwei Basiszuständen |l〉, |r〉 möglich. Dies bedeutet, dass das Elektron zwischen den beiden 

Atomrümpfen hin- und herwandern kann. Die Kopplungsenergie A skaliert mit der breite des Potentialwalles zwischen 

den Potentialtöpfen. 

Betrachtet man nun eine lineare Kette von N 

Atomen, so ergibt sich aus obiger Erklärung, dass 

die anfangs N-fache Entartung der Energie jedes 

atomearen Zustandes |i〉 auch hier mit kleiner werdendem 

R aufgehoben wird. Jeder Zustand spaltet 

dann in N verschiedene Energieniveaus auf, die 

ein „Band“ der Breite ∆ bilden (Abstand höchstes 

zum niedrigsten Niveau, die Unterniveaus liegen 

aber noch diskret!). In Abb. 15.3.2 ist dies für eine 

lineare Kette und zwei 6-fach entarteten Elektronenzustände 

|1〉, |2〉 mit den Energien E 1 , E 2 gezeigt. 

Macht man nun den Grenübergang N → ∞, so 

V(x) 

Potential einer linearen Kette mit N=6 Atomen: 

E 2 

2 

E 1 

1 

Abb. 15.12: Potential von N = 6 positiven Ladungen im Abstand 

R. Es sind zwei Energiebänder, zu den 6-fach entarteten 

atomaren Zuständen |1〉, |2〉 (Energien E 1, E 2) eingezeichnet. 

liegen die Energien dicht in den Intervallen ∆, sodass sich kontinuierliche Bänder mit erlaubten Energien herausbilden. 

In einem unendlich großen Kristall gibt es also bestimmte erlaubte Bänder, in denen sich die Elektronen 

aufhalten dürfen. Das oberste Band wird als Leitungsband bezeichnet, da es für die elektrische Leitfähigkeit des 

Kristalls verantwortlich ist. Diese erlaubten Bänder werden durch verbotene Bänder getrennt. 

Bisher wurde immer ein Elektron im Potential von N Atomrümpfen betrachtet. Außerdem wurde der Elektronenspin 

(siehe Abschnitt 9) nicht berücksichtigt. Der Spin führt zu einer weiteren, zweifachen Aufspaltung jedes 

Zustandes, sodass sich bei N Atomen 2N Niveaus ergeben. Befinden sich mehrere Elektronen im Festkörperpotential, 

so füllen sie die Bänder so auf, dass ein Zustand immer von genau einem Elektron besetzt wird (Pauli’sches 

Ausschluss-Prinzip). 

x 

x 



15.3.3 Schrödingergleichung im periodischen Potential 

Es soll hier zunächst ganz allgemein die stationäre Schrödingergleichung für ein R-periodisches ⃗ Potential Ṽ (⃗r) 

formuliert werden ( R ⃗ ist ein Gittervektor). Es gilt also: 

[ ] 

− 

2 

2m ∆ + Ṽ (⃗r) ψ(⃗r) = Eψ(⃗r) Ṽ (⃗r + R) ⃗ = Ṽ (⃗r) (15.3.25) 

Wie bei allen periodischen Problemen macht es Sinn das Potential als Fourier-Reihe nach den reziproken Gittervektoren 

G ⃗ darzustellen: 

V (⃗r) = ∑ i⃗r· ⃗G 

Ṽ ⃗G e (15.3.26) 

G ⃗ 

Wie das Bloch-Theorem (siehe Abschnitt 4.6) zeigt, überträgt sich die Periodizität des Potentials Ṽ auf die Wellenfunktion. 

Deswegen wird auch diese in eine Fouriersumme entwickelt: 

ψ(⃗r) = ∑ ⃗ k 

c ⃗k e i⃗r·⃗k 

(15.3.27) 

Damit kann man die Schrödingergleichung (15.3.25) auch so schreiben: 

∑ 2 k 2 

2m c ⃗ k 

e i⃗k·⃗r + ∑ c ⃗k ′Ṽ G ⃗ e i( G+ ⃗ ⃗ k ′ )·⃗r = E · ∑ 

c ⃗k e i⃗ k·⃗r 

⃗ k ⃗ k′ , G ⃗ ⃗ k 

(15.3.28) 

Darin kann man die Summationen geschickt zusammenfassen, wenn man ⃗ k ′ + G ⃗ → ⃗ k im zweiten Summanden 

ersetzt und erhält: 

⎡ 

⎤ 

∑ 

( 

⎣ 2 k 2 ) 

2m − E c ⃗k + ∑ c ⃗k− G ⃗ Ṽ ⃗G 

⎦ e i⃗k·⃗r = 0 (15.3.29) 

G ⃗ 

⃗ k 

Diese Gleichung entspricht der Schrödingergleichung, muss also auch für jeden (erlaubten) Ortsvektor ⃗r gültig 

sein. Dies ist aber nur möglich, wenn jeder der Summanden in den eckigen Klammern einzeln 0 wird. Dies bedeutet 

folgende Darstellung der Schrödingergleichung im ⃗ k-Raum, die für jeden erlaubten Vektor ⃗ k gültig sein muss: 

( 2 k 2 ) 

2m − E c ⃗k + ∑ c ⃗k− G ⃗ Ṽ ⃗G = 0 (15.3.30) 

G ⃗ 

Streng genommen erhält man also ein System von unendlich vielen Gleichungen (15.3.30), nämlich für jeden 

Vektor ⃗ k eine, die dann gelöst werden können. Da für ⃗ k nicht beliebige Werte erlaubt sind, erhält man ein endliches 

(oder zumindest abzählbar unendliches) System von Gleichungen (15.3.30). Jede dieser Gleichungen führt zu 

einer Wellenfunktion ψ ⃗k (⃗r), zu der eine Energie E ⃗k gehört. Die periodischen Randbedingungen aus dem letzten 

Abschnitt 15.3.1 erlauben nur N verschiedene Wellenvektore ⃗ k, wenn N Atome im Festkörper vorhanden sind. 

Dies lässt sich analog zu (15.3.5) auch aus (15.3.27) berechnen: 

ψ(⃗r) = ∑ ⃗ k 

c ⃗k e i⃗r·⃗k ! 

= ψ(⃗r + L⃗e x ) = ∑ ⃗ k 

c ⃗k e i⃗r·⃗k e ikxL (15.3.31) 

Dies kann nur erfüllt werden, wenn die einzelnen Summanden übereinstimmen. Damit muss aber e ikxL = 1 oder 

auch k x L = 2πm x , m x ∈ Z gelten, was zu den Bedingungen (15.3.5) führt: 

k x = 2π L m x (15.3.32) 

Damit sind die Koeffizienten c ⃗k nur noch mit solchen Koeffizienten c ⃗k− G ⃗ verknüpft, bei denen G ⃗ ein beliebiger 

reziproker Gittervektor ist. Man muss dann nur noch über alle verknüpften Koeffizienten summieren, um die 

Wellenfunktion ψ ⃗k (⃗r) zu ermitteln: 

⎛ 

⎞ 

ψ ⃗k (⃗r) = ∑ c ⃗k− G ⃗ e i(⃗ k− G)·⃗r ⃗ = ⎝ ∑ 

G ⃗ G ⃗ 

c ⃗k− G ⃗ e i G·⃗r ⃗ ⎠ e i⃗k·⃗r = u ⃗k (⃗r) e i⃗ k·⃗r 

(15.3.33) 

Die letzte Schreibweise in (15.3.33) zeigt, dass man so eine Wellenfunktion erhält, die dem Bloch-Theorem (4.6.4) 

gehorcht. Man nennt daher die ψ ⃗k (⃗r) auch Bloch-Funktionen. Für solche Bloch-Funktionen ergeben sich noch 

einige wichtige Eigenschaften: 



1. Bloch-Funktionen weisen auch im reziproken Raum eine Periodizität auf, nämlich um beliebige Gittervektoren 

G ⃗ ′ . Dies sieht man leicht durch Einsetzen in (15.3.33): 

ψ ⃗k+ G ⃗ ′(⃗r) = ∑ c ⃗k+ G ⃗ ′ −G ⃗ ei(⃗ k+ G ⃗ ′ − G)·⃗r ⃗ = ∑ 

c ⃗k+ G ⃗ ′′ e i(⃗ k+ G ⃗ ′′ )·⃗r = ψ ⃗k (⃗r) (15.3.34) 

G ⃗ 

⃗G ′′ = ⃗ G ′ − ⃗ G 

Dabei wurde nur die Ersetzung des Gittervektors ⃗ G ′ − ⃗ G durch ⃗ G ′′ vorgenommen. Dies ist immer erlaubt, 

da ja über alle möglichen Gittervektoren summiert wird. 

2. Die Eigenwerte E ⃗k der Bloch-Funktionen ψ ⃗k (⃗r) sind bezüglich der Gittervektoren periodisch. schreibt man 

die Schrödingergleichung an und nutzt (15.3.34), so ergibt sich nämlich: 

E ⃗k |ψ ⃗k 〉 = Ĥ|ψ ⃗ k 

〉 = Ĥ|ψ ⃗k+ ⃗ 

(15.3.34) G 

〉 = E ⃗k+ G ⃗ |ψ ⃗k+ G ⃗ 〉 = E ⃗ 

(15.3.34) k+ G ⃗ |ψ ⃗k 〉 (15.3.35) 

und damit also 

E ⃗k = E ⃗k+ ⃗ G 

(15.3.36) 

3. Die Bloch-Funktionen sind keine Eigenzustände des Impulsoperators (im Gegensatz zur freien Wellenfunktion 

eines Elektrons). Es gilt nämlich: 

ˆ⃗Pψ ⃗k (⃗r) = −i ⃗ ∇ [ u ⃗k (⃗r) e i⃗ k·⃗r ] = ⃗ ku ⃗k (⃗r) e i⃗ k·⃗r + e i⃗ k·⃗r ⃗ ∇u⃗k (⃗r) ≠ const · ψ ⃗k (⃗r) (15.3.37) 

Diese Eigenschaften implizieren, dass man den Wellenvektor ⃗ k, der in den Bloch-Funktionen auftaucht als Kristallimpuls 

auffassen muss und nicht als realen Impuls der Elektronen. Ähnlich wie bei den Phononen gilt somit 

die Impulserhaltung auch nur bis auf reziproke Gittervektoren. Dies kommt in den ersten Beiden Ergebnissen zum 

Ausdruck, die besagen, dass sich zwei Wellenfunktionen gleichen, wenn sie nur um einen reziproken Gittervektor 

⃗G verschoben sind. Um den Wellenvektor ⃗ k eindeutig zu definieren muss man also eine Konvention einführen. Hier 

schein es sinnvoll die Betrachtung auf die 1. Brillouin-Zone zu beschränken, die gerade eine Breite von 2π L = | ⃗ G x | 

hat. Man erhält so das sog. reduzierte Zonenschema. Liegt also ein ⃗ k einer Wellenfunktion außerhalb der 1.BZ, 

so kann es mit Hilfe eines reziproken Gittervektors wieder dorthin verschoben werden. 

15.3.4 Modell der quasi-freien Elektronen 

In diesem Abschnitt soll die Schrödingergleichung aus dem letzten Abschnitt 15.3.3 für ein einfaches Potential 

gelöst werden. Es handelt sich um ein einfaches Potential mit nur den Fourier-Koponenten der Periodizität ⃗g und 

2⃗g (⃗g ist reziproker Basisvektor). Es soll außerdem gelten Ṽ⃗g = Ṽ−⃗g, sodass sich ergibt: 

Ṽ (⃗r) = 

Ṽ0 

}{{} 

=0 

+ Ṽ⃗g }{{} 

e i⃗g·⃗r +Ṽ⃗g e −i⃗g·⃗r + Ṽ2⃗g e 2i⃗g·⃗r +Ṽ2⃗g e −2i⃗g·⃗r = 

}{{} 

=Ṽ1 =Ṽ2 

= 2Ṽ1 cos(⃗g · ⃗r) + 2Ṽ2 cos(2⃗g · ⃗r). (15.3.38) 

Setzt man dieses Potential in (15.3.30) ein, so erhält man das folgende Gleichungssystem, das für jeden erlaubten 

Vektor ⃗ k zu lösen ist: 

. 

. 

. 

. 

. . 

(η ⃗k−⃗g − E)c ⃗k−⃗g + Ṽac ⃗k−2⃗g + Ṽ 1 c ⃗k + Ṽ2c ⃗k−3⃗g + Ṽ2c ⃗k+⃗g = 0 

(η ⃗k − E)c ⃗k + Ṽac ⃗k−⃗g + Ṽ1c ⃗k+⃗g + Ṽ2c ⃗k−2⃗g + Ṽ2c ⃗k+2⃗g = 0 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

Dieses lässt sich auch in Matrix-Form schreiben: 

⎛ ⎞ 

⎛ 

⎞ 

. . 

. 

. 

. . 

. 

· · · Ṽ 1 (η ⃗k−⃗g − E) Ṽ 1 Ṽ 2 0 0 · · · 

c ⃗k−2⃗g 

· · · Ṽ 2 Ṽ 1 (η ⃗k − E) Ṽ 1 Ṽ 2 0 · · · 

c ⃗k−⃗g 

H · ⃗c = 

· 

c · · · 0 Ṽ 2 Ṽ 1 (η ⃗k+⃗g − E) Ṽ 1 Ṽ 2 · · · 

⃗k 

= 0 

c ⃗k+⃗g 

⎜ 

⎝ 

· · · 0 0 Ṽ 2 Ṽ 1 (η ⃗k+2⃗g − E) Ṽ 1 · · · ⎟ 

⎠ ⎜c ⎝ ⃗k+2⃗g ⎟ 

⎠ 

. . 

. 

. 

. . 

. 

(15.3.39) 



Dabei ist η ⃗k = 2 | ⃗ k| 2 

2m 

die kinetische Energie eines Teilchens mit Impuls ⃗ k. Je nachdem, wie hoch die Güte der 

gesuchten Lösung ist, kann man mehr oder weniger Koeffizienten c ⃗q berücksichtigen. Die Gleichung (15.3.39) hat 

natürlich nur dann Lösungen, wenn die Determinante der Matrix H verschwindet: 

det H ! = 0 (15.3.40) 

Diese Gleichung (15.3.40) liefert dann zunächst einen Wert für die Energie E ⃗k der Elektronen mit Wellenvektor ⃗ k. 

Der Vektor ⃗ k kann beliebige Werte annehmen, also auch außerhalb der 1. BZ liegen. Nach den Bemerkungen am 

Ende des Abschnittes 15.3.3 (siehe Seite 153) gleichen sich aber die Energien und Wellenfunktionen, wenn man ⃗ k 

um einen beliebigen reziproken Gittervektor ⃗ G verschiebt. Dies führt zur Beschränkung von ⃗ k auf die 1. BZ. 

„leeres Gitter“: Unter noch stärker vereinfachten Bedingungen setzt man die Koeffizienten Ṽ⃗q = 0 des Potentials 

0, fordert aber trotzdem die Periodizität der Wellenfunktion. Das Gleichungssystem (15.3.39) entkoppelt dann. Für 

die Energieeigenwerte ergibt sich dann wie beim freien Elektron: 

E ⃗k = 2 | ⃗ k| 2 

(15.3.41) 

2m 

Diese Funktion ist eine Parabel. Sie erlaubt im Prinzip unendlich hohe Energien der Elektronen (bei entsprechend 

großen ⃗ k). Da die ⃗ k aber nur innerhalb der 1.BZ (also bis auf Vielfache eines reziproken Gittervektors G) ⃗ eindeutig 

sind, ordnet dies jedem Wert von ⃗ k mehrere mögliche Energien zu. Ein Elektron mit k 5 π 

4 a 

> π a 

hat so etwa die 

Energie E 5π/4a . Projiziert man es zurück in die 1.BZ, so entspricht dieses Elektron einem Elektron mit k = 

− 3 π 

4 a mit der Energie E 3π/4a < E 5π/4a . Für ein solches Elektron sind also schon zwei erlaubte Energiezustände 

gegeben. Man faltet also sozusagen die Funktion E(k) in die 1.BZ zurück. Die Abb. 15.13 zeigt das Vorgehen und 

das Ergebnis für den Spezialfall des leeren Gitters. 

E 

E 

-4π/a 

-2π/a 

-π/a 

0 

π/a 

2π/a 

4π/a 

k 

-π/a 

0 

π/a 

k 

Abb. 15.13: zum reduzierten Zonenschema 

Energielücken: In realen Festkörpern stoßen zwei Energiebänder an der Grenze der 1.BZ nicht direkt zusammen, 

wie es bei leeren Gitter in Abb. 15.13 zu sehen ist. Bei leeren Gitter sind dort zwei Zustände entartet, nämlich 

derjenige zu k = π a und der zu k′ = − π a = k − g = k − 2π a 

. Geht man nun von der Näherung des leeren Gitters 

weg, und erlaubt ein schwaches Potential Ṽ (⃗r) ≠ 0, so wird diese Entartung aufgehoben. Das Potential soll nun 

durch einen Fourier-Koeffizienten dargestellt werden, es gilt also 

Ṽ (⃗r) = Ṽ⃗g e i⃗g·⃗r +Ṽ−⃗g e −i⃗g·⃗r = 2Ṽ1 cos(⃗g · ⃗r) (15.3.42) 

Hier gilt V 1 = V ⃗g = V −⃗g , es spielen also nur zwei Fourier-Komponenten eine Rolle, man spricht deswegen 

auch von der Zweikomponenten-Näherung. Auch in der Entwicklung der Wellenfunktion sollen nun nur noch die 

Beiträge c ⃗k und c ⃗k−⃗g eine Rolle spielen. Vom Gleichungssystem (15.3.39) bleiben dann nur noch zwei gekoppelte 

Gleichungen übrig: 

( 2 | ⃗ k| 2 

( 2 | ⃗ k − ⃗g| 2 

2m 

2m − E ) 

− E 

) 

c ⃗k + Ṽ1c ⃗k−⃗g = 0 

c ⃗k−⃗g + Ṽ1c ⃗k = 0 (15.3.43) 



Für Ṽ1 = 0 erhält man für die Energie E: 

E 0 ⃗ k 

= 2 | ⃗ k| 2 

2m 

E 0 ⃗ k−⃗g 

= 2 | ⃗ k − ⃗g| 2 

2m 

(15.3.44) 

für k = π a (Grenze der 1. BZ) und g = 2π a 

gilt so E0 k = E0 k−g . Berücksichtigt man nun Ṽ1 ≠ 0, so kann man 

wieder die Determinante des Gleichungssystems (15.3.43) berechnen und 0 setzen: 

E⃗ 0 0 = 

k−⃗g 

− E Ṽ 1 

∣ 

E⃗ 0 k 

− E∣ 

Ṽ 1 

⇔ (E 0 ⃗ k−⃗g 

− E) · (E 0 ⃗ k 

− E) − Ṽ 2 

1 = 0 

⇔ E⃗ 0 k−⃗g 

E⃗ 0 k 

− Ṽ 1 2 − E · (E⃗ 0 k−⃗g 

+ E⃗ 0 k 

) + E 2 = 0 

√ 

(E⃗ 0 + E 0 k−⃗g ⃗ 

) 2 

k 

⇒ E 1/2 = 

E 0 ⃗ k−⃗g 

+ E 0 ⃗ k 

2 

± 

4 

E 0 

− (E⃗ 0 E 0 k−⃗g ⃗ 

− Ṽ 2 

k 1 ) = ⃗ k−⃗g 

+ E⃗ 0 k 

± 

2 

√ 

(E 0 ⃗ k−⃗g 

− E 0 ⃗ k 

) 2 

4 

+ Ṽ 2 

1 

(15.3.45) 

Dieses Ergebnis entspricht genau demjenigen, das in 15.3.2 über das Zweiniveausystem angedeutet wurde. Am 

Rande der 1. BZ ergibt sich unter Ausnutzung von Ek 0 = E0 k−g 

die einfache Bezeiehung: 

E 1/2 = E 0 π/a ± ∣ ∣∣ Ṽ 1 

∣ ∣∣ (15.3.46) 

∣ 

Dies entspricht einer Energieaufspaltung von ∆E = 2 ∣Ṽ1∣ am Rande der 1. BZ. In Abb. 15.14 ist die Lösung 

(15.3.45) für die Energien gezeigt. In dem Verbotenen Band der Breite ∆E existieren keine Energiezustände. 

E 

erlaubte 

Bänder 

verbotenes 

Band 

2∆E 

0 

π/a 

k 

Abb. 15.14: Aufhebung der Entartung an der Grenze der 1.BZ 

Am Rand der 1. BZ kann man nun das Gleichungssystem (15.3.43) lösen. Mit Ek 

0 

berechneten E 1/2 gilt: 

= E0 k−g 

und den oben 

E = E 0 π/a + Ṽ1 ⇒ −Ṽ1c π/a + Ṽ1c −π/a = 0 (15.3.47) 

E = E 0 π/a − Ṽ1 ⇒ +Ṽ1c π/a + Ṽ1c −π/a = 0 (15.3.48) 

Daraus erhält man dann die folgenden zwei Wellenfunktionen: 

E = Eπ/a 0 + Ṽ1 ⇒ ψ g (r) = 1 ( 

e iπr/a + e −iπr/a) ( πr 

) 

∝ cos 

N 

a 

E = Eπ/a 0 − Ṽ1 ⇒ ψ u (r) = 1 ( 

e iπr/a − e −iπr/a) ( πr 

) 

∝ i sin 

N 

a 

(15.3.49) 

(15.3.50) 

Die Elektronendichte ρ = e |ψ| 2 ergibt sich daraus so, dass im einen fll die Elektronen vornehmlich zwischen 

den Atomen liegen (höhere Energie, 2. Band) und im anderen Fall bei den Atomen, also in den Potentialmulden 

(niedrigere Energie, 1. Band) lokalisiert sind. 



15.3.5 Stark gefundene Elektronen im Festkörper 

Bisher wurde die Berechnung der Energiebänder bei einem freien Elektron begonnen und endete bei Zuständen, 

die durch das Gitter beeinflusst werden. Nun soll ein Weg skizziert werden, der gewissermaßen andersherum an 

das Problem herangeht. Er folgt der einfachen Erklärung in Abschnitt 15.3.2. Man geht von zunächst gebundenen 

Elektronen aus, die dann zu einem Festkörper verbunden werden, indem sich die Wellenfunktionen der einzelnen 

Atomelektronen überlagern. Dieses Modell eignet sich vor Allem für kovalent gebundene Kristalle. Die Modelle 

der letzten Abschnitte waren für Metalle, in denen man die Elektronen als nahezu frei betrachten kan. 

Um eine Berechnung durchzuführen macht man folgende (vereinfachenden) Annahmen: 

• unendliche lineare Kette von Atomrümpfen (1-dimensionales Problem, siehe auch Abb. 15.3.2). Das Gesamtproblem 

wird durch den Hamiltonian Ĥ beschrieben. 

• Bindet ein Elektron an das n-te Ion, so ist es im Zustand |v n 〉, der für eine Energie E n i eindeutig ist. D.h. das 

Einteilchen-Problem ist gelöst und für jedes Atom n gilt die zugehörige stationäre Schrödingergleichung: 

Ĥ n |v ni 〉 = E ni |v ni 〉 (15.3.51) 

Im folgenden betrachtet man nur eine Energie des Atomsystems, lässt also den Index i, der die Energiestufen 

durchnummeriert fort. Sind alle zustände in der Kette gleich, so besetzen sie alle die Energie E 0 . 

• Der räumliche Überlapp zwischen zwei benachbarten Zuständen |v n 〉, |v n+1 〉 wird vernachlässigt. Damit 

erhält man eine orthonormierte Basis aus den Zuständen |vn〉: 

• Wir betrachten nur den Unterraum, der durch die |v n 〉 aufgespannt wird. 

〈v n |v m 〉 = δ nm (15.3.52) 

• Die Kopplung zwischen zwei Zuständen |v n 〉 wird durch die Kopplungskonstante A angegeben. Wie in 

Abschnitt 15.3.2 erwähnt, skaliert sie mit der Breite des Potentialwalls und dem Abstand des gebundenen 

Zustandes zur Spitze des Walls (Analogie: Tunneleffekt). Je größer also der Abstand zweier Atome der Kette, 

desto kleiner wird A. Für R ≫ a 0 wird A = 0 und die Atome der Kette entkoppeln (a 0 : Bohr-Radius). 

In der {|v n 〉}-Basis hat der Hamilton-Operator folgende Darstellung: 

⎛ 

⎞ 

. .. 0 

⎧ 

E 0 −A 0 

⎪⎨ −A für m = n ± 1 

Ĥ ˆ= 

−A E 0 −A 

; 〈v n 

⎜ 

⎝ 0 −A E 0 

⎟ 

|Ĥ|v m〉 = E 0 für n = m 

⎪⎩ 

⎠ 

0 sonst 

. 

0 

.. 

(15.3.53) 

Dies bedeutet, dass jedes Atom nur an seine nächsten Nachbarn koppelt. Dies ist plausibel, wenn der Atomabstand 

mit der Größe der Atomorbitale vergleichbar ist. Mit |ψ〉 seien die Eigenvektoren des Hamilton-Operators H 

bezeichnet (Ĥ|ψ〉 = E · |ψ〉). Sie lassen sich mit Koeffizienten c i in der Basis der |v i 〉 darstellen: 

|ψ〉 = 1 N 

∞∑ 

i=−∞ 

Zusammen mit (15.3.53) ergibt sich aus (15.3.54) dann folgende Gleichung für die c i : 

c i |v i 〉. (15.3.54) 

E 0 · c i − A · c i+1 − A · c i−1 = E · c i , i ∈ Z. (15.3.55) 

Dies ist ein unendliches System von Gleichungen, die von einem Ausdruck der Form 

c q = e ikqR , q ∈ Z (15.3.56) 

gelöst werden. Dabei ist R wieder der Abstand zweier Ionen und k der Wellenvektor eines Elektrons ist ([k] = 

1 m −1 ). Für k ergibt sich ein sinnvoller Bereich (1. Brillouin-Zone): 

− π R ≤ k < π R . (15.3.57) 

Jedes k, dass außerhalb dieser Zone liegt, kann durch Addition eines ganzzahligen Vielfachen des reziproken 

Gittervektors 2π R 

wieder in diesen Bereich gebracht werden, ohne dabei den Wert von c q zu ändern (siehe die 

Argumentation der letzten Abschnitte 15.3.3 und 15.3.4). Setzt man nun in (15.3.55) ein, so ergibt sich: 

E 0 · e ikqR −A · (e ik(q+1)R + e ik(q−1)R) = E · e ikqR (15.3.58) 



Teilt man durch e ikqR , so ergibt sich für die Energie E(k): 

E(k) ≡ E = E 0 − 2A cos(kR). (15.3.59) 

Für jede erlaubte Energie E 0 der Elektronen im Potential eines Atomrumpfes ergibt sich also ein Band der Breite 

∆ = 4A, in dem sich das Elektron befinden darf. Die Bänder werden durch verbotene Bereiche getrennt. Die 

fogende Abbildung zeigt das. Außerdem ist in einem Band die Dispersionsrelation (15.3.59) gezeichnet. 

E(k) 

erlaubtes Band 

E +2A 0 

E 0 

 

verbotenes Band 

E -2A 

0 

E’ 0 

’ 

-/R 

0 

/R 

k 

Die Kopplungs-Konstante A wird umso größer (also die Kopplung stärker), desto schmaler und desto niedriger 

die Potentialbarriere zwischen zwei benachbarten Töpfen ist. Für große Energien werden also die Bänder breiter. 

Nimmt man für die Potentialtöpfe ein Kastenpotential an, so ergibt sich eine Verringerung des Abstandes zweier 

benachbarter Niveaus, für größer werdende Energien. Die Bänder rücken also auch näher zusammen. Das selbe 

gilt auch für das 1/r-Potential (siehe 9 und 10). 

15.3.6 Stark gebundene Elektronen als Problem der Störungsrechnung 

Im letzten Abschnitt wurde das Problem der stark gebundenen Elektronen sehr vereinfacht gelöst. Hier soll noch 

kurz ein Rechenweg skizziert werden, der diesen Ansatz etwas verallgemeinert: 

Man geht wieder davon aus, dass die Schrödingergleichung des Einatom-Systems gelöst ist: 

Ĥ A |v m 〉 = E 0 |v m 〉 (15.3.60) 

Im folgenden betrachtet man nur Atomorbitale einer festen Energie E 0 , sodass der Index m angibt an welches der 

Atome das Elektron gebunden ist. Der Zustand |v m 〉 gibt also an, dass das Elektron an das m-te Atom gebunden 

ist. Man kann dann den Hamiltonoperator für ein beliebiges gebundenes Atom im Gesamtsystem so anschreiben: 

Ĥ = ĤA + ĤS (15.3.61) 

Dabei beschreibt ĤA das Einatom-System und ĤS die Störung durch alle anderen Atome. Angenommen das 

Potential eines einzelnen Atoms am Ort ⃗ R m sei durch V (⃗r − ⃗ R m ) beschrieben, so gilt: 

ˆ⃗P 2 

Ĥ = ĤA + ĤS = 

2m ∆ + V A(ˆ⃗r − R ⃗ m ) + ∑ V A (ˆ⃗r − R ⃗ n ) (15.3.62) 

n≠m 

Für Die Wellenfunktion |ψ〉 des Elektrons im Festkörper verwendet man den folgenden Ansatz, der eine Überlagerung 

der Wellenfunktionen v(⃗r) der einzelnen Atome darstellt: 

ψ ⃗k (⃗r) ≈ φ ⃗k (⃗r) = ∑ m 

v(⃗r − ⃗ R m ) e i⃗ k· ⃗R m 

|φ ⃗l 〉 = ∑ m 

e i⃗ k· ⃗R m 

|v m 〉 (15.3.63) 

Um nun die Energie des Elektrons zu berechnen muss man folgenden Ausdruck auswerten: 

E ⃗k ≈ 〈φ ⃗ k |Ĥ|φ ⃗ k 

〉 

〈φ ⃗k |φ ⃗k 〉 

(15.3.64) 



Der Nenner dient nur der Normierung, interessant ist also hier der Zähler: 

E ⃗k = 1 N 〈φ ⃗ |Ĥ|φ k ⃗ k 

〉 = 1 ∑ 

e i⃗ k·( R ⃗ m−R ⃗ n) 〈v n |ĤA + 

N 

ĤS(ˆ⃗r − R ⃗ m )|v m 〉 (15.3.65) 

m,n 

Diese Summe kann man in zwei Anteile aufspalten: 

E ⃗k = 1 ∑ 

e i⃗ k·( R ⃗ m−R ⃗ n) 〈v n |ĤA|v m 〉 + 1 N 

N 

m,n 

∑ 

e i⃗ k·( R ⃗ m−R ⃗ n) 〈v n |ĤS(ˆ⃗r − R ⃗ m )|v m 〉 (15.3.66) 

m,n 

Der erste Teil ergibt aufgrund des verschwindenden Überlapps der |v n 〉 die Energie E 0 des ungestörten, also 

atomaren Zustandes (siehe (15.3.60)). Die zweite Summe kann ebenfalls aufgeteilt werden, in die zwei Anteile α 

und β n : 

E ⃗k = E 0 − α − 1 ∑ 

β n e i⃗ k·( R ⃗ m−R ⃗ n) 

N 

(15.3.67) 

NN n 

α = 1 ∑ 

〈v m |ĤS(ˆ⃗r − R 

N 

m )|v m 〉 (15.3.68) 

m 

β n = 〈v n |ĤS(ˆ⃗r − ⃗ R m )|v m 〉 (15.3.69) 

Der Term α bewirkt also eine Absenkung der des Energieniveaus E 0 durch die Einwirkung des Gitters. Im Term 

β n steckt der Überlapp des m-ten Atoms mit den anderen Atomen. Hier betrachtet man üblicherweise nur nächste 

Nachbarn. Dies kommt in der Summation 

∑ zum Ausdruck. Die β n geben also die Stärke der Kopplung an die 

NN m 

Nachbaratome an. In einer linearen Kette mit Gitterabstand a ergibt sich: 

E k = E 0 − α − 1 2 β · (ei⃗ ka + e −i⃗ ka ) = E 0 − α − β cos(ka) ≈ E 0 − α − β · (1 − k 2 a 2 ) (15.3.70) 

Im letzten Schritt wurde diese Dispersionsrelation von um k = 0 entwickelt, wodurch man sieht, dass sich die 

Elektronen hier in 1. Näherung bis auf den Energienullpunkt wie freie Elektronen verhalten. Vergleicht man nun 

(15.3.70) mit E k = E 0 − α − 2 k 2 

2m 

, so kann man den Elektronen im Festkörper eine reduzierte Masse m ∗ zuschreiben: 

∗ 

m ∗ = 

2 

2βa 2 (15.3.71) 

Da β die breite der Bänder bestimmt nimmt die effektive Masse mit abnehmender Bandbreite zu. Je nach dem 

Vorzeichen von β kann die effektive Masse positiv oder negativ sein. Je stärker der Überlapp der Wellenfunktionen 

ist, desto breiter ist auch das zugehörige Energieband. Dies erklärt, warum die Bänder in kovalent gebundenen 

Kristallen breiter sind, als z.B. in Ionenkristallen. Da hier nur nächste Nachbarn berücksichtigt werden und eigentlich 

keine Gitterperiodizität vorausgesetzt wurde ist die obige Rechnung auch auf amorphe Festkörper anwendbar 

und es gibt auch hier Energiebänder. 

15.3.7 Allgemeine Wellenfunktionen der Elektronen im periodische 

Festkörperpotential 

Mit Hilfe des Bloch’schen Theorems (siehe 4.6) lassen sich nun auch die stationären Lösungen der Schrödingergleichung 

für ein spezielles Potential berechnen. Für sie gilt immer, dass sie von folgender Form sind: 

φ k (x) = e ikx · u k (x), mit: u k (x) = u k (x + R). (15.3.72) 

Es gibt einfache Systeme, für die man die Wellenfunktionen explizit angeben kann (z.B.: das Kronig-Penning- 

Modell besteht aus aneinandergereihten Potentialtöpfen mit senkrechten Wänden, siehe Abschnitt 15.3.8). Es lassen 

sich aber noch einige Aussagen ableiten, ohne ein spezielles periodisches Potential anzunehmen: 

Es gibt Wellenfunktionen, die Elektronen beschreiben, die nicht vollständig delokalisiert sind. Aus diesen kann 

man die Gruppengeschwindigkeit des Elektronen ableiten. Dazu betrachtet man sie als quasi-freie Teilchen im 

schwachen Potential des Festkörpers. Analog zu (6.1.3) kann man die Wellenfunktion eines freien Elektrons mit 

Wellenvektor k = p/ und Masse m darstellen als: 

ψ(x, t) = √ 1 ∫ 

· 2π 

g(k) · exp 

{ ( 

i kx − E(k) · t )} 

dk. (15.3.73) 

 



Die Gruppengeschwindigkeit dieses Wellenpaketes ist v g,free = k0 

m 

(mit g(k 0) = max). Hier muss man eine 

Wellenfunktion vom Typ (15.3.72) betrachten. Dafür ergibt sich analog zu (15.3.73): 

ψ(x, t) = √ 1 ∫ { 

· g(k) · exp − iE(k) · t } 

φ k (x) dk. (15.3.74) 

2π 

Man betrachtet also auch hier ein Wellenpaket ψ(x, t) (das eine Lokalisation aufweist), als Kombination von (unendlich 

vielen) Elementarwellen φ k (x). Die Funktion g(k) gibt dabei die Form des Paketes im k-Raum an (z.B. 

Gauß’sch). Für die Energie gilt ja immernoch die Dispersionsrelation (15.3.59), sodass sich die Gruppengeschwindigkeit 

v g des Elektrons im Kristall ergibt (R ist immernoch die Gitterkonstante des Kristalls): 

v g := d(E/) 

dk 

= 2AR 

 

· sin kR. (15.3.75) 

Man sieht also, dass die Gruppengeschwindigkeit nicht nur für Elektronen mit k = 0 verschwindet, sondern 

auch an den Rändern der 1. Brillouin-Zone. Hier ergibt sich Bragg-Reflektion der Elektronen am Gitter, was zu 

stationären Lösungen der Schrödingergleichung führt. 

15.3.8 Kronig-Penney-Modell 

Ein spezielles periodisches Potential, das noch analytisch gelöst werden kann ist das sog. Kronig-Penney-Modell. 

Dabei nimmt man Potentialtöpfe mit senkrechten Wänden an: 

U(x) 

U 0 

0 

b 

a 

0 

x 

Die Elektronen befinden sich in gebundenen Zuständen mit Energie E der Potentialtöpfe, wo 

das Potential U(x) verschwindet erhält man einfache stationäre Lösungen: 

ψ(x) a = A · e iKx + B · e −iKx ; E = 2 K 2 

In den Bereichen mit U(x) = U 0 fällt die Wellenfunktion exponentiell ab, es gilt also: 

2m 

(15.3.76) 

ψ(x) b = C · e Qx + D · e −Qx ; E = U 0 − 2 Q 2 

2m 

(15.3.77) 

Da das Potential periodisch ist, muss die Gesamtlösung die Form einer Bloch-Funktion (siehe (15.3.72)) annehmen. 

Die Konstanten A, B, C, D werden so gewählt, dass die üblichen Stetigkeitsbedingungen an den Rändern der 

Töpfe gelten (ψ(x 0 ) = ψ(x 0 ) und ψ ′ (x 0 ) = ψ ′ (x 0 )) (siehe 6.3): 

A + B = C + D (15.3.78) 

iK(A − B) = Q(C − D) (15.3.79) 

Ae iKa + Be −iKa = (Ce −Qb + De Qb )e ik(a+b) (15.3.80) 

iK(Ae iKa − Be −iKa ) = Q(Ce −Qb − De Qb )e ik(a+b) (15.3.81) 

Daraus erhält man die Koeffizientendeterminante des Gleichungssystems zu: 

∣ 1 1 −1 −1 ∣∣∣∣∣∣∣ iK −iK −Q Q 

e iKa e −iKa −e −Qb e ik(a+b) −e Qb e ik(a+b) = 

∣iKe iKa −iKe −iKa −Qe −Qb e ik(a+b) +Qe Qb e ik(a+b) 

= 4ie ik(a+b) · {2KQ 

· [cos(k(a + b)) − cos(Ka) cosh(Qb)] + (K 2 − Q 2 ) sin(aK) sinh(Qb) } ! 

= 0 

⇔ 2KQ cos [k(a + b)] − 2KQ cos(Ka) cosh(Qb) − (Q 2 − K 2 ) sin(aK) sinh(Qb) ! = 0 (15.3.82) 

Man sieht sofort, dass diese Gleichung nur Lösungen besitzt, für sin [k(a + b)] = 0, da sonst der Imaginärteil 

pi 

der komplexen Exponentialfunktion nicht verschwindet. Daraus erhält man die Bedingung k n = n · 

a+b . Diese 



Gleichung zu lösen ist relativ komplex, darum macht man den Grenzübergang b → 0 und U 0 → ∞. Die Potentialbarrieren 

werden also zu Delta-Funktionen. Dabei soll Q 2 ba/2 =: P konstant bleiben und Q ≫ K muss gelten, 

da der Abfall in diesen Bereiche sehr steil sein muss. Man erhält dann (cosh(Qb) → 1, sinh(Qb) → Qb): 

cos(ka) = ! cos(Ka) + P sin(Ka) (15.3.83) 

Ka 

Die folgende Abbildung zeigt cos(Ka)+ P Ka 

sin(Ka) aus (15.3.83) gegen Ka aufgetragen. cos(ka) kann nur Werte 

zwischen −1 und 1 annehmen, sodass die obige Gleichung auch nur dort Lösungen besitzen kann. Gezeichnet 

ist der Fall P = 3π/2. 

6 

5 

4 

(P/Ka)*sin(Ka)+cos(Ka) 

3 

2 

1 

erlaubte Bereiche für Ka 

0 

-1 

-2 

-20 -10 0 10 20 

Ka 

Die Energie E des Zustandes ist durch die Energie-Impulsbeziehung in (15.3.76) gegeben, sodass: 

E = 2 K 2 

2m e 

= 2 (Ka) 2 

2m e a 2 . (15.3.84) 

Man sieht also, dass es Wertebereiche für Ka gibt, bei denen keine Lösungen der Schrödingergleichung für dieses 

Modell existieren. Der Wellenvektor k (kleines k) hat nun die Bedeutung eines „Indexes“ der Wellenfunktion. 

Für bestimmte Bereiche von k gibt es Lösungen der Schrödingergleichung. Zwischen den Lösungen existieren 

Energielücken. 

15.3.9 Effektive Masse und deren Auswirkungen 

In Abschnitt 15.3.6 wurde den Elektronen im Festkörper eine effektive Masse zugeschrieben. Dieser Aspekt soll 

hier nochmals etwas vertieft werden. Dazu sei zunächst bemerkt, dass man die Bewegung einfacher Elektronen 

mit den Bloch-Funktionen nicht darstellen kann. Da ihr Impuls festgelegt ist (∆k = 0) sind die dadurch beschriebenen 

Zustände über den ganzen Kristall verschmiert. Da aber auch beliebige Linearkombinationen der Bloch- 

Funktionen Lösungen der zugehörigen Schrödingergleichung sind, kann man aus ihnen Wellenpakete bilden, die 

dann einzelne lokalisierte Elektronen beschreiben: 

ψ(⃗r, t) = ∑ ⃗ k 

g( ⃗ k) · u ⃗k (⃗r) e −i(⃗ k·⃗r+E ⃗k·t/) 

(15.3.85) 

Hierbei wurde auch gleich noch der Zeitentwicklungsoperator e −itĤ/ auf die stationäre Wellenfunktion angewendet. 

Die Verteilung g( ⃗ k) bestimmt die Form des Wellenpakets. Das Elektron bewegt sich nun mit der Gruppengeschwindigkeit 

des Wellenpaketes 

⃗v g = dω 

d ⃗ k = 1 dE( ⃗ k) 

d ⃗ = 1 ∇ 

k ⃗ ⃗k E( ⃗ k). (15.3.86) 

Wirkt nun eine externe Kraft ⃗ F auf die Elektronen (z.B. durch ein elektrisches Feld mit ⃗ F = e · ⃗E(⃗r, t)), so gilt: 

⃗F = ˙⃗p = ˙⃗ k (15.3.87) 

Dies bedeutet, dass sich die Elektronen im Ortsraum beschleunigt bewegen, während sie im Wellenzahlraum eine 

gleichförmige Bewegung mit der Geschwindigkeit ˙⃗ k = ⃗ F / ausführen. D.h. die Fermi-Kugel verschiebt sich 



im ⃗ k-Raum. Wie man sehen wird kann dies zu Problemen an der Grenze der 1. Brillouin-Zone führen. Für die 

Beschleunigung im Ortsraum gilt: 

( 

⃗a = ∂ ∂t ⃗v g = ∂ 1 ∂E( ⃗ ) ( 

k) 

∂t ∂ ⃗ = 1 ∂ 1 ∂E( ⃗ ) 

( 

k) 

k ∂ ⃗ k ∂ ⃗ · ˙⃗ k 

k 

}{{} 

= 1 ∂ 2 E( ⃗ ) 

k) 

2 ∂ ⃗ k∂ ⃗ · ⃗F (15.3.88) 

k 

= ∂(⃗ k) 

∂t 

F 

Vergleicht man dieses Ergebnis mit der Formel ⃗a = ⃗ m 

, so kann man einen Tensor der inversen Masse definieren: 

a i = 1 ∑ 

( ) 1 

2 m ∗ 

j 

F j 

ij 

mit 

( 1 

m ∗ ) 

ij 

= 1 2 ∂ 2 E( ⃗ k) 

∂k i ∂k j 

(15.3.89) 

Dieser Tensor ist genauso, wie der effektive Massentensor (m ∗ ) ij symmetrisch. In besonders einfachen Fällen 

(isotrope Kristalle) sind alle Diagonalelemente im Hauptachsensystem gleich. Dann ist die effektive Masse eine 

richtungsunabhängige Konstante und es gilt: 

m ∗ (k) = 

2 

∂ 2 E(k) 

∂k 2 (15.3.90) 

Für den Fall E ∝ k 2 ergibt sich aus (15.3.90) noch eine konstante effektive Masse. Dies trifft man oft an den 

Extrema der Dispersionsrelation E(k) an. In Abb. 15.15 ist die effektive Masse und die Gruppengeschwindigkeit 

v g = 1 ∂E 

∂k 

für eine einfache Dispersionsrelation gezeigt. 

E 

-π/a 0 

m* 

k 

π/a 

v g 

k 

-π/a 0 

k 

π/a 

Abb. 15.15: Dispersionsrelation E(k), effektive Masse m ∗ und Gruppengeschwindigkeit v g in einem einfachen Fall 

Bloch-Oszillationen: In einem idealen (störungsfreien), isotropen Kristall ergibt sich aus den Kurven in Abb. 

15.15 ein interessantes Phänomen. An den Kristall wird ein konstantes E-Feld angelegt, das zu einer konstanten 

Kraft F ⃗ = eE ⃗ führt. Die Elektronen bewegen sich durch den ⃗ k-Raum mit der konstanten Geschwindigkeit ˙⃗ k = 

eE 

⃗ 

 

. Am Rand der ersten Brillouin-Zone springen sie von k = π/a nach k = −π/a und wechseln dabei das 

Vorzeichen ihrer Gruppengeschwindigkeit. Die Elektronen drehen also um. Dies bedeutet, dass die Elektronen 

eine harmonische Schwingung um eine Ruhelage ausführen. Die Periode dieser Schwingung ist: 

T B = ∆k 

˙k 

= 2π/a 

eE/ = h 

aeE 

(15.3.91) 

Diese Oszillationen würden also einen Nettoelektronentransport (und damit Strom) in einem größeren Kristall 

verhindern. Die Tatsache, dass diese Oszillationen üblicherweise nicht beobachtet werden deutet auf Verunreinigungen 

und Stöße der Elektronen mit Phononen etz. im Kristall hin. 


16 Quantenoptik 

Quantisierung des EM-Feldes. 

162

A Weblinks 

A.1 Allgemeine Links 

• http://www.engineering.ucsb.edu/~prescher/quantenI.pdf 

• http://idefix.physik.uni-freiburg.de/~aufgabe/Skripte/Grundlagen.pdf 

• http://magnet.atp.tuwien.ac.at/ts/fhpw/quantenphysik2.pdf 

• http://www-hera-b.desy.de/people/nedden/lectures/02_03/struma/struma2_kap8. 

pdf 

• http://shamir.vmp.ethz.ch/svnbuild/phys/qm/07-ss/qm2.pdf 

A.2 Atomphysik 

• http://www.wmi.badw.de/E23/lehre/skript/Physik4/Physik4_Kapitel4.pdf 


• 

• 

A.3 Streutheorie 

• http://photonik.physik.hu-berlin.de/ede/05mechanik/051116.pdf 

• 

• 

• 

A.4 Elektromagnetische Wechselwirkung, 

Atom-Licht-Wechselwirkung 

• http://en.wikipedia.org/wiki/Selection_rule 

• http://www.shef.ac.uk/physics/teaching/phy332/atomic_physics3.pdf 


• 

A.5 zur Mathematik 

• http://de.wikipedia.org/wiki/Hermitesche_Polynome 

• http://de.wikipedia.org/wiki/Kugelfl%C3%A4chenfunktionen 

• 

A.6 Quantenoptik 

• http://en.wikipedia.org/wiki/Mach-Zehnder_interferometer 

• http://en.wikipedia.org/wiki/Elitzur-Vaidman_bomb-testing_problem 

• http://www.diss.fu-berlin.de/2005/327/3Interferometer.pdf 

• http://photonik.physik.hu-berlin.de/ede/skripten/02photonik1all.pdf 

A.7 Festkörperphysik 

• http://www.matthiaspospiech.de/download/studium/skripte/Festkoerper.pdf 

• http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_field_theory 

• 

163

A Weblinks 

• 


B Literaturverzeichnis 

B.1 Allgemeine Literatur, Lehrbücher 

[Boas 1983] Boas, Mary L. (1983): Mathematical Methods In The Physical Science, 2. Auflage, New York - 

Brisbane - Toronto - Singapore: Wiley. 

[Cohen-Tannoudji u.a. 1999a] Cohen-Tannoudji, Claude / Diu, Bernard / Laloë, Franck (1999a): Quantenmechanik 

1, 2. Auflage, Berlin - New York: Walter de Gruyter. 

[Cohen-Tannoudji u.a. 1999b] Cohen-Tannoudji, Claude / Diu, Bernard / Laloë, Franck (1999b): Quantenmechanik 

2, 2. Auflage, Berlin - New York: Walter de Gruyter. 

[Demtröder 2002] Demtröder, Wolfgang (2002): Experimentalphysik 3. Atome, Moleküle und Festkörper, 2. 

Auflage, New York - Berlin - Heidelberg: Springer Verlag. 

[Greiner u.a. 1993] Greiner, Walter / Neise, Ludwig / Stöcker, Horst (1993): Thermodynamik und Statistische 

Mechanik, 2. Auflage, Thun - Frankfurt/Main: Verlag Harri Deutsch. 

[Gross 2005] Gross, Rudolf (2005): Festkörperphysik I+II. o.O. Walther-Meissner-Institut Garching. 

[http://www.wmi.badw.de/E23/lehre/skript/index.html] 

[Haken 1983] Haken, Hermann (1983): Synergetik. Eine Einführung, 3. Auflage, Berlin - Heidelberg - New 

York: Springer-Verlag. 

[Hunklinger 2004] Hunklinger, S. (2004): Festkörperphysik. o.O. Universität Heidelberg. 

[Kittel 2002] Kittel, Charles (2002): Einführung in die Festkörperphysik, 13. Auflage, München - Wien: Oldenbourg. 

[Kuypers 1993] Kuypers, F.: "Klassiche Mechanik.", VCH, Weinheim New York Basel Cambridge 1993 4 

[Lambropoulos, Petrosyan 2007] Lambropoulos, P., Petrosyan, D.: "Fundamentals of Quantum Optics and 

Quantum Information.", Springer, Berlin Heidelberg 2007 

[Messiah 1991] Messiah, Albert (1991): Quantenmechanik. Band 1, 2. Auflage, Berline - New York: de Gruyter. 

[Metcalf, van der Straten 1999] Metcalf, Harold J. / van der Straten, Peter (1999): Laser Cooling and Trapping. 

New York: Springer-Verlag. 

[Nolting 2004] Nolting, W.: "Grundkurs Theoretische Physik 5/2. Quantenmechanik - Methoden und Anwendungen.", 

Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2004 5 

[Nolting 2005a] Nolting, Wolfgang (2005a): Grundkurs Theoretische Physik 6. Statistische Physik, 5. Auflage, 

Berlin - Heidelberg - New York: Springer-Verlag. 

[Sakurai 1994] Sakurai, J. J. Tuan, S. F. (Hrsg.): "Modern Quantum Mechanics. Revised Edition.", Addison- 

Wesley, Reading 1994 

[Schwabl 1998] Schwabl, Franz (1998): Quantenmechanik (QM I), 5. Auflage, New York - Berlin - Heidelberg: 

Springer. 

[Schwabl 2006] Schwabl, Franz (2006): Statistische Mechanik, 3. Auflage, Berlin - Heidelberg - New York: 

Springer-Verlag. 

[Wachter, Hoeber 2005] Wachter, Armin / Hoeber, Henning (2005): Repetitorium der theoretischen Physik, 2. 

Auflage, New York - Berlin - Heidelberg: Springer. 

165

B Literaturverzeichnis 

B.2 Primärquellen, Originalarbeiten 

[Gehm 2003] Gehm, Michael Eric (2003): Preparation of an optically-trapped Degenerate Fermi 

gas of 6 Li: Finding the Route to Degeneracy Duke University Durham: PhD Thesis. 

[http://www.phy.duke.edu/research/photon/qoptics/theses/pdf/Gehm.pdf] 

[Glauber 1963] Glauber, R. J.: "Coherent and Incoherent States of the Radiation Field." in: "Physical Review" 

6/131, S. 2766-2788, 1963 

[Günter 2004] Günter, Kenneth J. (2004): Design and implementation of a Zeeman slower for 87 Rb ENS Paris. 

[http://www.quantumoptics.ethz.ch/papers/slower.pdf] 

[Thomson 1897] Thomson, J. J.: "Cathode Rays." in: "Philosophical Magazine and Journal of Science" 44, S. 

293, 1897

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