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9.4 Das Warte- und Verlustsystem M/M/m 335
Beispiel 9.4-2:
Betrachten wir nun das PCM 30 System aus dem Beispiel 9.4-1 genauer, nämlich
als M/M/m-Verlustsystem mit endlicher Quellenzahl. Es seien 120 Teilnehmer
mit 0, 17 Erlang Verkehrsaufkommen pro freiem Teilnehmer angeschlossen.
Die Blockierungswahrscheinlichkeit des Systems errechnet sich nach
der Engset-Formel zu:
( ) 120
(0, 17) 30 ·
30
p m =
∑30
i=0
(0, 17) i ( 120
i
)
= 0, 00091 .
Wir wenden uns nun dem M/M/m-Wartesystem, d. h. einem System mit m
Bedieneinheiten und unendlich vielen Warteplätzen (Abb. 9.4-4a) zu. Wir setzen
voraus, dass der Verkehr aus vielen Quellen stammt, d. h. dass die Ankunftsrate λ
unabhängig vom Zustand ist. Ist µ die Bediendauer einer Bedieneinheit, so haben
wir entsprechend unserer vorangegangenen Überlegung die Endrate kµ im Zustand
k < m . Für k ≥ m bleibt die Endrate bei mµ, denn es können maximal m Anforderungen
bedient werden. Somit erhalten wir das Zustandsdiagramm von Abb. 9.4-
4b,c. Die Zustandsgleichungen lauten
M/M/m-
Wartesystem
(kµ + λ)p k = λp k−1 + (k + 1)µp k+1 für k < m,
(mµ + λ)p k = λp k−1 + mµp k+1 für k ≥ m, 9.4-19
λp 0 = µp 1
und
p k = λ µk p k−1 für k < m,
p k =
λ
µ · m p k−1 für k ≥ m. 9.4-20
Aus Gl. 9.4-19 bis Gl. 9.4-20 erhalten wir
p k = λ µk ·
λ
µ(k − 1) · . . . λ µ · p 0
für k < m
und
p k = λ
µm ·
λ
µm ·
λ
µm · . . . λ
µ(m − 1) ·
λ
µ(m − 2) · . . . λ µ · p 0
für k ≥ m
oder mit λ µ
= A für das Angebot
p k = Ak
k! p 0 für k < m