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338 9 Verkehrs- und Bedientheorie
Für die Wartewahrscheinlichkeit P W erhalten wir
P W =
=
∞∑
i=m
p i
∞∑
i=m
m−1
∑
i=0
A i
m! ·
A i
i! + Am
m!
1
m i−m
m
m − A
=
m−1
∑
i=0
∞∑
j=0
A j+m
m! · m j
A i
i! + Am
m!
m
m − A
Wir verwenden wieder die Summation der unendlichen Reihe im Zähler für
( A ) < 1 und erhalten
m
P W =
m−1
∑
i=0
A m
m!
m
m − A
A i
i! + Am
m!
m
m − A
. 9.4-25
.
Erlang’sche Wartewahrscheinlichkeit
Zweite Erlang’sche
Formel
Der Ausdruck in Gl. 9.4-25 wird als die Erlang’sche Wartewahrscheinlichkeit
oder als die zweite Erlang’sche Formel bezeichnet und mit E 2,m (A) abgekürzt,
E 2,m (A) = P W =
m−1
∑
i=0
A m
m!
m
m − A
A i
i! + Am
m! ·
m
m − A
. 9.4-26
Für die mittlere Warteschlangenlänge E{L} erhalten wir unter Verwendung von
Gl. 9.4-24
E{L} = 1 · p m+1 + 2 · p m+2 + . . . + n · p m+n + . . .
∞∑
∞∑
= ip m+i = (j − m)p j
=
i=0
j=m
j=m
∞∑
(j − m) · Aj
m! · 1
m j−m
m−1
∑
i=0
A i
i! + Am
m!
m
m − A
.
Für den Zähler erhalten wir
Z =
∞∑
i=0
i · A i+m
m!m i
= Am
m!
∞∑
( ) i A
i · .
m
i=0
Wir summieren wieder für A m
< 1 und erhalten
Z = Am
m!
A
m
(1 − A m )2