ALGEBRA Grundlagen - Kantonsschule Solothurn

Algebra I 6
1. Methode: Primfaktorzerlegung
Beispiel: ggT(600,252)
600 = 2 3 · 3 · 5 2 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5
252 = 2 2 · 3 2 · 7 = 2 · 2 · 3 · 3 · 7
Jeder Primfaktor eines gemeinsamen Teilers muss auch Primfaktor der beiden Zahlen sein. Den grössten
gemeinsamen Teilers erhält man also, wenn man alle gemeinsamen Primfaktoren multipliziert.
⇒ ggT(600, 252) = 2 · 2 · 3 = 12.
Aufgabe
5 Bestimme den ggT
a) 24, 180 b) 4725, 3465 c) 51, 136, 187, 119
2. Methode: Algorithmus von Euklid
Mit dieser Methode kann der ggT ohne Primfaktorzerlegung ermittelt werden:
Beispiel: ggT(600,252)
Trick: Ein Teiler von 600 und 252 ist auch Teiler von 600 − 252 = 348 und 252 und umgekehrt ist ein
Teiler von 348 und 252 auch Teiler von 348 + 252 = 600 und 252!
⇒ ggT(600, 252) = ggT(348, 252) = ggT(252, 96) = ggT(156, 96) = ggT(96, 60) = ggT(60, 36) =
ggT(36, 24) = ggT(24, 12) = ggT(12, 12) = ggT(12, 0) = 12
Diese Methode kann noch abgekürzt werden:
ggT(231, 22) = ggT(22, 231 − 10 · 22 = 11) = ggT(11, 22 − 2 · 11 = 0) = 11
Denition 7:
a mod b = Rest der Division a : b
Beispiel:
600 mod 252 = 96 denn 600 : 252 = 2 Rest 96.
Kurzform:
600
252
96 = 600 mod 252
60 = 252 mod 96
36 = 96 mod 60
24 = 60 mod 36
12 = 36 mod 24
0 = 24 mod 12
A. Kiener Kantonsschule Solothurn