ALGEBRA Grundlagen - Kantonsschule Solothurn

Algebra I 1
ALGEBRA Grundlagen
I Zahlen
In der Mathematik spielen verschiedene Zahlenmengen eine Rolle:
Name Symbol Beschreibung
Natürliche Zahlen N {1, 2, 3, 4, . . .}
Natürliche Zahlen mit der 0 N 0 {0, 1, 2, 3, 4, . . .}
Ganze Zahlen Z {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}
Rationale Zahlen Q { p |p ∈ Z, q ∈ N}
q
Reelle Zahlen R alle Dezimalbrüche
Komplexe Zahlen C siehe Schwerpunktfach PAM oder EF
Jede dieser Zahlenmengen ist eine Erweiterung der vorhergehenden anschaulich:
Die Menge R der reellen Zahlen kann durch die Zahlengerade veranschaulicht werden:
Jedem Punkt auf der Zahlengeraden entspricht eine reelle Zahl und umgekehrt
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Algebra I 2
Aufgabe
1 Wahr oder falsch?
a) −4 ∈ R b) 3 1 ∈ Z c) 2.¯1 ∈ Q d) − 3 2 ∈ Z e) √ 2 ∈ Q
1.1 Die natürlichen Zahlen
1.1.1 Was ist 2?
Die Mengen A = {Arno, Zoe}, B = {rot, blau}, C = {127, 348} haben eine gemeinsame Eigenschaft
sie sind gleichmächtig, d.h. jedem Element von A kann genau ein Element von B zugeordnet werden
(und umgekehrt).
Die gleichmächtigen Mengen A, B, C haben eine gemeinsame Eigenschaft, nämlich die Zahleigenschaft
2.
Schreibweise: |A| = |B| = |C| = 2, mit |A| wird die Zahleigenschaft der Menge A, d.h. die Anzahl
Elemente der Menge A bezeichnet.
Die leere Menge ∅ = {} hat die Zahleigenschaft 0.
1.1.2 Addition
Denition 1:
Unter der Summe zweier natürlicher Zahlen a, b versteht man die Zahleigenschaft
der Vereinigungsmenge zweier Mengen A und B, wobei |A| = a, |B| = b und A, B
keine gemeinsamen Elemente haben, d.h. A ∩ B = ∅.
Der Ausdruck a + b heisst Summe, a, b heissen Summanden.
Für die Addition gelten zwei wunderbare Gesetze:
(7 + 4) + 3 = 11 + 3 = 14
7 + (4 + 3) = 7 + 7 = 14
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Algebra I 3
11 + 17 = 28
17 + 11 = 28
Oenbar dürfen Klammern weggelassen werden und Summanden vertauscht werden. Diesen Sachverhalt
stellt man allgemein so dar:
Für alle natürlichen Zahlen a, b, c ∈ N gilt:
(a + b) + c = a + (b + c) Assoziativgesetz
a + b = b + a Kommutativgesetz
1.1.3 Subtraktion
Denition 2:
Unter der Dierenz a−b zweier natürlicher Zahlen a, b versteht man diejenige Zahl,
die zu b addiert a ergibt, d.h. b + (a − b) = a bzw. (a − b) + b = a.
a − b heisst Dierenz, a heisst Minuend, b heisst Subtrahend
Achtung:
(7 − 4) − 3 = 3 − 3 = 0
7 − (4 − 3) = 7 − 1 = 6
7 − 4 = 3
4 − 7 = ???
Assoziativund Kommutativgesetz sind für die Subtraktion nicht gültig. Ausserdem ist die Subtraktion
in der Menge der natürlichen Zahlen nicht uneingeschränkt durchführbar (dies führt auf die Denition
der ganzen Zahlen).
1.1.4 Multiplikation
Denition 3:
Unter dem Produkt a · b zweier natürlicher Zahlen a, b versteht man die Zahl
b + b + . . . b (a Summanden).
a · b heisst Produkt, a, b heissen Faktoren
Für die Multiplikation gelten die wunderbaren Gesetze wiederum:
Für alle natürlichen Zahlen a, b, c ∈ N gilt:
(a · b) · c = a · (b · c) Assoziativgesetz
a · b = b · a Kommutativgesetz
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Algebra I 4
Begründung:
1.1.5 Division
Denition 4:
Unter dem Quotient a : b zweier natürlicher Zahlen a, b versteht man diejenige
Zahl, die mit b multipliziert a ergibt, d.h. b · (a : b) = a.
a : b heisst Quotient, a heisst Dividend, b heisst Divisor.
Achtung:
(16 : 4) : 2 = 4 : 2 = 2
16 : (4 : 2) = 16 : 2 = 8
24 : 8 = 3
8 : 24 = ???
Assoziativund Kommutativgesetz sind für die Division nicht gültig. Ausserdem ist die Division in der
Menge der natürlichen Zahlen nicht uneingeschränkt durchführbar (dies führt auf die Denition der
rationalen Zahlen).
1.1.6 Primzahlen
Denition 5:
Denition 6:
Eine natürliche Zahl b heisst Teiler der natürlichen Zahl a, wenn gilt: a ist ein
Vielfaches von b, d.h. a = b · c für ein c ∈ N.
Eine Zahl p ∈ N heisst Primzahl, wenn sie genau 2 Teiler hat (nämlich 1 und p).
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Algebra I 5
Die ersten Primzahlen sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . ..
Die heute (seit 2008) grösste bekannte Primzahl: 2 43′ 112 ′ 609 − 1 (Zahl mit 12 ′ 978 ′ 189 Stellen).
Primzahlen spielen eine zentrale Rolle bei den heute angewandten Methoden zur Verschlüsselung von
Nachrichten (beim sogenannten RSA-Algorithmus werden zwei grosse Primzahlen gebraucht). Solche
Techniken gewinnen im Zeitalter des Internets natürlich zunehmend an Bedeutung.
Wie kann man bestimmen, ob eine Zahl p ∈ N prim ist? Eine einfache Methode ist die: Falls p keine
Primzahl ist, muss sie einen Teiler grösser als 1 und kleiner (oder gleich) √ p haben.
Beweis:
Aufgaben
2 Welche der folgenden Zahlen sind prim? 1021, 1027, 2983, 5701, 5141
3 Teste folgende Aussage: Der Ausdruck n 2 + n + 41 liefert für jedes n ∈ N eine Primzahl.
Satz 1:
Es gibt unendlich viele Primzahlen!
Beweis:
Angenommen es gäbe nur endlich viele Primzahlen z. Bsp. nur 5, nämlich 2, 3, 5, 7, 11; dann ist
n = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 + 1 weder durch 2, 3, 5, 7, 11 teilbar. Jede Zahl ist aber durch eine Primzahl teilbar
(notfalls durch sich selbst) - es muss also doch noch eine weitere Primzahl geben.
Satz 2:
Fundamentalsatz der Zahlentheorie
Jede natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben.
Beispiel: 23 ′ 188 = 2 · 2 · 11 · 17 · 31
Aufgabe
4 Zerlege die Zahlen 9, 99, 999, 9'999, 99'999, 999'999 in Primfaktoren.
1.1.7 ggT und kgV
Zur Bestimmung des grössten gemeinsamen Teilers (ggT) zweier (oder mehrerer) natürlicher Zahlen
sind zwei Methoden gebräuchlich:
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Algebra I 6
1. Methode: Primfaktorzerlegung
Beispiel: ggT(600,252)
600 = 2 3 · 3 · 5 2 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5
252 = 2 2 · 3 2 · 7 = 2 · 2 · 3 · 3 · 7
Jeder Primfaktor eines gemeinsamen Teilers muss auch Primfaktor der beiden Zahlen sein. Den grössten
gemeinsamen Teilers erhält man also, wenn man alle gemeinsamen Primfaktoren multipliziert.
⇒ ggT(600, 252) = 2 · 2 · 3 = 12.
Aufgabe
5 Bestimme den ggT
a) 24, 180 b) 4725, 3465 c) 51, 136, 187, 119
2. Methode: Algorithmus von Euklid
Mit dieser Methode kann der ggT ohne Primfaktorzerlegung ermittelt werden:
Beispiel: ggT(600,252)
Trick: Ein Teiler von 600 und 252 ist auch Teiler von 600 − 252 = 348 und 252 und umgekehrt ist ein
Teiler von 348 und 252 auch Teiler von 348 + 252 = 600 und 252!
⇒ ggT(600, 252) = ggT(348, 252) = ggT(252, 96) = ggT(156, 96) = ggT(96, 60) = ggT(60, 36) =
ggT(36, 24) = ggT(24, 12) = ggT(12, 12) = ggT(12, 0) = 12
Diese Methode kann noch abgekürzt werden:
ggT(231, 22) = ggT(22, 231 − 10 · 22 = 11) = ggT(11, 22 − 2 · 11 = 0) = 11
Denition 7:
a mod b = Rest der Division a : b
Beispiel:
600 mod 252 = 96 denn 600 : 252 = 2 Rest 96.
Kurzform:
600
252
96 = 600 mod 252
60 = 252 mod 96
36 = 96 mod 60
24 = 60 mod 36
12 = 36 mod 24
0 = 24 mod 12
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Algebra I 7
Aufgabe
6 Bestimme den ggT mit dem Euklidischen Algorithmus
a) ggT(6902,13974) b) ggT(243243, 432432) c) ggT(9963,26199)
Beim Rechnen mit Brüchen ist die Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen zweier oder
mehrerer Zahlen von Bedeutung.
Beispiel: kgV(600,252)
600 = 2 3 · 3 · 5 2 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5
252 = 2 2 · 3 2 · 7 = 2 · 2 · 3 · 3 · 7
Jedes Vielfache beider Zahlen muss mindestens die Primfaktoren 2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 7 enthalten
⇒ kgV(600, 252) = 2 3 · 3 2 · 5 2 · 7 = 12 ′ 600
Aufgaben
7 Bestimme den ggT und das kgV
a) 24, 180 b) 4725, 3465 c) 1221, 1332
8 Zeige: kgV(a, b) = (a · b) : ggT(a, b)
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Algebra I 8
1.2 Die ganzen Zahlen
In der Menge der natürlichen Zahlen ist nicht jede Subtraktionsaufgabe lösbar. Dieser Mangel lässt
sich mit folgender Denition beheben:
Denition 8: −n ist diejenige Zahl, die zu n addiert 0 ergibt, d.h. −n + n = 0 bzw. n + (−n) = 0.
−n heisst Gegenzahl von n.
Denition 9:
Z = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} heisst Menge der ganzen Zahlen.
Die Zahlen −1, −2, −3, −4, . . . heissen negative ganze Zahlen.
Ob die neu eingeführten negativen Zahlen zu Recht als Zahlen bezeichnet werden, entscheidet sich an
der Frage, ob man mit ihnen in gewohnter Weise rechnen kann. Wir wollen zunächst die Addition und
Subtraktion betrachten.
1.2.1 Addition und Subtraktion ganzer Zahlen
Wie soll 3 + (−7) = (−7) + 3 deniert werden? 1
Wegen 4 + 3 + (−7) = 7 + (−7) = 0 ist 3 + (−7) die Gegenzahl von 4, d.h. 3 + (−7) = (−7) + 3 = −4.
Wie soll 7 + (−3) = (−3) + 7 deniert werden?
Wegen 7 + (−3) + 3 = 7 + 0 = 7 ist 7 + (−3) = (−3) + 7 = 4.
Wie soll (−7) + (−3) = (−3) + (−7) deniert werden?
Wegen (−7) + (−3) + 10 = (−7) + (−3) + 3 + 7 = 0 ist (−7) + (−3) die Gegenzahl von 10, d.h.
(−7) + (−3) = (−3) + (−7) = −10.
Allgemein:
Die Addition ganzer Zahlen wird mit Hilfe der folgenden Regeln auf die Addition natürlicher Zahlen
zurückgeführt (a, b sind zunächst natürliche Zahlen):
a + (−b) = (−b) + a = a − b = −(b − a) (1)
(−a) + (−b) = −(a + b) (2)
Bei der Subtraktion müssen folgende Regeln beachtet werden:
a − b = −(b − a) (3)
a − (−b) = a + b (4)
(−a) − b = −(a + b) (5)
(−a) − (−b) = b − a = −(a − b) (6)
Die Regel (5) kann wie folgt begründet werden:
(−a) − b ist diejenige Zahl, die zu b addiert (−a) ergibt; andererseits ist (−a) + (−b) + b = (−a) d.h.
(−a) − b = (−a) + (−b) = −(a + b) gemäss Regel (2).
1 Das Kommutativgesetz soll erhalten bleiben.
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Algebra I 9
Setzt man in (4) a = 0 erhält man:
−(−b) = b (7)
d.h. die Gegenzahl einer Gegenzahl ist die Zahl selbst.
Aufgaben
9 Begründe die Regel (3), (4) und (6).
10 Teste das Kommutativgesetz (a + b) + c = a + (b + c) für verschiedene ganze Zahlen a, b, c.
11 Fülle die Tabelle aus:
a b a + b a − (−b) −a − b a − b −(a − b) −a + b
17 23
11 -19
-9 -21
12 Berechne a − (−b − (c − a − b)) für
a) a = 10 b = 20 c = −1
b) a = 11 b = −19 c = 4
c) a = 1234 b = −5678 c = 0
1.2.2 Multiplikation und Division ganzer Zahlen
Die Multiplikation und Division ganzer Zahlen wird mit Hilfe der folgenden Regeln auf die Multiplikation
und Division natürlicher Zahlen zurückgeführt:
a · (−b) = (−a) · b = −(a · b) (8)
(−a) · (−b) = a · b (9)
a : (−b) = (−a) : b = −(a : b) (10)
(−a) : (−b) = a : b (11)
Aufgaben
13 Berechne ab + bc − ac − (b − c)a
a) a = −2 b = 3 c = 8
b) a = 5 b = 3 c = −4
c) a = 1234 b = −1 c = 2
14 Fülle die Tabelle aus:
a b a 2 − 2ab + b 2 (a − b) 2 (b − a) 2
5 1
−6
−7
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Algebra I 10
1.2.3 Zusammenfassung
In der Menge der ganzen Zahlen gelten die folgenden Rechenregeln für die Addition:
Für alle a, b, c ∈ Z gilt:
a + b = b + a Kommutativgesetz
(a + b) + c = a + (b + c) Assoziativgesetz
a + 0 = a
Es gibt ein Neutralelement
a + (−a) = 0
Jedes Element hat ein Inverses
Diese Regeln besagen, dass Z bezüglich der Addition eine sogenannte kommutative Gruppe ist.
Bezüglich der Multiplikation ist die Menge der ganzen Zahlen keine Gruppe, es gilt aber:
a · b = b · a Kommutativgesetz
(a · b) · c = a · (b · c) Assoziativgesetz
a · 1 = a
Es gibt ein Neutralelement
Das wichtige Distributivgesetz vereinigt beide Operationen:
a · (b + c) = a · b + a · c
Aufgabe
15 Teste das Distributivgesetz mit verschiedenen Werten für a, b, c.
Bemerkungen:
• Jede Subtraktion kann jetzt als Addition geschrieben werden: a − b = a + (−b).
• Das Minuszeichen hat 3 Bedeutungen:
als Vorzeichen z.Bsp
V
−3
als Zeichen zur Gegenzahlbildung z.Bsp.
G
−(−3) oder G −(a + b)
als Subtraktionszeichen z.Bsp. 2 S − 3
Aufgabe
16 Schreibe über jedes Minuszeichen den passenden Buchstaben V , G oder S.
a) 15 − (−3) b) −((−9) + 1) c) −((−2) − (−10)) d)−(4 − 5) · (−7)
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Algebra I 11
1.3 Die Menge der rationalen Zahlen
Mit der Einführung der ganzen Zahlen Z wurden Rechnungen wie 3 − 7, etc... lösbar; in Z sind alle
Subtraktionen uneingeschränkt durchführbar.
Problem: in Z sind Divisionen wie 3 : 7, −2 : 4, 12 : (−18) nicht lösbar.
Denition 10:
a
ist diejenige Zahl, die mit b multipliziert a ergibt. a heisst Zähler, b heisst Nenner.
b
Es gilt also:
a
b · b = a d.h. a : b = a b
Q = { a b
| a, b ∈ Z, b ≠ 0} heisst Menge der rationalen Zahlen.
Damit die Elemente von Q auch wirklich 'Zahlen' genannt werden dürfen, müssen Addition und Multiplikation
so erklärt werden, dass die in 1.2.3 genannten Rechenregeln immer noch gültig sind.
1.3.1 Kürzen und Erweitern
7
16
und
14
32
stellen dieselbe Zahl dar, denn:
32 ·
7
16 = 2 · 16 · 7
16 = 2 · 7 = 14 ⇒ 7
16 = 14
32
Kürzen: Zähler und Nenner eines Bruchs a b
durch dieselbe Zahl dividieren.
Ein Bruch heisst vollständig gekürzt, wenn ggT(a, b) = 1.
Erweitern: Zähler und Nenner eines Bruchs a b
mit derselben Zahl multiplizieren.
Das Kürzen und Erweitern ändert den Wert eines Bruchs nicht.
Bemerkung: Die Bruchzahlen a 1 mit a ∈ Z identizieren wir mit den ganzen Zahlen a, d.h. a 1 = a.
1.3.2 Addition und Multiplikation
Die Addition von Bruchzahlen wird an folgendem Beispiel erläutert. Bei der Begründung setzt man
die Gültigkeit des Distributivgesetzes voraus.
2
3 + 4 7 = 14
21 + 12 14 + 12
= = 26
21 21 21
denn 21 · ( 2 3 + 4 7 ) = 21 · 2
3 + 21 · 4
7 = 7 · (3 · 2
3 ) + 3 · (7 · 4
7 ) = 14 + 12 = 26 A. Kiener Kantonsschule Solothurn

Algebra I 12
Ein zweites Beispiel:
4
35 − 7
25 = 4 · 5
5 · 5 · 7 − 7 · 7 20 − 49
= = −29
5 · 5 · 7 175 175 = − 29
175
Brüche werden also addiert, indem zuerst die einzelnen Summanden so erweitert werden, dass alle
denselben Nenner erhalten ('gleichnamig machen') und anschliessend die Zähler addiert werden.
Bemerkung: −a
b
= a −b = −a b
und
−a
−b = a b
Brüche werden multipliziert, indem die Zähler und Nenner multipliziert werden:
3
7 · 2
5 = 3 · 2
7 · 5 = 6 35
denn 35 · 3 2
7 5 = 5 · 2
5 · 7 · 3
7 = 2 · 3 = 6
Die Begründung basiert auf der Annahme, dass das Kommutativgesetz der Multiplikation erfüllt ist.
Aufgabe
17 Fülle die Tabelle aus:
a b b − a a − b ab
b
a
−(a + b)
−a + b
− 3 4
7
3
−3
− 1 2
− 7 5
10
9
1.3.3 Vergleich
Zwei rationale Zahlen lassen sich vergleichen.
Denition 11: a < b ⇐⇒ a liegt links von b auf der Zahlengeraden
Aufgabe
18 Ordne nach aufsteigender Grösse: − 2 3 , −5 8 , − 7
12 , −16 25 , 3 4 , 4 7 , 7
11
1.3.4 Dezimalbrüche
Statt 1 2 = 5
10 schreibt man auch 0.5. A. Kiener Kantonsschule Solothurn

Algebra I 13
1234
1000 = 1.234
1
3 =? 0.3 < 1 3 < 0.4 ⇒ 1 3 = 0.3 . . . 0.33 < 1 3 < 0.34 ⇒ 1 3 = 0.33 . . . usw. ⇒ 1 3 = 0.3
Satz 3:
Jeder Bruch a b
lässt sich als endlicher oder periodischer Dezimalbruch darstellen.
Aufgaben
19 Verwandle in einen Dezimalbruch: 13
8 , 11
75 , 1000
111
20 Verwandle in einen gewöhnlichen Bruch: 0.3629, 1.02027, 0.923076
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Algebra I 14
1.3.5 Der Körper der rationalen Zahlen
In der Menge der rationalen Zahlen Q ist jede Addition/Subtraktion bzw. Multiplikation/Division
sinnvoll und es gilt für a, b, c ∈ Q:
a + b = b + a a · b = b · a Kommutativgesetz
(a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c) Assoziativgesetz
a + 0 = a a · 1 = a Es gibt ein Neutralelement
a + (−a) = 0 a · 1 = 1 (a ≠ 0)
a
Jedes Element hat ein Inverses
a · (b + c)= a · b + a · c
Distributivgesetz
Eine Menge auf der 2 Operationen (+, ·) erklärt sind, so dass obige Gesetze gelten, heisst Körper.
1.4 Die Menge der reellen Zahlen
Denition 12: Alle Dezimalbrüche bilden die Menge der reellen Zahlen R.
Beispiele:
−2.1234567891011121314151617181920 . . .
401.12343434 . . . = 401.1234
Man unterscheidet zwischen rationalen Zahlen (Q) und irrationalen Zahlen dies sind die unendlichen
nicht periodischen Dezimalbrüche.
Satz 4:
√
2 ist irrational.
Satz 5:
R ist ein Körper.
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Algebra I 15
Terme und Termumformungen
Denition 13:
Ein Term (ein algebraischer Ausdruck) ist eine sinnvolle Zusammensetzung von
Zahlen, Variablen, Operationszeichen und Klammern. Variablen stehen dabei stellvertretend
für Zahlen.
Sinnvoll ist ein Term dann, wenn durch Einsetzen von Zahlen anstelle der Variablen
und Beherrschen der folgenden Grundsätze der Wert des Terms ausgerechnet werden
kann.
Reihenfolge der Operationen
• Klammer ausrechnen (von innen nach aussen)
• 'Punkt' vor 'Strich' genauer: Potenzieren vor Multiplikation/Division vor Addition/Subtraktion
• Bei gleichwertigen Operationen wird von links nach rechts gelesen; Multiplikationen, die ohne ·
geschrieben werden, haben Vorrang
Beispiele:
T 1 (a, b, c) = a + b · c, T 2 (a, b, c) = (a + b) · c Berechne T 1 (2, 3, −4) und T 2 (2, 3, −4).
T 1 (u, v, w) = 3u 2 −2+v : w, T 2 (u, v, w) = (3u) 2 −(2+v) : w Berechne T 1 (2, −4, 8) und T 2 (2, −4, 8).
T 1 (a, b, c) = a : b · c, T 2 (a, b, c) = a : bc Berechne T 1 (12, 3, 4) und T 2 (12, 3, 4).
Aufgaben
(Seite 14) 85, 88, 90
(Seite 33) 4, 6
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Algebra I 16
Termanalysen
Ein Term ist genau dann sinnvoll, wenn er analysiert werden kann.
Beispiele:
T (a, b, c) = a + b : c
T (a, b, c, d) = −[2(a − b 4 )(c + d)]
Aufgaben
(Seite 16) 94, 96
(Seite 18) 100(T 1 , T 4 ), 101, 102b)
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Algebra I 17
Zwei Terme T 1 und T 2 heissen äquivalent, wenn alle möglichen Einsetzungen für die Variable(n) bei
T 1 denselben Wert ergeben wie bei T 2 . Man schreibt T 1 = T 2 .
Addition und Subtraktion
Statt a + a + a + a + a schreibt man kürzer 5 · a oder noch kürzer 5a.
Statt cd 2 + cd 2 + cd 2 schreibt man kürzer 3 · cd 2 oder noch kürzer 3cd 2 .
⇒ • 12a − 7a = 5a
• −6a − (−8a) = −6a + 8a = 8a − 6a = 2a
• 3xy 2 − 2x 2 y − 4xy 2 = −xy 2 − 2x 2 y
Klammerregel
A − (B + C − D) = A − B − C + D
denn die Gegenzahl von B + C − D ist D − B − C und somit ist
A − (B + C − D) = A + (−(B + C − D)) = A + D − B − C = A − B − C + D.
Beispiele:
(Seite 21)
117d) (x − y − z) − (y − z) = x − y − z − y + z = x − 2y
119f) 25x − (25x − 2y + z) = 25x − 25x + 2y − z = 2y − z
123a) 20a − [16a − (2a + b)] = 20a − [16a − 2a − b] = 20a − [14a − b] = 20a − 14a + b = 6a + b
(Seite 35,36)
22b) 2a 3 − 3a 2 b − (a 2 b + ab 2 + ab) = 2a 3 − 4a 2 b − ab 2 − ab
37b) −(−(3p + 8) + 6p) + 8 = −(−3p − 8 + 6p) + 8 = −(3p − 8) + 8 = −3p + 8 + 8 = 16 − 3p
Aufgaben
(Seite 21) 120, 124
(Seite 35 .) 24, 30, 35, 43
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Algebra I 18
Multiplikation und Division
Statt a · a · a schreibt man kürzer a 3 .
Statt (x + y) · (x + y) · (x + y) · (x + y) schreibt man kürzer (x + y) 4 .
Aus der Denition der Potenz a n folgen die wichtigen
Potenzgesetze
a n · a m = a n+m
(a n ) m = a n·m
a n · b n = (ab) n
Beispiele:
(Seite 22 .)
133c) (ab) 2 c 3 · a 2 (bc) 3 = ab · ab · c · c · c · a · a · bc · bc · bc = a 4 b 5 c 6
138c) 5ab(−ac)9c(−b)(−2c)(−a) = 90a 3 b 2 c 3
150a) −2a 3 b − 7a 3 b = −9a 3 b 150b) (−2a 3 b)(−7a 3 b) = 14a 6 b 2
Aufgaben
(Seite 22 .) 136, 140, 151, 155, 159b)c), 161a)c)f)
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Algebra I 19
Distributivgesetz
A(B + C) = AB + AC
Beispiele:
(Seite 25)
167b) 3a 2 (a 3 − a 2 ) = 3a 5 − 3a 4 167c) (3y 4 + 5)13y 4 = 39y 8 + 65y 4
171a) (a + b − c − d)(−1) = −a − b + c + d 171b) −x 2 (−x 3 + 5x 2 + 2x) = x 5 − 5x 4 − 2x 3
Aufgaben
(Seite 25) 170, 172, (Seite 37) 45, 46, 56
Mehrmaliges Anwenden des Distributivgesetzes:
(A + B)(C + D) = A(C + D) + B(C + D) = AC + AD + BC + BD
Besispiele:
(Seite 27) 187b) (a + 2)(a + 5) = a 2 + 5a + 2a + 10 = a 2 + 7a + 10
(Seite 39) 82b) (−6z 2 +3z+4)(−5z+3) = 30z 3 −18z 2 −15z 2 +9z−20z+12 = 30z 3 − 33z 2 − 11z + 12
(Seite 40) 100b)
P (x) = (4x + 9)(4x + 5) − (8x + 15)(2x + 3) = 16x 2 + 56x + 45 − (16x 2 + 54x + 45) = 2x
⇒ P (11) = 22, P (−2) = −4, P (0) = 0, P (3.33) = 6.66
Aufgaben
(Seite 38 .) 59, 67, 73, 81, 89, 93, 97, 99, 103
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