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Übungen zur Theoretischen Physik II (Elektrodynamik)
Prof. Dr. S. Marculescu, M. Jung, Ch. Klein SoSe 2007
Blatt 3 — Abgabe: 04.05.2007 — Besprechung: Dienstag, 08.05.2007, 10:15 Uhr
Übungsblätter online: http://www.tp1.physik.uni-siegen.de/exercises/
Aufgabe 9: Potenzial einer homogen geladenen Kugel
Bestimmen Sie das elektrostatische Potenzial Φ(r) einer homogen geladenen Kugel
mit Radius R und Ladungsdichte ρ 0 über das Coulombintegral. Legen Sie dazu r in
z-Richtung und führen Sie das Integral in Kugelkoordinaten aus.
Aufgabe 10: Punktladung vor geerdeten Metallplatten
Das Gebiet
B = {r|x ≥ 0, y ≥ 0, −∞ < z < ∞}
sei bei x = 0 und y = 0 durch geerdete Metallplatten begrenzt. Innerhalb von B
befinde sich eine Punktladung q bei (x, y, z) = (a, b, 0).
(a) Bestimmen Sie das Potenzial Φ(r) in B mit Hilfe von drei symmetrisch verteilten
Bildladungen.
(b) Bestimmen Sie die Flächenladungsdichte und die Gesamtladung auf den Platten.
(c) Welche Kraft wirkt auf die Punktladung?
Hinweise:
• Es gilt die Relation
( ( a b
arctan + arctan =
b)
a)
π 2 .
Aufgabe 11: Punktladung vor Metallkugel
Außerhalb einer geerdeten, leitenden Hohlkugel mit Radius R befinde sich eine Punktladung
q im Abstand a zum Mittelpunkt.
(a) Berechnen Sie das Potenzial Φ(r) überall im Raum mit Hilfe der Spiegelladungsmethode.
(b) Bestimmen Sie die Ladungsdichte und die Gesamtladung auf der Oberfläche.
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(c) Es sei nun die Kugel nicht mehr geerdet, sondern isoliert, und ihre Gesamtladung
verschwinde. Diesem Umstand soll Rechnung getragen werden, indem
eine weitere Spiegelladung q ′′ = −q ′ in der Mitte der Kugel hinzugefügt wird
(q ′ bezeichnet die Ladung der Spiegelladung aus (a)). Geben Sie das Potenzial
in diesem Fall an und berechnen Sie den Wert des Potenzials auf der Kugel.
(d) Mit welcher Kraft zieht die Kugel die Ladung q an?
Hinweise:
• Verwenden Sie Symmetrieargumente, um die Position der Spiegelladung auf eine
Achse festzulegen.
• Die Randbedingung an das Potenzial lässt sich am einfachsten auswerten, wenn
man sie an speziellen Punkten betrachtet.
Aufgabe 12: Randwertproblem mit Metallplatten
Das Gebiet
B = {r|0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, −∞ < z < ∞}
sei durch Metallplatten begrenzt. Die beiden Platten bei x = 0 und x = a seien
geerdet, die beiden anderen bei y = 0 und y = b seien auf dem Potenzial Φ 0 .
(a) Begründen Sie, warum Φ(r) = Φ(x, y) gelten muss.
(b) Lösen Sie die Laplacegleichung im Inneren des Bereiches B mit dem Separationsansatz
Φ(x, y) = X(x)Y (y) und werten Sie die Randbedingungen aus.
(c) Zeigen Sie, dass Sie im Grenzfall b → ∞ die Fourier-Reihe erhalten, die in der
Vorlesung zum Teil behandelt wurde.
(d) Diese Reihe soll aufsummiert werden. Führen Sie dazu die komplexe Variable
Z = exp [ i π(x + iy)] ein und schreiben Sie die Lösung in der Form
a
( )
Φ(x, y) = 4Φ 0 ∑
π Im Z n
.
n
(e) Verwenden Sie nun die Gleichung
∑
2
n=1,3,5,...
n=1,3,5,...
Z n
n = ln 1 + Z
1 − Z
und berechnen Sie das Argument der Zahl 1+Z
1−Z (in der Darstellung z = reiφ für
komplexe Zahlen).
Hinweise:
• Es gilt
∫ a
0
( mπx
)
dx sin =
a
{
0, falls m=2,4,6,...
2a
, falls m=1,3,5,...
πm