Kristallographische Gruppen

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Auf diese Art lassen sich unendlich viele verschiedene Gitter erzeugen. Ihre Vielfalt läßt sich jedoch
in den Griff bekommen, indem man die zusätzlich zur Translationssymmetrie vorhandenen Punktsymmetrien
betrachtet. (Zum Beispiel enthält die Symmetriegruppe jedes Gitters die Inversion).
Dies ist das Thema des nun folgenden Abschnittes.
3.4.2 Kristallographische Punktgruppen
Sei H eine Gittergruppe und L das von ihr erzeugte Gitter Hx. Dieses Gitter hat eine maximale
(vollständige) Symmtriegruppe G, die natürlich H als Untergruppe enthält. Jede Translation aus
G ist auch in H enthalten: H = G ∩ T(3). Wir werden nun sehen, daß auch G diskret ist, und
daß es zur Klassifikation der Gitter genügt, die diskreten Punktgruppen zu betrachten, die in H
enthalten sind.
Mit h ∈ G ist b := hx wieder ein Gitterpunkt. Es gibt also eine Translation t, die von x nach b
führt. Somit gilt t −1 hx = x (andere Schreibweise: hx −t = x), und die Transformation f := t −1 h
hat x als Fixpunkt. Die Menge aller f bildet eine diskrete Punktgruppe F mit Fixpunkt x.
Man kann jedes Element von G eindeutig in der Form h = tf mit t ∈ H und fx = x schreiben. G
ist damit das semidirekte Produkt ihrer Untergruppe F und der Gittergruppe H:
Als Produkt diskreter Gruppen ist auch G diskret.
G = F ∧ H (3.2)
Zur Bestimmung aller Symmtriegruppen der Gitter genügt es, alle möglichen Punktgruppen F zu
bestimmen.
Definition 3.3 Eine Untergruppe G der euklidischen Gruppe E(3), die ein Gitter L auf sich selbst
abbildet und einen Punkt x ∈ L als Fixpunkt hat, heißt kristallographische Punktgruppe. Die
maximale kristallographische Punktgruppe F von x heißt Holoedrie von L bei x.
Kristallographische Punktgruppen sind definitionsgemäß nichts anderes als Untergruppen der Holoedrien.
Doch kommen keinesfalls alle Punktgruppen als kristallographische in Frage. Die Tatsache,
daß diese Punktgruppen ein Gitter invariant lassen, also mit einer Translationsperiodizität
verträglich sein müssen, stellt eine starke Einschränkung dar, über die der folgende Satz Auskunft
gibt.
Satz 3.1 (von der kristallographischen Beschränkung) Eine kristallographische Punktgruppe
kann nur Drehachsen c n der Zähligkeiten n = 1, 2, 3, 4 und 6 enthalten. Holoedrien
enthalten stets die Inversion i und, sofern sie eine zyklische Untergruppe einschließen, gleichzeitig
auch C nv .
Beweis:
Sei g ∈ H. Stelle g in einer Gitterbasis dar:
gb i = ∑ j
b j c ji (g) (3.3)
muß wieder ein Gittervektor sein, d.h. die Matrix c ist unimodular: c ji ∈ Z und det c = ±1. Also
muß ihre basisunabhängige Spur ebenfalls ganzzahlig sein:
∑
c ii (g) = 1 + 2 cosϕ = 1 + 2 cos 2π n ∈ Z (3.4)
i
Diese diophantische Gleichung wird nur gelöst von n = 1, 2, 3, 4, 6.
Daß die Holoedrie die Inversion enthält ist unmittelbar einsichtig.