Kristallographische Gruppen

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4 quadratisches Gitter rechtwinkliches Gitter hexagonales Gitter zentriertes rechtwinkliches Gitter schiefwinkliches Gitter Abbildung 3.1: In zwei Dimensionen gibt es fünf Bravais-Gitter
3.4. KRISTALLOGRAPHISCHE GRUPPEN 5 Kristallsystem Schönflies Hermann-Maugin Isomorphie triklin S 2 ¯1 C 2 Γ t primitiv C 1 1 C 1 monoklin C 2h 2/m D 2 Γ m primitiv, Γ b m basiszentriert C 2, C 1h 2, m C 2 orthorhombisch D 2h mmm D 2 × C 2 Γ o primitiv, Γ b o basiszentriert D 2, C 2v 222, mm2 D 2 Γ o raumzentriert, Γ f o flächenzentriert tetragonal D 4h 4/mmm D 4 × C 2 Γ q primitiv, Γ v q raumzentriert D 4, C 4v , D 2d 42, 4mm, ¯42m D 4 C 4h 4/m C 4 × C 2 C 4 , S 4 4, ¯4 C 4 rhomoboedrisch D 3d ¯3m D 6 Γ rh primitiv D 3 , C 3v 32, 3m D 3 S 6 ¯3 C 6 C 3 3 C 3 hexagonal D 6h 6/mmm D 6 × C 2 Γ h primitiv D 6 , C 6v , D 3h 62, 6mm, ¯6m2 D 6 C 6h 6/m C 6 × C 2 C 6 , C 3h 6, ¯6 C 6 kubisch O h m3m O × C 2 Γ c primitiv, Γ v c raumzentriert O, T d 43, ¯43m O Γ f c flächenzentriert T h m3 T × C 2 T 23 T Tabelle 3.2: Tabelle der kristallographischen Punktgruppen. Angegeben sind auch die sieben Holoedrien, zu denen die Punktgruppen gehören, inklusive der möglichen Bravaisgitter. 3.4.3 Raumgruppen Raumgruppen sind die Symmetriegruppen von Kristallen, also von Gittern mit Basis. Unter einem Kristall verstehen wir ein unendlich ausgedehntes, periodisch aufgebautes Medium mit physikalisch äquivalenten Punkten x ∼ y. Physikalisch äquivalent sind zumindest die Punkte, die durch eine Gittertranslation auseinander hervorgehen. Definition 3.6 Eine Raumgruppe ist eine diskrete Untergruppe G < E(3), wobei H := G ∩ T(3) eine dreidimensionale Gittergruppe darstellt. Einige Aussagen: • H ist Normalteiler von G • x ∈ R 3 , Hx = L ist das Kristallgitter • ˜G = F ∧ L mit der Holoedrie F ist definitionsgemäß Symmetriegruppe des Gitters. Sie muß aber nicht Symmetriegruppe des Kristalls sein: g ∈ ˜G ≠⇒ g ∈ G (3.5) Dies ist dann der Fall, wenn die Basis eine niedrigere Symmetrie hat als das Gitter, also zum Beispiel die Inversion nicht enthält, siehe Abbildung 3.2.
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