Kristallographische Gruppen

Gruppentheoretische Methoden in der Physik 1
Prof. Dr. H.-R. Trebin
Auszug aus dem Vorlesungsmanuskript, WS 06/07
3.4 Kristallographische Gruppen
Im vorherigen Abschnitt beschäftigten wir uns mit diskreten Symmetriegruppen endlicher Teilbereiche
des R 3 , also mit Untergruppen von O(3).
Kristalle denken wir uns idealisiert als unendlich ausgedehnt. Ihre Symmetriegruppen enthalten
auch Translationen und sind damit Untergruppen der euklidischen Gruppe E(3). Damit können
auch Operationen wie Gleitspiegelungen und Schraubenachsen als Symmetrieelemente auftreten.
Im Folgenden wollen wir die vielen schon aus der elementaren Festkörperphysik bekannten Begriffe
wie Kristall, Gitter, Basis, Einheitszelle, Bravais-Gitter etc. in axiomatischer Form einführen und
darüber zu den Raumgruppen, d.h. den diskreten Untergruppen von E(3) gelangen. Zunächst
betrachten wir nur die Translationsanteile, Gittergruppen genannt.
3.4.1 Gittergruppen
Definition 3.1 Eine Gittergruppe H ist eine nichttriviale diskrete Untergruppe der Translationsgruppe
T(3) ∼ = (R 3 , +) des R 3 .
Nichttrivial soll heißen, daß H nicht nur aus dem neutralen Element besteht. Da die Elemente
der Translationsgruppe durch Vektoren des R 3 vollständig bestimmt sind, kann man sich die
Gittergruppe als eine Menge von Vektoren mit der Vektoraddition als Gruppenmultiplikation
vorstellen. H heißt nach der Zahl ihrer linear unabhängigen Vektoren 3-, 2- oder 1-dimensionale
Gittergruppe. Im Folgenden betrachten wir nur noch dreidimensionale Gittergruppen.
Für dreidimensionale Gittergruppen gibt es drei linear unabhängige Vektoren b 1 , b 2 , b 3 , so daß
jeder Vektor a ∈ H als Linearkombination der b i geschrieben werden kann:
a = n 1 b 1 + n 2 b 2 + n 3 b 3 n i ∈ Z. (3.1)
(Beweis siehe Miller, Seite 35 ff). Mathematisch gesehen haben wir nicht nur eine Gruppenstruktur,
sondern einen Z 3 -Modul vorliegen.
Die Vektoren b i heißen Basisvektoren und spannen die primitive Zelle der Gittergruppe auf.
Die Basisvektoren sind nicht eindeutig.
Definition 3.2 Sei x ∈ R 3 ein Element des affinen Raumes und H eine Gittergruppe. Der Orbit
Hx bildet ein geometrisches Gitter L. Die Menge aller Orbits heißt Kristallgitter oder Raumgitter.
Man kann sich das Raumgitter als durch die Eckpunkte der periodisch fortgesetzten primitiven
Zelle repräsentiert vorstellen.
Die Menge der Repräsentanten R 3 /H = (S 1 ) 3 ((S 1 ) 3 ist der dreidimensionale Torus) heißt Fundamentalbereich.
Man erhält ihn z.B. durch Identifizieren einiger Ecken, Kanten und Flächen
aus der primitiven Zelle. Eine andere Wahl ist die Wigner-Seitz-Zelle, auch Voronoi-Zelle
genannt. Im reziproken Raum heißt sie Brillouin-Zone.

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Auf diese Art lassen sich unendlich viele verschiedene Gitter erzeugen. Ihre Vielfalt läßt sich jedoch
in den Griff bekommen, indem man die zusätzlich zur Translationssymmetrie vorhandenen Punktsymmetrien
betrachtet. (Zum Beispiel enthält die Symmetriegruppe jedes Gitters die Inversion).
Dies ist das Thema des nun folgenden Abschnittes.
3.4.2 Kristallographische Punktgruppen
Sei H eine Gittergruppe und L das von ihr erzeugte Gitter Hx. Dieses Gitter hat eine maximale
(vollständige) Symmtriegruppe G, die natürlich H als Untergruppe enthält. Jede Translation aus
G ist auch in H enthalten: H = G ∩ T(3). Wir werden nun sehen, daß auch G diskret ist, und
daß es zur Klassifikation der Gitter genügt, die diskreten Punktgruppen zu betrachten, die in H
enthalten sind.
Mit h ∈ G ist b := hx wieder ein Gitterpunkt. Es gibt also eine Translation t, die von x nach b
führt. Somit gilt t −1 hx = x (andere Schreibweise: hx −t = x), und die Transformation f := t −1 h
hat x als Fixpunkt. Die Menge aller f bildet eine diskrete Punktgruppe F mit Fixpunkt x.
Man kann jedes Element von G eindeutig in der Form h = tf mit t ∈ H und fx = x schreiben. G
ist damit das semidirekte Produkt ihrer Untergruppe F und der Gittergruppe H:
Als Produkt diskreter Gruppen ist auch G diskret.
G = F ∧ H (3.2)
Zur Bestimmung aller Symmtriegruppen der Gitter genügt es, alle möglichen Punktgruppen F zu
bestimmen.
Definition 3.3 Eine Untergruppe G der euklidischen Gruppe E(3), die ein Gitter L auf sich selbst
abbildet und einen Punkt x ∈ L als Fixpunkt hat, heißt kristallographische Punktgruppe. Die
maximale kristallographische Punktgruppe F von x heißt Holoedrie von L bei x.
Kristallographische Punktgruppen sind definitionsgemäß nichts anderes als Untergruppen der Holoedrien.
Doch kommen keinesfalls alle Punktgruppen als kristallographische in Frage. Die Tatsache,
daß diese Punktgruppen ein Gitter invariant lassen, also mit einer Translationsperiodizität
verträglich sein müssen, stellt eine starke Einschränkung dar, über die der folgende Satz Auskunft
gibt.
Satz 3.1 (von der kristallographischen Beschränkung) Eine kristallographische Punktgruppe
kann nur Drehachsen c n der Zähligkeiten n = 1, 2, 3, 4 und 6 enthalten. Holoedrien
enthalten stets die Inversion i und, sofern sie eine zyklische Untergruppe einschließen, gleichzeitig
auch C nv .
Beweis:
Sei g ∈ H. Stelle g in einer Gitterbasis dar:
gb i = ∑ j
b j c ji (g) (3.3)
muß wieder ein Gittervektor sein, d.h. die Matrix c ist unimodular: c ji ∈ Z und det c = ±1. Also
muß ihre basisunabhängige Spur ebenfalls ganzzahlig sein:
∑
c ii (g) = 1 + 2 cosϕ = 1 + 2 cos 2π n ∈ Z (3.4)
i
Diese diophantische Gleichung wird nur gelöst von n = 1, 2, 3, 4, 6.
Daß die Holoedrie die Inversion enthält ist unmittelbar einsichtig.

3.4. KRISTALLOGRAPHISCHE GRUPPEN 3
S 2 < C 2h < D 2h < D 4h < O h
∧ ∧
D 3d <
D 6h
Tabelle 3.1: Die sieben Holoedrien und ihre Beziehungen untereinander
Von den unendlich vielen Punktgruppen bleiben mit dieser Einschränkung nur wenige als Kandidaten
für kristallographische Punktgruppen übrig, die tatsächlich auch alle Symmtriegruppe eines
Gitters sind.
Satz 3.2 Es gibt 32 kristallographische Punkgruppen und zugehörige Kristallklassen sowie sieben
Holoedrien.
Die Holoedrien und ihre Untergruppenrelationen sind in Tabelle 3.1 aufgeführt.
Eine vollständige Liste der zugehörigen Punktgruppen findet sich in Tabelle 3.2.
Definition 3.4 Zwei Gitter L und L ′ gehören zum selben Kristallsystem, wenn ihre Holoedrien
F, F ′ konjugierte Untergruppen in E(3) sind. Es gibt somit sieben Kristallsysteme.
Mit den sieben maximalen Punktgruppen sind die möglichen Gitter noch nicht festgelegt, sie
können noch unterschiedliche Raumgruppen haben. Zur weiteren Klassifikation benötigen wir
noch folgende Definition:
Definition 3.5 Zwei Gitter L 0 , L 1 derselben Holoedrie F sind vom gleichen Gittertyp, wenn
das eine aus dem anderen durch eine stetige Deformation L t , 0 ≤ t ≤ 1 erreicht wird, wobei die
Holoedrie F t stets F enthält.
Satz 3.3 In drei Dimensionen gibt es 14 Gittertypen, die Bravais-Gitter genannt werden.
Sie sind zusammen mit den Holoedrien und den kristallographischen Punktgruppen in Tabelle 3.2
aufgeführt.
In zwei Dimensionen gibt es nur fünf verschiedene Bravais-Gitter, die in Abbildung 3.1 dargestellt
sind.
• Zwei Gitter desselben Typs besitzen isomorphe vollständige Symmetriegruppen (Raumgruppen).
Zwei Gitter derselben Holoedrie können nichtisomorphe Raumgruppen haben, also zu
verschiedenen Gittertypen gehören. Der Gittertyp bestimmt die Raumgruppe eindeutig, und
jedes Gitter gehört zu genau einem Typ.
• Eine Kristallklasse oder Punktgruppe K gehört zu dem Kristallsystem mit Holoedrie F,
wenn F die kleinste Holoedrie mit K < F ist.
Haben wir hiermit nun alles für die Festkörperphysik wichtige zusammengetragen? Mitnichten,
denn bisher haben wir nur Gitter behandelt, keine Kristalle, die man durch hinzufügen einer Basis
erhält. Diese Basis kann die Symmetrie des Kristalles gegenüber seinem Gitter erniedrigen,
so daß hier nicht mehr nur die sieben Holoedrien als maximale Punktgruppe auftauchen, sondern
alle 32 kristallographischen Punktgruppen. Dies führt zu einer schwindelerregenden Zahl
von vollständigen Symmetriegruppen (Raumgruppen), die wir uns im nächsten Abschnitt näher
anschauen wollen.

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quadratisches Gitter
rechtwinkliches Gitter
hexagonales Gitter
zentriertes rechtwinkliches Gitter
schiefwinkliches Gitter
Abbildung 3.1: In zwei Dimensionen gibt es fünf Bravais-Gitter

3.4. KRISTALLOGRAPHISCHE GRUPPEN 5
Kristallsystem Schönflies Hermann-Maugin Isomorphie
triklin S 2
¯1 C 2
Γ t primitiv C 1 1 C 1
monoklin C 2h 2/m D 2
Γ m primitiv, Γ b m basiszentriert C 2, C 1h 2, m C 2
orthorhombisch D 2h mmm D 2 × C 2
Γ o primitiv, Γ b o basiszentriert D 2, C 2v 222, mm2 D 2
Γ o raumzentriert, Γ f o flächenzentriert
tetragonal D 4h 4/mmm D 4 × C 2
Γ q primitiv, Γ v q raumzentriert D 4, C 4v , D 2d 42, 4mm, ¯42m D 4
C 4h 4/m C 4 × C 2
C 4 , S 4 4, ¯4 C 4
rhomoboedrisch D 3d
¯3m D 6
Γ rh primitiv D 3 , C 3v 32, 3m D 3
S 6
¯3 C 6
C 3 3 C 3
hexagonal D 6h 6/mmm D 6 × C 2
Γ h primitiv D 6 , C 6v , D 3h 62, 6mm, ¯6m2 D 6
C 6h 6/m C 6 × C 2
C 6 , C 3h 6, ¯6 C 6
kubisch O h m3m O × C 2
Γ c primitiv, Γ v c raumzentriert O, T d 43, ¯43m O
Γ f c flächenzentriert T h m3 T × C 2
T 23 T
Tabelle 3.2: Tabelle der kristallographischen Punktgruppen. Angegeben sind auch die sieben Holoedrien,
zu denen die Punktgruppen gehören, inklusive der möglichen Bravaisgitter.
3.4.3 Raumgruppen
Raumgruppen sind die Symmetriegruppen von Kristallen, also von Gittern mit Basis. Unter einem
Kristall verstehen wir ein unendlich ausgedehntes, periodisch aufgebautes Medium mit physikalisch
äquivalenten Punkten x ∼ y. Physikalisch äquivalent sind zumindest die Punkte, die durch eine
Gittertranslation auseinander hervorgehen.
Definition 3.6 Eine Raumgruppe ist eine diskrete Untergruppe G < E(3), wobei H := G ∩ T(3)
eine dreidimensionale Gittergruppe darstellt.
Einige Aussagen:
• H ist Normalteiler von G
• x ∈ R 3 , Hx = L ist das Kristallgitter
• ˜G = F ∧ L mit der Holoedrie F ist definitionsgemäß Symmetriegruppe des Gitters. Sie muß
aber nicht Symmetriegruppe des Kristalls sein:
g ∈ ˜G ≠⇒ g ∈ G (3.5)
Dies ist dann der Fall, wenn die Basis eine niedrigere Symmetrie hat als das Gitter, also zum
Beispiel die Inversion nicht enthält, siehe Abbildung 3.2.

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Abbildung 3.2: Die Basis eines Kristalls kann seine Symmetrie gegenüber der des Gitters erniedrigen,
so daß die Holoedrie keine Untergruppe der Raumgruppe mehr ist. Beispielhaft ist
rechtwinkliches Gitter mit einer nicht inversionssymmetrische Basis, eingezeichnet.
• Es gibt Symmetrieelemente in G, deren Translationsanteil nicht zur Gittergruppe gehört:
Dies sind entweder Gleitspiegelungen oder Schraubungen.
• Die durch
{R,a} ∈ G ≠⇒ {1,a} ∈ H (3.6)
K := {R = {R,0} |{R,a} ∈ G,a ∈ T(3) beliebig} (3.7)
definierte Punktgruppe des Kristalls ist isomorph zur Faktormenge G/H:
K ∼ = G/H (3.8)
Sie muß keine Untergruppe von G sein, d.h. sie ist nicht notwendig Symmetriegruppe des
Kristalls. Beispiel: Bei einer Gleitspiegelung muß die reine Spiegelung kein Element aus G
sein.
• Die Nebenklassen werden durch
{R,a}
a = ∑ i
α i b i , 0 ≤ α i < 1 (3.9)
repräsentiert.
• Die Länge der Basisvektoren b i ist von atomarer Größenordnung und damit viel zu klein,
um bei makroskopischen Beobachtungen eine Rolle zu spielen. Wichtig ist dann nur noch die
Punktsymmetrie K des Kristalls, was schon lange vor der gruppentheoretischen Klassifikation
zur Einteilung in 32 Kristallklassen durch die Kristallographen geführt hat.
• Zwei Kristalle derselben Kristallklasse besitzen im allgemeinen nichtsymmorphe Raumgruppen,
die Kristallklassen spalten auf in 219 Isomorphieklassen.
Beispiel: Die kubische Kristallklasse O spaltet auf in acht Raumgruppen:
O 1 = P 432 O 2 = P 4 2 32 O 3 = F 432 O 4 = F 4 1 32
O 5 = I 432 O 6 = P 4 3 32 O 7 = P 4 1 32 O 8 = I 4 1 32
(3.10)
• Es gibt zwei Möglichkeiten:
– Symmorphe Raumgruppen: Die Punktgruppe K ist Untergruppe von G und es gilt:
G ∼ = K ∧ H (3.11)
Sie spalten auf in 73 Isomorphieklassen

3.4. KRISTALLOGRAPHISCHE GRUPPEN 7
– Nichtsymmorphe Raumgruppen: Sie enthalten Gleitspiegelungen und Schraubungen,
und im allgemeinen gilt:
{R,a}, a ∉ H, K ≮ G (3.12)
• 11 Isomorphieklassen von Raumgruppen enthalten Paare mit entgegengesetztem Schraubensinn,
sogenannte “enantiomorphe” Paare. Diese können physikalisch unterschiedliche
Eigenschaften haben, sie werden deshalb oft extra gezählt: Kristallographen unterscheiden
230 Raumgruppen, obwohl es nur 219 Isomorphieklassen gibt.
Abschließen wollen wir dieses Kapitel mit einer kleinen Übersicht:
Zahl der Punktgruppen
Zahl der Raumgruppen
Bravais-Gitter
Basis mit sphärischer Symmetrie
7
Holoedrien
14
Bravais-Gitter
Kristallstruktur
Basis beliebiger Symmetrie
32
kristallographische Punktgruppen
230
Raumgruppen
✬
✩
Kasten 3.1 Beispiel einer symmorphen und einer nichtsymmorphen Raumgruppe
Wir betrachten die Raumgruppe C2h 3 = C 2 . Der Punktgruppenanteil ist C m 2h = 2 , so daß die
m
Struktur eine zweizählige Drehachse besitzt, die senkrecht auf einer Spiegelebene steht. Die monokline
Einheitszelle besitzt zwei rechte Winkel und einen schiefen, der in der Spiegelebene liegt.
Die Dekoration (Zentrierungstyp) der Elementarzelle wird in der Hermann-Mauguin-Notation durch
den Buchstaben vor dem Punktgruppensymbol angezeigt. Das C“ in unserem Beispiel steht für die
”
Zentrierung zweier gegenüberliegender rechtwinkligen Seitenflächen der Elementarzelle (vgl. linker
Teil der Abb. 3.3). Beschränken wir uns bei dem Translationsanteil auf die Elementarzelle, dann
besitzt die betrachtete Raumgruppe die folgenden acht Symmetrieelemente:
{1,0}, {1,t}, {c 2,0}, {c 2,t}, {i,0}, {i,t}, {σ h ,0}{σ h ,t} (3.13)
wobei t = (1/2, 0, 1/2) T und c 2 = diag(−1, −1,1), i = diag(−1, −1, −1) und σ h = diag(1,1, −1) in
der Basis, die die Einheitszelle aufspannt. Man erkennt, daß es sich um eine symmorphe Raumgruppe
handelt: Zu jedem {R,a} ist auch {R,0} Element der Gruppe.
Die Menge der acht Gruppenelemente (3.13) sind bezüglich der Gruppenmultiplikation abgeschlossen,
wenn man den Translationsanteil modulo der Gitterbasis versteht. Im rechten Teil der Abb.
3.3 ist die Lage der Dreh- und Schraubenachsen in der ab-Ebene angezeigt. Im Folgenden wird nun
gezeigt, wie man aus der symmorphen Raumgruppe eine nichtsymmorphe konstruieren kann.
Wählt man aus (3.13) vier Elemente
{1,0}, {c 2,t}, {i,0}, {σ h ,t} (3.14)
aus, so bilden diese eine Untergruppe der C2h, 3 wovon man sich durch Nachrechnen überzeugt.
Die durch die Elemente (3.14) definierte Raumgruppe wird mit C2h 5 = P 2 1
c
bezeichnet; dabei
steht 2 1 für eine zweizählige Schraubenachse und c für eine Gleitspiegelung. Diese Raumgruppe ist
nichtsymmorph: Der zur Schraubung {c 2,t} gehörende Punktgruppenanteil {c 2,0} ist kein Symmetrieelement
mehr. Eine unter C2h 5 invariante Struktur läßt sich aus dem linken Teil der Abb.
3.3 erhalten, indem man die Kugeln durch Objekte ersetzt, die zwar inversionssymmetrisch sind,
aber nicht invariant unter c 2 und σ h (s. linker Teil der Abb. 3.4). Die entstehende Struktur besitzt
Schraubenachsen, aber keine Drehachsen (s. Abb. 3.4).
✫
✪

8
b
a
c
b
a
Abbildung 3.3: Links: Struktur, die unter der symmorphen Raumgruppe C2h 3 invariant ist. Rechts:
Lage der zweizähligen Dreh-(ausgefüllte Kreise) und Schraubenachsen (leere Kreise) in der ab-
Ebene.
b
a
c
b
a
Abbildung 3.4: Links: Struktur, die unter der nichtsymmorphen Raumgruppe C2h 5
Rechts: Lage der zweizähligen Schraubenachsen in der ab-Ebene.
invariant ist.