HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Wirtschaftsmathematik II Prof ...
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<strong>HTWD</strong>, Fakultät <strong>Informatik</strong>/<strong>Mathematik</strong><br />
<strong>Prof</strong>. Dr. M. Voigt<br />
<strong>Wirtschaftsmathematik</strong> <strong>II</strong><br />
Differentialrechnung<br />
<strong>Mathematik</strong> für Wirtschaftsingenieure - Übungsaufgaben<br />
Übungsserie 6:<br />
Analyse von Funktionen<br />
1. Analysieren Sie die folgenden Funktionen (Definitionsbereich, Wertebereich,<br />
Nullstellen, Monotoniebereiche, Extremalpunkte, Konvexität, Konkavität,<br />
Wendepunkte, Polstellen, Sprungstellen, Asymptoten, Grenzwerte):<br />
(a) y = f(x) = x 4 + 5 4 x2 + 1 (d) y = f(x) = x2 − 5x + 4<br />
4<br />
x − 5<br />
(b) y = f(x) = x 3 (x−1)(x−2) 2<br />
(c) y = f(x) =<br />
x<br />
x 2 + 1<br />
(e) y = f(x) =<br />
x 3<br />
(x − 1) 2<br />
2. Bestimmen Sie den Scheitelpunkt (Punkt minimaler oder maximaler Krümmung)<br />
der Kurve der Funktion F (x, y) = x 2 y − 8 = 0 im Bereich x > 0 ! Wie groß ist der<br />
Radius des zugehörigen Krümmungskreises?<br />
3. Es seien die Gesamtkostenfunktion K(x) und die Preis-Absatz-Funktion p(x) gegeben:<br />
K(x) = x 3 − 12x 2 + 60x + 98, x ≥ 0<br />
p(x) = 100 − 5x, 0 ≤ x ≤ 20<br />
x Output = Absatz in ME, p Preis in GE/ME.<br />
(a) Bilden Sie die Funktionen für den Erlös E(x) und den Gewinn G(x).<br />
(b) Versuchen Sie, die Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion K(x), E(x) und G(x)<br />
für 0 < x < 10 zu skizzieren.<br />
(c) Ermitteln Sie näherungsweise das Betriebsoptimum (graphisch oder mit dem<br />
Newton-Verfahren) und das Betriebsminimum! Wie hoch sind die kurz- und<br />
die langfristigen unteren Schranken für den Preis, zu dem das Produkt verkauft<br />
werden kann?<br />
(d) Ermitteln Sie die obere und die untere Gewinnschwelle des Outputs x (Nutzensgrenzen)<br />
graphisch oder mit dem Newton-Verfahren.<br />
Hinweis: Für die Gewinnschwellen x 1 , x 2 gilt: G(x) ≥ 0 ∀x ∈ [x 1 , x 2 ].
4. Ein 1-Produkt-Unternehmen produziert nach der Kostenfunktion<br />
K(x) = 0, 08x 3 − 2x 2 + 50x + 300, x ≥ 0,<br />
wobei der Output x in ME x und die Kosten K in GE angegeben sind.<br />
(a) Wie lautet die Grenzkostenfunktion (Marginalfunktion) und welchen Wert hat<br />
sie an der Stelle x 0 = 25? Was bedeutet dieser Wert?<br />
(b) Geben Sie die Funktionen für die variablen Kosten, für die Stückkosten (Durchschnittskosten)<br />
und für die variablen Stückkosten (durchschnittliche variable<br />
Kosten) an!<br />
(c) Bestimmen Sie das Betriebsminimum (das Minimum der variablen Stückkosten)!<br />
Was bedeutet dieser Wert für das Unternehmen und bei welchem Output<br />
wird er erreicht?<br />
5. Ein monopolistisches 1-Produkt-Unternehmen produziert nach einer ertragsgesetzlichen<br />
Kostenfunktion [Kosten in e ]<br />
K(x) = 2 x 3 − 30 x 2 + 178 x + 6 000, x ≥ 0<br />
und kann in Abhängigkeit vom Preis p [in e ] die in der Preis-Absatz-Funktion<br />
angegebene Menge in ME x absetzen.<br />
x(p) = 10 000 − 25 · p<br />
2<br />
(a) Bestimmen Sie den erzielbaren Preis p als Funktion des Absatzes x sowie<br />
die ökonomischen Definitionsbereiche dieser Preis-Absatz-Funktion und der<br />
Absatz-Preis-Funktion!<br />
(b) Bestimmen Sie die Erlösfunktion, die Gewinnfunktion und die stückbezogene<br />
Gewinnfunktion (Gewinn je ME x )!<br />
(c) Bestimmen Sie das Betriebsminimum, d.h. das Minimum der stückbezogenen<br />
variablen Kosten! Was gibt dieser Wert an und bei welchem Output wird er<br />
erreicht?<br />
(d) Bei welchem Preis erzielt das Unternehmen den maximalen Umsatz (max.<br />
Erlös) und wie groß ist dieser?<br />
6. Ein 1-Produkt-Unternehmen produziert nach der Kostenfunktion<br />
K(x) = x 3 − 12x 2 + 60x + 98 ,<br />
die Preis-Absatz-Funktion laute p(x) = 120 − 10x , 0 ≤ x ≤ 12.
(a) Skizzieren Sie die Kosten-, die Erlös- und die Gewinnfunktion!<br />
(b) Ermitteln Sie den Output, bei dem der Gewinn maximal wird, sowie die zugehörigen<br />
Werte für den Preis, Erlös, Gewinn und die Kosten!<br />
(c) Auf jede ME des Outputs werde eine Mengensteuer in Höhe von<br />
24GE/ME erhoben. Man ermittle für diesen Fall den gewinnmaximalen Output,<br />
den sich dort nach Steuern ergebenden Gewinn sowie die Höhe der abzuführenden<br />
Steuer!<br />
(d) Die Mengensteuer betrage t GE/ME. Bestimmen Sie den Output x(t) im Gewinnmaximum<br />
sowie die Steuereinnahmen T (t) des Staates als Funktionen von<br />
t! Bis zu welcher maximalen Mengensteuer kann das Unternehmen noch produzieren,<br />
ohne Verlust zu machen?<br />
(e) Anstatt der Mengensteuer werde vom Staat eine Gewinnsteuer in Höhe von<br />
40% des Gewinns erhoben, (s = 0, 4). Wie groß sind der gewinnmaximale<br />
Output, die abzuführenden Steuern und der verbleibende Gewinn in diesem<br />
Fall? Welchen Einfluß hat der Gewinnsteuersatz s auf den gewinnmaximalen<br />
Output?<br />
Lösungen<br />
1.<br />
(a) x min = 0, y min = 1 4 ,<br />
f konvex auf R, monoton fallend für x ≤ 0, monoton steigend für x ≥ 0;<br />
(b) x (1)<br />
min = 2 3 , y(1) min = − 128<br />
729<br />
= −0.175583..., und x(2)<br />
min = 2, y(2) min = 0<br />
x max = 3 2 , y max = 27<br />
64 = 0.421875...,<br />
Wendepunkte bei (0, 0) (Horizontal-WP); sowie bei<br />
(0.3897, −0.09366); (1.1351, 0.1478); (1.8085, 0.1753);<br />
f ist streng konvex für x ∈ (−∞, 0], für x ∈ [0.3897, 1.1351] und für x ∈ [1.8085, ∞), sonst<br />
streng konkav;<br />
f ist streng monoton fallend für x ∈ (−∞, 2 3 ] und für x ∈ [ 3 2<br />
, 2] und sonst streng monoton<br />
steigend;<br />
(c) x min = −1, y min = − 1 2 , x max = 1, y max = 1 2 ;<br />
Wendepunkte: (− √ 3, − 1 4√<br />
3); (0, 0); (<br />
√<br />
3,<br />
1<br />
4√<br />
3); Nullstelle: (0, 0)<br />
(d) x min = 7, y min = 9, x max = 3, y max = 1; Polstelle bei x = 5;<br />
Nullstellen: x 01 = 1; x 02 = 4;keine Wendepunkte<br />
(e) x min = 3, y min = 6.75; Polst. 2. Ordnung bei x = 1; hor. Wendepunkt (0, 0);<br />
Asymptote: y = x + 2<br />
2. Maximale Krümmung k 0 = 5 9 · 5− 1 6 = 0.424847..., (r 0 = 9 5 · 5 1 6 = 2.35379...)<br />
im Punkt x 0 = 2 · 5 1 6 = 2.61532...; y 0 = 2 · 5 − 1 3 = 1.16961...
3.<br />
4.<br />
(a) E(x) = 100x − 5x 2 , G(x) = −x 3 + 7x 2 + 40x − 98<br />
(b) siehe Tietze<br />
(c) Betriebsoptimum 39 GE/ME, langfr. untere Preisschranke, bei x = 7ME<br />
Betriebsminimum 24 GE/ME, kurzfr. untere Preisschranke, bei x = 6ME<br />
(d) zwischen x 1 = 1.96426 und x 2 = 10.0166 gilt G(x) > 0.<br />
(a) K ′ (x) = 0.24x 2 − 4x + 50; K ′ (25) = 100<br />
(b) K v (x) = 0.08x 3 − 2x 2 + 50x,<br />
k(x) = 0.08x 2 − 2x + 50 + 300<br />
x ,<br />
k v (x) = 0.08x 2 − 2x + 50<br />
(c) x m = 12.5 ME x ,<br />
k v (12.5) = 37.5 GE/ME x ist kurzfristige untere Schranke für Preis<br />
5.<br />
(a) p(x) = 800 − 2<br />
25x; D(p(x)) ∈ [0, 10000]; D(x(p)) ∈ [0, 800]<br />
(b) E(x) = 800x − 2 25 x2 ; G(x) = −2x 3 + 748<br />
25 x2 + 622x − 6000;<br />
g(x) = −2x 2 + 748<br />
6000<br />
25<br />
x + 622 −<br />
x<br />
6.<br />
(c) Betriebsminimum: 65.5 e/ME x , Minimum der stückbezogenen variablen Kosten (kurzfristige<br />
Preisunterschranke), bei 7.5 ME x erreicht.<br />
(d) p = 400 e/ME x , E max = 2 Mill.e<br />
(a) E(x) = 120x − 10x 2 , G(x) = −x 3 + 2x 2 + 60x − 98<br />
(b) x = 5.18822; p(x) = 68.1178;<br />
E(x) = 353.41; G(x) = 127.474; K(x) = 225.936<br />
(c) x = 4.19433; p(x) = 78.0567;<br />
E(x) = 327.396; G SM (x) = 14.3923; S M (x) = 100.664<br />
(d) x max (t) = 1 3 (2 + √ 184 − 3t); S(t) = t 3 (2 + √ 184 − 3t)<br />
Bei t = 27.5015 gilt G SM (x max (t)) = 0<br />
(e) x = 5.18822; p(x) = 68.1178;<br />
E(x) = 353.41; G SG (x) = 76.4844; S G (x) = 50.9896