HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Wirtschaftsmathematik I Prof ...

HTWD, Fakultät Informatik/MathematikProf. Dr. M. VoigtWirtschaftsmathematik IFinanzmathematikMathematik für Wirtschaftsingenieure - ÜbungsaufgabenÜbungsserie 6:Rentenrechnung1. Gegeben ist eine in den Jahren 2010-2023 nachschüssig zahlbare Rente mit derJahresrate R = 24 000 e. Zinszuschlag erfolgt jeweils am Jahresende mit i = 7%p.a.(a) Ermitteln Sie Barwert und Endwert der Rente.(b) Durch welche einmalige Zahlung könnte die Rente am 1.1.2015 äquivalent ersetztwerden?(c) Die gegebene Rente soll äquivalent umgewandelt werden in eine 10-malige Rente,deren erste Jahresrate am 1.1.2012 fällig ist. Wie hoch ist die Jahresrate?(d) Die gegebene Rente soll äquivalent ersetzt werden durch eine Rente mit derJahresrate R = 36 000 e/Jahr, deren erste Rate am 1.1.2013 fällig ist. Wieviele Raten muß diese Rente besitzen?(e) Welcher effektiver Jahreszins muß zur Anwendung kommen, damit die gegebeneRente am 1.1.2025 den Wert von 1 Million e besitzt? ∗∗∗2. Ein Schuldner soll einen Kredit mit genau 10 Jahresraten zu je 20 000 e (beginnendam 1.1.2011) zurückzahlen, i = 9% p.a. Da er die hohen Jahresraten nicht aufbringenkann, willigt die Bank auf eine Jahresrate von 12 000 e ein, allerdings schonbeginnend am 1.1.2009. Wie viele Jahresraten muß der Schuldner zahlen?3. Ein Unternehmer setzt sich am 1.1.2011 mit 250 000 e, zu 8% p.a. angelegt, zurRuhe.(a) Welche gleichbleibende nachschüssige Rente kann er ab 2013 jährlich davon 16Jahre lang abheben, so daß dann das Kapital aufgebraucht ist?(b) Welchen Betrag hat er am 1.1.2017 noch auf seinem Konto, wenn er ab 2011jährlich vorschüssig 30 000 e abhebt?(c) Wie lange kann er davon monatlich vorschüssig 3 000 e abheben?4. Ein Unternehmer hat sein Vermögen auf einem Konto angelegt, Kontostand mitAblauf des 31.12.2008: 500 000 e. Drei alternative Verwendungsmöglichkeiten stehenfür ihn zur Auswahl:(a) Gründung einer Stiftung, die - beginnend am 1.1.2013 (erste Ausschüttungam 1.1.2013) - jährlich eine stets gleichbleibende Summe (für “ewige“ Zeiten)ausschüttet. Wie hoch ist die Jahresrate? (i = 5, 5% p.a.)

(b) Finanzierung einer Altersrente:Die erste Jahresrate in Höhe von 48 000 e/Jahr will er am 1.1.2011 abheben.Wann ist sein Konto leer? (i = 5, 5% p.a.)(c) Schenkung an seine beiden Neffen:Der erste Neffe soll am 1.1.2017 einen Betrag von 400 000 e erhalten, derandere Neffe die gleiche Summe am 1.1.2020. Zu welchem Zinssatz müssteder Unternehmer - beginnend 1.1.2009 - sein Kapital anlegen, damit er dieSchenkung finanzieren kann? ∗∗∗5. Herr Huber will für sich und seine Familie ein Einfamilien-Reihenhaus mit Gartenkaufen. Für die Zahlung des Kaufpreises bietet ihm der Verkäufer drei Zahlungsalternativenan:(a) 50 000 e am 1.1.2009; beginnend am 1.1.2011 10 Raten zu 20 000 e/Jahr;danach 10 Raten zu 30 000 e/Jahr.(b) 200 000 e am 1.1.2010; 200 000 e am 1.1.2017.(c) 150 000 e am 1.1.2009; Rest in 2-Jahres-Raten zu 30 000 e/2 Jahre, beginnendam 1.1.2010 (insgesamt 12 Raten).Der Zinssatz beträgt bis zum 31.12.2014 8% p.a., danach 6% p.a. Welche Alternativesoll Herr Huber wählen, damit der Wert seiner Zahlung möglichst gering ist?6. Herr B. hat sich ein neues Auto zugelegt und möchte das alte für 10 000 e verkaufen.Auf seine Annonce meldet sich leider nur ein Interessent, der aber nach seinerAussage nicht bar zahlen kann, sondern statt dessen monatliche Raten von 300 e(nachschüssig) anbietet.(a) Welche Laufzeit (aufgerundet auf ganze Monate) ergibt sich bei dieser Ratenzahlung,wenn ein Zinssatz von 6% p.a. zu Grunde gelegt wird?(b) Durch welche Sonderzahlung zum Verkaufstermin könnte die Ratenzahlung auf24 Monatsraten beschränkt werden?(c) Verkäufer und Käufer einigen sich schließlich auf 24 Monatsraten zu je 300 eund 2 200 e sofort. Welchem Barverkaufspreis entspricht dies?7. Der Absolvent Frank Gambler plant langfristig die Finanzierung von Wohneigentum.Zu diesem Zweck zahlt er jährlich 20 000 e in einen Aktienfond ein, für den er nachdem Prospekt seines Anlageberaters eine Rendite von 8, 5% erwartet.(a) Wie lange muß Frank sparen, um ein Kapital von 500 000 e zu bilden, wenndie angegebene Rendite tatsächlich erreicht wird? Runden Sie auf ganze Jahre,Kapitalertragssteuern sind nicht zu berücksichtigen.(b) Nach 5 Jahren merkt Frank, daß die Rendite bisher statt der avisierten 8, 5%tatsächlich nur schlappe 6% beträgt, und ernüchtert geht er davon aus, daßsich das in den nächsten Jahren nicht ändern wird. Da sich sein Gehalt inzwischenein wenig verbessert hat, will er die Verzögerung bei der Kapitalbildung

durch höhere Einzahlungen ausgleichen. Gleichzeitig korrigiert er seinen Zeitplan.Wieviel muß er vom Ende des 6. Jahres an jährlich einzahlen, um dannnach insgesamt 15 Jahren über 500 000 e verfügen zu können?8. Familie Mutig plant ihre Baufinanzierung. Zwei Varianten stehen zur Auswahl:(A) Abschluß eines Bausparvertrages mit monatlich nachschüssigem Ansparen von3 000 e über insgesamt 7 Jahre, wofür lediglich 2% p.a. Zinsen gezahlt werden.Nach 7 Jahren erhält Familie Mutig die bis dahin angesparte Summe und dazunoch einmal die gleiche Summe als Kredit, für den sie nur 3% p.a. Zinsen zahlenmuß, und den sie ebenfalls mit 3 000 e monatlich zurückzahlen möchte.(B) Anlage von monatlich nachschüssig 3 000 e bei einem Zinssatz von 8% p.a.,insgesamt ebenfalls 7 Jahre lang. Danach soll die gleiche Summe, wie bei VarianteA zur Verfügung stehen, d.h. es ist auch in diesem Fall noch ein Kreditin Höhe des fehlenden Betrages aufzunehmen. Für diesen Kredit ist mit einemZinssatz von 7, 5% zu kalkulieren.(a) Welche Summe steht der Familie nach 7 Jahren auf dem Bausparkonto zurVerfügung?(b) Wie viele Monate dauert die Rückzahlung des Kredites bei Variante A, wennmit einer verminderten Abschlußannuität gerechnet wird, und wie hoch istdiese?(c) Welche monatliche Belastung hat Familie Mutig aus dem Kredit nach VarianteB zu tragen, wenn die Rückzahlung genau so lange dauern soll wie bei VarianteA?9. Als Herr Meier an einem 1. Oktober stolzer Vater einer Tochter wird, sieht er sofort,daß diese einmal studieren wird. Da er sich aus gutem Grund nicht auf dasBAFÖG verlassen will, beginnt er sofort zu sparen. Monatlich zahlt er (erstmalsEnde Oktober) 300 e auf ein Sparbuch ein, für das er 4% p.a. Zinsen erhält.(a) Wie hoch ist das Sparguthaben am 18. Geburtstag seiner Tochter, an dem sieihr Studium beginnt?(b) Wie hoch wäre das Guthaben, wenn er von dem Sparbuch nach 10 Jahren30 000 e abgehoben und diesen Betrag 5 Jahre später wieder eingezahlt hätte?(c) Wie lange kann die Tochter mit dem nach (a) berechneten Guthaben studieren,wenn sie zur Finanzierung ihres Studiums monatlich vorschüssig 1 200 eabhebt, wobei zu berücksichtigen ist, daß die Zinsen an ihrem 20. Geburtstagvon 4% auf 3% gesenkt werden?(d) Nachdem die Tochter ihr Grundstudium (2 Jahre) beendet hat, schätzt sie ein,daß sie ihr Studium in weiteren 4 Jahren sicher beenden wird. Welchen Betragkann sie von nun an monatlich verbrauchen, wenn das Geld nur bis zum Endedes Studiums reichen soll? (Zinsänderung wie bei (c))

10. Ein Sparer beschloß am 1.1.2002, ab sofort jeweils am Ende eines jeden Jahres 1 200eauf ein Konto einzuzahlen. Welcher Betrag steht ihm am 1.1.2012 zur Verfügung,wenn die Bank sein Guthaben mit 6% p.a. verzinst?11. Zu seinem 55. Geburtstag an einem 31.12. zahlt jemand 10 000e in eine Geldanlageein. Die nächsten 10 Jahre bezahlt er monatlich nachschüssig 500e dazu. ÜberWieviel Geld kann er bei Eintritt in das Rentenalter (mit 65 Jahren) verfügen,wenn der Zinssatz über die gesamte Zeit 5,5% p.a. betrug?12. Herr Meier räumt Herrn Schulze ein Wegerecht auf alle Zeiten ein. Herr Schulzemuss dafür auf unbegrenzte Zeit an Herrn Meier am Ende eines jeden Jahres 550ezahlen. Wie groß ist der Barwert dieser ewigen Rente, wenn mit i = 4% Jahreszinsen(zinseszinslich) gerechnet wird?13. Jemand hat gegenüber einer Gesellschaft noch 15 Jahre lang (in der Zukunft) jeweilszum Jahresende eine Forderung von 2 000e. Die Firma hat inzwischen Konkursangemeldet. Wie hoch ist die Forderung an den Konkursverwalter, wenn ein Zinssatzvon 4% p.a. angenommen wird?14. Zur Rentenzahlung stehe ein Kapital von 200 000e zur Verfügung, das monatlichmit 0,5% verzinst wird. Berechnen Sie(a) die höchstmögliche, nachschüssige ewige (monatliche) Rente,(b) die Laufzeit bei einer nachschüssigen monatlichen Rente von 1 200e (in ganzenMonaten),(c) den Restbetrag am Ende der unter (b) berechneten Laufzeit,(d) den Rentenbetrag, der gezahlt werden müßte, damit am Ende der unter (b)berechneten Laufzeit kein Restbetrag übrig bleibt.15. Ein Bausparer schließt einen Bausparvertrag über 50 000e ab. Bis zur Zuteilungin 6 Jahren sollen einschließlich aller anfallenden Zinsen 50% der Bausparsummeeingezahlt sein.(a) Welcher konstante Betrag muss monatlich vorschüssig 6 Jahre lang eingezahltwerden, wenn der jährliche Guthabenzins 2,5% beträgt?(b) Nach der Zuteilung wird ein Darlehen über 25 000e ausgezahlt. Die Verzinsungerfolgt zu einem Jahreszinssatz von 4,5%. Welche monatliche nachschüssigeAnnuität muss gezahlt werden, damit das Darlehen in 6 Jahren getilgt ist?

Lösungen1. (a) R n = 541 211, 71 e R 0 = 209 891, 23 e (b) 294 383, 31 e (c) 31 975, 65 e (d) 9, 31Raten, d.h. 9 Raten zu 36 000 e letzte Rate zu 11 323, 14 e (1.1.2022), (e) 13, 67%2. 19 Raten zu je 12 000 e letzte (20.) Rate zu 3 535, 85 e3. (a) 32 944, 06 e (b) 129 034, 48 e (nach Abheben der 7. Rate), (c) 118 Monate zu 3 000e und eine Restzahlung4. (a) 32 291, 64 e (b) n = 17, 3218, A 18 = 15 725, 62 e (1.1.2028), (c) 5, 10%5. K 0(a) = 281 004, 97 e K 0(b) = 297 354, 93 e K 0(c) = 327 339, 67 e6. (a) 37 Monate, (b) 3 220,19 e (c) 8 979,81 e7. (a) 14 Jahre, (b) 22 615,97 e8. (a) 270 078,74 e Guthaben, (+ 270 078,74 e Kredit), (b) 102 Monate, 2 776,43 e (c)2 729, 13 e9. (a) K 18 = 94 004, 10 e (b) 86 692,95 e (c) 88,51 Monate, K 20 = 71 666, 17 e (d)1 581,10 e d.h. 24 · 1 200 + 48 · 1 581, 10 oder 25 · 1 200 + 47 · 1 589, 7010. 15 816,95e11. 96 262,14e12. 13 750e13. 22 236,77e14. (a) 1 000e, (b) 359 Monate, (c) 295,51e, (d) 1 200,295916e15. (a) 321,80e,(b) 395,81e