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Abiturprüfung Mathematik ab 2004<br />
Aufgabensammlung Seite 1<br />
Aufgabe 1 (Warteschlange am Kartenschalter)<br />
Das Schaubild zeigt die Entwicklung <strong>de</strong>r momentanen Ankunftsrate (Ankommen<strong>de</strong> pro Stun<strong>de</strong>) am<br />
Kartenschalter eines Musiktheaters. Der Schalter öffnet um 9.00 Uhr; pro Stun<strong>de</strong> wer<strong>de</strong>n 200<br />
Personen abgefertigt.<br />
Bestimme jeweils einen möglichst genauen Schätzwert für<br />
- die Länge <strong>de</strong>r Schlange um 9.00 Uhr.<br />
- die Rate, mit <strong>de</strong>r die Schlange um 10.00 Uhr wächst.<br />
- <strong>de</strong>n Zeitpunkt, an <strong>de</strong>m die Schlange am längsten ist.<br />
- die Wartezeit einer Person, die um 9.00 Uhr kommt.<br />
- <strong>de</strong>n Zeitpunkt, an <strong>de</strong>m sich die Schlange auflöst.<br />
<strong>Lehrer</strong>fortbildung zur neuen Form <strong>de</strong>r Abiturprüfung ab 2004
Abiturprüfung Mathematik ab 2004<br />
Aufgabensammlung Seite 2<br />
Aufgabe 2 (Luftvolumen in <strong>de</strong>r Lunge)<br />
Die momentane Än<strong>de</strong>rungsrate <strong>de</strong>s Luftvolumens in <strong>de</strong>r Lunge kann durch die Funktion f mit<br />
1 2<br />
f(t)<br />
= sin( π t) ; t ≥ 0 mo<strong>de</strong>lliert wer<strong>de</strong>n (Volumen in Liter, Zeit t in Sekun<strong>de</strong>n).<br />
2 5<br />
- Welche Be<strong>de</strong>utung hat die Integralfunktion bzgl. 0 von f ?<br />
Wir nehmen an, dass zur Zeit t=0 keine Luft in <strong>de</strong>r Lunge ist. Das folgen<strong>de</strong> Diagramm zeigt <strong>de</strong>n<br />
zeitlichen Verlauf <strong>de</strong>s Luftvolumens in <strong>de</strong>r Lunge und <strong>de</strong>r momentanen Än<strong>de</strong>rungsrate <strong>de</strong>s<br />
Luftflusses.<br />
- Welche Kurve beschreibt <strong>de</strong>n zeitlichen Verlauf <strong>de</strong>s Luftvolumens in <strong>de</strong>r Lunge?<br />
- Wie groß ist das maximale (minimale) Luftvolumen in <strong>de</strong>r Lunge?<br />
- Wann enthält die Lunge die Hälfte <strong>de</strong>s maximalen Luftvolumens?<br />
- Wie groß ist die mittlere Luftflussrate während <strong>de</strong>r Zeitintervalle [ 0 ; 2,5 ] , [ 2,5 ; 5 ] und [ 0 ; 5 ] ?<br />
- Wie groß ist das mittlere Luftvolumen in <strong>de</strong>r Lunge während <strong>de</strong>r Zeitintervalle [ 0 ; 2,5 ] ,<br />
[ 2,5 ; 5 ] und [ 0 ; 5 ] ?<br />
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Abiturprüfung Mathematik ab 2004<br />
Aufgabensammlung Seite 3<br />
Aufgabe 3 (Airbus)<br />
Die Fertigungskosten f(x) (in willkürlichen Gel<strong>de</strong>inheiten), welche bei Serienfertigung für ein<br />
20x + 5000<br />
AIRBUS-Seitenleitwerk aus Metall angefallen sind, wer<strong>de</strong>n angenähert durch f(x) =<br />
x + 50<br />
beschrieben. Dabei be<strong>de</strong>utet x die Anzahl <strong>de</strong>r hergestellten Seitenwerke.<br />
Die folgen<strong>de</strong> Figur zeigt ein Schaubild C f von f.<br />
a) Interpretieren Sie <strong>de</strong>n Verlauf von C f anwendungsbezogen (Stichworte: Lerneffekt,<br />
Rationalisierung).<br />
Mit welchen Herstellungskosten pro Stück ist langfristig zu rechnen?<br />
b) Nach Fertigung <strong>de</strong>s 299. Leitwerksexemplars steht eine neue Technologie zur Verfügung, bei<br />
<strong>de</strong>r das Flugzeugteil weitgehend aus kohlefaserverstärktem Kunststoff hergestellt wird. Die<br />
Herstellungskosten g(x) für eines dieser <strong>de</strong>utlich leichteren Leitwerke wer<strong>de</strong>n näherungsweise<br />
15x − 2500<br />
durch g(x)<br />
= ; x ≥ 300 beschrieben.<br />
x − 280<br />
Ab welcher Stückzahl führt die neue Technologie zu günstigeren Herstellungskosten?<br />
Übertragen Sie die oben dargestellte Kurve C f auf ihr Arbeitsblatt und skizzieren Sie im<br />
selben Achsenkreuz das Schaubild C g von g.<br />
c) Die Kurve C g , die x-Achse und die Gera<strong>de</strong>n x=300 und x=399 begrenzen eine Fläche. Der<br />
Inhalt dieser Fläche entspricht einem Näherungswert für die Fertigungskosten, welche bei<br />
Fertigung mit <strong>de</strong>r neuen Technologie für die ersten 100 Leitwerke insgesamt aufgewen<strong>de</strong>t<br />
wer<strong>de</strong>n müssen.<br />
Zeigen Sie, dass die neue Technologie ab <strong>de</strong>m 721. Seitenleitwerk insgesamt rentabel wird.<br />
Erläutern Sie anhand <strong>de</strong>r Schaubil<strong>de</strong>r C f und C g die Aussage: „Die Einführung einer neuen<br />
Technologie kann vorübergehend zu großen Verlusten, manchmal sogar zum Konkurs führen“.<br />
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Abiturprüfung Mathematik ab 2004<br />
Aufgabensammlung Seite 4<br />
d)<br />
Aufgabe 4 ( Höhenwachstum einer Fichte )<br />
Die folgen<strong>de</strong> Abbildung zeigt die Entwicklung <strong>de</strong>r momentanen Höhenzuwachsrate w einer Fichte<br />
in Abhängigkeit von ihrem Alter t ( Zuwachsrate in m pro Jahr; Alter in Jahren seit <strong>de</strong>m Pflanzen<br />
<strong>de</strong>s Fichtensetzlings).<br />
w kann in <strong>de</strong>n ersten zwanzig Jahren näherungsweise beschrieben wer<strong>de</strong>n durch<br />
0,045⋅t<br />
w (t) = 0,24 ⋅ ; ( t in Jahren, w 1 (t)<br />
in m pro Jahr ).<br />
1 e<br />
Eine Fichte gilt als ausgewachsen, wenn <strong>de</strong>r gesamte in <strong>de</strong>r Folgezeit noch zu erwarten<strong>de</strong><br />
Zuwachs an Höhe nur noch weniger als 2 m beträgt.<br />
Ermitteln Sie unter Verwendung von erkennbaren Symmetrieeigenschaften <strong>de</strong>s angegebenen<br />
Schaubil<strong>de</strong>s, wann dies <strong>de</strong>r Fall ist.<br />
Wie groß ist <strong>de</strong>r durchschnittliche jährliche Höhenzuwachs in <strong>de</strong>n ersten zwanzig Jahren?<br />
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Abiturprüfung Mathematik ab 2004<br />
Aufgabensammlung Seite 5<br />
Aufgabe 5<br />
Eine Gera<strong>de</strong> zerlegt die Ebene in zwei Gebiete. Untersuchen Sie, in wieviele Gebiete die Ebene<br />
durch n Gera<strong>de</strong>n höchstens zerlegt wer<strong>de</strong>n kann.<br />
Variante A<br />
Geben Sie eine Rekursionsvorschrift für die Maximalzahl Z(n) an und bestimmen Sie damit eine<br />
explizite Berechnungsvorschrift für die Maximalzahl Z(n) <strong>de</strong>r Gebiete bei n Gera<strong>de</strong>n.<br />
Variante B<br />
Erklären Sie, dass die Maximalzahl Z(n) <strong>de</strong>r Teilgebiete <strong>de</strong>r Rekursionsvorschrift<br />
Z(n+1) = Z(n) + n+ 1 genügt.<br />
Geben Sie eine explizite Berechnungsvorschrift an und beweisen Sie diese.<br />
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Abiturprüfung Mathematik ab 2004<br />
Lösungsvorschläge zur Aufgabensammlung Seite 6<br />
zu 1:<br />
Vereinfachend wird hier ein zeitlich kontinuierlich verlaufen<strong>de</strong>r Vorgang angenommen (Mo<strong>de</strong>ll).<br />
Dem Schaubild kann zu je<strong>de</strong>m Zeitpunkt t ∈ [ 8;14]<br />
die momentane Än<strong>de</strong>rungsrate <strong>de</strong>r<br />
Ankommen<strong>de</strong>n entnommen wer<strong>de</strong>n.<br />
Länge <strong>de</strong>r Schlange um 9.00 Uhr<br />
Die momentane Ankunftsrate um 8.00 Uhr beträgt ca. 50 Personen pro Stun<strong>de</strong>.<br />
Die momentane Ankunftsrate um 9.00 Uhr beträgt ca. 250 Personen pro Stun<strong>de</strong>.<br />
Bei einem linearen Verlauf <strong>de</strong>r momentanen Ankunftsrate im Zeitintervall von 8.00 Uhr bis 9.00<br />
Uhr ergibt sich für diesen Zeitraum eine durchschnittliche Ankunftsrate von ca. 150 Personen pro<br />
Stun<strong>de</strong>. Da <strong>de</strong>r Schalter erst um 9.00 Uhr öffnet besteht die Schlange zu diesem Zeitpunkt aus<br />
ca. 150 Personen.<br />
Momentane Wachstumsrate <strong>de</strong>r Schlange um 10.00 Uhr<br />
Die momentane Ankunftsrate stimmt um 10.00 Uhr mit <strong>de</strong>r momentanen Abfertigungsrate von<br />
200 Personen pro Stun<strong>de</strong> überein.<br />
Die Differenz dieser bei<strong>de</strong>n Än<strong>de</strong>rungsraten ist die momentane Wachstumsrate <strong>de</strong>r Schlange<br />
( 0 Personen pro Stun<strong>de</strong>); d.h. die Länge <strong>de</strong>r Schlange än<strong>de</strong>rt sich um 10.00 Uhr nicht.<br />
Zeitpunkt, an <strong>de</strong>m die Schlange am längsten ist<br />
Vor (um; nach) 10.00 Uhr ist die momentane Ankunftsrate größer (gleich; kleiner) als die<br />
momentane Abfertigungsrate. Die momentane Wachstumsrate <strong>de</strong>r Schlange wechselt um 10.00<br />
Uhr ihr Vorzeichen. D.h. um 10.00 Uhr ist die Schlange am längsten.<br />
Wartezeit einer Person, die um 9.00 Uhr ankommt<br />
Bei Ankunft hat die Person ca. 150 Personen vor sich (siehe oben). Bei einer konstanten<br />
Abfertigungsrate von 200 Personen pro Stun<strong>de</strong> beträgt die Wartezeit eine dreiviertel Stun<strong>de</strong>.<br />
Zeitpunkt, an <strong>de</strong>m sich die Schlange auflöst<br />
Die Länge <strong>de</strong>r Schlange läßt sich durch die Integralfunktion <strong>de</strong>r Wachstumsratenfunktion mit 8 Uhr<br />
als unterer Grenze beschreiben. Einen Schätzwert für die gesuchte Nullstelle dieser<br />
Integralfunktion erhält man durch Betrachtung zweier Teilflächen, die zwischen <strong>de</strong>n sich<br />
schnei<strong>de</strong>n<strong>de</strong>n Schaubil<strong>de</strong>rn <strong>de</strong>r Ankunftsratenfunktion und <strong>de</strong>r Abfertigungsratenfunktion liegen.<br />
Etwa um 11.45 Uhr hat sich die Schlange aufgelöst, da dann die entsprechen<strong>de</strong>n Flächenstücke<br />
etwa <strong>de</strong>n gleichen Flächeninhalt haben. Dieser Schätzwert kann relativ ungenau sein, da die<br />
Teilflächen, mitverursacht durch die Sprungstelle <strong>de</strong>r Abfertigungsratenfunktion, sehr<br />
unterschiedliche Formen haben und daher die visuelle Abschätzung <strong>de</strong>r Flächeninhalte zu<br />
größeren Fehlern führen kann.<br />
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Abiturprüfung Mathematik ab 2004<br />
Lösungsvorschläge zur Aufgabensammlung Seite 7<br />
Zu 2:<br />
Be<strong>de</strong>utung <strong>de</strong>r Integralfunktion<br />
Die Integralfunktion ordnet je<strong>de</strong>m Zeitpunkt <strong>de</strong>s betrachteten Zeitintervalls, die jeweilige<br />
Abweichung <strong>de</strong>s zu diesem Zeitpunkt in <strong>de</strong>r Lunge vorhan<strong>de</strong>nen Luftvolumens von <strong>de</strong>m zum<br />
Zeitpunkt t=0 in <strong>de</strong>r Lunge vorhan<strong>de</strong>nen Luftvolumen zu. Ein positiver (negativer) Wert be<strong>de</strong>utet<br />
dabei eine Zunahme (Abnahme) <strong>de</strong>s Luftvolumens gegenüber <strong>de</strong>m Anfangswert.<br />
Kurve, die <strong>de</strong>n zeitlichen Verlauf <strong>de</strong>s Luftvolumens in <strong>de</strong>r Lunge beschreibt<br />
Beim Einatmen (Ausatmen) treten positive (negative) Än<strong>de</strong>rungsraten <strong>de</strong>s Luftflusses auf. Dabei<br />
nimmt das Luftvolumen in <strong>de</strong>r Lunge zu (ab). Wegen dieses Zusammenhangs kann nur die im<br />
1. Quadrant verlaufen<strong>de</strong> Kurve das Schaubild <strong>de</strong>r Volumenfunktion sein.<br />
Maximales (minimales) Luftvolumen in <strong>de</strong>r Lunge<br />
Aufgrund <strong>de</strong>s periodischen Verhaltens von f (Perio<strong>de</strong>nlänge 5) genügt es das Zeitintervall [ 0 ; 5 ]<br />
(einen vollständigen Atemzug) zu betrachten.<br />
Da f an <strong>de</strong>r Stelle t=2,5 das Vorzeichen von plus nach minus wechselt, ist 2,5 eine Maximalstelle<br />
2,5<br />
5<br />
<strong>de</strong>r Volumenfunktion. ∫ f(t)dt = ≈ 0, 8 (GTR) ; d.h. das Maximum beträgt ca. 0,8 Liter.<br />
2π<br />
0<br />
P 2,5 | 0 gilt<br />
Wegen <strong>de</strong>r Punktsymmetrie <strong>de</strong>s betrachteten Kurvenstücks zum Punkt ( )<br />
2,5<br />
5<br />
f (t)dt = − f(t)dt ; d.h. bei einem Atemzug wird genausoviel Luft ausgeatmet, wie zuvor<br />
∫<br />
∫<br />
0<br />
2,5<br />
eingeatmet wur<strong>de</strong>. Da nach <strong>de</strong>r Mo<strong>de</strong>llannahme zum Beginn eines Atemzugs (t=0) keine Luft in<br />
<strong>de</strong>r Lunge ist, wird das Minimum von 0 Litern am En<strong>de</strong> <strong>de</strong>s Ausatmens (t=5) erneut erreicht.<br />
Zeitpunkte, zu <strong>de</strong>nen die Lunge halb gefüllt ist<br />
Das zum Zeitintervall [ 0 ; 2,5 ] gehören<strong>de</strong> Kurvenstück <strong>de</strong>r Funktion f ist symmetrisch zur<br />
Gera<strong>de</strong>n x = 1, 25 . In diesem Mo<strong>de</strong>ll ist die Lunge also jeweils 1,25 Sekun<strong>de</strong>n nach Beginn <strong>de</strong>s<br />
Einatmens halb gefüllt. Das zum Zeitintervall [0 ; 5 ] gehören<strong>de</strong> Stück <strong>de</strong>s Schaubilds von f ist<br />
symmetrisch zum Punkt P ( 2,5 | 0)<br />
. Die Lunge ist also auch jeweils 1,25 Sekun<strong>de</strong>n vor <strong>de</strong>m En<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>s Ausatmens halb gefüllt. Die Lunge ist also nach jeweils nach 2,5 Sekun<strong>de</strong>n wie<strong>de</strong>r halb voll.<br />
Mittlere Luftflussraten<br />
2,5<br />
1<br />
1<br />
Zeitintervall [ 0 ; 2,5 ] : f(t)dt 0, 32<br />
2,5<br />
∫ = ≈ (GTR)<br />
π<br />
0<br />
Das zum Zeitintervall [0 ; 5 ] gehören<strong>de</strong> Stück <strong>de</strong>s Schaubilds von f ist symmetrisch zum Punkt<br />
P<br />
( 2,5 | 0)<br />
. Damit ergibt sich für das Zeitintervall [2,5 ; 5 ] eine mittlere Luftflussrate von<br />
<strong>Lehrer</strong>fortbildung zur neuen Form <strong>de</strong>r Abiturprüfung ab 2004<br />
− 1 .<br />
π<br />
Da bei<strong>de</strong> Teilintervalle gleich lang sind, beträgt die mittlere Luftflussrate im Zeitintervall [ 0 ; 5 ]<br />
0 .<br />
Mittleres Luftvolumen<br />
2,5<br />
1<br />
⎛ x ⎞<br />
5<br />
Zeitintervall [ 0 ; 2,5 ] : ⎜ f(t)dt⎟<br />
dx = ≈ 0, 4<br />
2,5<br />
∫ ⎜∫ (GTR)<br />
⎟ 4 π<br />
0 ⎝0<br />
⎠<br />
Das zum Zeitintervall [0 ; 5 ] gehören<strong>de</strong> Stück <strong>de</strong>s Schaubilds <strong>de</strong>r Volumenfunktion ist<br />
symmetrisch zur Gera<strong>de</strong>n x = 2,5. Daraus folgt auch für das Zeitintervall [2,5 ; 5 ] ein mittleres<br />
5<br />
Luftvolumen von ≈ 0, 4 . Da in bei<strong>de</strong>n Teilintervallen das mittlere Luftvolumen gleich groß ist,<br />
4 π<br />
5<br />
beträgt das mittlere Luftvolumen auch im Zeitintervall [0 ; 5 ] : ≈ 0, 4 .<br />
4 π
Abiturprüfung Mathematik ab 2004<br />
Lösungsvorschläge zur Aufgabensammlung Seite 8<br />
Zu 3:<br />
a) Mit wachsen<strong>de</strong>r Anzahl bereits gefertigter Seitenleitwerke nehmen die Fertigungskosten pro<br />
Stück ab. Die rasche Abnahme <strong>de</strong>r Fertigungskosten in <strong>de</strong>r Anfangsphase <strong>de</strong>r Serienfertigung<br />
könnte auf eine zunehmen<strong>de</strong> Erfahrung <strong>de</strong>s Personals (Lerneffekt) zurückzuführen sein. Bei<br />
zunehmen<strong>de</strong>r Stückzahl sinkt im Allgemeinen auch <strong>de</strong>r z.B. durch Werkzeugmaschinen<br />
bedingte Fixkostenanteil (Rationalisierungseffekt).<br />
20x + 5000 ⎛ 4000 ⎞<br />
Wegen lim f(x) = lim<br />
= lim ⎜20<br />
+ ⎟ = 20 wer<strong>de</strong>n die Herstellungskosten<br />
x−>∞<br />
x−>∞<br />
x + 50 x−>∞⎝<br />
x + 50 ⎠<br />
auch langfristig über 20 Gel<strong>de</strong>inheiten pro Stück liegen.<br />
Bei praxisnahen Stückzahlen, z.B. 950, liegen die Herstellungskosten f(950) =24 jedoch<br />
<strong>de</strong>utlich über diesem theoretischen Grenzwert (um 20%).<br />
b) Für x ≥ 300 gilt:<br />
20x + 5000 15x − 2500<br />
f(x) = g(x) ⇔<br />
=<br />
⇔ x 2 + 230x − 255000 = 0<br />
x + 50 x − 280<br />
⇔ x = −115<br />
+ 5 10729 ≈ 402,9<br />
Ab <strong>de</strong>m 403. Seitenleitwerk wird mit <strong>de</strong>r neuen Technologie günstiger gefertigt.<br />
Skizze:<br />
c) Die neue Technologie führt bei <strong>de</strong>n Leitwerken 300 bis 402 zu Mehrkosten. Die gesuchte<br />
Rentabilitätsgrenze liegt dort, wo Einsparungen durch die neue Technologie diese Mehrkosten<br />
erstmals übersteigen.<br />
Mehrkosten und Einsparungen können durch entsprechen<strong>de</strong> Flächenstücke veranschaulicht<br />
wer<strong>de</strong>n.<br />
720<br />
∫ ><br />
300<br />
721<br />
∫ dx ≈ −5,4<br />
< 0<br />
300<br />
Mit <strong>de</strong>m GTR erhält man: ( g (x) − f(x) ) dx ≈ 0,9 0 und ( g (x) − f(x) )<br />
Von <strong>de</strong>r Einführung <strong>de</strong>r neuen Technologie bis zur Rentabilitätsgrenze arbeitet die Firma mit<br />
Verlust. Dieser ist unmittelbar nach <strong>de</strong>r Einführung beson<strong>de</strong>rs hoch. Wenn <strong>de</strong>r Absatz nicht<br />
min<strong>de</strong>stens bis zur Rentabilitätsgrenze gesichert ist, kann dieser Verlust die Firma in <strong>de</strong>n<br />
Konkurs treiben.<br />
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Lösungsvorschläge zur Aufgabensammlung Seite 9<br />
Zu 4:<br />
Die Funktion w ist ein stetiges Mo<strong>de</strong>ll für die Entwicklung <strong>de</strong>r momentanen Än<strong>de</strong>rungsrate <strong>de</strong>r<br />
Höhe einer Fichte.<br />
Aus <strong>de</strong>r Momentanän<strong>de</strong>rung erhält man <strong>de</strong>n Höhenzuwachs durch Integration („Gesamteffekt von<br />
Än<strong>de</strong>rungsraten“).<br />
Das Schaubild lässt eine Symmetrie zu t = 40 vermuten. Wir nehmen an, dass w( t ) für t ≥ 60<br />
−0,045⋅(t<br />
−80)<br />
( auch über t = 80 hinaus) näherungsweise durch w 2(t)<br />
= 0,24 ⋅ e<br />
beschrieben wer<strong>de</strong>n<br />
kann.<br />
Ist a das Alter einer ausgewachsenen Fichte in Jahren, so gilt:<br />
u<br />
u<br />
⎡ 16 −0,045⋅t+<br />
3,6 ⎤ 16 −0,045⋅a+<br />
3,6<br />
2 = lim ∫ w 2(t)<br />
dt = lim ⎢−<br />
⋅ e<br />
= ⋅ e<br />
⇔ a ≈ 101,8;<br />
u<br />
u 3<br />
⎥<br />
(GTR)<br />
→∞<br />
→∞<br />
3<br />
a<br />
⎣<br />
⎦a<br />
Die Fichte ist also nach etwa 102 Jahren ausgewachsen.<br />
Der durchschnittliche jährliche Höhenzuwachs in <strong>de</strong>n ersten zwanzig Jahren wird ebenfalls durch<br />
Integration bestimmt:<br />
20<br />
In <strong>de</strong>n ersten zwanzig Jahren beträgt <strong>de</strong>r Zuwachs an Höhe ∆H ≈ ∫ w1(t)<br />
dt ≈ 7, 78 [ m ].<br />
0<br />
1<br />
Damit ist <strong>de</strong>r durchschnittliche jährliche Zuwachs an Höhe ⋅ ∆H<br />
≈ 0, 39 [ m ].<br />
20<br />
<strong>Lehrer</strong>fortbildung zur neuen Form <strong>de</strong>r Abiturprüfung ab 2004
Abiturprüfung Mathematik ab 2004<br />
Lösungsvorschläge zur Aufgabensammlung Seite 10<br />
Zu 5:<br />
Für 3, 4, 5,... Gera<strong>de</strong>n erhält man maximal 7, 11, 16,... Gebiete, wenn sich alle Gera<strong>de</strong>n paarweise<br />
in verschie<strong>de</strong>nen Punkten schnei<strong>de</strong>n.<br />
Sind bereits n Gera<strong>de</strong>n gezeichnet und trägt man in diese Figur eine weitere Gera<strong>de</strong> so ein, dass<br />
sie zu keiner bisherigen parallel ist und durch keinen <strong>de</strong>r bereits gezeichneten Schnittpunkte geht<br />
so erhält man n + 1 neue Gebiete.<br />
Begründung: Durch die zuletzt gezeichnete Gera<strong>de</strong> g erhält man n neue Schnittpunkte, durch die g<br />
in n + 1 Abschnitte zerlegt wird. Je<strong>de</strong>r dieser n + 1 Abschnitte teilt ein bereits vorhan<strong>de</strong>nes Gebiet<br />
in zwei, so dass sich die Anzahl <strong>de</strong>r Gebiete um n + 1 erhöht.<br />
Rekursionsvorschrift:<br />
Z( n + 1 ) = Z ( n ) + n + 1.<br />
Explizite Berechnungsvorschrift:<br />
Da vor <strong>de</strong>m Zeichnen <strong>de</strong>r ersten Gera<strong>de</strong>n bereits ein Gebiet vorhan<strong>de</strong>n war, erhält man als<br />
maximale Anzahl Z ( n ) <strong>de</strong>r Gebiete bei n Gera<strong>de</strong>n<br />
Z ( n ) = 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + ..... + (n – 1) + n.<br />
1<br />
Da sich die Summe <strong>de</strong>r ersten n natürlichen Zahlen durch ⋅ n ⋅ (n + 1)<br />
beschreiben lässt<br />
2<br />
1<br />
(Nachweis durch vollständige Induktion) , gilt: Z(n) = ⋅ n ⋅ (n + 1) + 1.<br />
2<br />
<strong>Lehrer</strong>fortbildung zur neuen Form <strong>de</strong>r Abiturprüfung ab 2004