I. Elementargeometrie

12 Elementargeometrie
Man kann diese Sätze über die besonderen Punkte des Dreiecks mit Ausnahme von
Satz 12 auch mit Hilfe der Umkehrung des Satzes von Ceva (Satz 7) beweisen. Es ist
ja nur das in diesem Satz auftretende Produkt von Verhältnissen zu berechnen. Für die
Schwerlinien ist das sehr einfach. In diesem Fall sind diese Verhältnisse ja alle gleich 1. In
den anderen Fällen muss man sie zuerst berechnen. Im folgenden Satz tun wir das für die
Winkelsymmetralen.
Satz 16: Sei △ ABC ein Dreieck. Sei D der Schnittpunkt der Winkelsymmetrale durch C
mit AB, E der der Winkelsymmetrale durch A mit BC und F der der Winkelsymmetrale
durch B mit AC. Dann gilt AD
DB = |AC|
|BC| , BE
EC = |BA| CF
|CA|
und
F A = |CB|
|AB| .
Beweis: Wir führen den Beweis nur für die Winkelsymmetrale
durch C. Ihr Schnittpunkt mit der
Seite AB wurde mit D bezeichnet. Wir zeichnen
die Parallele zur Seite AC durch den Eckpunkt
B. Sie schneidet die Winkelsymmetrale durch C in
einem Punkt, den wir G nennen. Aus dem Strahlensatz
folgt DA
DB
= AC
BG .
A und B liegt, hat DA
DB
Da D immer zwischen
negatives Vorzeichen. Es
folgt AD
DB
|BG|
. Da BG parallel zu AC
liegt, erhalten wir ∠ BGD = ∠ ACD = γ 2 . Da
= |DA|
|DB|
= |AC|
auch ∠ BCD = γ 2
gilt, ist das Dreieck △ CBG
gleichschenkelig. Es gilt |BG| = |BC|. Damit ist
gezeigt. Die beiden anderen Gleichungen
beweist man ganz analog.
AD
DB = |AC|
|BC|
Jetzt können wir einen zweiten Beweis für Satz 14 geben. Sind D, E und F die Schnittpunkte
der Winkelsymmetralen mit den gegenüberliegenden Seiten, wie sie in Satz 16
eingeführt wurden, dann folgt aus diesem Satz sofort, dass AD BE CF
DB EC F A = |AC| |BA| |CB|
|BC| |CA| |AB| = 1
gilt. Aus Satz 7 erhalten wir dann, dass die drei Geraden l(A, E), l(B, F ) und l(C, D),
das sind die drei Winkelsymmetralen, einander in einem Punkt schneiden. Die Winkelsymmetralen
können ja nicht parallel liegen.
A
F
G
D
C
γ
2 γ 2
E
B
4. Beweisen mit Hilfe von Abbildungen
Wir behandeln die Eulergerade und den Feuerbachkreis. Entsprechende Sätze beisen wir
unter Zuhilfenahme von Abbildungen, und zwar von sogenannten zentrischen Streckungen.
Sei c ∈ R\{0, 1} und S ein beliebiger Punkt in der Ebene. Wir definieren eine Abbildung
φ : R 2 → R 2 folgendermaßen: Ist P ∈ R 2 , dann sei φ(P ) der eindeutig bestimmte Punkt
V auf der Geraden l(S, P ), für den SV
SP
= c gilt. Weiters sei φ(S) = S. Durch diese
Abbildung wird die Ebene vom Punkt S aus um den Faktor c gestreckt. Ist |c| < 1, dann
wird sie gestaucht. Bei negativem c wird außerdem um den Punkt S gespiegelt. Man
nennt diese Abbildung die zentrische Streckung mit Zentrum S und Streckungsfaktor c.
Zuerst beweisen wir Eigenschaften dieser zentrischen Streckungen.
Hilfssatz B: Sei φ die zentrische Streckung mit Zentrum S und Streckungsfaktor c. Seien
P und Q Punkte, die ungleich S sind. Sei V = φ(P ) und W = φ(Q). Dann liegt l(P, Q)
parallel zu l(V, W ) und es gilt |V W | = |c| · |P Q|.