I. Elementargeometrie

2 Elementargeometrie
Seien g und h zwei Gerade, die einander in einem Punkt S h
schneiden. Dann sind einander gegenüberliegende Winkel,
die von den beiden Geraden eingeschlossen werden, gleich
α S β
groß. In der Zeichnung sind zwei solche Winkel mit α und g
β bezeichnet. Dreht man die gesamte Figur um den Punkt
S um 180 0 , dann gehen die Geraden g und h in sich selbst
über. Der Winkel β kommt dann auf dem Winkel α zu liegen. Somit sind die beiden
Winkel gleich. (Scheitelwinkel)
Zwei parallele Geraden g 1 und g 2 werden von
einer dritten Geraden h geschnitten. Der Schnittpunkt
von g 1 mit h sei S und der Schnittpunkt von
g 2 mit h sei R. Dann sind die in der Zeichnung mit g 2
γ R
α und β bezeichneten Winkel gleich groß. Das sieht
man, wenn man die gesamte Figur entlang der Geraden
h verschiebt, sodass g 1 dann auf g 2 liegt und
h
h in sich selbst übergeht. Der Winkel α liegt dann
S α
auf dem Winkel β, womit die Gleichheit dieser Winkel
gezeigt ist (Stufenwinkel). Aus obigem Resultat
g 1
folgt dann, dass auch der mit γ bezeichnete Winkel gleich α ist (Wechselwinkel).
Seien g und h zwei Gerade, die einander in einem
Punkt S schneiden und den Winkel α einschließen.
Sei u eine senkrechte Gerade auf g und v eine senkrechte
Gerade auf h. Der von u und v eingeschlossene
Winkel β ist dann gleich α. Das sieht man so:
Wir drehen die Geraden u und v um ihren Schnittpunkt
P um 90 0 und erhalten die Geraden ũ und ṽ,
die dann ebenfalls den Winkel β einschließen. Da ũ
parallel zu g liegt und ṽ parallel zu h, muss β = α
gelten. Durch die Parallelverschiebung, die P in S
überführt, wird ja ũ auf g und ṽ auf h abgebildet.
Der Winkel β liegt dann auf dem Winkel α.
Schließlich beweisen wir noch zwei einfache Resultate für das Dreieck.
h
g
v
P
β
β
u
ũ
ṽ
S
β
α
Satz 1: Die Summe der (Innen)Winkel eines Dreiecks beträgt 180 0 .
Beweis: Die Eckpunkte und Winkel des Dreiecks
g
werden wie üblich bezeichnet. Wir zeichnen eine
zur Dreiecksseite AB parallele Gerade g durch
den Eckpunkt C des Dreiecks. Diese bildet mit
der Dreiecksseite AC einen Winkel ε und mit der
Dreiecksseite BC einen Winkel δ. Nach dem oben
bewiesenen Resultat gilt ε = α und δ = β, da die
α
A
Gerade g parallel zur Seite AB liegt. Klarerweise
gilt ε + γ + δ = 180 0 . Damit ist auch α + γ + β = 180 0 gezeigt.
ε
C
γ
δ
β
B