Funktionalanalysis - Mathematik

Funktionalanalysis
Anton Deitmar
WS 2011/12
Inhaltsverzeichnis
1 Allgemeine Topologie 3
1.1 Erzeuger und Abzählbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Initial- und Final-Topologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Hausdorff Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Kompakte Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Das Zornsche Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Der Satz von Tychonov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 Das Lemma von Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.9 Der Satz von Stone-Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.10 Der Satz von Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Normierte Räume 25
2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Stetige lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Hilbert-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Vervollständigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Äquivalenz der Normen im endlich-dimensionalen . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6 Nichtstetige lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Grundprinzipien der Funktionalanalysis 41
3.1 Fortsetzung von linearen Funktionalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Von der offenen Abbildung und vom abgeschlossenen Graphen . . . . . . . . . . 46
3.3 Prinzip der gleichmässigen Beschränktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Schwache Topologie 49
4.1 Dualität bei Banach-Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Schwache Topologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 Stetige Operatoren auf Hilbert-Räumen 58
5.1 Adjungierte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Isometrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1

FUNKTIONALANALYSIS 2
5.3 Projektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4 Normale Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6 Funktionalkalkül 68
6.1 Spektrum und Resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2 Funktionalkalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3 Polarzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7 Kompakte Operatoren 84
7.1 Spektralsatz für normale kompakte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.2 Hilbert-Schmidt-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.3 Spurklasse-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8 Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren 99
8.1 Spektralmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.2 Der Spektralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9 Topologische Vektorräume 105
9.1 Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.2 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.3 Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
10 Vektorwertige Integrale 119
10.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10.2 Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10.3 Cauchy-Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
11 Distributionen 129
11.1 Definition der Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.2 Träger einer Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
11.3 Die Ableitung einer Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.4 Temperierte Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

FUNKTIONALANALYSIS 3
1 Allgemeine Topologie
Wir erinnern an die Definition einer Topologie. Eine Topologie auf einer Menge X ist
ein System von Teilmengen O ⊂ P(X), das unter endlichen Schnitten und beliebigen
Vereinigungen abgeschlossen ist. Ein topologischer Raum ist ein Paar (X, O)
bestehend aus einer Menge X und einer Topologie O auf X. Die Mengen A ∈ O heissen
offene Mengen und ihre Komplemente abgeschlossene Mengen. Zu jeder Menge
A ⊂ X gibt es eine kleinste abgeschlossene Menge A, die A enthält, genauer ist
Beispiele 1.0.1
A =
⋂
C⊃A
C⊂X abgeschlossen
• Auf jeder Menge X gibt es die triviale Topologie O = {∅, X},
sowie die diskrete Topologie O = P(X).
• Ist (X, d) ein metrischer Raum, so ist
C.
O = {U ⊂ X : x ∈ U ⇒ U ε (x) ⊂ U für ein ε > 0}
eine Topologie.
• Sei X eine unendliche Menge, die co-endlich Topologie ist die Topologie
bestehend aus allen Mengen U ⊂ X die endliches Komplement haben,
zusammen mit der leeren Menge.
Sei x ∈ X ein Punkt. Eine offene Umgebung von x ist eine offene Menge U, die x
enthält. Eine Umgebung von x ist eine Menge V ⊂ X, die eine offene Umgebung von x
enthält.
Lemma 1.0.2 Sei A eine Teilmenge des topologischen Raums X. Ein Punkt x ∈ X gehört
genau dann zum Abschluss A von A, wenn A ∩ U ∅ für jede Umgebung U von x gilt.
Beweis: Die Behauptung ist äquivalent dazu, dass x genau dann nicht in A liegt, wenn
es eine Umgebung U von x gibt mit U ∩ A = ∅. Wir können in diesem Fall U als offen
voraussetzen.
Is also U eine offene Umgebung von x mit A ∩ U = ∅, dann ist A eine Teilmenge der
abgeschlossenen Menge X U, also x Ā. Umgekehrt, nimm an x Ā. Dann ist
U = X Ā eine offene Umgebung von x mit A ∩ U = ∅.
□

FUNKTIONALANALYSIS 4
1.1 Erzeuger und Abzählbarkeit
Für ein gegebenes System von Teilmengen E ⊂ P(X) existiert eine kleinste Topologie,
die E enthält, nämlich
O E =
⋂
O⊃E
O Topologie
Man nennt O E die von E erzeugte Topologie.
O.
Lemma 1.1.1 Sei E ⊂ P(X) beliebig. Sei dann S ⊂ P(X) das System aller Mengen der Form
A 1 ∩ · · · ∩ A n ,
wobei A 1 , . . . , A n ∈ E. Als nächstes sei T ′ das System aller Mengen der Form
⋃
S i ,
mit S i ∈ S für jedes i ∈ I. Schliesslich setze T = T ′ ∪ {∅, X}. Dann gilt O E = T .
i∈I
Beweis: Jede Topologie, die E enthält, enthält auch S und T , also T ⊂ O E .
Andererseits werden wir sehen, dass T selbst eine Topologie ist, da T den Erzeuger E
enthält, folgt auch T ⊃ O E .
Es bleibt also zu zeigen, dass T eine Topologie ist.
• ∅, X ∈ T gilt nach Definition.
• Beliebige Vereinigungen von Elementen von T sind wieder Elemente von T .
• Wir zeigen A, B ∈ T ⇒ A ∩ B ∈ T . Ist eine der Beiden Mengen gleich ∅ oder X,
so ist die Behauptung klar. Seien also
⋃
⋃
A = S i , B =
i∈I
j∈J
T j
mit S i , T j ∈ S. Dann ist
⋃
A ∩ B = S i ∩ T j .
I∈I
j∈J
Mit S i , T j ∈ S folgt aber S i ∩ T j ∈ S, also ist A ∩ B ∈ T .

FUNKTIONALANALYSIS 5
□
Definition 1.1.2 Eine Umgebungsbasis eines Punktes x ∈ X ist eine Familie (U i ) i∈I
von Umgebungen von x so dass jede Umgebung U eines der U i enthält. Ist jedes U i
offen, so sprechen wir von einer offenen Umgebungsbasis.
Ein topologischer Raum X genügt dem ersten Abzählbarkeitsaxiom, wenn jeder
Punkt x eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt.
Beispiele 1.1.3 • Sei (X, d) einmetrischer Raum. Für jedes x ∈ X ist die Familie der
Bälle (B 1/n (x)) n∈N eine Umgebungsbasis von x. also genügt jeder metrische Raum
dem ersten Abzählbarkeitsaxiom.
• Die Co-endlich Topologie auf einer überabzählbaren Menge X genügt nicht dem
ersten Abzählbarkeitsaxiom.
Definition 1.1.4 Eine Basis der Topologie ist eine Familie (U i ) i∈I von offenen Mengen
so dass jede offene Menge als Vereinigung von Mitgliedern U i der Familie geschrieben
werden kann. Die Familie der offenen Intervalle (a, b), wobei a und b rationale Zahlen
sind, ist eine Topologie-Basis von R.
Definition 1.1.5 Ein topologischer Raum genügt dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom,
wenn er eine abzählbare Topologie-Basis besitzt.
Es ist eine Konsequenz des Lemmas 1.1.1, dass ein Raum genau dann dem zweiten
Abzählbarkeitsaxiom genügt, wenn die Topologie einen abzählbaren Erzeuger besitzt.
Beispiel 1.1.6 Ein Beispiel für einen Raum, der keine abzählbare Topologiebasis
besitzt, ist schnell gegeben: Sei X eine überabzählbare Menge und O = P(X) die
diskrete Topologie. Dann ist die Menge aller Singletons {x} mit x ∈ X die kleinste
Topologiebasis die es gibt. Diese widersetzt sich einer Abzählung.
1.2 Stetigkeit
Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen heisst stetig, wenn für
jede offene Menge U ⊂ Y das Urbild f −1 (U) ⊂ X offen ist.

FUNKTIONALANALYSIS 6
Äquivalent kann man sagen, dass eine Abbildung genau dann stetig ist, wenn für jede
abgeschlossenen Menge C ⊂ Y das Urbild f −1 (C) ⊂ X abgeschlossen ist.
Sind f, g komponierbare stetige Abbildungen, so ist f ◦ g stetig.
Definition 1.2.1 Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen heisst
stetig im Punkt x ∈ X, wenn es zu jeder offenen Umgebung V von y = f (x) eine offene
Umgebung U von x gibt mit f (U) ⊂ V.
Proposition 1.2.2 Eine Abbildung f : X → Y ist genau dann stetig, wenn sie in jedem
Punkte stetig ist.
Beweis: Sei f stetig und sei x ∈ X. Sei eine offene Umgebung V von y = f (x) gegeben.
Dann ist U = f −1 (V) offen und enthält x, ist also eine offene Umgebung von x mit
f (U) ⊂ V. Damit ist f stetig im Punkt x.
Sei umgekehrt f in jedem Punkt stetig und sei V ⊂ Y offen. Wir zeigen, dass f −1 (V)
offen ist. Sei dazu x ∈ f −1 (V), dann ist V eine offene Umgebung von y = f (x) und daher
existiert eine offene Umgebung U von x mit f (U) ⊂ V, d.h., U ⊂ f −1 (V). Damit enthält
f −1 (V) zu gegebenem x ∈ f −1 (V) ach eine offene Umgebung U von x, also ist V offen. □
Definition 1.2.3 Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen heisst
offene Abbildung, falls f (U) ⊂ Y offen ist für jede offene Menge U ⊂ X und f heisst
abgeschlossene Abbildung, falls f (C) abgeschlossen ist für jedes abgeschlossene
C ⊂ X.
Eine bijektive Abbildung f : X → Y heisst ein Homöomorphismus, falls f stetig und
offen ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn sowohl f als auch ihre Umkehrabbildung
stetig sind.
Beispiele 1.2.4
• Jedes nichtleere offene Intervall (a, b) ⊂ R ist homöomorph zur
reellen Geraden R, denn die Abbildung
x ↦→ 1
a − x + 1
b − x
ist ein Homöomorphismus von (a, b) nach R.
• Ein Rechteck [a, b] × [c, d] ⊂ R 2 mit a < b, c < d ist homöomorph zur
abgeschlossenen Kreisscheibe B 1 (0) = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1}. Wir überlassen
dem Leser die Konstruktion eines Homöomorphismus.

FUNKTIONALANALYSIS 7
1.3 Initial- und Final-Topologien
Sei X eine Menge und f i : X → Y i eine Familie von Abbildungen, wobei die Y i
topologische Räume sind. Die Initialtopologie auf X induziert durch die Familie ( f i ) i∈I
ist die kleinste Topologie auf X, so dass alle f i stetig sind. Also ist es die Topologie, die
durch alle Urbilder f −1 (U) offener Mengen U ⊂ Y
i
i erzeugt wird.
Sei X eine Menge und sei g i : W i → X, i ∈ I eine Familie von Abbildungen von
topologischen Räumen W i . Die Final-Topologie auf X induziert durch die Familie
(g i ) i∈I ist die grösste Topologie auf X, bezüglich der alle g i stetig sind. Eine Teilmenge
U ⊂ X ist genau dann offen, wenn jedes Urbild g −1 (U) ⊂ W
i
i offen ist. Ein Spezialfall
der Finaltopologie ist die Quotiententopologie auf Z/ ∼, wobei Z ein topologischer
Raum ist und ∼ eine Äquivalenzrelation. Die Quotiententopologie ist dann die
Finaltopologie gegeben durch eine einzige Abbildung, nämlich der Projektion
Z → Z/ ∼.
Beispiele 1.3.1
• Sei A ⊂ X eine Teilmenge des topologischen Raums X. Die
Topologie auf A induziert durch die Inklusionsabbildung i : A ↩→ X heisst die
Teilraumtopologie von A. Die offenen Mengen in A sind genau die Mengen der
Form A ∩ U, wobei U ⊂ X offen ist.
• Sei (X i ) i∈I eine Familie topologischer Räume. Sei X = ∏ i∈I X i das kartesische
Produkt der Räume X i . Die Produkttopologie auf X ist die Initial-Topologie der
Koordinaten-Projektionen p i : X → X i . Sie wird also erzeugt von allen Mengen
der Form
∏
U i × X j ,
wobei U i ⊂ X i eine offene Menge ist. Nach Lemma 1.1.1 ist jede offene Menge in
X eine Vereinigung von Mengen der Gestalt
ij
⎛ ⎛
∏ ∏
⎜⎝ U i
⎞⎟ ⎠ × ⎜⎝
X i
⎞⎟ ⎠
,
wobei E ⊂ I eine endliche Teilmenge der Indexmenge I ist.
i∈E
Als Spezialfall sehen wir, dass die Topologie auf R n genau die Produkttopologie
von R ist.
• Der Raum C c (R n ) wird mit der sogenannten induktiven Limestopologie
versehen, die wie folgt entsteht: Für eine kompakte Teilmenge K ⊂ R n sei C K (R n )
iE

FUNKTIONALANALYSIS 8
die Menge aller stetigen Funktionen auf R n mit Träger in K. Dann ist C c (R n ) die
Vereinigung aller dieser Mengen C K (R n ). Wir versehen C K (R n ) mit der Topologie
gegeben durch die Supremumsnorm:
∣ ∣ ∣ ∣∣ ∣∣K f = sup | f (x)|
x∈K
und geben C c (R n ) die Final-Topologie aller Inklusionen i K : C K (X) ↩→ C c (X).
Proposition 1.3.2 (Sehr nützlich) (a) Sei X eine Menge versehen mit der Initial-Topologie
induziert durch die Abbildungen f i : X → Y i , i ∈ I. Eine Abbildung α : W → X von
einem topologischen Raum W ist genau dann stetig, wenn alle Abbildungen
f i ◦ α : W → Y i stetig sind.
(b) Ebenso, sei X versehen mit der Final-Topologie induziert durch Abbildungen
g i : W i → X. Eine Abbildung β : X → Y ist genau dann stetig, wenn alle Abbildungen
β ◦ g i : W i → Y stetig sind.
Beweis: (a) Sei α stetig, dann ist f i ◦ α als Komposition stetiger Abbildungen selbst
auch stetig. Andersherum, nimm an, dass alle f i ◦ α stetig sind. Sei E das System von
Teilmengen von X der Form f −1 (U) wobei U eine offene Teilmenge von Y
i
i ist. Dann
erzeugt E die Topologie O von X. Sei O α die grösste Topologie auf X, die α stetig sein
lässt, dann, da f i ◦ α stetig ist, folgt E ⊂ O α ; deshalb O ⊂ O α , also ist α stetig.
Teil (b) geht ähnlich.
□
Beispiele 1.3.3 • Sei X = ∏ i∈I X i das Produkt der topologischen Räumen X i mit
der Produkttopologie. Sei p i : X → X i die i-te Projektion. Eine Abbildung
f : W → X von einem topologischen Raum W ist genau dann stetig, wenn alle
Abbildungen p i ◦ f : W → X i stetig sind. Dies bedeutet zum Beispiel, dass für
zwei topologische Räume X, Y und y 0 ∈ Y die Abbildung X → X × Y, die x auf
(x, y 0 ) wirft, stetig ist.
• Im Fall der induktiven Limestopologie auf C c (R n ) bedeutet dies zum Beispiel,
dass jedes positive lineare Funktional C c (R n ) → R eine stetige Abbildung ist.
1.4 Hausdorff Räume
Ein topologischer Raum X heisst Hausdorff-Raum, falls je zwei Punkte durch
disjunkte Umgebungen getrennt werden können, also wenn es zu je x y in X offene

FUNKTIONALANALYSIS 9
Mengen U, V ⊂ X gibt mit x ∈ U, y ∈ V und U ∩ V = ∅.
Beispiele 1.4.1
• Jeder metrische Raum ist hausdorffsch.
• Die diskrete Topologie P(X) ist hausdorffsch, aber die triviale Topologie {∅, X} ist
nicht hausdorffsch, falls X mehr als nur ein Element hat.
• Die co-endlich-Topologie auf einer unendlichen Menge ist nicht hausdorffsch.
Lemma 1.4.2 Ein topologischer Raum X ist genau dann hausdorffsch, wenn die Diagonale
∆ = {(x, x) : x ∈ X}
eine abgeschlossene Teilmenge von X × X ist.
Beweis: Der Raum X × X trägt die Produkttopologie, das heisst die Familie aller
offenen Rechtecke: U × V, wobei U, V ⊂ X offene Mengen sind, ist eine
Topologiebasis.
Nimm nun an, X ist hausdorffsch und sei (x, y) in ∆ c = X × X ∆, mit anderen Worten
x y. Es existieren dann offene Mengen U ∋ x und V ∋ y mit U ∩ V = ∅. Dies
bedeutet, dass U × V ∩ ∆ = ∅, also ist U × V eine offene Umgebung von (x, y), die ganz
in ∆ c enthalten ist, damit ist diese Menge offen, also ist ∆ abgeschlossen.
Sei umgekehrt die Diagonale abgeschlossen und x y in X, dann ist (x, y) in der
offenen Menge ∆ c . Diese offene Menge ist ein Produkt von offenen Rechtecken, also
existiert ein offenes Rechteck U × V mit (x, y) ∈ U × V ⊂ ∆ c . Dies bedeutet gerade
x ∈ U, y ∈ V und U ∩ V = ∅.
□
Man nennt einen Hausdorff-Raum auch T 2 -Raum, oder einen separierten
Topologischen Raum.
1.5 Kompakte Räume
Ein topologischer Raum heisst kompakt, falls jede offene Überdeckung eine endliche
Teilüberdeckung besitzt.
In dem man zu den Komplementen übergeht erhält man

FUNKTIONALANALYSIS 10
Lemma 1.5.1 (Endliche Schnitteigenschaft) Ein topologischer Raum X ist genau dann
kompakt, wenn für jede Familie (A i ) i∈I abgeschlossener Mengen in X mit ⋂ i∈F A i ∅ für jede
endliche Teilmenge F ⊂ I, gilt
⋂
A i ∅.
i∈I
Beweis: Die Mengen U i = X A i bilden eine offene Überdeckung von X. Zu dieser
gibt es eine endliche Teilüberdeckung.
□
Lemma 1.5.2 Eine Teilmenge K ⊂ X eines topologischen Raums ist genau dann kompakt (in
der Teilraumtopologie), wenn es zu jeder offenen Überdeckung von K in X eine endliche
Teilüberdeckung gibt, wenn also zu jeder Familie (U i ) i∈I offener Mengen in X mit
⋃
K ⊂
eine endliche Teilmenge E ⊂ I existiert, so dass
⋃
K ⊂ U i .
i∈I
i∈E
U i
Beweis: Dies folgt direkt aus der Anwendung der Definitionen.
□
Lemma 1.5.3 Sei X ein topologischer Raum, dann gilt
(a) Ist X kompakt und ist C ⊂ X eine abgeschlossene Teilmenge, dann ist C kompakt.
(b) Ist X ein Hausdorff-Raum und ist C ⊂ X kompakt, dann ist C abgeschlossen.
(c) Stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt. Das heisst, ist f : X → Y stetig und ist
C ⊂ X kompakt, dann ist f (C) ⊂ Y kompakt.
Beweis: (a) Sei (U i ) i∈I eine Überdeckung von C, wobei jedes U i eine offene Teilmenge
von X ist. Dann ist (U i ) i∈I ∪ {X C} eine offene Überdeckung von X. Da X kompakt ist,
existieren Indizes i 1 , . . . , i l so dass X ⊂ (X C) ∪ ⋃ l
j=1 U ij , also C ⊂ ⋃ l
j=1 U ij .
(b) Sei x ∈ X C. Wir müssen zeigen, dass es eine offene Umgebung U von x gibt mit
U ∩ C = ∅. Da X ein Hausdorff-Raum ist, gibt es zu jedem y ∈ C offene Umgebungen
V y von y und U y von x mit V y ∩ U y = ∅. Dann ist (V y ) y∈C eine offene Überdeckung von

FUNKTIONALANALYSIS 11
C, also gibt es y 1 , . . . , y l ∈ C mit C ⊆ ⋃ l
j=1 V yj . Dann ist U = ⋂ l
j=1 U yj eine offene
Umgebung von x mit U ∩ C = ∅.
Die Aussage (c) wurde in Analysis 2 für metrische Räume bewiesen. Derselbe Beweis
geht allerdings für beliebige topologische Räume durch.
Ein topologischer Raum X heisst lokalkompakt, falls jeder Punkt x ∈ X eine
kompakte Umgebung besitzt.
□
Beispiele 1.5.4
• Die Menge R n ist lokalkompakt, da jeder Punkt x eine kompakte
Umgebung, etwa [x 1 − 1, x 1 + 1] × · · · × [x n − 1, x n + 1] besitzt.
• Sei K ⊂ R n kompakt. Der Raum C(K) aller stetigen Funktionen von K nach R mit
der Supremumsnorm ist nur dann lokalkompakt, wenn K endlich ist.
Beweis: Ist K endlich, so ist C(K) R n , also lokalkompakt. Ist K nicht endlich, so
sei (k j ) j∈N eine Folge in K mit k j k i für i j. Jedes k j hat dann einen positiven
Abstand zu {k 1 , . . . , k j−1 }, also existiert ein f j ∈ C(K) mit f (k 1 ) = · · · = f (k j−1 ) = 0
und f (k j ) = 1. Für i j gilt dann
∣ ∣ ∣ ∣ fi − f j
∣ ∣∣
∣ ∣∣K
≥ 1,
also hat die Folge ( f j ) j keine konvergente Teilfolge, damit ist C c (K) nach dem
Satz von Bolzano-Weierstrass nicht kompakt.
□
1.6 Das Zornsche Lemma
Sei (S, ≤) eine partiell geordnete Menge. Eine Teilmenge L ⊂ S, in der alle Elemente
vergleichbar sind, für die also gilt:
x, y ∈ L ⇒ x ≤ y oder y ≤ x,
heisst linear geordnet. Sei L ⊂ S eine linear geordnete Teilmenge. Ein Element z ∈ S
heisst obere Schranke zu L, wenn gilt
x ∈ L ⇒ x ≤ z.
Wir schreiben in diesem Fall auch L ≤ z.

FUNKTIONALANALYSIS 12
Ein Element m ∈ S heisst maximales Element, falls gilt
m ≤ y ⇒ y = m.
Das heisst also, m ist maximal, wenn es keine grösseren Elemente gibt.
Lemma 1.6.1 (Lemma von Zorn) Sei S eine partiell geordnete Menge, in der jede linear
geordnete Teilmenge eine obere Schranke besitzt. Dann hat S ein maximales Element.
Beweis: Das Lemma von Zorn ist, auf Grundlage der anderen Axiome der
Mengenlehre, äquivalent zum Auswahlaxiom, welches man am sinnfälligsten wie
folgt ausdrückt:
Auswahlaxiom: (AC) Ist I eine nichtleere Indexmenge und ist für jedes i ∈ I eine nichtleere
Menge M i gegeben, dann ist ∏ i∈I M i eine nichtleere Menge.
Der Beweis des AC aus dem Zornschen Lemma ist einfach, die Rückrichtung
kompliziert. Zu kompliziert für diese Vorlesung.
□
Satz 1.6.2 Jeder Vektorraum hat eine Basis.
Beweis: Dieser Satz wird mit dem Lemma von Zorn bewiesen. Wir klären erstmal die
Notation: Eine Teilmenge L ⊂ V eines Vektorraums heisst linear unabhängig, wenn
für alle paarweise verschiedenen Elemente l 1 , . . . , l n von L gilt
n∑
λ j l j = 0 ⇒ λ 1 = · · · = λ n = 0.
j=1
Mit anderen Worten, L heisst linear unabhängig, wenn jede endliche Teilmenge linear
unabhängig ist.
Eine Basis eines Vektorraums V ist eine linear unabhängige Teilmenge L so dass es zu
jedem v ∈ V Elemente l 1 , . . . , l n von L und Koeffizienten λ 1 , . . . , λ n gibt so dass
n∑
λ j l j = v.
Lemma 1.6.3 Eine maximale linear unabhängige Teilmenge L ⊂ V ist eine Basis.
j=1

FUNKTIONALANALYSIS 13
Beweis: Sei L eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V, d.h., es gelte für
jede linear unabhängige Teilmenge L ′ ⊂ V, dass
L ′ ⊃ L ⇒ L ′ = L.
Wir zeigen, dass L eine Basis ist. Sei dazu v ∈ V. Angenommen, v lässt sich nicht als
Linearkombination von Elementen von L darstellen. Sei L ′ = L ∪ {v}. Wir behaupten,
dass L ′ linear unabhängig ist. Es seien dazu l 1 , . . . , l n ∈ L und λ, λ 1 , . . . , λ n
Koeffizienten mit
λv + λ 1 l 1 + · · · + λ n l n = 0.
Erster Fall: λ = 0, dann folgt λ 1 l 1 + · · · + λ n l n = 0 und da L linear unabhängig ist, ist
λ 1 = · · · = λ n = 0.
Zweiter Fall: λ 0, dann ist
v = (−λ 1 /λ)l 1 + · · · + (−λ n /λ)l n ,
was im Widerspruch zur Annahme steht. Damit lässt sich v also doch als
Linearkombination von Elementen aus L darstellen und L ist eine Basis.
□
Nun beweisen wir den Satz unter Zuhilfenahme des Zornschen Lemmas. Nach
Lemma 1.6.3 brauchen wir nur zu zeigen, dass es eine maximale linear unabhängige
Menge in V gibt. Sei also S die Menge deren Elemente die linear unabhängigen
Teilmengen L von V sind. Sei K ⊂ S eine linear geordnete Teilmenge und sei
⋃
Z = L
Dann ist sicherlich Z ≥ L für jedes L ∈ K, es bleibt also zu zeigen, dass Z ∈ S gilt, also
mit anderen Worten, wir müssen zeigen, dass Z linear unabhängig ist. Seien dazu
v 1 , . . . v n ∈ Z und λ 1 , . . . , λ n Koeffizienten so dass
L∈K
λ 1 v 1 + · · · + λ n v n = 0
Da K eine linear geordnete Teilmenge ist, gibt es ein L ∈ K so dass v 1 , . . . , v n ∈ L. Da L
linear unabhängig ist, folgt λ 1 = · · · = λ n = 0.
□

FUNKTIONALANALYSIS 14
1.7 Der Satz von Tychonov
Sei I eine Indexmenge und für jedes i ∈ I sei ein topologischer Raum X i ∅ gegeben.
Die Produkttopologie auf X = ∏ i∈I X i ist die Initialtopologie der Projektionen
p i : X → X i . Sie wird erzeugt von allen Mengen der Form
p −1
i
(U i ) = U i ×
∏
X j ,
wobei U i eine offene Teilmenge von X i ist. Damit ist jede offene Menge eine
Vereinigung von Mengen der Form
U i1 × · · · × U in ×
ji
∏
ii 1 ,...,i n
X i ,
die ja endliche Schnitte von den oben genannten sind.
Satz 1.7.1 (Tychonov) X = ∏ i∈I ist genau dann kompakt ist, wenn alle Faktoren X i
kompakt sind.
Beweis: Da die Projektion p i : X → X i stetig ist, so ist jedes X i kompakt, falls X
kompakt ist. Die schwierige Richtung ist die Umkehrung. Seien also alle X i kompakt.
Sei F = (F ν ) ν∈N eine Familie abgeschlossener Mengen mit der endlichen
Schnitteigenschaft (jeweils endlich viele haben nichtleeren Schnitt). Es gibt dann eine
maximale Familie F ∗ = (F ν ) ν∈N ∗ mit F ∗ ⊃ F , die die endliche Schnitteigenschaft hat.
Dies folgt leicht aus dem Lemma von Zorn, da man aus einer linear geordnete
Mengen von Familien mit endlicher Schnitteigenschaft durch Vereinigung eine obere
Schranke gewinnt, die wieder die endliche Schnitteigenschaft hat.
(A) Sind F 1 , . . . , F n ∈ F ∗ , so ist auch F 1 ∩ · · · ∩ F n in F ∗ wie aus der Maximalität von F ∗
folgt.
(B) Ist S ⊂ X irgendeine Teilmenge mit der Eigenschaft S ∩ F ν ∅ für jedes F ν ∈ F ∗ ,
dann ist S ∈ F ∗ , wie aus der Maximalität folgt.
Sei i ∈ I. Die Familie abgeschlossener Mengen (p i (F ν )) ν∈N ∗ hat die endliche

FUNKTIONALANALYSIS 15
Schnitteigenschaft, also gibt es ein z i in deren Schnitt. Sei
U = U i1 × · · · × U in ×
∏
ii 1 ,...,i n
X i
eine offene Umgebung von z = (z i ) i∈I . Sei k ∈ {1, . . . , n}. So gibt es zu jedem F ν ∈ F ∗ ein
f ∈ F ν mit p ik ( f ) ∈ U ik , also gilt mit S k = p −1
i k
(U ik ), dass S k ∩ F ν ∅ ist. Nach (B) ist
S k ∈ F ∗ . Nach (A) ist dann U = S 1 ∩ · · · ∩ S n ∈ F ∗ . Insbesondere hat U also nichtleeren
Schnitt mit jedem F ∈ F ∗ , also auch mit jedem F ∈ F . Da die Umgebungen U dieser
Form eine Umgebungsbasis bilden, liegt z im Abschluss von F ν also in F ν für jedes
ν ∈ N. Damit ist ⋂ n∈N F n nichtleer und X ist kompakt.
□
1.8 Das Lemma von Urysohn
Ein Hausdorff-Raum heisst lokalkompakt, falls jeder Punkt eine kompakte
Umgebung besitzt. Beispiel: R n . Eine Teilmenge A ⊂ X eines topologischen Raums
heisst relativ kompakt, falls der Abschluss A ⊂ X kompakt ist.
Lemma 1.8.1 (Lemma von Urysohn) Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum. Sei
K ⊂ X kompakt und A ⊂ X abgeschlossen mit K ∩ A = ∅.
(i) Es existiert eine relativ kompakte offene Umgebung U von K so dass
K ⊂ U ⊂ U ⊂ X A.
(ii) Es gibt eine stetige Abbildung mit kompaktem Träger f : X → [0, 1] mit f ≡ 1 auf K
und f ≡ 0 auf A.
Beweis: (a) Sei a ∈ A. Für jedes k ∈ K gibt es eine offene, relativ kompakte Umgebung
U k von k und eine Umgebung U k,a von a mit U k ∩ U k,a = ∅. Die Familie (U k ) k∈K ist eine
offene Überdeckung von K. Da K kompakt ist, reichen endlich viele. Sei V die
Vereinigung dieser endlich vielen offenen Mengen und sei W der Schnitt der
entsprechenden endlich vielen U k,a . Dann sind V und W offene Umgebungen von K
und a und V ist relativ kompakt.

FUNKTIONALANALYSIS 16
V
A
K
W
•
a
Wir wiederholen dieses Argument mit K in Rolle von a und V ∩ A in der Rolle von K
und erhalten disjunkte offene Umgebungen U ′ von K und W ′ von ¯V ∩ A. Die Menge
U = U ′ ∩ V erfüllt Teil (a) des Lemmas.
(b) Wähle ein U das (a) erfüllt und ersetze A durch X U. Hierdurch sieht man, dass
es reicht, (b) zu beweisen ohne die Forderung nach kompaktem Träger.
Wähle also wieder ein U, das Teil (a) erfüllt und benenne diese U mit U 1
2
. Wiederrum
nach (a) existiert eine relativ kompakte offene Umgebung U 1
4
von U 1
2
so dass
U 1
2
⊂ U 1
2
⊂ U 1
2
⊂ A c . Sei R die Menge aller Zahlen der Gestalt k
2 n im Intervall [0, 1).
Formal setze U 0 = A c . Durch Iteration der obigen Konstruktion erhalten wir offene
Mengen U r , r ∈ R, mit K ⊂ U r ⊂ U r ⊂ U s ⊂ A c für alle r > s in R. Wir definieren nun f .
Für x ∈ A sei f (x) = 0 und sonst setze f (x) = sup{r ∈ R : x ∈ U r }. Dann gilt f ≡ 1 auf K.
Für r > s in R gilt
f −1 (s, r) =
⋃
s

FUNKTIONALANALYSIS 17
1.9 Der Satz von Stone-Weierstraß
Definition 1.9.1 Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum. Eine stetige Funktion
f : X → C verschwindet im Unendlichen, falls es zu jedem ε > 0 ein Kompaktum
K ⊂ X gibt so dass | f (x)| < ε für jedes x ∈ X K.
Wir bezeichnen mit C(X) die Menge aller stetigen Funktion von X nach C und mit
C 0 (X) die Menge aller stetigen Funktionen, die im Unendlichen verschwinden. Sie
enthält die Menge C c (X) aller stetigen Funktionen mit kompakten Trägern.
Lemma 1.9.2 Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum. Jedes f ∈ C 0 (X) ist beschränkt und
die Supremumsnorm
∣ ∣ ∣ ∣ f
∣ ∣∣
∣ ∣∣X
= sup{| f (x)| : x ∈ X}
macht C 0 (X) zu einem Banach-Raum, also einem vollständigen normierten Vektorraum.
Beweis: Sei f ∈ C 0 (X). Zu ε = 1 gibt es dann ein Kompaktum K ⊂ X mit | f (x)| < ε für
x ∈ X K, also ist f ausserhalb eines Kompaktums K beschränkt. Da f stetig ist, ist
f (K) ⊂ C kompakt, also beschränkt, damit ist f überall beschränkt. Daher ist die
Sup-Norm auf C 0 (X) wohldefiniert. Für die Vollständigkeit sei ( f j ) j∈N eine
Cauchy-Folge. Sei x ∈ X. Wegen | f i (x) − f j (x)| ≤ ∣ ∣ ∣∣
∣ ∣∣ ∣∣X fj − f i ist f j (x) eine Cauchy-Folge in
C, also konvergent gegen eine komplexe Zahl, die wir f (x) nennen. Dann ist
f : X → C eine Funktion und die Folge f j konvergiert punktweise gegen f . Wir zeigen,
dass sie gleichmässig konvergiert. Sei ε > 0, dann existiert ein j 0 so dass ∣ ∣ ∣∣
∣ ∣∣ ∣∣X fj − f i < ε
für alle i, j ≥ j 0 gilt. Für j ≥ j 0 und x ∈ X gilt dann also
| f j (x) − f (x)| = lim
i
| f j (x) − f i (x)| ≤ ε.
Nehmen wir das Supremum über alle x ∈ X, so sehen wir
∣ ∣ ∣ ∣ fj − f ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣X
≤ ε
für jedes j ≥ j 0 , also konvergiert die Folge in der Norm gegen f .
Wir zeigen, dass f stetig ist. Sei hierzu U ⊂ C eine offene Menge. Wir wollen zeigen,
dass f −1 (U) offen ist. Sei also x 0 ∈ f −1 (U). Dann ist f (x 0 ) ∈ U und es existiert ein ε > 0
so dass U ε ( f (x 0 )) ⊂ U. Es gibt nun ein j mit | f (x) − f j (x)| < ε/3 für jedes x ∈ X. Dann ist
V = f −1 (U
j ε/3 ( f (x 0 ))) offen in X. Wir behaupten
x 0 ∈ V ⊂ f −1 (U).

FUNKTIONALANALYSIS 18
Hieraus folgt die Offenheit von f −1 (U). Zunächst ist | f j (x 0 ) − f (x 0 )| < ε/3, also
f j (x 0 ) ∈ U ε/3 ( f (x 0 )) was nichts anderes heisst als x 0 ∈ V.
Weiter sei x ∈ V, dann ist | f j (x) − f (x 0 )| < ε/3, also
| f (x) − f (x 0 )| ≤ | f (x) − f j (x)| + | f j (x) − f j (x 0 )|
≤ | f (x) − f j (x)| + | f j (x) − f (x 0 )| + | f (x 0 ) − f j (x 0 )|
<
ε
3 + ε 3 + ε 3 = ε.
Das heisst f −1 (x) ∈ f −1 (U ε (x 0 )) ⊂ f −1 (U). Daher ist f −1 (U) offen und also ist f stetig.
Der Beweis, dass f im Unendlichen verschwindet sei dem Leser zur Übung gelassen.
□
Definition 1.9.3 Sei X ein topologischer Raum. Eine Kompaktifizierung ist eine
Abbildung c : X → Z, wobei Z ein kompakter Raum ist, c hat dichtes Bild und c ist ein
Homöomorphismus aufs Bild, das heisst c ist injektiv und stetig und die
Umkehrabbildung ist stetig auf dem Bild von c.
Lemma 1.9.4 Zu jedem nichtkompakten Hausdorff-Raum X gibt es eine Kompaktifizierung
¯X die durch Hinzunahme eines einzigen Punktes entsteht, die sogenannte
Einpunktkompaktifizierung.
Beweis: Sei X ein nichtkompakter topologischer Raum und ∞ sei ein neuer Punkt.
Wir setzen ¯X = X ∪ {∞}. Auf ¯X definieren wir eine Topologie wie folgt: Eine Teilmenge
U ⊂ ¯X ist offen falls
• U ⊂ X und U ist offen in der Topologie von X, oder
• ∞ ∈ U und X U ist kompakt in X.
Man macht sich leicht klar, dass ¯X kompakt ist. Dass die Inklusion c : X ↩→ ¯X ein
Homöomorphismus aufs Bild ist, ist nach Definition klar. Wir zeigen nun, dass X
dicht in ¯X ist. Hierzu reicht es zu zeigen, dass jede Umgebung des Punktes ∞ schon
Punkte aus X enthält. Dies ist aber klar, da X selbst nicht kompakt ist. Schliesslich ist
zu zeigen, dass ¯X auch wirklich kompakt ist. Sei hierzu ¯X = ⋃ i∈I U i eine offene
Überdeckung. Dann existiert ein i 0 mit ∞ ∈ U i0 . Die Menge K = X U i0 muss nach
definition kompakt sein und die U i mit i i 0 bilden eine offene Überdeckung von K

FUNKTIONALANALYSIS 19
(hier wird die Hausdorff-Eigenschaft gebraucht, warum?), daher reichen endlich
viele.
□
Lemma 1.9.5 Sei X ein Hausdorff-Raum.
• Ist X kompakt, so ist C 0 (X) = C(X).
• Ist X nichtkompakt, so ist C 0 (X) die Menge der stetigen Funktionen f , die durch
f (∞) = 0 zu einer stetigen Funktion auf der Einpunktkompaktifizierung ¯X = X ∪ {∞}
fortgesetzt werden können.
Beweis: Klar nach Konstruktion.
□
Die Menge C 0 (X) ist ein komplexer Vektorraum. Mit f, g ∈ C 0 (X) ist aber auch das
punktweise Produkt f g : X → C; x ↦→ f (x)g(x) in C 0 (X). Dieses Produkt ist
• bilinear: ( f, g) ↦→ f g ist linear in jedem Argument, also
(λ f + µ f ′ )g = λ f g + µ f ′ g, sowie f (λg + µg ′ ) = λ f g + µ f g ′
für alle f, f ′ , g, g ′ ∈ C 0 (X) und λ, µ ∈ C, sowie
• assoziativ: f (gh) = ( f g)h für alle f, g, h ∈ C 0 (X).
Ein Vektorraum A zusammen mit einem bilinearen assoziativen Produkt A × A → A
nennt man eine Algebra. Eine Unteralgebra ist ein Unterraum B ⊂ A, der unter dem
Produkt abgeschlossen ist, d.h., der B · B ⊂ B erfüllt. Auch über R definiert man
Algebren in analoger Weise.
Beispiele 1.9.6 • M n (C) ist eine C-Algebra und die Menge der oberen
Dreiecksmatrizen ist eine Unteralgebra.
• Ist X ein nichtkompakter Hausdorff-Raum, so ist C 0 (X) eine Algebra und C c (X)
ist eine Unteralgebra.
Satz 1.9.7 (Satz von Stone-Weierstraß)
Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und sei A ⊂ C 0 (X) eine Unteralgebra so dass

FUNKTIONALANALYSIS 20
(a) A trennt Punkte, d.h. für je zwei x y in X gibt es f ∈ A mit f (x) f (y),
(b) für jedes x ∈ X gibt es ein f ∈ A so dass f (x) 0, und
(c) A ist abgeschlossen unter komplexer Konjugation, das heisst f ∈ A ⇒ f ∈ A.
Dann ist A dicht in C 0 (X).
Diese komplexe Version des Satzes ist eine Konsequenz der folgenden reellen Version
in welcher wir C R (X) für den reellen Vektorraum der reellwertigen stetigen Funktion
0
aus C 0 (X) schreiben.
Satz 1.9.8 (Satz von Stone-Weierstraß über R)
Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und A ⊂ C R (X) eine reelle Unteralgebra von
0
C R 0
(X) so dass
(a) A trennt Punkte und
(b) für jedes x ∈ X gibt es ein f ∈ A so dass f (x) 0.
Dann ist A dicht in C R 0 (X).
Wir zeigen zunächst wie die komplexe Version aus der reellen folgt. Nimm also an,
dass A ⊂ C 0 (X) eine Unteralgebra wie im komplexen Stone-Weierstraß ist. Dann gilt
A = A R + iA R , wobei A R = A ∩ C R (X). Dies folgt aus der Zerlegung f = Re( f ) + i Im( f )
0
mit Re( f ) = 1( f + f ¯ ) und Im( f ) = 1 ( f − f ¯ ) in A R . Da A die Bedingungen des komplexen
2 2i
Satzes erfüllt, erfüllt A R die des reellen. Die Anwendung des reellen Stone-Weierstraß
liefert dann für den topologischen Abschluss: A R = C R 0 (X) und A = AR + iA R = C 0 (X).
Wir brauchen also nur die reelle Version zu zeigen.
Lemma 1.9.9 (Satz von Dini)
Sei X ein kompakter topologischer Raum und sei ( f n ) n∈N eine monoton wachsende Folge
stetiger Funktionen f n : X → R, die punktweise gegen eine stetige Funktion f : X → R
konvergiert. Dann konvergiert die Folge ( f n ) gleichmässig gegen f .

FUNKTIONALANALYSIS 21
Beweis: Sei ε > 0 gegeben. Für jedes x ∈ X existiert ein n x ∈ N mit
f (x) − ε < f n (x) ≤ f (x) für jedes n ≥ n x . Sei U x := {y ∈ K : f (y) − ε < f nx (y)}. Dann ist
{U x : x ∈ X} eine offene Überdeckung von X. Da X kompakt ist, gibt es x 1 , . . . , x l ∈ X
mit X = ⋃ l
j=1 U xj . Dann gilt ‖ f − f n ‖ X < ε für jedes n ≥ N = max{n t1 , . . . , n tl }. □
Lemma 1.9.10 Sei A eine Unteralgebra von C R (X). Liegt f im topologischen Abschluss A
0
von A, dann liegt auch | f | in A.
Sind f, g ∈ A, dann folgt max( f, g), min( f, g) ∈ A.
Beweis: Zunächst machen wir uns klar, dass es reicht, f ∈ A zu betrachten, denn ist
f ∈ A, so existiert eine Folge f n in A mit f = lim n f n . Also auch
| f | = | lim
n
f n | = lim
n
| f n |,
da die Betragsfunktion stetig ist. Sind also alle | f n | in A, so auch | f |.
Es bleibt also der Fall 0 f ∈ A. Indem wir zu 1
‖ f ‖ X
f übergehen, können wir
annehmen, dass f (X) ⊂ [−1, 1], also f (x) 2 ∈ [0, 1] für jedes x ∈ X. Induktiv definieren
wir eine Folge (p n ) von Polynomen auf [0, 1] so dass p 1 ≡ 0 und
p n+1 (t) = p n (t) − 1 2 (p n(t) 2 − t), t ∈ [0, 1].
Wir behaupten dass die Folge (p n (t)) monoton gegen die Wurzelfunktion √ t wächst.
Hierzu zeigen wir per Induktion, dass 0 ≤ p n (t) ≤ √ t und p n (0) = 0 für jedes n ∈ N.
Dies ist klar für n = 1 und für n + 1 folgt es aus
p n+1 (t) − √ t = (p n (t) − √ t) − 1 2 (p n(t) − √ t)(p n (t) + √ t)
= (p n (t) − √ t) ( 1 − 1 2 (p n(t) + √ t) ) ≤ 0,
da p n (t) − √ t ≤ 0 und p n (t) + √ t ≤ 2 √ t ≤ 2. Also, da p n+1 (t) − p n (t) = 1 2 (t − p n(t) 2 ) ≥ 0, ist
die Folge (p n (t)) monoton wachsend und beschränkt durch √ t. Sie konvergiert also
gegen eine Funktion 0 ≤ g(t) ≤ √ t. Dann haben wir
0 = g(t) − g(t) = lim
n
(p n+1 (t) − p n (t)) = lim
n
1
2 (t − p n(t) 2 ) = 1 2 (t − g(t)2 ),
mit anderen Worten g(t) = √ t. Da g stetig ist, konvergiert die Folge (p n ) nach Dinis
Satz gleichmässig auf [0, 1] gegen g.

FUNKTIONALANALYSIS 22
Sei f n (x) = p n ( f (x) 2 ) für x ∈ X. Dann konvergiert ( f n ) gleichmässig gegen √ f 2 = | f | auf
X. Da aber f n eine Linearkombination von Potenzen von f ist, liegt es in A für jedes
n ∈ N. Damit also | f | ∈ A.
Die letzte Aussage folgt, da A ebenfalls eine reelle Algebra ist und
max f, g = 1 2 ( f + g + | f − g|) sowie min( f, g) = 1 2 ( f + g − | f − g|). □
Beweis des Satzes von Stone-Weierstraß. Wir zeigen zunächst, dass es zu jedem Paar
x, y ∈ X mit x y ein g ∈ A gibt mit g(x) g(y) und g(x), g(y) 0. Wähle g 1 ∈ A mit
g 1 (x) g 1 (y). Ist g 1 (x)g 1 (y) 0, so setze g = g 1 und fertig. Andernfalls nimm an, dass
etwa g 1 (y) 0. Dann ist g 1 (x) = 0. Wähle g 2 ∈ A mit g 2 (x) 0. Dann ist g 2 (x) = g 2 (y)
oder g 2 (y) = 0. Im Falle dass g 2 (x) = g 2 (y) definiere g = g 1 + g 2 und falls g 2 (y) = 0 setze
g = g 1 + µg 2 mit µ ∈ R so dass g 1 (y) µg 2 (x) 0. In beiden Fällen sieht man, dass
0 g(x) g(y) 0.
Im nächsten Schritt zeigen wir, dass es zu jedem Paar x, y ∈ X mit x y und je zwei
α, β ∈ R eine Funktion f ∈ A gibt mit f (x) = α und f (y) = β. Zu diesem Zweck wähle
ein g wie oben. Wir machen den Ansatz f = λg + µg 2 mit λ, µ ∈ R. Dann ist
f (x) = α, f (y) = β äquivalent zu
⎛
⎞ ⎞
g(x) g(x) 2 λ
⎜⎝
⎞⎟
g(y) g(y) 2 ⎠
⎛⎜ ⎝
µ
⎟⎠
⎛⎜ = α
⎝
β
⎟⎠ .
⎛
g(x) g(x) 2
Aber wegen 0 g(x) g(y) 0 gilt det ⎜⎝
⎞⎟
g(y) g(y) 2 ⎠ = g(x)g(y) ( g(y) − g(x) ) 0 und
daher hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung.
Schliesslich sei h ∈ C R (X) gegeben und sei ε > 0. Wir müssen zeigen, dass es ein f ∈ A
0
gibt mit ‖h − f ‖ X < ε. Für jedes Paar x, y ∈ X mit x y wählen wir g x,y ∈ A mit
h(x) = g x,y (x) und h(y) = g x,y (y). Für ein festes y definieren wir
U x := {z ∈ X : h(z) < g x,y (z) + ε}.
Dann ist U x eine offene Umgebung von x und X U x = {z ∈ X : (h − g x,y )(z) ≥ ε} ist
kompakt, da h − g x,y im Unendlichen verschwindet. Also, wenn wir x 1 ∈ X festhalten,
gibt es x 2 , . . . , x l ∈ X U x1 mit X U x1 ⊂ ⋃ l
j=2 U xj , so dass X ⊂ ⋃ l
j=1 U xj . Setze
f y = max(g x1 ,y, . . . , g xl ,y).

FUNKTIONALANALYSIS 23
Nach Lemma 1.9.10 liegt f y in A und nach Konstruktion ist h(z) − f y (z) < ε für jedes
z ∈ X, denn für z ∈ U xj gilt h(z) < g xj ,y(z) + ε ≤ f y (z) + ε.
Für y ∈ X sei
V y = {z ∈ X : f y (z) < h(z) + ε}.
Da f y (y) = h(y), ist dies eine offene Umgebung von y, und wie oben zeigen wir, dass es
y 1 , . . . , y k ∈ X gibt mit X ⊂ ⋃ k
j=1 V yj . Sei
f = min( f y1 , . . . , f yk ).
Dann ist f ∈ A und man sieht leicht, dass f (z) − ε < h(z) < f (z) + ε für jedes z ∈ X.
□
Beispiel 1.9.11 Der komplexe Vektorraum der Laurent-Polynome, also aller
Funktionen der Form
n∑
f (z) = c j z j
liegt dicht im Raum aller stetigen Funktionen auf T = {z ∈ C : |z| = 1}. Wohlgemerkt,
die gleichmässige Konvergenz der Fourier-Reihe haben wir nur für stückweise glatte
Funktionen.
j=−n
1.10 Der Satz von Baire
Eine Teilmenge D eines topologischen Raums X heisst dicht in X, falls X der
Abschluss D von D ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn U ∩ D ∅ für jede offene
Teilmenge U ⊂ X gilt.
Definition 1.10.1 Ein topologischer Raum X heisst Baire-Raum oder von zweiter
Kategorie, falls für jede abzählbare Familie (U n ) n∈N offener dichter Teilmengen von X
der Schnitt D = ∩ n∈N U n wieder eine dichte Teilmenge ist.
Proposition 1.10.2 (a) Ist X ein Baire-Raum, so ist jede offene Teilmenge U wieder ein
Baire-Raum.
(b) Ist X ein Baire-Raum, so existiert für jede abzählbare Familie (A n ) n∈N abgeschlossener
Mengen mit X = ∪ n∈N A n schon ein Index n 0 , so dass A n0 eine nichtleere offene Menge
enthält.

FUNKTIONALANALYSIS 24
Beweis: (a) ist klar indem wir alles mit U schneiden. Wir beweisen (b). Sei X ein
Baire-Raum und X = ∪ n∈N A n wie in der Proposition. Angenommen, keine der
Mengen A n enthält eine nicht-leere offene Menge. Sei U n = A c n das Komplement. Es
folgt U ∩ U n ∅ für jede offene Menge U, also ist U n dicht in X. Da X ein Baire-Raum
ist, ist D = ⋂ n U n dicht in X. Es folgt
⋃ ⋃
X D c = Un c = A n = X.
n
n
Dies ist ein Widerspruch!
□
Satz 1.10.3 (Baire) Jeder lokalkompakte Hausdorff-Raum und jeder vollständige
metrische Raum ist ein Baire-Raum.
Sei X ein lokalkompakter Hausdorffraum oder ein vollständiger metrischer Raum.
Seien V 1 , V 2 , . . . dichte offene Teilmengen von X. Wir definieren eine Folge
B 0 ⊃ B 1 ⊃ . . . offener Mengen wie folgt: Sei B 0 eine beliebige offene Menge in X. Sei
n ≥ 1 und eine offene Menge B n−1 gegeben. Da V n dicht ist, existiert eine offene Menge
B n ∅ mit
B n ⊂ V n ∩ B n−1 .
Ist X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum, kann man B n als kompakt voraussetzen.
Ist X ein vollständiger metrischer Raum, kann man B n als einen Ball vom Radius
< 1/n wählen. Sei K = ⋂ ∞
n=1 B n . Ist X ein lokalkompakter HDR, folgt K ∅ nach der
endlichen Schnitteigenschaft. Ist X ein vollständiger metrischer Raum, dann bilden
die Mittelpunkte der Bälle B n eine Cauchy-Folge, die konvergiert gegen einen Punkt
von K, also gilt K ∅ in jedem Fall. Es ist K ⊂ B 0 und K ⊂ V n für jedes n, damit
B 0 ∩ ⋂ n V n ∅.
□
Korollar 1.10.4 Ein Banach-Raum, der eine abzählbare Basis besitzt, ist endlich-dimensional.
Beweis: Sei V ein Banach-Raum der von v 1 , v 2 , . . . aufgespannt wird. Sei A n der von
v 1 , . . . v n aufgespannte Unterraum. Dieser ist als endlich-dimensionaler normierter
Raum selbst vollständig, also abgeschlossen in V. Ferner gilt V = ⋃ n A n , also enthält
ein A n eine offene Teilmenge von V. Jede offene Teilmenge von V enthält allerdings
eine Basis, also ist V = A n .
□

FUNKTIONALANALYSIS 25
2 Normierte Räume
2.1 Definition
In dieser Vorlesung werden nur Vektorräume über R oder C betrachtet. Wir schreiben
daher K für den Grundkörper, also
K = R oder C.
Lemma 2.1.1 (a) Ist V ein R-Vektorraum, so ist
V C = V ⊗ R C = V + iV
ein komplexer Vektorraum, der die Komplexifizierung von V genannt wird.
(b) Ist V ein C-Vektorraum und ist f : V → R eine R-lineare Abbildung, dann existiert
genau eine C-lineare Abbildung g : V → C so dass
f = Re(g).
Beweis: (a) ist klar. Für (b) Setze g(v) = f (v) − i f (iv). Wir wollen zeigen, dass g
komplex-linear ist. Da g schon reell-linear ist, reicht es zu zeigen, dass g(iv) = ig(v) für
jedes v ∈ V gilt. Hierzu rechnen wir
g(iv) = f (iv) − i f (iiv) = f (iv) + i f (v)
= i( f (v) − i f (iv)) = ig(v)
Nun zur Eindeutigkeit von g: Sei h eine weitere komplex-lineare Abbildung mit
Re(h) = f . Sei τ = g − h, dann folgt Re(τ) = 0. Ist v ∈ V, so folgt dann Re(τ(v)) = 0 und
da dies auch für iv gilt, folgt
0 = Re(τ(iv)) = Re(iτ(v)) = − Im(τ(v)),
also ist τ(v) = 0.
□
Ein normierter Vektorraum ist ein K-Vektorraum V mit einer Abbildung
||·|| : V → [0, ∞) so dass für v, w ∈ V und α ∈ K gilt:
• ||v|| = 0 ⇔ v = 0
(Definitheit)

FUNKTIONALANALYSIS 26
• ||αv|| = |α| ||v||
• ||v + w|| ≤ ||v|| + ||w||
(Multiplikativität)
(Dreiecksungleichung).
Mit der Metrik
d(v, w) = ||v − w||
wird V dann ein metrischer Raum. Ein normierter Raum, der vollständig ist, in dem
also jede Cauchy-Folge konvergiert, heisst Banach-Raum.
Beispiele 2.1.2
• Ist X ein metrischer Raum, dann ist der Vektorraum C b (X) aller
beschränkten stetigen Funktionen f : X → K ein Banach-Raum mit der Norm
∣ ∣ ∣ ∣∣ ∣∣X f = sup | f (x)|.
x∈X
Beweis: Die Normeigenschaften sind trivial. Es ist Vollständigkeit zu zeigen. Sei
also ( f j ) eine Cauchy-Folge. Dann gilt für jedes x ∈ X,
| f j (x) − f k (x)| ≤ sup | f j (y) − f k (y)| = ∣ ∣ ∣∣
∣ ∣∣ ∣∣X fj − f k .
y∈X
Also ist ( f j (x)) j∈N eine Cauchy-Folge in K, konvergiert also. Nennen wir den
Limes f (x). Sei ε > 0, dann gibt es j 0 so dass für alle j, k ≥ n 0 und alle x ∈ X gilt
| f j (x) − f k (x)| < ε.
Mit k → ∞ folgt, dass für jedes j ≥ j 0 und jedes x ∈ X gilt
| f j (x) − f (x)| ≤ ε.
Das bedeutet aber, dass f j gleichmässig gegen f konvergiert. Damit ist f stetig.
Es ist leicht einzusehen, dass f auch beschränkt ist, also f ∈ C b (X), womit die
Vollständigkeit gezeigt wäre.
□
• Für jedes 1 ≤ p ≤ ∞ und jeden Maßraum (X, µ) ist L p (µ) ein Banach-Raum. Dies
wurde in Analysis 3 gezeigt.

FUNKTIONALANALYSIS 27
2.2 Stetige lineare Abbildungen
Definition 2.2.1 Für lineare Abbildung T : V → W zwischen normierten Räumen sei
||T(v)||
||T|| op = sup ||T(v)|| = sup
||v||=1
v0 ||v||
∈ [0, ∞]
die Operatornorm. Die Abbildung T heisst beschränkte lineare Abbildung, falls
||T|| op < ∞.
Man spricht statt von einer linearen Abbildung auch von einem linearen Operator. Ist
der Zielraum W gleich K, so nennt man T ein lineares Funktional.
Satz 2.2.2 (a) Die Operatornorm ist eine solche, d.h., es gilt
• ||T|| = 0 ⇔ T = 0
• ||λT|| = |λ| ||T||
• ||S + T|| ≤ ||S|| + ||T||
(Definitheit)
(Multiplikativität)
(Dreiecksungleichung).
(b) Sind S, T komponierbar, so gilt
||S ◦ T|| ≤ ||S|| ||T|| .
(c) Für jeden linearen Operator T : V → W zwischen normierten Räumen und jedes
v ∈ V gilt
||T(v)|| ≤ ||T|| op ||v|| .
Ein linearer Operator T ist genau dann stetig, wenn er beschränkt ist.
Beweis: Für die Dreiecksungleichung rechnen wir
||S + T|| = sup
||v||=1
≤ sup
||v||=1
||(S + T)(v)|| = sup ||S(v) + T(v)||
||v||=1
||S(v)|| + ||T(v)|| ≤ sup
||v||=1
||S(v)|| + sup ||T(v)|| = ||S|| + ||T|| .
||v||=1

FUNKTIONALANALYSIS 28
(b) Es sei ohne Einschränkung T 0. Es gilt
||S ◦ T|| = sup
v0
= sup
T(v)0
||S(T(v))||
||v||
||S(T(v))||
||T(v)||
||S(T(v))||
= sup
T(v)0 ||v||
||T(v)||
||v||
≤ sup
w0
||S(w)||
||w||
sup
v0
||Tv||
||v||
= ||S|| ||T|| .
(c) Die Ungleichung ist klar. Wir zeigen zunächst, dass eine lineare Abbildung
T : V → W zwischen normierten Räumen genau dann stetig ist, wenn sie im
Nullpunkt stetig ist. Ist T stetig, dann ist T stetig in Null. Sei umgekehrt T linear und
stetig in Null. Sei v j → v eine in V konvergente Folge, dann konvergiert v j − v gegen
Null, also konvergiert auch T(v j ) − T(v) = T(v j − v) gegen Null, d.h. T(v j ) geht gegen
T(v), somit ist T in v stetig und da v beliebig ist, ist T schlechthin stetig.
Wir zeigen, dass ein stetiger Operator beschränkt ist. Sei also T stetig und nimm an, er
ist nicht beschränkt. Dann existiert eine Folge v j von Vektoren mit ∣ ∣ ∣∣vj
∣ ∣∣ ∣∣ = 1 und
∣ ∣ ∣T(vj ) ∣ ∣ ∣∣
∣ ∣∣ ∣∣T(vj → ∞. Nehmen wir an, dass ) ∣ ∣ ∣∣ 0 für alle j, dann geht die Folge
1
||T(v j )|| v j
gegen Null, also folgt
⎛
1
∣ ∣ ∣T(vj ) ∣ 1
∣ ∣∣ T(v j ) = T ⎜⎝
∣ ∣ ∣T(vj ) ∣ ∣ ∣∣ v j
⎞⎟ ⎠ → 0.
Diese Vektoren haben aber Norm 1, Widerspruch! Sei umgekehrt T beschränkt und v j
eine Nullfolge, das heisst, dass ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣vj
∣ ∣∣
∣ ∣∣ gegen Null geht. Dann gilt
∣ ∣ ∣ ∣T(vj ) ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ ≤ ||T||op
∣ ∣∣
∣ ∣∣vj
∣ ∣∣
∣ ∣∣ → 0.
Also geht T(v j ) gegen Null, T ist also stetig in Null, also stetig.
□
2.3 Hilbert-Räume
Erinnerung: Ein Skalarprodukt auf einem komplexen Vektorraum V ist eine
Abbildung 〈·, ·〉 : V × V → C mit folgenden Eigenschaften:
• Für w ∈ V ist die Abbildung V → K; v ↦→ 〈v, w〉 linear.
• Es gilt 〈w, v〉 = 〈v, w〉 für alle v, w ∈ V.
• Für v ∈ V ist 〈v, v〉 ≥ 0 und 〈v, v〉 = 0 ⇔ v = 0.

FUNKTIONALANALYSIS 29
Definition 2.3.1 Ein Vektorraum V mit einem Skalarprodukt 〈., .〉 heisst
Prä-Hilbert-Raum.
Beispiele 2.3.2 • Das einfachste Beispiel nach dem Nullraum ist V = K mit
〈 〉 α, β = α ¯β. Oder allgemeiner V = C k mit k ∈ N und
〈v, w〉 = v t ¯w,
• Sei I eine Menge und sei l 2 (I) der L 2 -Raum, wenn man I mit dem Zählmaß
ausstattet. Dann ist l 2 (I) die Menge aller Funktionen f : I → C mit
∑
| f (i)| 2 < ∞.
i∈I
Insbesondere ist für jedes f ∈ l 2 (I) die Menge {i ∈ I : f (i) 0} abzählbar. Das
Skalarprodukt ist gegeben durch
〈 〉 ∑
f, g = f (i)g(i).
i∈I
Die Norm auf einem Prä-Hilbert-Raum V ist definiert durch
||v|| = √ 〈v, v〉, v ∈ V.
In der linearen Algebra wird bewiesen, dass dies in der Tat eine Norm ist. Ausserdem
wird dort die Cauchy-Schwarz-Ungleichung
| 〈v, w〉 | ≤ ||v|| ||w||
für v, w ∈ V bewiesen.
Lemma 2.3.3 Ist V ein normierter Raum, dann ist die Norm ||.|| : V → R eine stetige
Abbildung.
Ist V ein Prä-Hilbert-Raum, dann ist das Skalarprodukt V × V → C eine stetige Abbildung.
Beweis: Es sei v j → v eine konvergente Folge, dann ist gilt | ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣vj
∣ ∣∣
∣ ∣∣ − ||v|| | ≤
∣ ∣∣
∣ ∣∣vj
− v ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ eine
Nullfolge.

FUNKTIONALANALYSIS 30
Ist V ein Hilbert-Raum und sind v j → v und w j → w konvergent in V, so gilt nach der
Cauchy-Schwarz-Ungleichung,
| 〈 v j , w j
〉
− 〈v, w〉 | ≤ |
〈
vj , w j
〉
−
〈
vj , w 〉 | + | 〈 v j , w 〉 − 〈v, w〉 |
= | 〈 v j , w j − w 〉 | + | 〈 v j − v, w 〉 |
≤ ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣vj
∣ ∣∣
∣ ∣∣
∣ ∣∣
∣ ∣∣wj
− w ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ +
∣ ∣∣
∣ ∣∣vj
− v ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ ||w||
Da ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣vj
∣ ∣∣
∣ ∣∣ konvergent ist, ist diese Folge beschränkt, also geht die rechte Seite (und damit
die linke) gegen Null.
□
Definition 2.3.4 Ein Hilbert-Raum ist ein Prä-Hilbert-Raum, der vollständig bzgl der
induzierten Norm ist.
Proposition 2.3.5 Jeder endlich-dimensionale Prä-Hilbert-Raum ist vollständig.
Beweis: In der Linearen Algebra wird gezeigt, dass jeder endlich-dimensionale
Prä-Hilbert-Raum zu K n isomorph ist, wobei n die Dimension ist. Dieser Raum ist
vollständig.
□
Satz 2.3.6 (Polarisierung) Sei 〈., .〉 ein Skalarprodukt mit Norm ||.||. Im Fall K = R gilt:
〈v, w〉 = 1 2
(
||v + w|| 2 − ||v|| 2 − ||w|| 2) .
Im Fall K = C ist
〈v, w〉 = 1 4
(
||v + w|| 2 − ||v − w|| 2 + i ||v + iw|| 2 − i ||v − iw|| 2) .
Insbesondere ist also das Skalarprodukt durch die Norm eindeutig festgelegt.
Beweis: Man setzt rechts für die Norm ||u|| 2 jeweils 〈u, u〉 ein und nutzt die
Sesquilinearität aus.
□
In der Tat, diese Polarisierungsidentitäten nutzen nur die Sesquilinearität aus und
nicht die Symmetrie, bzw Antisymmetrie. Wir formulieren das folgende Korollar nur
für C.

FUNKTIONALANALYSIS 31
Korollar 2.3.7 Seien V, Z Vektorräume über C und sei
b : V × V → Z
eine sesquilineare Abbildung. Sei D(v) = b(v, v) die Diagonale. dann gilt für alle v, w ∈ V,
b(v, w) = 1 [D(v + w) − D(v − w) + iD(v + iw) − iD(v − iw)] ,
4
also ist b durch D eindeutig festgelegt.
Beweis: Wie im Satz.
□
Definition 2.3.8 Eine lineare Isometrie zwischen zwei normierten Räumen V, W ist
eine lineare Abbildung T : V → W mit
||Tv|| = ||v||
für jeden Vektor v ∈ V. Eine lineare Isometrie ist injektiv und ist sie zusätzlich
surjektiv, so ist ihre Umkehrabbildung ebenfalls eine lineare Isometrie. In dem Fall
heisst sie isometrischer Isomorphismus
Sind V und W Hilbert-Räume und ist T : V → W eine Isometrie, so folgt
〈Tv, Tw〉 = 〈v, w〉
für alle w, w ∈ V. Dies folgt aus den Polarisierungsidentitäten (Satz 2.3.6).
Definition 2.3.9 Ein Orthonormalsystem oder ONS in einem Hilbert-Raum H ist eine
Familie von Vektoren (e i ) i∈I für die gilt
〈
ei , e j
〉
=
⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
1 falls i = j,
0 sonst.
Ein Orthonormalsystem (e i ) i∈I heisst vollständiges ONS, oder Orthonormalbasis
ONB, falls der Orthogonalraum der e i aufgespannte Untervektorraum dicht liegt in H.

FUNKTIONALANALYSIS 32
Satz 2.3.10 Jeder Hilbert-Raum H hat eine Orthonormalbasis. Für jede ONB (e i ) i∈I und
Vektoren v, w ∈ H gilt: Ist c i (v) = 〈v, e i 〉 , so sind nur abzählbar viele dieser Koeffizienten
ungleich Null und es gilt
∑
v = c i (v)e i ,
wobei die Reihe in jeder Reihenfolge konvergiert. Es gilt
∑
∑
|c i (v)| 2 = ||v|| 2 oder, allgemeiner, 〈v, w〉 = c i (v)c i (w)
i∈I
i∈I
i∈I
Ist umgekehrt v = ∑ i∈I c i e i eine konvergente Reihe, dann folgt c i = c i (v), d.h., die
Koeffizienten sind eindeutig.
Sind ferner beliebige komplexe Koeffizienten (c i ) i∈I gegeben, so dass nur abzählbar viele
ungleich Null sind und ∑ i∈I |c i | 2 < ∞ gilt, dann konvergiert die Reihe ∑ i∈I c i e i in H in
jeder Reihenfolge mit demselben Grenzwert.
Korollar 2.3.11 Man kann die Aussagen des Satzes auch so ausdrücken: Die Abbildung
v ↦→ (i ↦→ c i (v)) ist ein isometrischer Isomorphismus von Hilbert-Räumen H −→
l 2 (I).
Beweis des Satzes: Mit dem Lemma von Zorn beschafft man sich ein maximales ONS
(e i ) i∈I . Dessen Orthogonalraum
(e i ) ⊥ i∈I = {v ∈ H : 〈v, e i〉 = 0 ∀ i∈I }
muss Null sein, denn ist w 0 im Orthogonalraum, dann ist f = w/ ||w|| ein neuer
Vektor, um den man das ONS erweitern kann, was der Maximalität widerspricht. Sei
also (e i ) i∈I ein ONS mit trivialem Orthogonalraum und sei v ∈ H. Für eine endliche
Teilmenge E ⊂ I setze
∑
v E = c i (v)e i .
Dann gilt 〈v E , v〉 = 〈v E , v E 〉 = ∑ i∈E |c i (v)| 2 , wie man leicht sieht. Also ist
||v − v E || 2 = 〈v − v E , v − v E 〉
∑
= ||v|| 2 − 〈v, v E 〉 − 〈v E , v〉 + 〈v E , v E 〉 = ||v|| 2 − |c i (v)| 2 .
i∈E
i∈E

FUNKTIONALANALYSIS 33
Da dies ≥ 0 ist, folgt ∑ i∈E |c i (v)| 2 ≤ ||v|| 2 . Also ∑ i∈I |c i (v)| 2 ≤ ||v|| 2 . Damit folgt, dass nur
abzählbar viele c i (v) ungleich Null sind und dass die Reihe der |c i (v)| 2 konvergiert. Wir
wollen zeigen, dass die Reihe ∑ i∈I c i (v)e i in jeder Reihenfolge konvergiert. Sei also
c 1 , c 2 , . . . eine Nummerierung der Koeffizienten 0, so gilt für n ≤ m in N,
∣ m∑ ∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣ 2 c i (v)e i =
∣
n=n
m∑
|c i (v)| 2 ,
woraus folgt, dass ∑ n
i=1 c i (v)e i eine Cauchy-Folge in H ist, also konvergiert. Wir zeigen,
dass der Limes gleich v ist. Für j ∈ I rechne
i=n
〈
∑
〉
e j , v − c i (v)e i = 〈 e j , v 〉 − c j (v) = 0.
i∈I
Also ist der Vektor v − ∑ i∈I c i (v)e i im Orthogonalraum des ONS, also gleich Null, die
Summe konvergiert also in der Tat gegen v. Insbesondere ist der von (e i ) aufgespannte
Unterraum dicht. Es folgt
〈 ∑
〈v, w〉 =
i∈I
∑
〉
∑ ∑
c i (v)e i , c i (w)e i = c i (v)c j (w) 〈 〉 ∑
e i , e j = c i (v)c j (w).
i∈I
i∈I j∈I
i∈I
Ist umgekehrt v = ∑ j∈I c j e j konvergent, so gilt wegen der Linearität und Stetigkeit des
Skalarproduktes,
〈 ∑
c i (v) = 〈v, e i 〉 =
j∈I
〉
∑ 〈 〉
c i e i , e j = c i ei , e j = ci .
j∈I
Ist schliesslich (c i ) i∈I eine Familie von Koeffizienten mit ∑ i∈I |c i | 2 < ∞, so folgt die
Konvergenz von ∑ i c i e i genau wie die oben gezeigte Konvergenz von ∑ i c i (v)e i .
□
Beispiel 2.3.12 In Analysis 1 wurde in dem Abschnitt über Fourier-Reihen gezeigt,
dass die Funktionen e k (x) = e 2πikx für k ∈ Z eine Orthonormalbasis von
L 2 ([0, 1]) L 2 ([0, 1)) L 2 (R/Z) ist.
Satz 2.3.13 Je zwei ONB eines Hilbert-Raumes haben die gleiche Mächtigkeit. Zwei
Hilbert-Räume sind isometrisch-isomorph, falls sie ONBs der gleichen Mächtigkeit haben.

FUNKTIONALANALYSIS 34
Beweis: Sei H ein Hilbert-Raum mit zwei ONBs (e i ) i∈I und ( f j ) j∈J . Ist H
endlich-dimensional, so folgt |I| = |J| nach LinA. Sei also H unendlich-dimensional.
Für i ∈ I sei S(i) die Menge aller j ∈ J mit 〈 〉
e i , f j 0. Da ei = ∑ 〈 〉
j∈J ei , f j fj , ist S(i) stets
abzählbar. Da andererseits auch jedes f j sich in die e i entwickeln lässt, folgt
⋃
S(i) = J.
i∈I
Damit gibt es eine surjektive Abbildung I × N → J. Da I und J beide unendliche
Mengen sind, folgt hieraus |J| ≤ |I|. Aus Symmetriegründen folgt |I| = |J|.
Sind H 1 , H 2 Hilbert-Räume mit ONBs (e i ) i∈I und ( f i ) i∈I , so definiert die Vorschrift
T(e i ) = f i einen isometrische Isomorphismus von H 1 nach H 2 .
□
Satz 2.3.14 (a) Sei H ein Hilbert-Raum und U ein abgeschlossener Unterraum. Dann
gilt
H = U ⊕ U ⊥ ,
wobei U ⊥ = {v ∈ H : 〈v, U〉 = 0} der Orthogonalraum zu U ist.
(b) Sei H ein Hilbert-Raum und sei α : H → K ein stetiges lineares Funktional. Dann
existiert ein eindeutig bestimmter Vektor w ∈ H mit
α(v) = 〈v, w〉
für jeden Vektor v ∈ H.
Beweis: (a) Wie in der Linearen Algebra sieht man U ∩ U ⊥ = 0. Da U ein
abgeschlossener Unterraum ist, ist U selbst wieder ein Hilbert-Raum. Sei (e i ) eine
ONB von U und setze für v ∈ H:
∑
P(v) = 〈v, e i 〉 e i .
i∈I
Dann ist P : H → U eine lineare Abbildung mit P(v) = v falls v ∈ U, also P 2 = P, d.h., P
ist eine Projektion. Der Kern von P ist U ⊥ . Sei v ∈ H, dann ist v − P(v) ∈ Ker P = U ⊥ ,
also folgt H = U ⊕ U ⊥ .

FUNKTIONALANALYSIS 35
(b) Sei α : H → K ein stetiges lineares Funktional. Ist α = 0, so wähle w = 0. Ist α 0,
dann ist U = Ker(α) ein abgeschlossener Unterraum von V. Daher ist H = U ⊕ U ⊥ und
da U H, ist U ⊥ 0. Sei also w 0 ∈ U ⊥ mit ||w 0 || = 1. Dann ist α(w 0 ) = c 0. Setze
w = cw 0 . Dann ist
α(w 0 ) = c = 〈w 0 , w〉 .
Da α einen Isomorphismus U ⊥ → K induziert, ist U ⊥ = Kw 0 , also insbesondere ist
jedes v ∈ H von der Form v = λw 0 + u mit u ∈ U. Daher ist
α(v) = α(λw 0 + u) = λc = α 〈w 0 , w〉 = 〈v, w〉 .
Dies zeigt die Existenz. Für die Eindeutigkeit nimm an, es gebe einen weiteren Vektor
w ′ mit α(v) = 〈v, w ′ 〉. Dann gilt für jedes v ∈ H, dass 0 = 〈v, w − w ′ 〉. Insbesondere für
v = w − w ′ folgt w − w ′ = 0.
□
2.4 Vervollständigung
Seien X, Y metrische Räume. Eine Isometrie von X nach Y ist eine Abbildung
f : X → Y mit
d( f (x), f (x ′ )) = d(x, x ′ )
für je zwei Elemente x, x ′ ∈ X. Eine Isometrie ist stetig und injektiv. Ist eine Isometrie
surjektiv, so ist ihre Umkehrabbildung ebenfalls eine Isometrie. Eine bijektive
Isometrie heisst isometrischer Isomorphismus.
Ein metrischer Raum X heisst vollständig, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert.
Satz 2.4.1 (Vervollständigung) Sei X ein metrischer Raum. Dann existiert eine
Isometrie ϕ: X → ˆX in einen vollständigen metrischen Raum ˆX, so dass das Bild ϕ(X)
dicht in ˆX liegt. Das Paar ( ˆX, ϕ) nennt man eine Vervollständigung von X.
Die Vervollständigung ist eindeutig bestimmt in folgendem Sinne: Ist ψ : X → Y eine
weitere Isometrie auf einen dichten Teilraum eines vollständige Raumes Y, dann existiert
genau ein isometrischer Isomorphismus α : ˆX → Y so dass ψ = α ◦ ϕ, d.h., das Diagramm
X ϕ
ψ
ˆX
α
Y

FUNKTIONALANALYSIS 36
kommutiert.
Beweis: Sei (X, d) ein metrischer Raum. Wir konstruieren ˆX. Sei CF(X) die Menge aller
Cauchy-Folgen in X. Wir haben eine natürliche Abbildung ˜ϕ: X → CF(X), die jedes
x ∈ X auf die konstante Folge x n = x wirft.
Auf CF(X) betrachten wir folgende Äquivalenzrelation: Zwei Cauchy-Folgen (x n ) und
(y n ) heissen äquivalent, (x n ) ∼ (y n ), falls die Folge d(x n , y n ) gegen Null geht. Ist (x n )
eine Cauchy-Folge und ist (y n ) eine Teilfolge, so folgt (x n ) ∼ (y n ). Sei
ˆX def
= CF(X)/ ∼ .
Die Abbildung ϕ ist gegeben durch ˜ϕ gefolgt von der Projektion CF(X) → CF(X)/ ∼.
Die Metrik auf ˆX ist gegeben durch d([x n ], [y n ]) = lim n d(x n , y n ), wobei zu zeigen ist,
dass dieser Limes existiert und nicht von der Wahl der Vertreter abhängt. Dies und
den Rest des Beweises überlassen wir dem Leser zur Übung.
□
Satz 2.4.2 Ist (V, ||·||) ein normierter Raum, so kann man die Norm auf die
Vervollständigung ˆV fortsetzen. Dasselbe gilt für die Vektorraumstruktur, so dass ˆV
wieder ein normierter Raum ist und ϕ : V → ˆV ist eine lineare Isometrie.
Beweis: Man definiert ||v|| = d(0, v) für v ∈ ˆV. Es folgt ||v|| = lim j
∣ ∣∣
∣ ∣∣vj
∣ ∣∣
∣ ∣∣ für jede Folge (vj )
in V, die gegen v konvergiert. Aus dieser Tatsache schliesst man leicht die
Normeigenschaft. Die Vektorraumstruktur definiert man durch
v + w = lim
j
(v j + w j ),
wobei v j → v und w j → w Folgen in V sind. Wir zeigen hier beispielhaft die
Wohldefiniertheit. Es ist zu zeigen, dass die Folge (v j + w j ) konvergiert und dass der
Grenzwert nicht von der Wahl der Folgen abhängt. Für j, k ∈ N ist
∣ ∣ ∣ ∣(vj + w j ) − (v k + w k ) ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ ≤
∣ ∣∣
∣ ∣∣vj
− v k
∣ ∣∣
∣ ∣∣ +
∣ ∣∣
∣ ∣∣wj
− w k
∣ ∣∣
∣ ∣∣ ,
also ist (v j + w j ) eine Cauchy-Folge, damit konvergent. Sind ṽ j und ˜w j weitere

FUNKTIONALANALYSIS 37
Cauchy-Folgen, die gegen v und w in ˆV konvergieren, dann ist (v j + w j ) − (ṽ j + ˜w j ) eine
Nullfolge, also ist der Grenzwert wohldefiniert. Der Rest geht ähnlich.
□
2.5 Äquivalenz der Normen im endlich-dimensionalen
Satz 2.5.1 Seien ||·|| a und ||·|| b zwei Normen auf demselben K-Vektorraum V. Dann sind
äquivalent:
(a) Die beiden Normen definieren dieselbe Topologie auf V.
(b) Eine Folge konvergiert genau dann in ||·|| a , wenn sie in ||·|| b konvergiert. In diesem Fall
sind die Limiten gleich.
(c) Es gibt Zahlen C, c > 0 so dass gilt:
c ||·|| a ≤ ||·|| b ≤ C ||·|| a
Beweis: (a)⇒(b): Sei v j in ||·|| a gegen v konvergent. Das bedeutet, dass für jede
||·|| a -Umgebung U von v ein j 0 existiert mit
j ≥ j 0 ⇒ v j ∈ U.
Da jede ||·|| b -Umgebung auch eine ||·|| a -Umgebung ist, folgt, dass v j auch in der
||·|| b -Norm gegen v konvergiert.
(b)⇒(c): Wir zeigen die Existenz von c, die von C folgt dann analog. Angenommen, es
gäbe solches c nicht. Dann existiert zu jedem j ∈ N ein v j ∈ V mit
1
∣ ∣ ∣
∣vj
∣∣ ∣∣a
> ∣ ∣ ∣∣vj
∣ ∣∣ ∣∣b
.
j
Da dieselbe Abschätzung für tv j mit t > 0 gilt, können wir v j so skalieren, dass
∣ ∣ ∣
∣vj
∣∣ ∣∣a
= 1 gilt. Dann ist ∣ ∣ ∣∣vj
∣ ∣∣ ∣∣b
< 1, also geht v j j in der b-Norm gegen Null, also auch in
der a-Norm, was aber der Normierung ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣vj
∣ ∣∣
∣ ∣∣a
= 1 widerspricht!
(c)⇒(a): Die Abschätzung c ||·|| a ≤ ||·|| b hat zur Folge, dass jeder a-Ball um v ∈ V vom
Radius r > 0 schon einen b-Ball vom Radius cr und gleichen Mittelpunkt enthält, also,

FUNKTIONALANALYSIS 38
dass gilt
B b cr(v) ⊂ B a r(v).
Sei U eine in der a-Norm offene Menge. Wir zeigen, dass sie auch in der b-Norm offen
ist. Die Umkehrung geht analog. Sei also v ∈ U. Da U offen ist bzgl ||·|| a , so gibt es ein
r > 0 mit B a r(v) ⊂ U. Daher ist dann B b cr(v) ⊂ U, also ist U auch b-offen.
□
Definition 2.5.2 Wir nennen zwei Normen auf V äquivalent, wenn sie den
Bedingungen dieses Satzes genügen. In der Tat definiert dies eine Äquivalenzrelation,
wie man aus Punkt (a) des Satzes sieht.
Beispiel 2.5.3 Auf dem Raum C c (R) definieren wir zwei Normen, die L 1 -Norm
und die Supremumsnorm
∣ ∣ ∣ ∣∣ ∫
∣∣1
f = | f (x)| dx
R
∣ ∣ ∣ ∣∣ ∣∣R f = sup | f (x)|.
x∈R
Diese beiden Normen sind nicht äquivalent, man bastelt leicht eine Folge f j so dass
∣ ∣ ∣ ∣∣ ∣∣1 fj = 1 aber ∣ ∣ ∣∣
∣ ∣∣ ∣∣R fj → 0 oder auch eine Folge, die das Umgekehrte tut.
Satz 2.5.4 Ist der K-Vektorraum endlich-dimensional, so sind alle Normen äquivalent.
Beweis: Jeder endlich-dimensionale K-Vektorraum ist isomorph zu K n , wobei n die
Dimension ist. Es reicht also, die Behauptung für V = K n zu zeigen. Sei ||·|| eine
beliebige Norm auf K n . Wir zeigen dass sie äquivalent ist zur euklidischen Norm.
Seien e 1 , . . . , e n die Standard-Basisvektoren von K n . Es folgt
∣ n∑ ∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣
||v|| =
v j e j ≤
∣
j=1
m∑
|v j | ∣ ) )
∣ ∣∣ej
∣ ∣∣ ∣∣
∣ ∣∣ ∣∣ej
∣ ∣∣ ∣∣ ≤ n
(max |v j | max ≤ nM ||v|| eukl .
j j
}{{} }{{}
j=1
Das ist ja schon die halbe Miete.
Aus der Dreiecksungleichung von ||·|| folgt
=||v|| max
(
=M
∣
∣||x|| − ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣y
∣ ∣∣
∣ ∣∣
∣ ∣∣ ≤
∣ ∣∣
∣ ∣∣x − y
∣ ∣∣
∣ ∣∣ ≤ nM
∣ ∣∣
∣ ∣∣x − y
∣ ∣∣
∣ ∣∣eukl
,

FUNKTIONALANALYSIS 39
das heisst, die Abbildung ||·|| : K n → R ist bezüglich der euklidischen Norm stetig.
Also ist das Bild der Menge S = {v ∈ K n : ||v|| eukl = 1} kompakt. Da 0 S, folgt, dass
dieses Bild in (0, ∞) liegt. Sei c > 0 das Minimum von Bild(S). dann gilt
Für v 0 ist w =
v
||v|| eukl
||w|| eukl = 1 ⇒ ||w|| ≥ c.
∈ S, also folgt
∣ v ∣∣∣ ∣∣∣
∣ ||v|| eukl
≥ c, oder
||v|| ≥ c ||v|| eukl
und die Behauptung ist bewiesen.
□
2.6 Nichtstetige lineare Abbildungen
Nichtstetige lineare Abbildungen sind für diese Vorlesung nicht von Interesse. Der
Vollständigkeit halber wollen wir aber die Frage ihrer Existenz klären. Ja, es gibt sie,
und zwar viele davon. Um dies zu beweisen betrachtet man Hamel-Basen.
Definition 2.6.1 Eine Teilmenge B ⊂ V eines K-Vektorraums V heisst Hamel-Basis,
wenn jeder Vektor v ∈ V sich in eindeutiger weise als Linearkombination von
Vektoren aus B schreiben lässt.
Eine Teilmenge B ist also genau dann eine Hamel-Basis, wenn es zu jedem Vektor
v ∈ V eindeutig bestimmte Koeffizienten c b ∈ K für b ∈ B gibt, so dass fast alle c b gleich
Null sind und v = ∑ b∈B c b b gilt.
Definition 2.6.2 Eine Teilmenge L ⊂ V eines Vektorraums heisst linear unabhängig,
wenn für jede endliche Teilmenge E ⊂ L und jede Wahl von Koeffizienten λ v ∈ K,
v ∈ E gilt
∑
λ v v = 0 ⇒ λ v = 0 ∀ v∈E .
v∈E
Eine Teilmenge E ⊂ V heisst Erzeugendensystem, wenn jeder Vektor von V sich als
Linearkombination von Elementen aus E schreiben lässt.

FUNKTIONALANALYSIS 40
Satz 2.6.3 (a) Jeder Vektorraum hat eine Hamel-Basis.
(b) Eine maximale linear unabhängige Teilmenge ist eine Hamel-Basis.
(c) Ein minimales Erzeugendensystem ist eine Hamel-Basis.
(d) Jede linear unabhängige Teilmenge von V lässt sich zu einer Hamel-Basis vergrössern.
(e) Jedes Erzeugendensystem enthält eine Hamel-Basis.
Beweis: Das ist im Wesentlichen Lineare Algebra. Um zu zeigen dass es eine
Hamel-Basis, oder eine maximale linear unabhängige Teilmenge gibt, benutzt man
das Lemma von Zorn.
□
Nun zeigen wir, dass es viele nichtstetige lineare Abbildungen von einem
unendlich-dimensionalen Hilbert-Raum H nach K gibt. Sei hierzu (e j ) j∈J eine
Orthonormalbasis. Schreibe E = {e j : j ∈ J}. Diese ist dann zwar linear unabhängig,
aber keine Hamel-Basis, denn sei F = { f 1 , f 2 , . . . } ⊂ E eine abzählbare Teilmenge, wobei
wir f i f j für i j annehmen. Nach Satz 2.3.10 ist die Reihe v = ∑ ∞
j=1 1 j f j konvergent in
H, aber nicht als endliche Summe von Elementen von E darstellbar. Wir vergrössern E
zu einer Hamel-Basis B ⊃ E, B E. Wir können ein lineares Funktional φ : H → K
definieren, indem wir φ auf der Hamel-Basis vorgeben. Wir setzen also φ(e) = 0 für
jedes e ∈ E und φ(b) für b ∈ B E beliebig, nicht alle Null. Dann ist φ ein lineares
Funktional, das nicht stetig ist, denn jedes stetige lineare Funktional, dass die e j auf
Null wirft, ist schon Null.

FUNKTIONALANALYSIS 41
3 Grundprinzipien der Funktionalanalysis
3.1 Fortsetzung von linearen Funktionalen
In diesem Abschnitt geht es um folgendes Prinzip: Ein stetiges lineares Funktional
kann von einem beliebigen Teilraum auf den ganzen Raum stetig und linear
fortgesetzt werden.
Satz 3.1.1 Ist V ein Banach-Raum und ist die Menge
¯B = ¯B 1 (0) = {v ∈ V : ||v|| ≤ 1}
kompakt, dann ist V endlich-dimensional.
Beweis: Sei (V, ||.||) ein normierter Raum. Für eine Teilmenge U ⊂ V und v ∈ V definiere
d(v, U) = inf ||v − u|| .
u∈U
Lemma 3.1.2 Ist U V ein abgeschlossener linearer Unterraum, dann existiert ein v ∈ V, so
dass ||v|| = 1 und d(v, U) ≥ 1 2 .
Beweis: Zu w ∈ V U wähle ein u 0 ∈ U, so dass ||w − u 0 || ≤ 2d(w, U). Setze v = w−u 0
||w−u 0 || .
Dann gilt ||v|| = 1 und
( ) ( )
w − u0
d(v, U) = d
||w − u 0 || , U w
= d
||w − u 0 || , U =
1
||w − u 0 || d(w, U) ≥ 1 2 .
□
Zum Beweis des Satzes: Ist V unendlich-dimensional, so gibt es eine Folge von
Unterräumen V 1 ⊂ V 2 ⊂ . . . mit dim V n = n. Nach dem Lemma gibt es v n ∈ V n V n−1
mit v n ∈ ¯B und ||v n − u|| ≥ 1 2 für jedes u ∈ V n−1. Insbesondere folgt ||v n − v m || ≥ 1 2 falls
n m. Also enthält die Folge v n ∈ ¯B keine konvergente Teilfolge, also ist ¯B nicht
kompakt.
□

FUNKTIONALANALYSIS 42
Satz 3.1.3 (Hahn-Banach) Sei U ein Unterraum eines reellen Vektorraums V und sei
p : V → [0, ∞) eine Abbildung mit
p(v + w) ≤ p(v) + p(w) und p(λv) = λp(v)
für alle v, w ∈ V, λ ≥ 0. Sei α : U → R linear mit α(u) ≤ p(u) für jedes u ∈ U. Dann
existiert eine lineare Abbildung ˜α : V → R mit
• ˜α(u) = α(u),
u ∈ U und
• −p(−v) ≤ ˜α(v) ≤ p(v), v ∈ V.
Insbesondere folgt: Jedes stetige lineare Funktional auf einem Unterraum eines normierten
Raums kann stetig auf den ganzen Raum fortgesetzt werden.
Beweis: Nimm an U V. Sei v 1 ∈ V U und setze
W = U ⊕ Rv 1 .
Dann ist W ein Untervektorraum von V. Seien u, u ′ ∈ U. Wegen
α(u) + α(u ′ ) = α(u + u ′ ) ≤ p(u + u ′ ) ≤ p(u − v 1 ) + p(v 1 + u ′ )
folgt
α(u) − p(u − v 1 ) ≤ p(u ′ + v 1 ) − α(u ′ ).
Sei M das Supremum über die linke Seite, wobei u in U läuft. Es folgt also
α(u) − p(u − v 1 ) ≤ M ≤ p(u ′ + v 1 ) − α(u ′ )
für alle u, u ′ ∈ U. Setze
˜α(u + tv 1 ) = α(u) + tM.
Dann ist ˜α linear auf W, es setzt α fort und für t > 0 gilt mit y = u/t,
˜α(u + tv 1 ) = α(u) + tM ≤ α(u) + tp(y + v 1 ) − tα(y) = p(u + tv 1 ).

FUNKTIONALANALYSIS 43
und ebenso
˜α(u − tv 1 ) = α(u) − tM ≤ α(u) − t(α(y) − p(y − v 1 )) = tp(y − v 1 ) = p(u − tv 1 ).
Zusammen folgt ˜α(w) ≤ p(w) für alle w ∈ W. Indem man w durch −w ersetzt, folgt
auch −p(w) ≤ α(w), also ist ˜α die gewünschte Fortsetzung nach W. Wir haben damit
gezeigt, dass im Fall U V das Funktional α stets eine Fortsetzung auf einen
Unterraum W U besitzt. Nach dem Lemma von Zorn existiert ein maximaler
Unterraum Ũ ⊂ V, auf den sich α mit −p(−u) ≤ α(u) ≤ p(u) fortsetzen lässt. Ist Ũ V,
so lässt sich aber α noch weiter fortsetzen, was der Maximalität widerspricht! Es folgt
Ũ = V und die Hauptaussage des Satzes ist bewiesen.
Für die Zusatzaussage sei (V, ||.||) ein normierter Raum, U ⊂ V ein Unterraum und
α : U → K ein stetiges lineares Funktional. Dann existiert nach Satz 2.2.2 ein C > 0 so
dass |α(u)| ≤ C ||u|| für jedes u ∈ U. Setze p(v) = C ||v|| und für K = R folgt die Aussage
aus dem ersten Teil des Satzes. Nun sei K = C. Das R-lineare Funktional Re(α) besitzt
eine R-lineare Fortsetzung ˜α R nach V mit | ˜α R (v)| ≤ p(v). Sei ˜α das komplex-lineare
Funktional mit Re( ˜α) = ˜α R . Ist v ∈ V, so existiert ein θ ∈ R, so dass e iθ ˜α(v) = ˜α(e iθ v) ∈ R
gilt. Es folgt
| ˜α(v)| = |e iθ ˜α(v)| = | ˜α R (e iθ v)| ≤ p(e iθ v) = p(v). □
Definition 3.1.4 Sei V ein normierter Vektorraum. Wir bezeichnen mit V ′ die Menge
aller stetigen linearen Funktionale V → K. Wir nennen V ′ den stetigen Dualraum. Er
ist in der Regel ein echter Teilraum des algebraischen Dualraums V ∗ .
Lemma 3.1.5 Ein lineares Funktional α 0 auf einem normierten Raum ist eine offene
Abbildung.
Es braucht in der Tat noch nicht einmal stetig zu sein.
Beweis: Sei 0 α : V → K eine lineare Abbildung und sei U ⊂ V eine offene
Teilmenge. Wir wollen zeigen, dass das Bild α(U) offen ist. Sei also z ∈ α(U), also etwa
z = α(u). Sei v ∈ V mit α(v) 0. Dann ist die Menge M = {λ ∈ K : λv + u ∈ U} offen in
K. Das Bild von α enthält die Menge aller α(λv + u) = λα(v) + z, wobei λ ∈ M ist. Dies
ist gerade das Bild von M unter der affinen Abbildung m ↦→ α(v)m + α(u), also offen.
Damit enthält das Bild von α eine offene Umgebung des Punktes z. Da z beliebig war,
ist das Bild offen.
□

FUNKTIONALANALYSIS 44
Erinnerung: eine Teilmenge A ⊂ V eines reellen Vektorraums V heisst konvex, falls A
mit zwei Punkten auch deren Verbindungsstrecke enthält, also wenn für alle v, w ∈ V
und t ∈ [0, 1] gilt
v, w ∈ A ⇒ (1 − t)v + tw ∈ A.
Satz 3.1.6 Konvexe Teilmengen lassen sich durch stetige lineare Funktionale trennen.
Genauer seien A, B nichtleere, konvexe Teilmengen eines normierten Raumes V mit
A ∩ B = ∅.
(a) Ist A offen, dann existiert ein α ∈ V ′ und ein T ∈ R mit
Re(α(a)) < T ≤ Re(α(b))
für alle a ∈ A, b ∈ B.
(b) Ist A kompakt und B abgeschlossen, so existieren α ∈ V ′ und S, T ∈ R mit
Re(α(a)) < S < T < Re(α(b))
für alle a ∈ A, b ∈ B.
Beweis: Nach Lemma 2.1.1 reicht es, K = R anzunehmen. Sei also V ein reeller
normierter Raum. Wähle Fußpunkte a 0 ∈ A und b 0 ∈ B und setze v 0 = b 0 − a 0 . Sei
U = A − B + v 0 = { a − b + v 0 : a ∈ A, b ∈ B }
⋃
= A − b + v 0 .
}{{}
b∈B
offen
Dann ist U eine konvexe offene Nullumgebung in V. Sei
p(v)
def
= inf {
t > 0 : 1 t v ∈ U }
.

FUNKTIONALANALYSIS 45
Es folgt p(λv) = λp(v) für λ > 0. Die Funktion p nimmt endliche Werte an und da U
konvex ist, erfüllt p die Dreiecksungleichung, also es gilt
p(v + w) ≤ p(v) + p(w)
für alle v, w ∈ V. Da v 0 U, folgt p(v 0 ) ≥ 1. Auf dem eindimensionalen Raum Rv 0
definiere ein Funktional α(tv 0 ) = t. Nach Satz 3.1.3 setzt α zu einem Funktional auf V
fort mit −p(−v) ≤ α(v) ≤ p(v). Wir zeigen, dass α stetig ist. Da U offen ist und die Null
enthält, existiert ein r > 0 mit B r (0) ⊂ U. Das bedeutet: ||v|| < r ⇒ v ∈ U ⇒ p(v) < 1.
Ersetzt man v durch rv, so heisst das ||v|| < 1 ⇒ p(v) < 1 und im Grenzwert
r
||v|| ≤ 1 ⇒ p(v) ≤ 1 also insbesondere ||v|| = 1 ⇒ p(v) ≤ 1. Damit
r r
sup
||v||=1
|α(v)| ≤ sup p(v) ≤ 1
||v||=1 r .
Also ist α beschränkt, ergo stetig. Sind nun a ∈ A und b ∈ B, so folgt
α(a) − α(b) + 1 = α(a − b + v 0 ) ≤ p(a − b + v 0 ) < 1,
also α(a) < α(b) Die Bilder α(A) und α(B) sind konvexe Teilmengen von R, also
Intervalle. Da A offen ist, ist α(A) nach Lemma 3.1.5 ein offenes Intervall, damit folgt
(a).
(b) Beh.:Es gibt eine konvexe offene Nullumgebung U, so dass (A + U) ∩ B = ∅ gilt.
Beweis: Angenommen nicht. Sei B n der offene Ball B 1/n (0). Es gilt dann
(A + B n ) ∩ B ∅, also gibt es x n ∈ A + B n , etwa x n = a n + b n mit a n ∈ A und ||b n || < 1/n.
Da A kompakt ist, hat die Folge (a n ) eine konvergente Teilfolge, wir ersetzen sie durch
diese und nehmen an, dass (a n ) gegen ein a 0 in A konvergiert. Da b n → 0, folgt x n → a.
Nun ist aber x n ∈ B und B ist abgeschlossen, also a 0 ∈ A ∩ B, diese Menge war aber als
leer angenommen worden. Widerspruch!
Die Mengen A + U und B können nach Teil (a) durch ein stetiges Funktional α getrennt
werden, dann ist α(A + U) ein offenes Intervall disjunkt zum Intervall α(B). Ferner ist
α(A) ein kompaktes Intervall, das im offenen Intervall α(A + U) enthalten ist. □

FUNKTIONALANALYSIS 46
3.2 Von der offenen Abbildung und vom abgeschlossenen Graphen
Satz 3.2.1 (Satz von der offenen Abbildung) Sei T : V → W eine stetige lineare
Abbildung zwischen Banach-Räumen. T sei surjektiv. Dann ist T eine offene Abbildung.
Insbesondere gilt: Ist T bijektiv und stetig, so ist die Umkehrabbildung T −1 ebenfalls stetig.
Beweis: Sei B ⊂ V offen. Es ist zu zeigen, dass T(B) offen ist. Da T linear ist, reicht es zu
zeigen, dass für jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass T(B ε (0)) die Kugel B δ (0) enthält.
1. Schritt. T(B ε (0)) enthält eine Kugel B δ (0).
Sei B = B ε/2 (0). Aus V = ⋃ n nB folgt W = T(V) = ⋃ n nT(B) = ⋃ n nT(B). Da der
Banach-Raum W ein Baire-Raum ist, gibt es m ∈ N, w ∈ W und α > 0 mit
mT(B) ⊃ B α (w).
Aus B ε (0) ⊃ B − B folgt T(B ε (0)) ⊃ T(B) − T(B), also
T(B ε (0)) ⊃ T(B) − T(B) ⊃ T(B) − T(B)
⊃ 1 m B α(w) − 1 m B α(w)
= B α/m (w/m) − B α/m (w/m) ⊃ B α/m (0).
2. Schritt. T(B ε (0)) enthält eine Kugel B δ (0).
Wähle Zahlen r n > 0 mit ∑ ∞
n=0 r n < ε 2 . Sei V α = B α (0) und W α = B α (0) in W. Nach dem 1.
Schritt gibt es δ n > 0 mit W δn ⊂ T(V rn ). Wir können annehmen, dass δ n eine Nullfolge
ist. Sei w ∈ W δ0 , also w ∈ T(V r0 ). Zu dem gegebenen δ 1 existiert dann ein v 0 ∈ V r0 mit
||w − T(v 0 )|| < δ 1 , das heisst, w − T(v 0 ) ∈ W δ1 ⊂ T(V r1 ). Dann existiert ein v 1 ∈ V r1 mit
||w − T(v 0 ) − T(v 1 )|| < δ 2 . Durch Iteration erhalten wir eine Folge v n ∈ V rn mit
||w − T(v 0 ) − · · · − T(v n )|| < δ n+1 .
Also konvergiert die Reihe ∑ ∞
j=0 T(v j ) gegen w. Wegen
∞∑
∣ ∣ ∣
∣vj
∣∣ ∞∑ ∣∣ ≤ r j < ε 2 ,
j=0
j=0

FUNKTIONALANALYSIS 47
konvergiert auch die Reihe v = ∑ ∞
j=0 v j und es gilt ||v|| < ε, also v ∈ V ε
2 2
. Es folgt T(v) = w
und somit W δ0 ⊂ T(B ε
2
(0)).
□
Sei T : V → W eine Abbildung, so ist der Graph von T die Menge
G(T) = {(v, T(v)) : v ∈ V} ⊂ V × W.
Satz 3.2.2 (Satz vom abgeschlossenen Graphen) Sei T : V → W eine lineare
Abbildung zwischen Banach-Räumen.
Der Graph G(T) ist genau dann abgeschlossen im Produkt V × W, wenn T stetig ist.
Beweis: Sei T stetig und sei (v j , T(v j )) eine Folge im Graphen, die in V × W gegen (v, w)
konvergiert. Das bedeutet v j → v und T(v j ) → w. Da T stetig ist, konvergiert T(v j )
gegen T(v), also folgt w = T(v), somit liegt (v, w) im Graphen, dieser ist also
abgeschlossen.
Sei umgekehrt der Graph abgeschlossen. Die Abgeschlossenheit des Graphen
bedeutet, dass für jede konvergente Folge v j → v in V gilt: konvergiert T(v j ) gegen
w ∈ W, so gilt T(v) = w. Der Graph ist als abgeschlossener linearer Unterraum des
Produktes selbst ein Banach-Raum. Die Abbildung P : G(T) → V, gegeben durch
P(v, T(v)) = v ist stetig, surjektiv und injektiv, also auch offen. Damit ist die
Umkehrabbildung v ↦→ (v, T(v)) stetig, also auch deren Komposition mit der zweiten
Projektion v ↦→ T(v).
□
Beispiel 3.2.3 Wir geben eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen Räumen,
die einen abgeschlossenen Graphen hat, aber nicht stetig ist. Sei X = { 1 : n ∈ N} ∪ {0}
n
mit der Metrik von R. Sei Y = R und f ( 1 ) = n, sowie f (0) = 0.
n
3.3 Prinzip der gleichmässigen Beschränktheit
Satz 3.3.1 (Banach-Steinhaus) V sei ein Banach-Raum und W ein normierter Raum.
(T i ) i∈I sei eine Familie stetiger linearer Abbildungen V → W. Die Familie sei punktweise

FUNKTIONALANALYSIS 48
beschränkt, d.h. zu jedem v ∈ V existiert ein c v > 0 so dass
||T i (v)|| ≤ c v ||v||
für jedes i ∈ I gilt.
Dann ist die Familie T i gleichmässig beschränkt, d.h. es gilt
sup ||T i || op < ∞.
i∈I
Beweis: Sei A n = {v ∈ V : ||T i (v)|| ≤ n ∀ i∈I }. Dann ist A n abgeschlossen und es gilt
V = ⋃ n A n . Also gibt es nach dem Satz von Baire ein n 0 ∈ N, ein v 0 ∈ V und ein ε > 0
mit
A n0 ⊃ ¯B ε (v 0 ).
Sei w ∈ V mit ||w|| = 1. Dann ist v = v 0 + εw ∈ ¯B ε (v 0 ) ⊂ A n0 , also folgt
( )∣
||T i (w)|| =
v − ∣ T v0 ∣∣∣∣
∣ ∣∣∣∣
i = 1 ε ε ||T i(v) − T i (v 0 )|| ≤ 1 ε (||T i(v)|| + ||T i (v 0 )||) ≤ 2n 0
ε ,
also ist ||T i || op ≤ 2n 0
ε .
□
Korollar 3.3.2 Punktweise Limiten stetiger linearer Operatoren sind stetig.
Genauer sei V ein Banach-Raum, W ein normierter Raum. Eine Folge T j stetiger linearer
Operatoren V → W, die punktweise konvergiert. Sei T(v) = lim j T j (v) für v ∈ V. Dann ist T
ein stetiger linearer Operator von V nach W.
Beweis: Die Linearität von T ist klar. Da die Folge T j punktweise konvergiert, ist sie
punktweise beschränkt. Damit sind die Operatornormen beschränkt nach dem Satz
von Banach-Steinhaus. Sei also etwa ∣ ∣ ∣∣Tj
∣ ∣∣ ∣∣op
≤ C für jedes j. Dann folgt für ||v|| = 1,
||T(v)|| = lim ||T n (v)|| ≤ C,
j
also ||T|| op ≤ C und T ist stetig.
□

FUNKTIONALANALYSIS 49
4 Schwache Topologie
4.1 Dualität bei Banach-Räumen
Seien V und W Banach-Räume. Auf dem Raum Hom(V, W) aller stetigen linearen
Operatoren T : V → W installieren wir die Operatornorm.
Lemma 4.1.1 Mit der Operatornorm ist Hom(V, W) wieder ein Banach-Raum.
Beweis: Wir müssen Vollständigkeit zeigen. Sei T j eine Cauchy-Folge in Hom(V, W).
Für v ∈ V ist
∣ ∣ ∣ ∣Tj (v) − T k (v) ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ =
∣ ∣∣
∣ ∣∣(Tj
− T k )(v) ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ ≤ ||v||
∣ ∣∣
∣ ∣∣Tj
− T k
∣ ∣∣
∣ ∣∣op
.
Damit ist T j (v) eine Cauchy-Folge in W, also konvergent. Sei T(v) der Limes. Dann ist
T wieder in Hom(V, W) nach Korollar 3.3.2. Wir müssen uns nur noch überzeugen,
dass die Folge (T j ) auch in der Norm gegen T konvergiert. Hierbei hilft uns die
Cauchy-Eigenschaft. Sei also ε > 0. Dann existiert ein j 0 so dass für alle j, k ≥ j 0 gilt
∣ ∣ ∣ ∣Tj − T k
∣ ∣∣
∣ ∣∣ ≤ ε.
Für jedes v ∈ V mit ||v|| = 1 gilt dann
∣ ∣ ∣ ∣Tj (v) − T k (v) ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ ≤ ε
und im Limes k → ∞ also
∣ ∣ ∣ ∣Tj (v) − T(v) ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ ≤ ε.
Da dies wie gesagt für jedes ||v|| = 1 gilt, folgt ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣Tj
− T ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣op
≤ ε und dies gilt für jedes
j ≥ j 0 , was die verlangte Konvergenz bedeutet.
□
Insbesondere ist also der stetige Dualraum V ′ wieder ein Banach-Raum.
Proposition 4.1.2 Sei V ein Banach-Raum. Die Abbildung δ : V → V ′′ gegeben durch
δ v (α) = α(v)
ist eine lineare Isometrie V ↩→ V ′′ .

FUNKTIONALANALYSIS 50
Beweis: Linearität ist klar. Isometrie zu sein heisst für δ, dass ||δ v || = ||v|| gilt. Wir zeigen
zunächst “≤”. Für v ∈ V ist
||δ v || = sup
||α||=1
|δ v (α)| = sup |α(v)| ≤ ||v|| .
}{{}
||α||=1
≤||α||||v||
Für die andere Abschätzung brauchen wir den Hahn-Banach Satz. Auf dem Raum Kv
betrachte das Funktional β(tv) = t ||v|| und setze es linear fort zu einem Funktional β
mit |β(w)| ≤ ||w||. Da |β(v)| = ||v||, gilt dann ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣β
∣ ∣∣
∣ ∣∣ = 1. Also folgt
||δ v || = sup |α(v)| ≥ |β(v)| = ||v|| .
||α||=1
□
Definition 4.1.3 Ein Banach-Raum V heisst reflexiv, falls die obige Abbildung
δ : V → V ′′ auch surjektiv ist.
Eine Paarung zwischen zwei Vektorräumen V und W ist eine bilineare Abbildung
b : V × W → K. Man kann eine Paarung 〈., .〉 auch beschreiben durch die induzierte
lineare Abbildung φ : V → W ∗ ; φ(v)(w) = 〈v, w〉 oder auch durch die entstehende
Abbildung W → V ∗ . Eine Paarung zwischen zwei Banach-Räumen heisst perfekte
Paarung, falls die entstehenden Abbildungen jeweils in die stetigen Duale abbilden
und isometrische Isomorphismen
induzieren.
V
−→
W ′ , W −→
V ′
Lemma 4.1.4 Ein Banach-Raum V ist genau dann reflexiv, wenn die natürliche Paarung auf
V × V ′ perfekt ist. Insbesondere ist V ′ dann auch reflexiv.
Eine perfekte Paarung ist stetig.
Beweis: Ist die Paarung perfekt, so ist V reflexiv. Ist umgekehrt V reflexiv, dann ist ja
V → V ′′ definitionsgemäss ein isometrischer Isomorphismus. Es bleibt zu zeigen, dass
auch die induzierte Abbildung V ′ → V ′ ein isometrischer Isomorphismus ist. Diese
Abbildung ist aber die Identität.
Sei 〈., .〉 : V × W → K eine perfekte Paarung. Wir wollen zeigen, dass sie als Abbildung
von V × W nach K stetig ist. Aus der Tatsache, dass V → W ′ isometrisch ist, folgt
| 〈v, w〉 | ≤ ||v|| ||w|| ∀ v∈E, w∈F .

FUNKTIONALANALYSIS 51
Sei also (v j , w j ) eine gegen (v, w) konvergente Folge in V × W, d.h. v j → v und w j → w.
Dann gilt
| 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉
v j , w j − 〈v, w〉 | ≤ | vj , w j − v, wj | + | v, wj − 〈v, w〉 |
= | 〈 〉 〈
v j − v, w n | + | v, wj − w 〉 |
≤ ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣vj
− v ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣
∣ ∣∣
∣ ∣∣wj
∣ ∣∣
∣ ∣∣ + ||v||
∣ ∣∣
∣ ∣∣wj
− w ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ → 0.
□
Beispiele 4.1.5
• Jeder endlich-dimensionale Banach-Raum ist reflexiv.
• Jeder Hilbert-Raum ist reflexiv.
Zum Beweis sei H ein Hilbert-Raum. Wir müssen zeigen, dass δ : H → H ′′
surjektiv ist. Nach dem Satz von Riesz ist jedes α ∈ H ′ von der Form α = α w für
ein w ∈ H, wobei α w (v) = 〈v, w〉 ist. Die Abbildung Φ : w ↦→ α w ist ein R-linearer
isometrischer Isomorphismus H −→
H ′ . Durch 〈α v , α w 〉 = 〈v, w〉 wird ein
Skalarprodukt auf H ′ installiert, so dass H ′ wieder ein Hilbert-Raum ist. Daher
gibt es auch für H ′ den kanonischen R-linearen Isomorphismus Φ ′ : H ′ → H ′′ .
Wir zeigen Φ ′ ◦ Φ = δ. Hierzu rechne für v, w ∈ H:
Φ ′ ◦ Φ(v)(α w ) = Φ ′ (α v )(α w )
= α αv (α w )
= 〈α w , α v 〉 = 〈v, w〉 = α w (v) = δ v (α w ). □
• Für 1 < p < ∞ sei l p der Banach-Raum aller komplexen Folgen z = (z 1 , z 2 , . . . ) mit
⎛
1
∞∑ p
||z|| p = |z ⎜⎝ j |
⎞⎟ p < ∞. ⎠
j=1
Seien 1 < p, q < ∞ mit 1 p + 1 q
= 1. Wir behaupten, dass die Paarung
〈., .〉 : l p × l q → C
∞∑
(z, w) ↦→ z j w j
perfekt ist. Die Konvergenz der Reihe folgt aus der Hoelder-Ungleichung, die
besagt
| 〈z, w〉 | ≤ ||z|| p ||w|| q .
j=1

FUNKTIONALANALYSIS 52
Für w ∈ l q sei α w : l p → C gegeben durch α w (z) = 〈z, w〉. Dann sagt die
Hoelder-Ungleichung ausserdem, dass α w ∈ (l p ) ′ und dass ||α w || op ≤ ||w|| q gilt. Wir
wollen nun zeigen, dass hier Gleichheit gilt. Sei dazu w ∈ l q mit ||w|| q = 1. Wir
müssen zeigen, dass α w die Operatornorm 1 hat. Definiere z = (z 1 , . . . ) durch
z j = θ j |w j | q p ,
wobei θ j ∈ C mit |θ j | = 1 so gewählt ist, dass w j z j ≥ 0 ist. Dann ist z ∈ l p und es
gilt
||z|| p p = 〈z, w〉 = ||w|| q q = 1.
Wir haben also ein z ∈ l p gefunden mit ||z|| p = 1 und α w (z) = 1, woraus ||α w || op = 1
folgt, so dass w ↦→ α w eine Isometrie ist. Wir müssen zeigen, dass diese Isometrie
surjektiv ist. Sei dazu α ∈ (l p ) ′ . Für n ∈ N sei e n = (0, . . . , 0, 1, 0 . . . ) mit der Eins
an der n-ten Stelle. Setze w n = α(e n ). Wir behaupten, dass die so entstehende
Folge w in l q liegt. Sei z n = (z 1 , . . . , z n , 0, . . . ) die bei n abgeschnittene Folge. Wir
wollen zeigen, dass ∑ ∞
j=1 |w j | q < ∞ ist. Betrachte hierzu
n∑
|w j | q =
n∑
|w j | q−1 |w j | =
n∑
|w j | q p |wj | =
n∑
z j w j = 〈z n , w〉 = |α(z n )| ≤ C ||z n || p ,
j=1
j=1
j=1
j=1
wobei z j = θ j |w j | q p
gewählt wird mit |θj | = 1 und C = ||α|| op ist. Nun ist wieder
〈z n , w〉 = 〈z n , w n 〉 = ||z n || p p = ||w n || q q und daher
C ≥ ||wn || q q
||z n || p
= ||wn || q q
||w n ||
q
p
q
= ||w n || q− q p
q = ||w n || q .
Die Folge ||w n || p ist monoton wachsend, also konvergent und daher ||w|| q < ∞.
Schliesslich gilt für beliebiges z ∈ l p ,
〈z, w〉 =
∞∑
z j w j = lim
n
n∑
z j w j = lim
n
α(z n ) = α(z).
j=1
j=1
Aus Symmetriegründen folgt dasselbe für vertauschte p und q. Insbesondere ist
l p reflexiv.
• Wir liefern nun ein Beispiel eines nicht reflexiven Raums. Sei l ∞ der

FUNKTIONALANALYSIS 53
Banach-Raum aller beschränkten Folgen z = (z 1 , z 2 , . . . ) in C mit der Norm
||z|| ∞ = sup |z j |.
j∈N
Ferner sei l 1 der Banach-Raum der Folgen mit ||z|| 1 = ∑ ∞
j=1 |z j | < ∞. Wir zeigen
zunächst, dass (l 1 ) ′ = l ∞ gilt via der Paarung
〈., .〉 : l 1 × l ∞ → C
∞∑
(z, w) ↦→ z j w j .
Die Isometrie ist klar. Für die Surjektivität sei α ∈ (l 1 ) ′ . Setze w n = α(e n ). Da α
beschränkt ist, liegt w ∈ l ∞ und es gilt α(z) = 〈z, w〉. Wäre nun der Raum l 1
reflexiv, so müsste die Paarung perfekt sein. ist sie aber nicht, denn die
entstehende Abbildung l 1 → (l ∞ ) ′ ist nicht surjektiv. Sei hierzu U ⊂ l ∞ der
abgeschlossene Unterraum der konvergenten Folgen. Sei α : U → C gegeben
durch
j=1
α(z) = lim
j→∞
z j .
Dann ist α ein stetigen lineares Funktional, also gibt es nach Hahn-Banach eine
stetige lineare Fortsetzung, die wir auch als α schreiben. Nun kann aber dieses α
nicht von l 1 kommen.
4.2 Schwache Topologien
Definition 4.2.1 Die schwache Topologie auf einem Banach-Raum V ist definiert als
die Initialtopologie aller α ∈ V ′ .
Es handelt sich also um die Topologie, die erzeugt wird von allen Mengen der Form
α −1 (U),
wobei α ∈ V ′ und U ⊂ K offen ist. da all diese Mengen in der Normtopologie offen
sind, ist die schwache Topologie gröber als die Normtopologie, hat also a priori
weniger offene Mengen.
Beispiele 4.2.2
• Ist V endlich-dimensional, dann ist die schwache Topologie

FUNKTIONALANALYSIS 54
gleich der Normtopologie. Hierzu reicht es, V = C n anzunehmen. Die
Koordinatenabbildungen v ↦→ v j für j = 1, . . . , n sind stetige lineare Funktionale,
also sind alle Mengen der Gestalt U 1 × · · · × U n schwach offen, wenn
U 1 , . . . , U n ⊂ C offene Mengen sind. Diese Mengen erzeugen allerdings die
Topologie von C n , die auch die Normtopologie ist.
• Wir werden später sehen, dass die schwache Topologie bei jedem
unendlich-dimensionalen reflexiven Banach-Raum echt verschieden ist von der
Normtopologie. Hier schon mal ein Beispiel. Sei V = l 2 (N) und sei
e n = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ) ∈ V mit der 1 an der n-ten Stelle. Dann gilt ||e n || = 1 für jedes
n ∈ N, aber wir zeigen, dass die Folge (e n ) schwach gegen 0 geht. Damit ist die
schwache Topologie echt verschieden von der Normtopologie. Um zu zeigen,
dass e n → 0 gilt, müssen wir zeigen, dass α(e n ) → 0 gilt für jedes α ∈ V ′ . Sei also
α ∈ V ′ . Dann gibt es nach dem Satz von Riesz genau ein w ∈ V mit α(v) = 〈v, w〉
für jedes v ∈ V. Insbesondere also α(e n ) = w n . Nun gilt aber ∑ ∞
j=1 |w j | 2 = ||w|| 2 < ∞,
also geht die Folge w j gegen Null, also geht α(e n ) gegen Null.
Erinnerung: Eine Abbildung f : X → V von einem topologischen Raum X nach V ist
genau dann stetig bezüglich der schwachen Topologie, wenn α ◦ f : X → K für jedes
α ∈ V ′ stetig ist.
Jede schwach offene Menge ist auch offen in der Norm-Topologie, aber nicht
umgekehrt, die Norm-Topologie hat also mehr offene Mengen.
Ist A ⊂ V, so bezeichnet wie bisher A den Abschluss in der Norm-Topologie. Den
Abschluss in der schwachen Topologie bezeichnen wir mit A w . Da die schwache
Topologie weniger offene Mengen hat als die Norm-Topologie, hat sie auch weniger
abgeschlossenen Mengen, also gilt immer
A w ⊃ A.
Satz 4.2.3 Sei K ⊂ V eine konvexe Teilmenge des Banach-Raums V. Dann ist der
schwache Abschluss gleich dem Norm-Abschluss, also
K w = K.

FUNKTIONALANALYSIS 55
Beweis: Die Inklusion K ⊂ K w gilt sowieso. Für die umgekehrte Inklusion sei
v ∈ V K, wir zeigen v K w . Nach Satz 3.1.6 gibt es ein α ∈ V ′ und S, T ∈ R mit
Re(α(v)) < S < T < Re(α(w))
für jedes w ∈ K. Daher ist die Menge {u ∈ V : Re(α(u)) < S eine schwache Umgebung
von v, die K nicht trifft. Also liegt v nicht im schwachen Abschluss von K und also
auch nicht in K w .
□
Satz 4.2.4 Sei V ein Banach-Raum. Sei (v n ) eine Folge in V, die schwach gegen v ∈ V
konvergiert. Dann existiert eine Folge (w j ) in V so dass
• jedes w j ist eine Konvexkombination von endlich vielen v n und
• w j → v in der Norm.
Genauer heisst das, dass es für jedes j ∈ N Zahlen a n,j ≥ 0 gibt, so dass für jedes j nur
endlich viele a n,j 0 sind und so dass gilt
∞∑
a n,j = 1,
n=1
∞∑
a n,j v i = w j .
n=1
Beweis: Sei K die konvexe Hülle aller v n und sei W der schwache Abschluss von K.
Dann liegt v in W. Da K konvex ist, gilt W = K, also gibt es eine Folge in K, die gegen
v konvergiert.
□
Beispiel 4.2.5 Wir wenden dies auf die Folge e n in V = l 2 (N) an. Es gibt demnach eine
Konvexkombination v n der e k so dass ||v n || → 0. In der Tat, sei
v n = 1 n (e 1 + · · · + e n ),
so gilt ||v n || 2 = n n 2 = 1 n → 0.
Lemma 4.2.6 Jede schwach konvergente Folge ist normbeschränkt. Sei also v j eine schwach
konvergente Folge in einem Banach-Raum V. Dann existiert ein C > 0 so dass ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣vj
∣ ∣∣
∣ ∣∣ ≤ C für
jedes j ∈ N.

FUNKTIONALANALYSIS 56
Beweis: Sei v j schwach konvergent. Dann ist die Folge linearer Funktionale
δ vj : V ′ → K punktweise konvergent, also punktweise beschränkt, somit nach dem
Satz von Banach-Steinhaus normbeschränkt, also existiert ein C > 0 mit
C ≥ ∣ ∣ ∣∣δvj
∣ ∣∣ ∣∣
∣ ∣∣ ∣∣vj
∣ ∣∣ ∣∣ = (siehe Proposition 4.1.2).
□
Definition 4.2.7 Sei V ein Banach-Raum und V ′ sein stetiger Dualraum. Die
schwach-*-Topologie auf V ′ ist die Topologie erzeugt von allen Abbildungen
δ v : V ′ → K, v ∈ V.
Satz 4.2.8 (Banach-Alaoglu) Der abgeschlossene Einheitsball ist schwach-*-kompakt.
Genauer sei V ein Banach-Raum und V ′ sein stetiger Dual. Sei ||·|| die Norm auf V ′ und sei
B ′ = {α ∈ V ′ : ||α|| ≤ 1} .
Dann ist B ′ kompakt in der schwach-*-Topologie.
Beweis: Sei E die Menge aller α ∈ K mit |α| ≤ 1. Betrachte die Abbildung
∏
φ : B ′ → X def
=
||v|| E gegeben durch
v∈V
α ↦→ (α v ) v∈V ,
α v = α(v).
Der Raum X ist nach dem Satz von Tychonov kompakt. Die schwach-*-Topologie ist
die Initialtopologie der Abbildung φ, welche injektiv ist, also B ′ mit einer Teilmenge
von X identifiziert. Wir müssen nur zeigen, dass diese Teilmenge abgeschlossen ist.
Sei F ⊂ X die Teilmenge aller α ∈ X so dass für alle v, w ∈ V und alle λ, µ ∈ K gilt
α λv+µw = λα v + µα w .
Dann ist F abgeschlossen in der Produkttopologie. Nun ist F ⊂ X aber gerade das Bild
von φ, welches damit abgeschlossen ist.
□
Korollar 4.2.9 Ist V ein reflexiver Banach-Raum, dann ist die Einheitskugel B = B 1 (0) in V
schwach kompakt.

FUNKTIONALANALYSIS 57
Beweis: Sei W = V ′ , dann ist B die Einheitskugel in W ′ , also schwach-*-kompakt. Die
schwach-*-Topologie auf W ′ ist aber die Topologie erzeugt von W = V ′ , also gleich der
schwachen Topologie.
□
Beachte, dass bei nicht-reflexiven Banach-Räumen W die schwache Topologie auf W ′
nicht mit der schwach-*-Topologie übereinstimmen muss.
Korollar 4.2.10 Ist V ein unendlich-dimensionaler reflexiver Banach-Raum, dann ist die
Norm-Topologie verschieden von der schwachen.
Beweis: In der Norm-Topologie ist die abgeschlossene Einheitskugel nicht kompakt. □
Satz 4.2.11 Ist (v j ) eine Folge paarweise orthogonaler Vektoren in einem Hilbert-Raum
H, so sind äquivalent:
(a)
(b)
(c)
∞∑
v j konvergiert in der Normtopologie,
j=1
∞∑
v j konvergiert schwach,
j=1
∞∑
∣ ∣ ∣
∣vj
∣∣ ∣∣ 2
< ∞.
j=1
Beweis: (a)→(b) ist klar.
(b)→(c): Da die v j paarweise orthogonal sind, gilt
||v 1 + · · · + v n || 2 = ||v 1 || 2 + · · · + ||v n || 2 .
Da die Folge v 1 + · · · + v n schwach konvergiert, ist sie normbeschränkt, damit folgt (c).
(c)→(a): Wieder wegen ||v 1 + · · · + v n || 2 = ||v 1 || 2 + · · · + ||v n || 2 ist ∑ n
j=1 v j eine Cauchy-Folge,
also konvergent.
□

FUNKTIONALANALYSIS 58
5 Stetige Operatoren auf Hilbert-Räumen
Ab jetzt arbeiten wir nur noch über K = C.
5.1 Adjungierte Operatoren
Für einen Hilbert-Raum H schreiben wir B(H) für den Banach-Raum aller stetigen
Operatoren T : H → H.
Satz 5.1.1 Sei H ein Hilbert-Raum und T ∈ B(H).
(a) Es gibt genau einen linearen Operator T ∗ auf H so dass für alle v, w ∈ H gilt
〈Tv, w〉 = 〈v, T ∗ w〉 .
Dieser heisst der adjungierte Operator zu T. Ein Operator T heisst
selbstadjungiert, falls T ∗ = T gilt.
(b) Es gilt ||T ∗ || = ||T|| = √ ||T ∗ T||.
(c) Für S, T ∈ B(H) und λ, µ ∈ C gilt
(λS + µT) ∗ = λS ∗ + µT ∗ , (ST) ∗ = T ∗ S ∗ , (T ∗ ) ∗ = T.
Beweis: (a) Sei w ∈ H fest. Das lineare Funktional α(v) = 〈Tv, w〉 ist als Komposition
stetiger Abbildungen stetig, also existiert genau ein Vektor u = T ∗ w so dass für jedes
v ∈ H gilt
〈Tv, w〉 = 〈v, T ∗ w〉 .
Die so definierte Abbildung w ↦→ T ∗ w ist schnell als linear erkennt, etwa gilt
〈v, T ∗ (w + w ′ )〉 = 〈Tv, w + w ′ 〉 = 〈Tv, w〉+〈Tv, w ′ 〉 = 〈v, T ∗ w〉+〈v, T ∗ w ′ 〉 = 〈v, T ∗ w + T ∗ w ′ 〉 ,
so dass die Eindeutigkeit im Rieszschen Satz die Gleichung T ∗ (w + w ′ ) = T ∗ w + T ∗ w ′
impliziert. Die Skalarmultiplikation T ∗ (αw) = αT ∗ w für α ∈ C geht ebenso.
(b) Wir zeigen zuerst: T ∗ ist beschränkt und T ∗∗ = T. Sei hierzu für w ∈ H das

FUNKTIONALANALYSIS 59
Funktional α w definiert als α w (v) = 〈v, w〉. Wir stellen nun fest, dass für die Norm
dieses Funktionals gilt
||α w || = ||w|| .
Dies folgt einerseits aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung, die besagt
|α w (v)| = | 〈v, w〉 | ≤ ||v|| ||w||
und andererseits aus α w (w) = ||w|| 2 . Beachte nun
α T ∗ w(v) = 〈v, T ∗ w〉 = 〈Tv, w〉 = α w ◦ T(v). Daher folgt
||T ∗ w|| = ||α T ∗ w|| = ||α w ◦ T|| ≤ ||w|| ||T|| .
Also gilt ||T ∗ || ≤ ||T||. Weiter ist
〈v, Tw〉 = 〈T ∗ v, w〉 = 〈v, (T ∗ ) ∗ w〉 ,
also T ∗∗ = T und damit folgt aus ||T|| ≥ ||T ∗ || ≥ ||(T ∗ ) ∗ || = ||T|| schon ||T|| = ||T ∗ ||. Es gilt
||Tv|| 2 = 〈Tv, Tv〉 = 〈T ∗ Tv, v〉 = ||T ∗ Tv|| ||v|| ≤ ||T ∗ T|| ||v|| 2 ≤ ||T ∗ || ||T|| ||v|| 2 = (||T|| ||v||) 2 .
Also ||T|| 2 ≤ ||T ∗ T|| ≤ ||T|| 2 , was bedeutet ||T|| = √ ||T ∗ T||. Teil (c) ist leicht nachzurechnen. □
Beispiele 5.1.2 • Sei H = C n mit dem üblichen Skalarprodukt. Dann ist jeder
lineare Operator auf H durch eine Matrix A gegeben und es gilt A ∗ = A t wie man
in der Linearen Algebra sieht.
• Sei H = l 2 (N) und sei k : N × N → C mit C = ∑ i,j∈N |k(i, j)| 2 < ∞. Dann definiert k
einen linearen Operator T k durch
T k ϕ(i) =
∞∑
k(i, j)ϕ(j),
j=1
wobei wir jetzt Elemente von l 2 (N) als Abbildungen ϕ : N → C mit
∑
j |ϕ(j)| 2 < ∞ auffassen. Nach der Hoelder-Ungleichung gilt dann
∣ ∣ ∣Tk ϕ ∣ ∞∑
∣ ∣∣ 2 ∞∑
= k(i, j)ϕ(j)
∣
∣
i=1
j=1
2
≤
∞∑
i=1
∞∑
|k(i, j)| 2
j=1
∞∑
|ϕ(ν)| 2 = C ∣ ∣ ∣∣ϕ
∣ ∣∣ ∣∣ 2
.
Damit ist T k wohldefiniert und stetig. Wir behaupten, dass sein adjungierter
ν=1

FUNKTIONALANALYSIS 60
Operator T ∗ gegeben ist durch den Kern
k
k ∗ (i, j) = k(j, i).
Zum Beweis rechnen wir für ϕ, ψ ∈ l 2 (N),
〈 ϕ, Tk ∗ψ 〉 =
=
=
∞∑
∞∑ ∞∑
ϕ(i)T k ∗ψ(i) = ϕ(i) k ∗ (i, j)ψ(j)
i=1
∞∑
ϕ(i)
i=1
i=1
∞∑
k(j, i)ψ(j) =
j=1
∞∑
j=1
j=1 i=1
∞∑
T k ϕ(j)ψ(j) = 〈 T k ϕ, ψ 〉 .
j=1
∞∑
k(j, i)ϕ(i)ψ(j)
5.2 Isometrien
Definition 5.2.1 Der Operator T auf einem Hilbert-Raum heisst unitär, falls
TT ∗ = T ∗ T = Id
gilt.
Satz 5.2.2 Der Operator T : H → H ist genau dann unitär, wenn er ein isometrischer
Isomorphismus ist.
Beweis: Ist T unitär, dann ist er isometrisch, denn es gilt dann
〈Tv, Tw〉 = 〈T ∗ Tv, w〉 = 〈v, w〉 .
Er ist ferner surjektiv, da invertierbar.
Sei nun T isometrisch und surjektiv. Da T isometrisch ist, ist T injektiv, also zusammen
bijektiv. Für v, w ∈ H gilt
〈v, w〉 = 〈Tv, Tw〉 = 〈T ∗ Tv, w〉 .
Also folgt T ∗ T = Id, damit ist T ∗ eine Linksinverse zu T. Da T invertierbar ist, ist T ∗

FUNKTIONALANALYSIS 61
auch eine Rechtsinverse, T also unitär.
□
Beispiele 5.2.3
• Auf l 2 (N) sei T definiert durch
T(x 1 , x 2 , . . . ) = (0, x 1 , x 2 , . . . ).
Dann folgt ||Tx|| 2 = ||x|| 2 , also ist T eine Isometrie, aber da e 1 Bild(T), ist T nicht
surjektiv, also nicht unitär. Der Operator T wird der Shiftoperator genannt. Man
sieht leicht, dass
T ∗ (x 1 , x 2 , . . . ) = (x 2 , x 3 , . . . )
und damit folgt T ∗ T = Id. Man sieht also, dass die Identität T ∗ T = Id allein nicht
zur Unitarität ausreicht!
• Auf l 2 (Z) ist der Shiftoperator
T(. . . , x −1 , x 0 , x 1 , . . . ) = (. . . , x −2 , x −1 , x 0 , . . . ),
also (Tx) k = x k−1 unitär.
• Ist f ∈ L 1 (R), so ist die Fourier-Transformierte
∫
f ˆ(x) = f (y)e 2πixy dy
R
definiert. Ist f ∈ L 1 ∩ L 2 , so besagt der Satz von Plancherel:
∣ ∣ ∣ ∣ f
∣ ∣∣
∣ ∣∣2
= ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ ˆ f
∣ ∣∣
∣ ∣∣2
,
wobei ∣ ∣ ∣∣
∣ ∣∣ ∣∣ 2
f = ∫ | f 2 R (x)|2 dx die L 2 -Norm ist. Der Raum L 1 ∩ L 2 liegt dicht in L 2 und
daher setzt die Fourier-Transformation zu einer Isometrie auf dem Hilbert-Raum
L 2 (R) aus. Man zeigt, dass die Fourier-Transformierte in der Tat unitär ist mit
ˆ f (x) = f (−x).
• Eine n × n Matrix A ∈ M n (C) ist als Operator auf C n genau dann unitär, wenn
A ∗ = A −1 , wobei A ∗ = A t .

FUNKTIONALANALYSIS 62
5.3 Projektionen
Erinnerung: Ein stetiger Operator P auf einem Hilbert-Raum H ist eine Projektion
oder ein Projektionsoperator, falls gilt
P 2 = P.
Satz 5.3.1 Sei P ein stetiger Projektionsoperator auf einem Hilbert-Raum H. Dann ist das
Bild Bild(P) abgeschlossen und es gilt
H = Ker(P) ⊕ Bild(P).
Stehen Kern und Bild senkrecht aufeinander, so nennen wir P eine
Orthogonalprojektion.
Eine Projektion P ist genau dann eine Orthogonalprojektion, wenn sie selbstadjungiert ist,
also wenn P = P ∗ .
Beweis: Sei zunächst v ∈ Ker(P) ∩ Bild(P), dann gibt es w mit v = Pw. Es folgt
v = Pw = P 2 w = P(Pw) = P(v) = 0.
Damit ist die Summe direkt. Sei nun v ∈ H, dann ist v = (v − P(v)) + P(v) und
v − P(v) ∈ Ker(P), denn P(v − P(v)) = P(v) − P 2 (v) = P(v) − P(v) = 0. Damit ist die
Summenzerlegung gezeigt. Das Bild ist abgeschlossen, denn für v ∈ H gilt
v ∈ Bild(P) ⇔ v = P(v) ⇔ (P − 1)v = 0,
also gilt Bild(P) = Ker(P − 1) und damit ist Bild(P) abgeschlossen.
Sei nun P eine Orthogonalprojektion, die Summe also orthogonal. Jedes v ∈ H zerlegt
sich dann eindeutig als v = v 0 + P(v) mit v 0 ∈ Ker(P). Für v, w ∈ H gilt
〈Pv, w〉 = 〈Pv, w 0 + Pw〉 = 〈Pv, w 0 〉 + 〈Pv, Pw〉
}{{}
=0
= 〈Pv, Pw〉 + 〈v 0 , Pw〉 = 〈v, Pw〉 .

FUNKTIONALANALYSIS 63
Daher ist P selbstadjungiert.
Für die Umkehrung sei P eine selbstadjungierte Projektion. Sei v ∈ Bild(P) und
w ∈ Ker(P). Dann gilt
〈v, w〉 = 〈Pv, w〉 = 〈v, Pw〉 = 0.
Also ist P eine Orthogonalprojektion.
□
Beispiele 5.3.2
• Ist v 0 ∈ H mit ||v 0 || = 1, dann ist die Abbildung
P(v) = 〈v, v 0 〉 v 0
die Orthogonalprojektion auf den eindimensionalen Unterraum U = Cv 0 .
• Sei H = L 2 ([0, 1]) und sei A ⊂ [0, 1] eine messbare Teilmenge. Die Abbildung
P A : H → H definiert durch
P A ϕ(x) = 1 A (x)ϕ(x)
ist eine Orthogonalprojektion. mit Bild isomorph zu L 2 (A).
• Sei (X, A , µ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, also ein Maßraum mit µ(X) = 1 und
sei B ⊂ A eine Unter-σ-Algebra. Der Raum L 2 (µ| B
) aller B -messbaren
L 2 -Funktionen ist ein abgeschlossener Teilraum von L 2 (µ). Sei P B
die
Orthogonalprojektion mit Bild L 2 (µ| B
). In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist P B
als bedingter Erwartungswert bekannt. Als Beispiel betrachten wir den Fall
B = {∅, X}. Dann ist L 2 (µ| B
) der Raum der konstanten Funktionen und daher ist
P B
(ϕ) = 〈 ϕ, 1 〉 ∫
· 1 =
X
ϕ(x) dµ(x) · 1.
Lemma 5.3.3 Für eine Orthogonalprojektion P gilt ||P(v)|| ≤ ||v|| und
||Pv|| = ||v|| ⇔ Pv = v.
Beweis: klar.
□
Satz 5.3.4 Seien P 1 , P 2 Orthogonalprojektionen auf einem Hilbert-Raum H. Seien V 1 und
V 2 die Bildräume, also P i (H) = V i . Dann sind äquivalent:

FUNKTIONALANALYSIS 64
(a) V 1 ⊥ V 2 ,
(b) P 1 P 2 = 0,
(c) P 1 + P 2 ist eine Projektion.
Ist dies erfüllt, dann ist P 1 + P 2 eine Orthogonalprojektion mit Bild V 1 ⊕ V 2 .
Beweis: (c)→(b): Es gilt
P 1 + P 2 = (P 1 + P 2 ) 2 = P 2 1 + P2 2 + P 1P 2 + P 2 P 1 = P 1 + P 2 + P 1 P 2 + P 2 P 1 ,
also ist P 1 P 2 + P 2 P 1 = 0. Wir multiplizieren einmal von links und einmal von rechts
mit P 1 und erhalten P 1 P 2 + P 1 P 2 P 1 = 0 = P 2 P 1 + P 1 P 2 P 1 , also P 1 P 2 = P 2 P 1 = 0.
(b)→(a): Die Gleichung P 1 P 2 = 0 bedeutet, dass V 2 , das Bild von P 2 , im Kern von P 1 ,
also in V ⊥ liegt. Daher folgt V 1 1 ⊥ V 2 .
(a)→(c): Es gilt (V 1 ⊕ V 2 ) ⊥ = V ⊥ 1 ∩ V⊥ 2
und also
H = V 1 ⊥ V 2 ⊥ (V ⊥ 1 ∩ V⊥ 2 ).
Sei v = v 1 + v 2 + w ∈ H in dieser Zerlegung geschrieben. Sei Q die
Orthogonalprojektion mit Bild V 1 ⊕ V 2 , so gilt Q(v) = v 1 + v 2 . Andererseits ist auch
(P 1 + P 2 )(v) = v 1 + v 2 . □
Satz 5.3.5 Seien P i , V i wie im letzten Satz. Dann sind äquivalent:
(a) V 1 ⊂ V 2 ,
(b) P 1 P 2 = P 2 P 1 = P 1 ,
(c) P 2 − P 1 ist eine Projektion.
Ist dies erfüllt, dann ist P 2 − P 1 eine Orthogonalprojektion mit Bild V 2 ∩ V ⊥ 1 .
Beweis: (a)→(b): Sei V 3 = V 2 ∩ V ⊥ 1 . Dann ist V 2 = V 1 ⊥ V 3 und H = V 1 ⊥ V 3 ⊥ V ⊥ 2 .

FUNKTIONALANALYSIS 65
Zerlege ein gegebenes v ∈ H entsprechend v = v 1 + v 3 + v 2 . Dann ist
P 1 P 2 (v) = P 1 (v 1 + v 3 ) = v 1 = P 1 (v) = P 2 P 1 (v).
(b)→(c): Es ist (P 2 − P 1 ) 2 = P 2 + 2 P2 − P 1 1P 2 − P 2 P 1 = P 2 + P 1 − P 1 − P − 1 = P 2 − P 1 .
(c)→(a): Sei v ∈ E 1 . Dann ist
P 2 (v) − v = (P 2 − P 1 )(v) = (P 2 − P 1 ) 2 (v) = P 2 (v) + v − P 2 (v) − P 1 P 2 (v) = v − P 1 P 2 (v),
also (1 + P 1 )P 2 (v) = 2v. Wenden wir hierauf P 1 an, erhalten wir P 1 P 2 (v) = v, woraus
nach Lemma 5.3.3 folgt P 2 (v) = v.
□
Satz 5.3.6 Sein P i , V i wie im letzten Satz. Dann sind äquivalent:
(a) P 1 P 2 ist Projektion,
(b) P 1 P 2 = P 2 P 1 ,
(c) Es gibt paarweise senkrechte Unterräume W 1 , W 2 , V mit
V 1 = V ⊥ W 1 , V 2 = V ⊥ W 2 .
In diesem Fall ist P 1 P 2 eine Orthogonalprojektion mit Bild V.
Beweis: Übungsaufgabe.
□
5.4 Normale Operatoren
Definition 5.4.1 Ein Operator T ∈ B(H) heisst normal, falls TT ∗ = T ∗ T.
Beispiele 5.4.2
• Jeder selbstadjungierte Operator ist normal.
• Eine Matrix A ∈ M n (C) ist genau dann normal, wenn es ein k ∈ U(n) und eine
Diagonalmatrix D gibt, so dass A = kDk −1 gilt.

FUNKTIONALANALYSIS 66
Satz 5.4.3 Ein Operator T ∈ B(H) ist genau dann normal, wenn
||Tv|| = ||T ∗ v||
für jedes v ∈ H gilt. Für einen normalen Operator T gilt
(a) Ker(T) = Ker(T ∗ ),
(b) Bild(T) ist genau dann dicht in H, wenn T injektiv ist,
(c) T ist genau dann invertierbar, wenn es ein δ > 0 gibt so dass ||Tv|| ≥ δ ||v|| für jedes
v ∈ H,
(d) gilt Tv = λv für ein v ∈ H und λ ∈ C, dann folgt T ∗ v = λv,
(e) sind λ und µ verschiedene Eigenwerte von T, dann stehen die zugehörigen
Eigenräume senkrecht aufeinander.
Beweis: Ist T normal, so gilt
||Tv|| 2 = 〈Tv, Tv〉 = 〈v, T ∗ Tv〉 = 〈v, TT ∗ v〉 = 〈T ∗ v, T ∗ v〉 = ||T ∗ v|| 2 .
Ist umgekehrt ||Tv|| = ||T ∗ v||, so folgt aus der Polarisierungsidentität, dass für alle
v, w ∈ H die Gleichung 〈Tv, Tw〉 = 〈T ∗ v, T ∗ w〉 gilt. Also folgt
〈T ∗ Tv, w〉 = 〈Tv, Tw〉 = 〈T ∗ v, T ∗ w〉 = 〈TT ∗ v, w〉 ,
so dass T ∗ T = TT ∗ folgt.
(a) Sei v ∈ Ker(T), so folgt 0 = ||Tv|| = ||T ∗ v||, also v ∈ Ker(T ∗ ). Die Rückrichtung folgt
aus Symmetrie.
(b) Sei das Bild dicht, so ist wegen 〈Tv, w〉 = 〈v, T ∗ w〉 der Operator T ∗ injektiv. Wegen
||Tv|| = ||T ∗ v|| ist dann T injektiv. Sei umgekehrt T (und also T ∗ ) injektiv und sei
u ∈ Bild(T) ⊥ . Für jedes w ∈ H folgt 0 = 〈u, Tw〉 = 〈T ∗ u, w〉, also u ∈ Ker(T ∗ ), somit u = 0.
(c) Es existiere solch ein δ. Ist dann (Tv j ) eine Cauchy-Folge im Bild, dann ist (v j ) eine
Cauchy-Folge, also konvergent gegen ein u ∈ H. Dann ist Tu der Limes der Folge
(Tv j ), also ist das Bild abgeschlossen. Da T injektiv ist, folgt nach (b), dass T surjektiv,

FUNKTIONALANALYSIS 67
also bijektiv ist.
Sei umgekehrt T invertierbar, dann folgt ||v|| = ∣ ∣ ∣∣T −1 Tv ∣ ∣ ∣∣
∣ ∣∣ ∣∣T ∣ ≤
−1 ∣ ∣∣ ||Tv||, man kann also
δ = 1/ ∣ ∣ ∣∣T ∣ −1 ∣ ∣∣ nehmen.
(d) Es gelte Tv = λv und es sei v 0, so folgt T(T ∗ v) = T ∗ Tv = λT ∗ v, also liegt T ∗ v
wieder im T-Eigenraum zum Eigenwert λ. Sei w ein weiterer Vektor in diesem
Eigenraum, so gilt 〈T ∗ v, w〉 = 〈v, Tw〉 = 〈v, λw〉 = λ 〈v, w〉 = 〈 λv, w 〉 . Da dies für jedes w
aus dem Eigenraum gilt, folgt T ∗ v = λv.
(e) Sind λ und µ zwei verschiedene Eigenwerte. Seien v und w zugehörige
Eigenvektoren, so gilt λ 〈v, w〉 = 〈λv, w〉 = 〈Tv, w〉 = 〈v, T ∗ w〉 = 〈 v, µw 〉 = µ 〈v, w〉 , also
〈v, w〉 = 0.
□
Beispiele 5.4.4 • In der Linearen Algebra lernt man, dass jeder normale Operator
auf dem C n diagonalisierbar ist, dass also C n eine Basis von Eigenvektoren
besitzt.
• Jeder Operator T ∈ B(H) kann als Linearkombination von selbstadjungierten
Operatoren geschrieben werden:
T = Re(T) + i Im(T),
wobei Re(T) = 1 2 (T + T∗ ) und Im(T) = 1 2i (T − T∗ ). Es ist dann
T ∗ = Re(T) − i Im(T)
und T ist genau dann normal, wenn je zwei der drei Operatoren T, Re(T), Im(T)
miteinander kommutieren.

FUNKTIONALANALYSIS 68
6 Funktionalkalkül
6.1 Spektrum und Resolvente
Definition 6.1.1 Sei T ein stetiger linearer Operator auf einem Hilbert-Raum H. Die
Resolventenmenge Res(T) von T ist die Menge aller λ ∈ C, für die der Operator
T − λ = T − λId bijektiv ist. Nach dem Satz der offenen Abbildung ist dann die
Umkehrabbildung (T − λ) −1 wieder ein stetiger Operator, der die Resolvente genannt
wird.
Der Name kommt daher, dass die Resolvente es erlaubt, die Gleichung
(T − λ)x = a
zu lösen, es ist dann nämlich
x = (T − λ) −1 a.
Definition 6.1.2 Die Menge σ(T) = C Res(T) heisst das Spektrum von T.
Beispiel 6.1.3 Ist H endlich-dimensional, dann besteht σ(T) genau aus den Nullstellen
des charakteristischen Polynoms, es ist dann also
σ(T) = Menge der Eigenwerte von T.
Definition 6.1.4 Sei T ein stetiger Operator auf einem Hilbert-Raum H. Ist
Ker(T − λ) 0, so heisst λ Eigenwert von T.
Es gibt auch Spektralwerte, die keine Eigenwerte sind. In diesem Fall ist t − λ zwar
injektiv, nicht aber surjektiv.
Beispiel 6.1.5 Multiplikationsoperator Sei H = L 2 (0, 1) und sei T : H → H gegeben
durch
T( f )(t) = t f (t).
Wir behaupten, dass T keine Eigenwerte hat, das Spektrum aber aus dem ganzen
Intervall [0, 1] besteht.
Beweis: Zum ersten sei λ ∈ C und f ∈ H mit (T − λ) f = 0. Das heisst, dass
0 = (T − λ) f (t) = t f (t) − λ f (t) = (t − λ) f (t)

FUNKTIONALANALYSIS 69
fast überall in t ∈ T gilt. Für t λ heisst das aber f (t) = 0, also f = 0 fast überall.
Zum zweiten sei λ ∈ C [0, 1], dann ist T invertierbar, der Inverse Operator ist S mit
S( f )(t) = 1
t − λ f (t).
Schliesslich sei λ ∈ [0, 1]. Angenommen, T − λ wäre surjektiv. Dann gäbe es f ∈ L 2 (0, 1)
mit (T − λ)( f ) = 1 (konstante Funktion). Es wäre also (t − λ) f (t) = 1 fast überall, also
f (t) = 1
t − λ
fast überall. Diese Funktion liegt aber nicht in L 2 . Widerspruch!
□
Lemma 6.1.6 Für einen stetigen Operator T auf einem Hilbert-Raum H gilt
σ(T ∗ ) = σ(T).
Beweis: Ein Operator S ist genau dann invertierbar, wenn S ∗ invertierbar ist. Wegen
(T ∗ − λ) = (T − λ) ∗ folgt, dass λ genau dann in der Resolventenmenge von T ∗ liegt,
wenn λ in der Resolventenmenge von T ist.
□
Die Einheitengruppe von B(H) ist die Gruppe B(H) × aller invertierbaren Operatoren
in B(H).
Satz 6.1.7 (a) Die Einheitengruppe B(H) × ist eine offene Teilmenge von B(H). Die
Inversion T ↦→ T −1 ist eine stetige Abbildung B(H) × → B(H) × .
(b) Die Abbildung φ T : C → B(H) mit
φ T (λ) = T − λ
ist stetig. Die Resolventenmenge Res(T) ist eine offene und das Spektrum eine
abgeschlossene Teilmenge von C.
(c) Das Spektrum von T ∈ B(H) ist eine abgeschlossene Teilmenge der abgeschlossenen
Kreisscheibe B ||T|| (0) ⊂ C.
Beweis: (a) Wir zeigen zunächst, dass B(H) × eine offene Umgebung der Identität

FUNKTIONALANALYSIS 70
enthält. Genauer zeigen wir B 1 (Id) ⊂ B(H) × . Der Einfachheit halber schreiben wir
Id = 1. Es ist
B 1 (1) = {T : ||T − 1|| < 1} = {1 − R : ||R|| < 1}.
Sei also R ∈ B(H) mit ||R|| < 1. Wir müssen zeigen, dass 1 − R invertierbar ist. Die Reihe
∑ ∞
n=0 ||R|| n konvergiert in C. Also konvergiert die geometrische Reihe
S =
∞∑
n=0
R n
absolut in B(H). Es ist
∞∑
(1 − R)S = S(1 − R) = (1 − R) R n =
n=0
∞∑
R n −
n=0
∞∑
R n+1 = 1.
n=0
Ist nun U ∈ B(H) × beliebig, dann ist UB 1 (1) eine offene Umgebung von U, die ganz in
B(H) × liegt, denn es ist
Also ist B(H) × offen.
UB 1 (1) = {U − UR : ||R|| < 1} ⊃ {U − Z : ||Z|| < 1
||U −1 || } = B 1/||U −1 || (U).
Nun zur Stetigkeit der Inversion: Wir zeigen, dass die Inversion die Menge B 1 (1) in
sich wirft und dort stetig ist. Hieraus folgt die Behauptung, denn auf der offenen
Menge B 1 (1)T 0 ist die Inversion eine Komposition stetiger Abbildungen:
T ↦→ TT 1 0 ↦→ T 0T −1 ↦→ T −1 .
Es reicht also zu zeigen, dass die Inversion auf B 1 (1) stetig ist. Seien hierzu S, T ∈ B(H)
mit ||S|| ||T|| < c < 1. Dann folgt für n ∈ N,
∣
||S n − T n ∑n−1
∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣ ∑n−1
|| =
∣ (S − T) S k T n−1−k ≤ ||S − T|| ||S|| k ||T|| n−1−k
k=0
∑n−1
≤ ||S − T|| c n−1 = ||S − T|| nc n−1
k=0
k=0

FUNKTIONALANALYSIS 71
und damit
∣ ∣ ∣ ∣(1 − S) −1 − (1 − T) −1∣ ∣
∣ ∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣
∣
∞∑ ∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣ ∣∣ = S n − T n ≤ ||S − T||
n=0
Die ist die verlangte Stetigkeit der Inversion.
∞∑
nc n−1 =
n=0
||S − T||
(1 − c) 2 .
(b) Für λ, µ ∈ C gilt
∣ ∣ ∣ ∣φT (λ) − φ T (µ) ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ =
∣ ∣∣
∣ ∣∣µ − λ
∣ ∣∣
∣ ∣∣ = |λ − µ|,
also ist φ T stetig. Die Resolventenmenge ist das Urbild der offenen Menge B(H) × , also
offen in C. Das Spektrum ist das Komplement der offenen Resolventenmenge, also
abgeschlossen.
(c) Sei λ ∈ C mit |λ| > ||T||. Wir müssen zeigen, dass λ σ(T), also dass T − λ
invertierbar ist. Es ist T − λ = λ( 1 λ T − 1) und für den Operator R = 1 λ T gilt
||R|| = 1 ||T|| < 1, also ist R − 1, und damit auch T − λ, invertierbar.
□
|λ|
Sei D ⊂ C offen und sei f : D → V eine Abbildung, wobei V ein Banach-Raum ist. Wir
sagen, f ist holomorph, wenn für jedes z ∈ D der Grenzwert
f ′ (z) = lim ( f (z + h) − f (z))
h
h→0
1
in V existiert. Ist f holomorph und ist α : V → C ein stetiges lineares Funktional, dann
ist die Funktion z ↦→ α( f (z)) eine holomorphe Funktion von D nach C.
Lemma 6.1.8 Sei H ein Hilbert-Raum und sei T ∈ B(H). Dann ist die Abbildung
f : λ ↦→ (T − λ) −1 holomorph auf der Resolventenmenge Res(T).
Beweis: Nach dem Satz ist f stetig. Sei λ ∈ Res(T) und sei h eine kleine komplexe
Zahl. Dann ist 1 ( f (λ + h) − f (λ)) gleich
h
1 (
(T − λ − h) −1 − (T − λ) −1) = 1 h
h ((T − λ) − (T − λ − h)) (λ + h − T)−1 (λ − T) −1
= −(T − λ − h) −1 (T − λ) −1 .
Diese Abbildung ist stetig in h = 0.
□
Definition 6.1.9 Sei H ein Hilbert-Raum. Für T ∈ B(H) sei der Spektralradius r(T)
definiert als
r(T) = sup |λ|.
λ∈σ(T)

FUNKTIONALANALYSIS 72
Satz 6.1.10 (Spektralradiusformel) Sei H ein Hilbert-Raum und T ∈ B(H).
(a) Das Spektrum σ(T) ist nicht-leer.
(b) Es gilt r(T) ≤ ||T|| und
(c) Ist T normal, so gilt
r(T) = lim
n
||T n || 1 n .
r(T) = ||T|| .
Beweis: (a) Angenommen, σ(T) = ∅. Dann ist T − λ stets invertierbar, also die
Abbildung λ ↦→ (T − λ) −1 auf ganz C holomorph. Für |λ| > 2 ||T|| ist
( ∣ ∣
1 T) n ∣∣ ∣∣∣ ≤ ||T||n
λ |λ| n
und daher konvergiert die Reihe
≤ 1 2 n
∞∑ ( ) 1 n
λ T =
n=0
(
1 − 1 λ T ) −1
.
Es ist dann
∣ ∣ ∣ ∣(T − λ)
−1 ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ =
1
|λ|
Also folgt für v, w ∈ H und |λ| > 2 ||T||,
∣ (1 − 1 ∣ ∣∣∣∣ ∣∣∣∣
λ T)−1 ≤ 1
|λ|
∞∑
n=0
2 −n = 2
|λ| .
| 〈 (T − λ) −1 v, w 〉 ≤
2 ||v|| ||w||
.
|λ|
Die holomorphe Abbildung λ ↦→ 〈 (T − λ) −1 v, w 〉 ist auf {|λ| ≤ ||T||} beschränkt, nach
obigem also insgesamt beschränkt, damit konstant, aber nach der obigen
Abschätzung kann diese Konstante nur die Null sein. Wir erhalten also
(T − λ) −1 = 0,
ein Widerspruch! Damit ist die Annahme falsch, also folgt σ(T) ∅.
(b) r(T) ≤ ||T|| folgt aus Satz 6.1.7. Wir beweisen die Ungleichungen
r(T) ≤ lim inf ‖T n ‖ 1 n ≤ lim sup ‖T n ‖ 1 n ≤ r(T),

FUNKTIONALANALYSIS 73
aus denen der Satz folgt.
Für λ ∈ σ(T), gilt
∑n−1
λ n − T n = (λ − T) λ j T n−1−j .
j=0
Also λ n ∈ σ(T n ) und damit |λ| n ≤ ‖T n ‖ für jedes n ∈ N. Also r(T) ≤ ‖T n ‖ 1 n
n ∈ N, so dass die erste Ungleichung folgt.
für jedes
Um lim sup ‖T n ‖ 1 n
≤ r(T) zu zeigen, betrachte
(λ − T) −1 = λ −1 (1 − T λ )−1 =
∞∑
n=0
T n 1
λ n+1
für |λ| > ‖T‖. Da diese Funktion holomorph ist, konvergiert die Reihe schwach für
jedes |λ| > r(T). Für gegebenes |λ| > r(T) folgt, dass die Folge T n 1 schwach
λ n+1
konvergent, nach Lemma 4.2.6 also normbeschränkt ist. Also existiert ein C ≥ 0 so
dass ‖T n ‖ ≤ C|λ| n+1 für jedes n ∈ N. Nimmt man auf beiden Seiten n-te Wurzeln und
wendet lim sup an, erhält man lim sup ‖T n ‖ 1 n
lim sup ‖T n ‖ 1 n
≤ r(T).
(c) Sei T normal, so gilt
≤ |λ|. Da dies für jedes |λ| > r(T) gilt, folgt
∣ ∣ ∣ ∣T 2 v ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ 2
=
〈
T 2 v, T 2 v 〉 = 〈 Tv, T ∗ T 2 v 〉 = 〈T ∗ Tv, T ∗ Tv〉 = ||T ∗ Tv|| 2 .
Also folgt ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣T 2 ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ = ||T ∗ T|| = ||T|| 2 , siehe Satz 5.1.1 (b). Dies gilt ebenso für T k anstelle von
T, also folgt induktiv, dass ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣T 2 n∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ = ||T||
2 n ist. Daher r(T) = lim n
∣ ∣∣
∣ ∣∣T 2 n∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ 2 −n = ||T|| . □
Beispiele 6.1.11 • Der Nulloperator, Tv = 0 für alle v, hat Spektrum {0}.
• Ein Beispiel, dass der Spektralradius nicht mit der Operatornorm
übereinstimmen muss, ist leicht gefunden. Betrachte die Matrix A = ( )
1 1
0 1 als
⎛ ⎞ ⎞
1
Operator auf C 2 . Wegen A ⎜⎝
1
⎟⎠
⎛⎜ = 2
⎝
1
⎟⎠ , folgt ||A|| op > 1 = r(A).
Satz 6.1.12 (a) Ist T ein unitärer Operator und ist λ ∈ σ(T), dann ist |λ| = 1.
(b) Ist S ein selbstadjungierter stetiger Operator und ist λ ∈ σ(S), dann ist λ eine reelle
Zahl.

FUNKTIONALANALYSIS 74
Beweis: (a) Da ||T|| = 1, folgt |λ| ≤ 1. Gilt |λ| < 1, so ist ||λT ∗ || < 1 und also ist
T − λ = T(1 − λT ∗ )
invertierbar, was bedeutet λ σ(T).
(b) Sei S selbstadjungiert und sei λ = σ + it. Setze S λ = S − λ. Dann folgt
||S λ v|| 2 = ||Sv − σv − itv|| 2
= 〈Sv − σv − itv, Sv − σv − itv〉
= 〈Sv − σv, Sv − σv〉 + i 〈Sv − σv, tv〉 − i 〈tv, Sv − tv〉 + 〈tv, tv〉
}{{}
= ||Sv − σv|| 2 + t 2 ||v|| 2 .
Damit ist ||S λ v|| ≥ |t| ||v||. Ist t 0, so ist S λ invertierbar nach Satz 5.4.3 (c), also λ σ(S).
□
Definition 6.1.13 Ein selbstadjungierter Operator T ∈ B(H) heisst positiver Operator,
falls
〈Tv, v〉 ≥ 0 ∀v ∈ H.
Proposition 6.1.14 Ist T ein positiver Operator, dann liegt das Spektrum σ(T) im Intervall
[0, ∞).
Wir werden später sehen, dass auch die Umkehrung richtig ist, d.h.: ist das Spektrum
eines selbstadjungierten Operators T in [0, ∞), dann ist T positiv.
Beweis: Wir können annehmen, dass ‖T‖ = 1. Dann σ(T) ⊆ [−1, 1] da T
=0
selbstadjungiert ist. Wir zeigen dass T µ
Nach Annahme haben wir
def
=
T + µ1 invertierbar ist für jedes µ > 0.
‖T µ v‖‖v‖ ≥ 〈 T µ v, v 〉 = 〈Tv, v〉 + µ 〈v, v〉 ≥ µ‖v‖ 2 ,
also ‖T µ v‖ ≥ µ‖v‖ für jedes v ∈ H. Daher ist T µ invertierbar nach Satz 5.4.3.
□
Definition 6.1.15 Sind A, B ⊂ C nicht-leere, kompakte Teilmengen, so definieren wir
d(A, ˜ B) = sup inf |a − b|
a∈A b∈B

FUNKTIONALANALYSIS 75
und die Hausdorff-Metrik durch
d(A, B) = max ( ˜ d(A, B), ˜ d(B, A)
)
.
Es ist dann
d(A, B) ∈ [0, ∞).
Lemma 6.1.16 Für nicht-leere, kompakte Teilmengen A, B, C ⊂ C gilt
• d(A, B) = 0 ⇔ A = B
• d(A, B) = d(B, A)
• d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B)
Definitheit
Symmetrie
Dreiecksungleichung
Damit ist d in der Tat eine Metrik auf der Menge aller nicht-leeren, kompakten Teilmengen
von C.
Beweis: Die Symmetrie ist klar.
Ist A = B, so folgt d(A, B) = 0. Für die Umkehrung sei d(A, B) = 0. Ist a ∈ A, so muss
inf b∈B |a − b| = 0 sein, es gibt also eine Folge b j ∈ B mit |a − b j | → 0, also a = lim j b j . Da B
abgeschlossen ist, folgt a ∈ B, also A ⊂ B. Aus Symmetriegründen folgt B ⊂ A, also
A = B.
Nun zur Dreiecksungleichung. Sei ε > 0 und sei a ∈ A. Für jedes c ∈ C gilt
inf
b∈B
|a − b| ≤ inf |a − c| + |c − b|.
b∈B
Also können wir rechts noch das Infimum über c ∈ C nehmen und erhalten
inf
b∈B
|a − b| ≤ inf |a − c| + inf
c∈C
inf
c∈C b∈B
|c − b| ≤ inf
c∈C
Nehmen wir nun noch das Supremum über A, so folgt
d(A, ˜ B) ≤ d(A, ˜ C) + d(C, ˜ B)
|a − c| + sup
c∈C
inf |c − b|.
b∈B
As Symmetriegründen folgt
˜ d(B, A) ≤ ˜ d(B, C) + ˜ d(C, A)

FUNKTIONALANALYSIS 76
und damit auch
d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B)
□
Lemma 6.1.17 Sind A j , j ∈ N und A nicht-leere, kompakte Teilmengen von C, so konvergiert
die Folge A j genau dann gegen A, wenn
• zu jedem a ∈ A gibt es eine Folge a j ∈ A j mit a j → a und
• Ist (a j ) eine Folge mit a j ∈ A j , dann hat jede Teilfolge einen Häufungspunkt in A.
Beweis: Übungsaufgabe.
□
Lemma 6.1.18 Ist X ein nicht-leerer kompakter metrischer Raum und ist f j ∈ C(X) eine
Folge stetiger Funktionen, die in der Supremumsnorm
||h|| = sup |h(x)|
x∈X
gegen ein f ∈ C(X) konvergiert. Dann konvergiert die Folge der Bilder
A j = f j (X)
in der Hausdorff-Metrik gegen A = f (X).
Beweis: Sei a ∈ A, etwa a = f (x), dann konvergiert a j = f j (x) ∈ A j gegen a.
Ist andersherum a j ∈ A j eine in C konvergente Folge mit Limes z ∈ C. Wir wollen
zeigen, dass z ∈ A gilt. Sei etwa a j = f (x j ). Die Folge x j in X hat eine konvergente
Teilfolge, wir ersetzen sie durch diese Teilfolge und nehmen an, dass x j → x gilt. Wir
behaupten, dass f (x) = z gilt. Sei ε > 0. Dann gibt es j ∈ N mit ∣ ∣ ∣∣ fj − f ∣ ∣ ∣∣ < ε/3 und
|a j − z| < ε/3, sowie | f (x) − f (x j )| < ε/3. Es folgt
| f (x) − z| = | f (x) − f (x j ) + f (x j ) − f j (x j ) + f j (x j ) − z|
≤ | f (x) − f (x j )| + | f (x j ) − f j (x j )| + | f j (x j ) −z|
}{{}
=a j
< ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε.
Da ε beliebig war, folgt f (x) = z.
□

FUNKTIONALANALYSIS 77
Satz 6.1.19 Sind T j , j ∈ N und T normale Operatoren auf dem Hilbert-Raum H und gilt
∣ ∣ ∣Tj − T ∣ ∣ ∣∣ → 0, dann konvergiert σ(Tj ) gegen σ(T) in der Hausdorff-Metrik.
Beweis: Sei λ ∈ σ(T) und nimm an, λ wäre kein Limespunkt einer Folge λ j ∈ σ(T j ).
Dann gibt es ein ε > 0 so dass der offene Kreis B ε (λ) für jedes j ganz in der
Resolventenmenge Res(T j ) liegt. Das bedeutet aber r ( (T j − λ) −1) < 1 ε , denn ist |µ| > 1 ε ,
so ist
(T j − λ) −1 − µ = µ(T j − λ) −1 ( 1 µ − T j + λ)
invertierbar. Da T j normal ist, ist auch (T j − λ) −1 normal und daher nach Satz 6.1.10,
Es folgt für i, j ∈ N,
∣ ∣ ∣ ∣(Tj − λ) −1∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ <
1
ε .
∣ ∣ ∣ ∣(Ti − λ) −1 − (T j − λ) −1∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ ≤
∣ ∣∣
∣ ∣∣(Ti
− λ) −1∣ ∣ ∣
∣ ∣∣
∣ ∣∣
∣ ∣∣(Tj
− λ) −1∣ ∣ ∣
∣ ∣∣
∣ ∣∣
∣ ∣∣Ti
− T j
∣ ∣∣
∣ ∣∣ <
1
ε 2 ∣ ∣∣
∣ ∣∣Ti
− T j
∣ ∣∣
∣ ∣∣ ,
so dass (T j − λ) −1 eine Cauchy-Folge ist und daher konvergent gegen ein S(λ) ∈ B(H).
Es folgt
(T − λ)S(λ) = lim
j
(T j − λ)(T j − λ) −1 = 1
und ebenso S(λ)(T − λ) = 1, so dass λ in der Resolventenmenge von T liegt, im
Widerspruch zur Annahme! Also muss λ ein Limespunkt einer Folge λ j ∈ σ(T j ) sein.
Andererseits sei λ Limespunkt einer Folge λ j ∈ σ(T j ). Es gilt dann also
(T j − λ j ) → (T − λ).
Wäre nun λ ∈ Res(T), also (T − λ) ∈ B(H) × , so gäbe es ein j 0 so dass für j ≥ j 0 schon
(T j − λ j ) ∈ B(H) × , da die Einheitengruppe B(H) × offen ist. Dies ist aber nicht der Fall,
also folgt λ ∈ σ(T).
□

FUNKTIONALANALYSIS 78
6.2 Funktionalkalkül
Erinnerung: eine Algebra über C ist ein komplexer Vektorraum A mit einem
bilinearen und assoziativen Produkt A × A → A, geschrieben (a, b) ↦→ ab. Das heisst
also, es gilt
a(b + c) = ab + ac (b + c)a = ba + ca
λ(ab) = (λa)b = a(λb) (ab)c = a(bc)
für alle a, b, c ∈ A und jedes λ ∈ C.
Beispiele 6.2.1 • Man kann jeden Vektorraum V zu einer Algebra machen, indem
man ab = 0 setzt. Dies ist allerdings nicht das interessanteste Beispiel.
• M n (C) mit der Matrixmultiplikation.
• B(H) für einen Hilbert-Raum H, das Produkt ist hier die
Hintereinanderausführung.
• C 0 (X) für einen lokalkompakten Hausdorffraum.
Eine Algebra A heisst unital, wenn es ein Einselement gibt, das ist ein Element
1 = 1 A so dass für jedes a ∈ A gilt
1a = a1 = a.
Wenn es ein solches gibt, ist es eindeutig bestimmt, denn sei 1 ′ ein zweites, dann gilt
1 = 11 ′ = 1 ′ .
Definition 6.2.2 Eine lineare Abbildung φ : A → B zwischen zwei Algebren heisst
Algebrenhomomorphismus, falls φ(ab) = φ(a)φ(b) für alle a, b ∈ A gilt. Ist A unital, so
verlangt man ausserdem, dass B auch unital ist und dass φ(1) = 1 ist.
Ein Algebrenhomomorphismus φ heiss Algebrenisomorphismus, wenn φ bijektiv ist.
Dann ist die Umkehrabbildung ebenfalls ein Algebrenhomomorphismus.
Beispiel 6.2.3 Ist Y ⊂ X eine abgeschlossene Teilmenge des lokalkompakten
Hausdorffraums Raums X, dann ist die Restriktion C 0 (X) → C 0 (Y); f ↦→ f | Y ein
Algebrenhomomorhismus.

FUNKTIONALANALYSIS 79
Sei C[X] die Algebra der Polynome. Für T ∈ B(H) betrachte den
Algebrenhomomorphismus P : C[X] → B(H) gegeben durch
P( f (X)) = f (T).
Lemma 6.2.4 (Spektraler Abbildungssatz für Polynome) Sei T ein stetiger normaler
Operator auf einem Hilbert-Raum H. Für ein Polynom f ∈ C[X] ist f (T) ein stetiger
Operator mit
σ( f (T)) = f (σ(T)),
wobei f (σ(T)) = { f (λ) : λ ∈ σ(T)}.
Beweis: Sei der Grad von f grösser Null. Wir schreiben
f (X) − λ = a(X − λ 1 ) · · · (X − λ n ).
Dann ist
f (T) − λ = a(T − λ 1 ) · · · (T − λ n ).
”⊂” Sei λ ∈ σ( f (T)). Dann ist f (T) − λ nicht invertierbar und daher muss ein λ i im
Spektrum von T liegen. Es ist dann λ = f (λ i ) ∈ f (σ(T)).
”⊃“ Sei λ ∈ f (σ(T)), also λ = f (µ) mit µ ∈ σ(T). Dann ist µ = λ i für ein i. Daher ist
f (T) − λ nicht invertierbar, also λ ∈ σ( f (T)).
□
Satz 6.2.5 (Stetiger Funktionalkalkül) Sei T ein selbstadjungierter Operator auf dem
Hilbert-Raum H. Es gibt genau einen isometrischen Algebrenhomomorphismus
φ : C(σ(T)) → B(H) mit φ(Id) = T. Hierbei bezeichnet Id die Abbildung σ(T) → C
gegeben durch z ↦→ z. Dieser Homomorphismus hat die zusätzliche Eigenschaft
φ( f ∗ ) = φ( f ) ∗ ,
wobei wir für f ∈ C(σ(T)) definieren: f ∗ (t) = f (t). Wir schreiben φ( f ) suggestiv als f (T).
Es gilt
σ( f (T)) = f (σ(T)).
Insbesondere ist f (T) selbstadjungiert, falls f reellwertig ist.

FUNKTIONALANALYSIS 80
Beweis: Jedes Polynom p liefert eine stetige Abbildung σ(T) → C. Wir erhalten also
einen Algebrenhomomorphismus ψ : C[X] → C(σ(T)). Andererseits haben wir einen
Algebrenhomomorphismus P : C[X] → B(H) gegeben durch P( f (X)) = f (T). Wir
wollen den gepunkteten Homomorphismus konstruieren:
C[X]
ψ
C(σ(T))
P
∃!
B(H)
1. Schritt: Das Bild von ψ ist dicht in C(σ(T)).
Dies folgt aus dem Satz von Stone-Weierstraß.
2. Schritt: Für jedes f ∈ C[X] gilt ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ψ( f )
∣ ∣∣
∣ ∣∣ =
∣ ∣∣
∣ ∣∣P( f )
∣ ∣∣
∣ ∣∣.
Es ist
∣ ∣ ∣
∣ψ(
∣∣ ∣∣ f ) = sup | f (x)|
x∈σ(T)
= sup |z| = sup |z|
z∈ f (σ(T)) z∈σ( f (T))
= r( f (T)) = ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ f (T)
∣ ∣∣
∣ ∣∣ =
∣ ∣∣
∣ ∣∣P( f )
∣ ∣∣
∣ ∣∣ .
3. Schritt: Finale.
Aus dem 2.Schritt folgt, dass der Kern J von ψ gleich dem Kern von P ist, das Bild
Bild(ψ) ist also isomorph C[X]/J und dies ist isomorph zum Bild Bild(P). Ferner ist die
Abbildung
Bild(ψ) → Bild(P) → B(H)
isometrisch, setzt also zu genau einer isometrischen Abbildung φ : C(σ(T)) → B(H)
fort. Auf der dichten Unteralgebra Bild(ψ) ist ψ ein Algebrenhomomorphismus, also
ist φ insgesamt ein Algebrenhomomorphismus. Die Eindeutigkeit ist klar wegen der
Dichtheit der Polynome.
Die Eigenschaften φ( f ∗ ) = φ( f ) ∗ und σ( f (T)) = f (σ(T)) sind klar, wenn f ein Polynom
ist. Die erste folgt sofort allgemein und die zweite wie folgt:
Sei f j eine Folge von Polynomen die in C(σ(T)) gegen f konvergiert. Es gilt
f j (σ(T)) = σ( f j (T)) nach Lemma 6.2.4. Die Folge f j (σ(T)) konvergiert nach Lemma
6.1.18 in der Hausdorff-Metrik gegen f (σ(T)). Die Folge σ( f j (T)) konvergiert nach Satz
6.1.19 in der Hausdorff-Metrik gegen σ( f (T)), so dass insgesamt die Gleichheit folgt. □

FUNKTIONALANALYSIS 81
Proposition 6.2.6 Ein selbstadjungierter Operator ist genau dann positiv, wenn sein
Spektrum positiv ist.
Beweis: Ist T ≥ 0, so ist nach Proposition 6.1.14 σ(T) ≥ 0.
Sei umgekehrt σ(T) ≥ 0. Dann existiert nach dem Funktionalkalkül ein
selbstadjungierter Operator S = √ T so dass T = S 2 . Es folgt für v ∈ H,
〈Tv, v〉 = 〈 S 2 v, v 〉 = 〈Sv, Sv〉 ≥ 0.
□
Korollar 6.2.7 Sei T ein selbstadjungierter Operator auf dem Hilbert-Raum H. Es gelte
σ(T) = A ∪ B mit zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen A, B. Dann existieren
eindeutig bestimmte selbstadjungierte Operatoren T A , T B so dass
• T = T A + T B ,
• σ(T A ) = A, σ(T B ) = B,
• die drei Operatoren T, T A , T B kommutieren miteinander.
Ferner gibt eine Orthogonalzerlegung H = H A ⊕ H B , so dass gilt
T A = P A T = TP A , T B = P B T = TP B ,
wobei P A und P B die entsprechenden Orthogonalprojektionen sind. Man kann diesen letzten
Tatbestand etwas lax so ausdrücken, dass in der Zerlegung H = H A ⊕ H B gilt
⎛
T A 0
T = ⎜⎝
⎞⎟
0 T ⎠ .
B
Beweis: Da A ∪ B = ∅ und beide abgeschlossen sind, liegen die Funktionen 1 A und 1 B
in C(σ(T). Setze f A (t) = t1 A und f B (t) = t1 B und T A = f A (T) sowie T B = f B (T). Wegen
f A + f B = Id σ(T) folgt T = T A + T B , ferner ist σ(T A ) = f A (σ(T)) = A und ebenso für B. Da
alle Operatoren eines Funktionalkalküls miteinander kommutieren sind die ersten
drei Punkte bewiesen.
Für den Rest setze P A = 1 A (T), dann ist P A eine selbstadjungierte Projektion, also eine
Orthogonalprojektion, sei H A das Bild. Wir machen dasselbe für B und stellen fest.
dass P A P B = 1 A 1 B (T) = 0 ist, sowie P A + P B = 1(T) = Id H .
□

FUNKTIONALANALYSIS 82
Proposition 6.2.8 Sei T = T ∗ ∈ B(H) und f ∈ C(σ(T)) reellwertig. Sei S = f (T), dann ist S
selbstadjungiert. Sei g ∈ C(σ(S)), dann gilt
(g ◦ f )(T) = g( f (T)).
Schreiben wir den Funktionalkalkül alternativ als φ( f, T) = f (T), so heisst das
φ(g ◦ f, T) = φ(g, φ( f, T)).
Beweis: Ist g(x) = x n , dann ist g ◦ f (x) = f (x) n und da h ↦→ h(T) ein
Algebrenhomomorphismus ist, folgt g ◦ f (T) = f (T) n = g( f (T)). Wegen Linearität
beider Seiten folgt die Behauptung für den Fall, dass g ein Polynom ist. Ist allgemein
g j → g eine Folge von Polynomen, die g auf σ(S) approximiert, dann geht g j ◦ f
gleichmässig auf σ(T) gegen g ◦ f , es folgt also
g ◦ f (T) = lim
j
g j ◦ f (T) = lim
j
g j ( f (T)) = g( f (T)). □
6.3 Polarzerlegung
Sei T ein stetiger Operator auf H. Dann ist T ∗ T selbstadjungiert und positiv. Deshalb
ist das Spektrum σ(T ∗ T) eine Teilmenge von [0, ∞), siehe Proposition 6.1.14. Deshalb
ist die Wurzelfunktion x ↦→ √ x eine stetige Funktion auf σ(T ∗ T). Mit Hilfe des
Funktionalkalküls definieren wir |T| = √ T ∗ T ∈ B(H). Dies ist ein selbstadjungierter
Operator mit positivem Spektrum und der Eigenschaft |T| 2 = T ∗ T.
Satz 6.3.1 Sei T ein stetiger Operator auf dem Hilbert-Raum H. Für v ∈ H ist die Norm
von |T|v gleich ||Tv||. Es existiert ein isometrischer Isomorphismus U vom Abschluss von
Bild(|T|) zum Abschluss von Bild(T) so dass T = U|T|. Diese Zerlegung von T heisst
Polarzerlegung. Sie ist eindeutig in folgendem Sinne. Ist T = U ′ P, wobei P
selbst-adjungiert und positiv ist und U ′ : Bild(P) → H ist isometrisch, dann folgt U ′ = U
und P = |T|.
Beweis: Für v ∈ H ist das Quadrat der Norm ||Tv|| 2 gleich
〈Tv, Tv〉 = 〈T ∗ Tv, v〉 = 〈 |T| 2 v, v 〉 = 〈|T|v, |T|v〉 = |||T|v|| 2

FUNKTIONALANALYSIS 83
Für v ∈ H definieren wir U(|T|v) = Tv, dann ist U eine wohldefinierte Isometrie von
Bild(|T|) nach Bild(T), die auf den Abschluss ausdehnt und die Behauptung erfüllt.
Ferner ist U surjektiv, da es nach Definition schon surjektiv von Bild(|T|) → Bild(T) ist
und da es eine Isometrie ist, ist das Bild U(Bild(|T|)) ⊂ Bild(T) vollständig und enthält
Bild(T), also ist U surjektiv.
Für die Eindeutigkeit sei T = U|T| = U ′ P. Erweitere U zu einem beschränkten
Operator auf H durch U ≡ 0 auf Bild(|T|) ⊥ mach dasselbe für U ′ . Dann ist U ∗ U die
Orthogonalprojektion auf Bild(|T|) und (U ′ ) ∗ U ′ ist die Orthogonalprojektion auf
Bild(P), so dass (U ′ ) ∗ U ′ P = P. Es gilt
|T| = √ T ∗ T = √ (U ′ P) ∗ U ′ P = √ P ∗ (U ′ ) ∗ U ′ P = √ P ∗ P = √ P 2 = P.
Hieraus folgt auch U = U ′ .
□
Beispiel 6.3.2 Sei H = L 2 ([0, 1]) und f : [0, 1] → C × eine stetige Funktion. Betrachte
den Operator T f : H → H gegeben durch
T f ϕ(x) = f (x)ϕ(x).
Wir schreiben die Funktion f als f = u| f |, wobei u : [0, 1] → T stetig ist, genauer ist
u(x) = f (x)/| f (x)|. Es gilt dann T f = T | f | T u und dies ist genau die Polarzerlegung.

FUNKTIONALANALYSIS 84
7 Kompakte Operatoren
7.1 Spektralsatz für normale kompakte Operatoren
Ein Operator T auf einem Hilbert-Raum H heisst kompakter Operator, falls T
beschränkte Mengen auf relativ kompakte Mengen abbildet.
Ist T kompakt und S beschränkt, dann sind ST und TS kompakt.
Man kann die Definition wie folgt umformulieren: T ist genau dann kompakt, wenn
zu jeder beschränkten Folge v j ∈ H die Folge Tv j eine konvergente Teilfolge hat.
Liegen die v j alle in einem endlich-dimensionalen Raum, dann gilt dies für jeden
stetigen Operator. Es reicht daher, linear unabhängige Folgen (v j ) zu betrachten.
Eine lineare Abbildung F : H → H auf einem Hilbert-Raum H heisst von endlichem
Rang, falls das Bild F(H) endlich-dimensional ist.
Beispiele 7.1.1
• Jeder Operator von endlichem Rang ist kompakt.
• Der Operator T = Id H ist genau dann kompakt, wenn H endlich-dimensional ist.
• Sei k ∈ l 2 (N × N) und definiere den Operator T : H → H = l 2 (N) durch
∑
Tϕ(i) = k(i, j)ϕ(j).
j∈N
Wir zeigen, dass T kompakt ist. Sei hierzu ϕ n eine beschränkte Folge in H, also
etwa ∣ ∣ ∣∣ϕ
∣ ∣∣ ∣∣ ≤ C < ∞. Es gilt dann nach der Hoelder-Ungleichung:
1 ∑
∑
2
|Tϕ n (i)| =
k(i, j)ϕ n (j)
∣
⎛⎜
∣ ≤ ∣
|k(i, j)| 2 ∣∣ ∣∣ϕn
∣ ∣∣ ∣∣
⎝
⎞⎟ ≤ ci C.
⎠
j
j
}{{}
=c i
Insbesondere ist für jedes i die Folge Tϕ n (i) beschränkt, hat also eine
konvergente Teilfolge. Es gibt daher eine Teilfolge ϕ 1 n von ϕ n so dass Tϕ 1 n(1)
konvergiert. Diese hat dann wieder eine Teilfolge ϕ 2 n so dass auch Tϕ 2 n(2)
konvergiert. Iterativ finden wir zu jedem j eine Teilfolge ϕ j n so dass die Folgen
Tϕn(1), j . . . , Tϕn(j) j alle konvergieren. Die Folge Tϕ n n konvergiert dann

FUNKTIONALANALYSIS 85
punktweise gegen eine Funktion ψ. Es ist
|ψ(i)| = lim
n
|Tϕ n n(i)| ≤ c i C.
Wegen
∑ ∑
|c i | 2 = |k(i, j)| 2 < ∞.
i∈N i,j∈N
ist dann ψ ∈ l 2 (N). Es bleibt zu zeigen, dass ∣ ∣ ∣∣Tϕ n
n − ψ ∣ ∣ ∣∣ gegen Null geht. Sei
hierzu ε > 0. dann existiert ein i 0 so dass ∑ i≥i 0
|c i | 2 ≤ ε/8. Es existiert ein n 0 so
dass für n ≥ n 0 gilt
Es folgt für n ≥ n 0 ,
∑i 0 −1
|Tϕ n n(i) − ψ(i)| 2 < ε/2.
i=1
∣ ∣ ∣Tϕ
n
n − ψ ∣ ∑i 0 −1
∣
∣∣ 2
= |Tϕ n n(i) − ψ(i)| 2 +
i=1
< ε 2 + ∑
i≥i 0
4|c i | 2 < ε.
∞∑
i=i 0
|Tϕ n n(i) − ψ(i)| 2
Lemma 7.1.2 Ist T kompakt, dann auch |T| und T ∗ .
Beweis: Wir schreiben T = U|T|, wobei U : Bild(|T|) → Bild(T) eine Isometrie ist. Als
solche hat sie eine Umkehrabbildung V, die ebenfalls eine Isometrie ist, also gilt
|T| = VT und V kann durch Null auf Bild(T) ⊥ fortgesetzt werden zu einem stetigen
Operator auf H. Daher ist |T| kompakt. Wir setzten auch U durch Null fort und
erhalten T ∗ = (U|T|) ∗ = |T|U ∗ . damit ist auch T ∗ kompakt.
□
Satz 7.1.3 (Spektralsatz für kompakte normale Operatoren)
Sei T ein kompakter normaler Operator auf dem Hilbert-Raum H. Es existiert eine Folge
λ j ∈ C × , die entweder endlich ist oder gegen Null geht, so dass der Raum H sich
orthogonal zerlegt:
⊕
H = Ker(T) ⊕ Eig(T, λ j ).
Jeder Eigenraum Eig(T, λ j ) = {v ∈ H : Tv = λ j v} ist endlich-dimensional und die
Eigenräume sind paarweise orthogonal.
j

FUNKTIONALANALYSIS 86
Beweis: Wir zeigen zunächst, dass ein gegebener kompakter normaler Operator T 0
einen Eigenwert λ 0 besitzt. Wir zeigen zunächst, dass es ausreicht, T als
selbstadjungiert anzunehmen, wir nehmen also vorübergehend an, die Behauptung
für selbstadjungierte Operatoren gezeigt zu haben. Es ist
T = 1(T + 2 T∗ ) − i (iT + 2 (iT)∗ ) = T 1 + iT 2 eine Linearkombination von zwei
kommutierenden selbstadjungierten Operatoren. Ist T 2 = 0, dann ist T
selbstadjungiert und wir sind fertig. Andernfalls hat T 2 einen Eigenwert ν ∈ R {0}.
Der entsprechende Eigenraum wird von T 1 in sich überführt, also ist T 1 ein
selbstadjungierter kompakter Operator auf diesem Eigenraum, hat dort also einen
Eigenwert µ ∈ R. Dann ist α = µ + iν ein nichtverschwindender Eigenwert von T.
Es bleibt zu zeigen, dass ein selbstadjungierter Operator T 0 einen Eigenwert λ 0
hat.
Lemma 7.1.4 (a) Für einen beschränkten Operator T auf einem Hilbert-Raum H gilt
sup{〈Tv, w〉 : ||v|| = ||w|| = 1} = ||T||.
(b) Ist T überdies selbstadjungiert, dann ist sogar sup{| 〈Tv, v〉 | : ||v|| = 1} = ||T|| .
Beweis: (a) Nach der Cauchy-Schwarz-Ungleichung gilt
| 〈Tv, w〉 | ≤ ||Tv|| ||w|| ≤ ||T|| ||v|| ||w|| = ||T||. Damit folgt “≤”. Für die Umkehrung sei T 0
und ||T|| > ε > 0. Wähle ein v ∈ H mit ||v|| = 1 und ||Tv|| > ||T|| − ε. Sei w = 1 Tv. dann
||Tv||
hat auch w die Norm 1 und es ist
〈Tv, w〉 =
〈Tv, Tv〉
||Tv||
= ||Tv|| > ||T|| − ε.
Damit ist das Supremum über alle v und w stets > ||T|| − ε und da ε beliebig ist, folgt
”≥”.
(b) Sei C die linke Seite der behaupteten Gleichung. Nach der Cauchy-Schwarz

FUNKTIONALANALYSIS 87
Ungleichung ist C ≤ ||T||. Andererseits für v, w ∈ H mit ||v|| , ||w|| ≤ 1 ist
C ≥ 1 2 C(||v||2 + ||w|| 2 ) = 1 4 C(||v + w||2 + ||v − w|| 2 )
≥ 1 | 〈T(v + w), v + w〉 | + | 〈T(v − w), v − w〉 | (Definition von C)
4
≥ 1 | 〈T(v + w), v + w〉 − 〈T(v − w), v − w〉 |
4
= 1 2 | 〈Tv, w〉 + 〈Tw, v〉 | = 1 | 〈Tv, w〉 + 〈w, Tv〉 |
2
= | Re 〈Tv, w〉 |.
Indem wir v durch θv für ein θ ∈ C mit |θ| = 1 ersetzen, erhalten wir C ≥ | 〈Tv, w〉 |für
alle ||v|| , ||w|| ≤ 1 und also C ≥ ||T|| nach Teil (a).
□
Wir setzen den Beweis fort, dass ein kompakter selbstadjungierter Operator T 0
einen Eigenwert λ 0 besitzt. Wir zeigen sogar, dass ‖T‖ oder −‖T‖ ein Eigenwert ist.
Nach dem Lemma existiert eine Folge (v j ) j in H mit ∣ ∣ ∣∣vj
∣ ∣∣ ∣ ∣∣ ∣∣∣ 〈 〉∣ ∣∣∣ = 1 und ||T|| = limj Tvj , v j .
Da T kompakt ist, hat Tv j eine normkonvergente Teilfolge. Wir gehen zu dieser über
und nehmen an, dass Tv j → u in der Norm konvergiert. Sei A j der schwache
Abschluss von {v i : i ≥ j} in H. Da die Einheitskugel schwach kompakt ist, und die
Familie (A j ) die endliche Schnitteigenschaft hat, gibt es ein v, das in allen A j liegt.
Dann liegt Tv in allen TA j . Da die Folge Tv j in der Norm gegen u konvergiert,
konvergiert sie auch schwach gegen u und damit folgt Tv = u. Indem wir ggf T durch
−T ersetzen, nehmen wir an 〈Tv, v〉 = ||T||. Es folgt
||Tv − ||T|| v|| 2 = ||Tv|| 2 − 2 Re 〈Tv, ||T|| v〉 + ||T|| 2 ||v|| 2
= ||T|| 2 − 2 ||T|| 2 + ||T|| 2 = 0.
Wir haben also Tv = ||T|| v.
Insgesamt haben wir jetzt gezeigt, dass jeder kompakte normale Operator T 0 einen
Eigenwert λ 0 hat. Sei U ⊂ V der Abschluss der Summe aller Eigenräume von T, die
Eigenwerte 0 haben. Nach Satz 5.4.3 ist jeder Eigenvektor von T auch ein
Eigenvektor von T ∗ . also ist U stabil unter T und T ∗ . Das orthogonale Komplement U ⊥
ist dann ebenfalls stabil unter T und T ∗ . Der Operator T induziert einen kompakten
normalen Operator auf U ⊥ . Dieser kann keinen Eigenwert 0 haben, muss also der
Nulloperator sein. Also ist U ⊥ der Kern von T. Wir haben damit gezeigt, dass H die
direkte Summe von T-Eigenräumen ist.

FUNKTIONALANALYSIS 88
Es bleibt zu zeigen, dass jeder Eigenraum Eig(T, λ) mit λ 0 endlich-dimensional ist
und dass sich die Eigenwerte nicht in C × häufen können. Für λ 0 induziert 1 λ T einen
kompakten Operator auf Eig(T, λ), also ist auf diesem Raum die Identität ein
kompakter Operator, das bedeutet, dass der abgeschlossene Einheitsball ¯B 1 (0)
norm-kompakt ist, damit ist Eig(T, λ) endlich-dimensional nach Satz 3.1.1.
Häufen sich schliesslich die Eigenwerte in einem µ 0, so gibt es ein ε > 0 und
unendlich viele Eigenwerte λ mit |α| ≥ ε. Ersetzen wir T durch 1 T, können wir
ε
annehmen, T habe unendlich viele Eigenwerte |λ| ≥ 1. Sei U der Abschluss der
Summe all dieser Eigenräume. Für u ∈ U gilt ||Tu|| ≥ ||U||. Damit erhalten wir wieder,
dass der abgeschlossene Einheitsball in U kompakt ist, ein Widerspruch. Der Satz ist
bewiesen.
Korollar 7.1.5 (Umformulierung des Spektralsatzes) Sei T ein kompakter Operator auf
einem Hilbert-Raum H. Seien λ j die Eigenwerte wie im Satz und sei P j die
Orthogonalprojektion auf den Eigenraum Eig(T, λ j ), dann gilt
∑
T = λ j P j ,
j
wobei die Reihe in der Operatornorm konvergiert. Ist umgekehrt λ j eine beliebige Nullfolge in
C × und ist (P j ) eine beliebige Folge von paarweise orthogonalen Orthoprojektionen mit
endlich-dimensionalen Bildern, dann ist die Reihe ∑ j α j P j normkonvergent gegen einen
kompakten Operator.
□
Beweis: Klar.
□
Korollar 7.1.6 (Noch eine Umformulierung) Sei T : H → H ein normaler kompakter
Operator. Dann hat H eine Orthonormalbasis (φ j ) j∈I bestehend aus Eigenvektoren von T, d.h.
für jedes j existiert ein λ j ∈ C mit Tφ j = λ j φ j .
Für jedes T > 0 ist die Menge aller j ∈ J mit |λ j | > T endlich.
Beweis: Klar.
□
Satz 7.1.7 Ein stetige Operator T auf einem Hilbert-Raum H ist genau dann kompakt,
wenn es eine Folge F n von stetigen Operatoren von endlichem Rang gibt, so dass
||T − F n || op gegen Null geht, wenn n → ∞.

FUNKTIONALANALYSIS 89
Beweis: Sei T kompakt. Wir schreiben T = S + iR mit selbstadjungierten Operatoren
S = 1 2 (T + T∗ ) und R = 1 2i (T − T∗ ). Mit T ist auch T ∗ kompakt und damit sind R und S
kompakt. Wenn wir R und S durch Operatoren von endlichem Rang approximieren
können, dann auch T. Es reicht also, T als selbstadjungiert anzunehmen. Dann saht
aber der Spektralsatz, dass
∑
T = λ j P j ,
mit einer Nullfolge (λ j und Projektionen P j von endlichem Rang gilt. Sei
F n = ∑ n
j=1 λ j P j . dann folgt
j
||F n − T|| = max{|λ j | : j > n} → 0.
Damit ist T ein Limes von Operatoren von endlichem Rang.
Für die Umkehrung sei v j eine beschränkte Folge und sei T der Norm-Limes einer
Folge F n von stetigen Operatoren von endlichem Rang. Wir können ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣vj
∣ ∣∣
∣ ∣∣ , ||T|| ≤ 1
annehmen. Dann hat v j eine Teilfolge v 1 j
so dass F 1 (v 1 j ) konvergiert. Dann hat v1 j
eine
Teilfolge v 2 so dass F
j 2 (v 2) konvergiert und so weiter. Sei w j j = v j . Für jedes n ∈ N
j
konvergiert die Folge (F n (w j )) j∈N . Da T der Norm-Limes der F n ist, konvergiert die
Folge Tw j ebenfalls.
□
Beispiel 7.1.8 (Spektralzerlegung eines Operatorkerns) Sei k ∈ l 2 (N × N). Wir haben
bereits festgestellt, dass der Operator T k mit Kern k kompakt ist. Ferner wissen wir
T ∗ = T k k ∗, wobei k∗ (n, m) = k(m, n). Nehmen wir nun an, dass T k selbstadjungiert ist.
Dies ist genau dann der Fall wenn k = k ∗ gilt. Nach dem Spektralsatz existiert dann
eine ONB aus Eigenvektoren (φ j ) j∈J . Wir behaupten nun, dass gilt
∑
k(n, m) = λ j φ j (n)φ j (m),
j∈J
wobei die Summe in l 2 (N × N) (also insbesondere punktweise) konvergiert.
Beweis: Wir zeigen zunächst dass (φ i φ j ) (i,j)∈J 2 eine ONB von l 2 (N × N) ist. Es gilt
〈 〉 ∑
φi φ j , φ µ φ ν = φ i (n)φ j (m)φ µ (n)φ ν (m)
n,m
⎛
⎞ ⎛
⎞
∑
∑
= ⎜⎝ φ i (n)φ µ (n) ⎟⎠ ⎜⎝ φ j (m)φ ν (m) ⎟⎠
n
m
= 〈 φ i , φ µ
〉 〈
φν , φ j
〉
= δi,µ δ ν,j = δ (i,j),(µ,ν) .

FUNKTIONALANALYSIS 90
Damit ist es ein Orthonormalsystem. Um die Vollständigkeit zu zeigen sei
h ∈ l 2 (N × N) senkrecht auf allen (φ i φ j ). Dann gilt bei absoluter Konvergenz der Reihe,
0 = 〈 ⎛
⎞
〉 ∑
∑ ∑
h, φ i φ j = h(m, n)φ i (m)φ j (n) = ⎜⎝ h(m, n)φ i (m) ⎟⎠ φ j(n).
m,n
n m
Da (φ j ) eine ONB ist, folgt
∑
h(m, n)φ i (m) = 0
m
für jedes n ∈ N, woraus mit derselben Begründung folgt h(m, n) = 0 für alle m, n.
Wir entwickeln k in dieser ONB und erhalten
∑
k(n, m) = c i,j φ i (n)φ j (m),
i,j
wobei
c i,j = 〈 〉 ∑
k, φ i φ j = k(m, n)φ i (m)φ j (n)
m,n
⎛
⎞
∑ ∑
= ⎜⎝ k(m, n)φ j (n) ⎟⎠ φ i(m)
m n
∑ (
= Tk φ j (m) ) ∑
〈 〉
φ i (m) = λ j φ j (m)φ i (m) = λ j φj , φ i = λj δ i,j .
m
m
□
7.2 Hilbert-Schmidt-Operatoren
Sei T ∈ B(H), und sei (e j ) eine Orthonormalbasis von H. Die Hilbert-Schmidt-Norm
||T|| HS von T ist definiert als
||T|| 2 HS
def
=
∑ 〈 〉
Tej , Te j .
j
Diese Zahl ist ≥ 0 und kann den Wert +∞ annehmen. Wir zeigen jetzt, dass diese Zahl
nicht von der Wahl der ONB abhängt.
Zunächst halten wir fest, dass für zwei Vektoren v, w ∈ H und eine beliebige ONB (e j )
gilt
∑ 〈 〉 〈
〈v, w〉 = v, ej ej , w 〉 .
j

FUNKTIONALANALYSIS 91
Sei nun(φ α ) eine zweite ONB. Da wir die Unabhängigkeit noch nicht gezeigt haben,
schreiben wir ||T|| 2 HS (e i) und ||T|| 2 HS (φ α), für die entsprechenden HS-Normen. Wir
rechnen
∑ ∑
||T|| 2 HS (e 〈 〉 〈 〉
j) = Tej , φ α φα , Te j
j
α
∑ ∑ 〈 〉 〈 〉
= ej , T ∗ φ α T ∗ φ α , e j
j
α
∑ ∑ 〈 〉 〈 〉
= ej , T ∗ φ α T ∗ φ α , e j
α j
= ||T ∗ || 2 HS (φ α).
Die Vertauschung ist gerechtfertigt, da alle Summanden positiv sind. Indem wir dies
zunächst für (e j ) = (φ α ) und dann für T ∗ anstelle von T anwenden, erhalten wir
||T|| 2 HS (e j) = ||T ∗ || 2 HS (e j) = ||T|| 2 HS (φ α).
Der Operator T heisst ein Hilbert-Schmidt-Operator, falls
||T|| HS < ∞.
Satz 7.2.1 (a) Die Menge HS aller Hilbert-Schmidt-Operatoren ist ein
Untervektorraum von B(H). Die Vorschrift
∑ 〈 〉
〈S, T〉 HS = Sej , Te j
definiert ein Skalarprodukt auf HS, das nicht von der Wahl der ONB (e j ) abhängt.
Die Abbildung ||.|| HS ist eine Norm auf HS.
(b) Für jeden beschränkten Operator T auf H gilt
j
||T|| ≤ ||T|| HS .
Für jeden unitären Operator U ist ||UT|| HS = ||TU|| HS = ||T|| HS .
(c) Jeder Hilbert-Schmidt-Operator ist kompakt.

FUNKTIONALANALYSIS 92
(d) Sei T ein normaler kompakter Operator und seien λ 1 , λ 2 , . . . die Eigenwerte, wobei
jeder nach seiner Vielfachheit wiederholt wird. Dann ist
∑
|λ j | 2 = ||T|| 2 HS .
j
Das heisst, ein normaler kompakter Operator ist genau dann Hilbert-Schmidt, wenn
seine Eigenwerte eine l 2 -Folge bilden.
Beweis: (a) Nach der Cauchy-Schwarz-Ungleichung und der Hoelder-Ungleichung
gilt
∑
〉∣
∣ ∣∣∣ ∑
∣〈
Sej , Te j ≤ ∣ ∣ ∣
∣Sej
∣∣ ∣∣
∣ ∣∣ ∣∣Tej
∣ ∣∣ ∑ ∣∣ ≤
⎛⎜ ∣ ∣ ⎞ 1 ∣
∣Sej
∣∣ 2
∑ ∣∣ 2
⎝ ⎟⎠
⎛⎜ ∣ ∣ ⎞
∣
∣Tej
∣∣ ∣∣ 2
⎝ ⎟⎠
j
j
j
j
1
2
= ||S|| HS ||T|| HS < ∞,
also konvergiert die Reihe absolut. Für S, T ∈ HS folgt
∞ > | 〈S, S〉 HS + 〈T, T〉 HS + 〈S, T〉 HS + 〈T, S〉 HS | = ||S + T|| HS .
Damit ist auch S + T ∈ HS, die Menge HS also ein Vektorraum. Schließlich ist 〈., .〉 HS
ein Skalarprodukt mit Norm ||.|| HS und die Polarisierungsidentität aus Korollar 2.3.7
zeigt, dass 〈., .〉 HS nicht von der Wahl der ONB abhängt. Insbesondere gilt die
Cauchy-Schwarz-Ungleichung und aus dieser erhält man die Dreiecksungleichung
||S + T|| HS ≤ ||S|| HS + ||T|| HS ,
so dass ||.|| HS wirklich eine Norm ist.
(b) Sei v ∈ H mit ||v|| = 1. Dann existiert eine ONB (e j ) mit e 1 = v. Es folgt
∑
||Tv|| 2 = ||Te 1 || 2
≤ ∣ ∣ ∣
∣Tej
∣∣ ∣∣ 2
= ||T||
2
Da mit (e j ) auch (Ue j ) eine ONB ist, folgt der Rest.
(c) Sei T ein HS-Operator und sei (e j ) j∈N eine orthonormale Folge. Dann konvergiert
die Reihe ∑ ∞
∣ ∣ ∣
∣Tej
∣∣ ∣∣ 2
, also konvergiert die Folge Tej gegen Null. Damit ist T kompakt.
j=1
j
HS .

FUNKTIONALANALYSIS 93
(d) Es existiert eine ONB (e j ), die aus Eigenvektoren besteht, also Te j = λ j e j . Dann ist
∑ ∑ 〈 〉
|λ j | 2 = Tej , Te j . □
j
j
Beispiel 7.2.2 Sei µ ein σ-endliches Maß auf einer σ-Algebra auf einer Menge X.
Betrachte den Hilbert-Raum L 2 (X). Sei k eine Funktion in L 2 (X × X). Wir nennen k
einen L 2 -Kern.
Sei k(x, y) ein L 2 -Kern auf X. Für ϕ ∈ L 2 (X) definiere
Kϕ(x)
def
=
∫
X
k(x, y)ϕ(y) dµ(y).
Dann existiert dieses Integral fast überall in x. Die Funktion Kϕ liegt in L 2 (X) und K
definiert einen Hilbert-Schmidt-Operator K : L 2 (X) → L 2 (X) mit
||K|| 2 HS = ∫
X
∫
X
|k(x, y)| 2 dµ(x) dµ(y).
Beweis: Um die Existenz des Integrals zu zeigen, sei ψ ein beliebiges Element von
L 2 (X). Dann liegt die Abbildung (x, y) ↦→ ψ(x)ϕ(y) in L 2 (X × X) und daher ist die
Funktion (x, y) → k(x, y)ϕ(y)ψ(x) integrierbar über X × X. Nach dem Satz von Fubini
folgt, dass
∫
X
∫
ψ(x)k(x, y)ϕ(y) dy = ψ(x) k(x, y)ϕ(y) dy
X
für fast alle x ∈ X existiert. Da ψ beliebig ist, folgt die behauptete Existenz des
Integrals.
Mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung schätzen wir ab
∣ ∣ ∣
∣Kϕ
∣∣ ∫
∣∣ 2
=
∫
≤
∫
=
X
X
X
∫
∫
|Kϕ(x)| 2 dx =
∣ k(x, y)ϕ(y) dy
∣
X X
∫
∫
|k(x, y)| 2 dx dy |ϕ(y)| 2 dy
X
X
∫
|k(x, y)| 2 dx dy ∣ ∣ ∣∣ϕ
∣ ∣∣ ∣∣ 2
.
X
2
dx
Also definiert K einen stetigen Operator auf L 2 (X). Sei (e j ) eine ONB von L 2 (X). Dann

FUNKTIONALANALYSIS 94
gilt
∑
||K|| 2 HS = 〈 〉 ∑ ∫
Kej , Ke j = Ke j (x)Ke j (x) dx
j
∑ ∫
=
j
∑ ∫
=
j
∫
=
∫
=
X
X
X
∫
j X
∫
k(x, y)e j (y) dy
X
X
〈
k(x, .), ej
〉 〈
ej , k(x, .) 〉 dx
∑ 〈 〉 〈
k(x, .), ej ej , k(x, .) 〉 dx
j
∫
〈k(x, .), k(x, .)〉 dx =
X
X X
k(x, y)e j (y) dy dx
∫
|k(x, y)| 2 dx dy.
□
7.3 Spurklasse-Operatoren
Definition 7.3.1 Sei T ein kompakter Operator. Nach Lemma 7.1.2 ist |T| = √ T ∗ T
ebenfalls kompakt. Sei s 1 (T) ≥ s 2 (T) ≥ . . . die (möglicherweise endliche) Folge der
nichtverschwindenden Eigenwerte des positiven Operators |T|, wobei jeder Eigenwert
nach Vielfachheit wiederholt auftritt. Die s j = s j (T) werden die singulären Werte von
T genannt.
Ein kompakter Operator heisst Spurklasse-Operator, wenn gilt
||T|| Sp
def
=
∑
s j (T) < ∞.
j
Die Zahl ||T|| Sp ∈ [0, ∞] heisst Spur-Norm von T. Jeder Spurklasse-Operator ist
Hilbert-Schmidt.
Satz 7.3.2 (a) Ist T von Spurklasse und S stetig, so sind die Normen ||ST|| Sp , ||TS|| Sp beide
≤ ||S|| ||T|| Sp .
(b) Für einen kompakten Operator T gilt
∑
||T|| Sp = sup | 〈Te i , h i 〉 |,
(e i ),(h i )
wobei das Supremum über alle ONBs (e i ) und (h i ) läuft.
i

FUNKTIONALANALYSIS 95
(c) Die Menge der Spurklassen-Operatoren ist ein Untervektorraum von B(H) und ||.|| Sp
ist eine Norm.
(d) Für einen kompakten Operator T mit singulären werten (s j ) gilt ∑ j s 2 = ||T|| 2 j HS und
daher ist T genau dann Hilbert-Schmidt, wenn ∑ j s 2 < ∞ ist.
j
(e) T ist genau dann Spurklasse, wenn ∑ j s j < ∞.
(f) T ist genau dann Spurklasse, wenn es zwei Hilbert-Schmidt Operatoren S 1 , S 2 gibt so
dass T = S 1 S 2 .
(g) Für jeden Operator T auf H gilt
||T|| ≤ ||T|| HS ≤ ||T|| Sp .
Beweis: (a) Sei T ein kompakter Operator. Da die singulären werte s j die Eigenwerte
des Operators |T| sind und da stets gilt ||Tv|| = |||T|v||, gilt s 1 (T) = ||T|| und
s j+1 (T) =
inf sup{||Tw|| : w ⊥ v 1, . . . , v j , ||w|| = 1}.
v 1 ,...,v j ∈H
Hieraus folgt sofort, dass für jeden beschränkten Operator S auf H gilt
s j (ST) ≤ ||S|| s j (T) und damit folgt die Ungleichung ||ST|| Sp ≤ ||S|| ||T|| Sp Die Ungleichung
||TS|| Sp ≤ ||S|| ||T|| Sp aus ||T|| = ||T ∗ || und ||T|| Sp = ||T ∗ || Sp .
(b) Wir brauchen ein Lemma.
Lemma 7.3.3 Sei T ein kompakter Operator auf H und seien (s j ) seine singulären Werte. Es
gibt orthonormale Folgen ( f j ), (g j ) von H, so dass für jedes v ∈ H gilt
∑ 〈 〉
Tv = s j v, fj gj .
j
Beweis: Da |T| selbstadjungiert ist, gibt es eine orthonormale Folge ( f j ) mit |T| f j = s j f j .
Da die ( f j ) dann eine ONB von Bild(|T|) sind, gilt für jedes v ∈ H, dass
|T|v = ∑ 〈 〉
j |T|v, fj fj = ∑ 〈 〉
j s j v, fj fj und damit
⎛
∑ 〈 〉 ∑ 〈 〉
Tv = U|T|v = U s ⎜⎝ j v, fj fj
⎞⎟ = s ⎠ j v, fj U fj .
j
j

FUNKTIONALANALYSIS 96
Setze nun g j = U f j und das Lemma ist bewiesen.
□
Nun beweisen wir (b): Nach der Cauchy-Schwarz-Ungleichung gilt für je zwei ONBs
e, h,
∑
∑
∑
〈 〉 〈 〉 ∣ ∣∣∣∣∣
| 〈Te i , h i 〉 | =
s j ei , f j gj , h i
∣
i
i j
∑ ∑
〉 〈 〉∣
≤ s j
∣
∣∣∣
∣〈
ei , f j gj , h i
j i
∑ ∑
≤ s j
⎛⎜ ⎝ | 〈 ⎞ 1
〉 2 ∑
e i , f j |
2
⎟⎠
⎛⎜ ⎝ | 〈 ⎞
〉
g j , h i |
2
⎟⎠
j
i
∑ ∣ ∣∣ ∣∣
∣ ∣∣ ∣∣
∣ ∣∣ ∣∣gj
∣ ∣∣ ∑ ∣∣
= s j fj = s j .
j
j
Damit folgt der ≥-Teil der Aussage. Die andere Richtung folgt, indem man für e eine
ONB wählt, die die Folge f enthält und für h eine ONB, die die Folge g enthält, dann
ist ∑ i | 〈Te i , h i 〉 | = ∑ j s j .
(c) Der einzige kitzlige Teil ist die Dreiecksungleichung, die aber mit Teil (b) klar ist.
(d) Für eine beliebige ONB gilt
∑ 〈 〉 ∑ 〈 〉 ∑ 〈 〉 ∑ 〈 〉
Tej , Te j = T ∗ Te j , e j = |T| 2 e j , e j = |T|ej , |T|e j .
i
1
2
j
j
j
j
Benutzen wir nun eine ONB ( f j ) bestehend aus Eigenvektoren von |T|, so folgt die
Behauptung.
(e) ist Definition und für (f) sei T Spurklasse und sei T = U|T| die Polarzerlegung von
T. Nach dem Spektralsatz ist das Bild des Operators S 2 = √ |T| gleich dem Bild von|T|
und deshalb können wir den Operator S 1 = U √ |T| definieren. Die Operatoren S 1 und
S 2 sind Hilbert-Schmidt Operatoren und es gilt T = S 1 S 2 .
Für die umgekehrte Richtung müssen wir zeigen, dass für je zwei
Hilbert-Schmidt-Operatoren S und T der Operator TS von Spurklasse ist. Nun hat S ∗
dieselben singulären Werte und es folgt, dass S ∗ S ein Spurklasse Operator ist. Wir
betrachten die sesquilineare Abbildung b : B(H) × B(H) → B(H) gegeben durch
b(S, T) = T ∗ S.

FUNKTIONALANALYSIS 97
Nach der Polarisierungsidentität aus Korollar 2.3.7 gilt
b(S, T) = 1 [D(S + T) − D(S − T) + iD(S + iT) − iD(S − iT)] ,
4
wobei D(S) = S ∗ S ist. Die rechte Seite besteht nur aus Spurklasse-Operatoren, also ist
die linke Seite, also T ∗ S ebenfalls Spurklasse. Ersetze nun T durch T ∗ , so folgt (f).
(g) Die erste Abschätzung kommt schon in Satz 7.2.1 vor und die zweite ist die
Abschätzung ||.|| 2 ≤ ||.|| 1 zwischen der l 2 und der l 1 -Norm.
□
Satz 7.3.4 Sei T ein Spurklasse-Operator. Die Spur
Sp(T)
def
=
∑ 〈 〉
Tej , e j
j
hängt nicht von der Wahl der ONB (e j ) ab. Ist T Spurklasse und normal, dann gilt
∑
Sp(T) = λ n dim Eig(T, λ n ),
wobei die Summe über die nichtverschwindenden Eigenwerte λ n läuft.
n
Beweis: Wir wählen zwei Hilbert-Schmidt Operatoren R und S mit T = RS. Dann ist
∑ ∑
〈Te i , e i 〉 = 〈Re i , S ∗ e i 〉 .
i
i
Dies ist gerade das Hilbert-Schmidt Skalarprodukt 〈R, S〉 HS und hängt nach
Proposition 7.2.1 nicht von der ONB ab. Für die zweite Aussage wähle eine ONB, die
aus Eigenvektoren besteht.
□
Sei T kompakt und sei s j die Folge seiner singulären Werte. Es gilt
T ist Spurklasse
T ist Hilbert-Schmidt
(s j ) ∈ l 1 (s j ) ∈ l 2 .
Proposition 7.3.5 Sei SP = SP(H) die Menge der Spurklasse-Operatoren auf einem
gegebenen Hilbert-Raum H und K die Menge der kompakten Operatoren, dann sind

FUNKTIONALANALYSIS 98
K, HS, SP Ideale in der Algebra B(H). Es gilt
K ⊃ HS ⊃ HS 2 = SP.
Beweis: Diese Proposition fasst nur einige Ergebnisse dieses Abschnitts zusammen. □

FUNKTIONALANALYSIS 99
8 Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren
8.1 Spektralmaße
Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und A die Borel-σ-Algebra auf X und sei H
ein Hilbert-Raum. Ein Spektralmaß ist ein Abbildung µ : A → B(H) mit folgenden
Eigenschaften:
(a) µ(∅) = 0 und µ(X) = Id.
(b) Jedes µ(A) ist eine Orthogonalprojektion.
(c) µ(A ∩ B) = µ(A)µ(B).
(d) Ist A ∩ B = ∅, dann gilt µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B).
(e) Für all v, w ∈ H ist die Funktion
µ v,w (A) = 〈 µ(A)v, w 〉
ein C-wertiges Radon-Maß auf Ω.
Erste Eigenschaften
• Für jedes v ∈ H gilt
µ v,v (A) = 〈 µ(A)v, v 〉 = 〈 µ(A)v, µ(A)v 〉 = ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣µ(A)v
∣ ∣∣
∣ ∣∣ 2
,
so dass µ v,v ein positives Radon-Maß ist mit
µ v,v (Ω) = ||v|| 2 .
• Je zwei Projektionen µ(A) und µ(B) kommutieren miteinander.
• Ist A ∩ B = ∅, so stehen die Bilder von µ(A) und µ(B) senkrecht aufeinander, d.h.
es gilt µ(A)µ(B) = 0.
Beispiele 8.1.1
• Sei T : H → H ein selbstadjungierter Operator auf dem
endlich-dimensionalen Hilbert-Raum H. Auf der Borel-σ-Algebra von C

FUNKTIONALANALYSIS 100
definieren wir
∑
µ(A) = Pr λ ,
wobei Pr λ die Orthogonalprojektion auf den Eigenraum Eig(T, λ) ist. Da
verschiedene Eigenräume von T senkrecht aufeinander stehen, ist µ ein
Spektralmaß.
• Sei H = L 2 (R) und für jede messbare Teilmenge A ⊂ R sei µ(A) : H → H gegeben
durch
µ(A)(ϕ) = 1 A ϕ.
Dann ist µ ein Spektralmaß.
Proposition 8.1.2 Ist µ ein Spektralmaß, dann ist für jedes v ∈ H die Abbildung
λ∈A
A ↦→ µ(A)v
ein abzählbar additives, H-wertiges Maß auf Ω. Mit anderen Worten, µ : A → B(H) ist
σ-additiv, wenn wir B(H) mit der starken Topologie versehen.
Man beachte, dass µ als Abbildung von A nach B(H) im Allgemeinen nicht σ-Additiv
ist, wenn B(H) die Normtopologie trägt!
Beweis: Nur die σ-Additivität ist zu zeigen. Seien also A 1 , A 2 , . . . paarweise disjunkte
messbare Mengen und A = ⋃ j A j . Nach Voraussetzung ist für jedes w ∈ H,
∞∑ 〈
µ(Aj )v, w 〉 = 〈 µ(A)v, w 〉 .
j=1
Sei v j = µ(A j )v. Da die A j paarweise disjunkt sind, sind die v j paarweise orthogonal.
Da
∑
∣ ∣ ∣
∣vj
∣∣ ∑ ∣∣ 2 = ∣ ∣ ∣µ(Aj )v ∣ ∑
∣
∣∣ 2
〈
= µ(Aj )v, µ(A j )v 〉
j
j
j
∑ 〈
= µ(Aj )v, v 〉 ∑
= µ v,v (A j ) = µ v,v (A) ≤ µ v,v (X) = ||v|| 2 < ∞
j
j
konvergiert die Reihe ∑ j v j in der Norm gemäss Satz 4.2.11.
□
Beispiel 8.1.3 Ein Beispiel, dass ein Spektralmass als Abbildung nach B(H) nicht
σ-additiv ist: Sei H = L 2 (R) und µ(A)(ϕ) = 1 A ϕ. Sei A j = (j, j + 1) für j ∈ N und sei

FUNKTIONALANALYSIS 101
A = ⋃ j A j . Dann konvergiert die Summe ∑ j µ(A j ) stark gegen µ(A) wie wir in der
Proposition gezeigt haben. Sie konvergiert allerdings nicht in der Norm, denn
µ(A) −
ist eine Projektion 0, hat also stets Norm 1.
⎛
N∑ ⋃
µ(A j ) = µ A ⎜⎝ j
⎞⎟ ⎠
j=1
j>N
Lemma 8.1.4 Sei µ ein Spektralmaß und seien A 1 , A 2 , · · · ∈ A mit µ(A j ) = 0 für jedes j. Sei
A = ⋃ j A j . Dann ist µ(A) = 0.
Beweis: Für v ∈ H gilt µ v,v (A j ) = 0 und daher 0 = µ v,v (A) = 〈 µ(A)v, v 〉 . Daher ist die
Projektion µ(A) gleich Null.
□
8.2 Der Spektralsatz
Satz 8.2.1 Sein T ein selbstadjungierter stetiger Operator auf dem Hilbert-Raum H.
Dann existiert ein eindeutig bestimmtes Spektralmaß µ auf der Borel-σ-Algebra von
σ(T) ⊂ C so dass
∫
f (T) =
σ(T)
f (t) dµ(t)
für jedes f ∈ C(σ(T)). Ferner gilt: Jede Projektion µ(A) kommutiert mit jedem S ∈ B(H),
welches mit T kommutiert. Insbesondere folgt also die Spektraldarstellung von T:
∫
T = t dµ(t).
σ(T)
Beweis: Die Aussage bedeutet
〈 f (T)v, w
〉 =
∫
σ(T)
f (t) dµ v,w (t)
für alle v, w ∈ H und alle f ∈ C(σ(T)). Da diese Integrale ein Spektralmaß eindeutig
festlegen, folgt die Eindeutigkeit.
Zur Existenz: Die Abbildung f ↦→ 〈 f (T)v, v 〉 ist ein positives lineares Funktional,
definiert nach dem Darstellungssatz von Riesz also ein Radon-Maß µ v,v auf σ(T).

FUNKTIONALANALYSIS 102
Dieses Maß nimmt wegen µ v,v (σ(T)) = ||v|| 2 < ∞ nur endliche Werte an. Aus den
Polarisierungsidentitäten erhält man dann komplexwertige Maße µ v,w , durch
µ v,w = 1 [ ]
µv+w − µ v−w + iµ v+iw − iµ v−iw ,
4
wobei wir abkürzend µ v für µ v,v geschrieben haben. Für die Totalvariation |µ v,w | gilt
|µ v,w | ≤ 1 [ ]
µv+w + µ v−w + µ v+iw + µ v−iw .
4
Auf Grund der Polarisierungsidentitäten folgt 〈 f (T)v, w 〉 = ∫ σ(T) f (t) dµ v,w(t) für alle
v, w ∈ H und jedes f ∈ C(σ(T)). Ist f reellwertig, so gilt 〈 f (T)v, w 〉 = 〈 f (T)w, v 〉 und
daher folgt µ w,v = µ v,w .
Ist f nur messbar und beschränkt, etwa | f | ≤ C macht die rechte Seite der Gleichung
immer noch Sinn. Wir behaupten, dass die lineare Abbildung w ↦→ ∫ σ(T) f (t) dµ v,w(t)
stetig ist. Hierzu seien ||w|| = ||v|| = 1. Dann gilt
∫
∣
σ(T)
f (t) dµ v,w (t)
∣
∫σ(T)
≤ | f (t)| d|µ v,w |(t)
≤ 1 ∫
4
≤ 1 ∫
4
| f (t)| d [ ]
µ v+w + µ v−w + µ v+iw + µ v−iw
σ(T)
C d [ ]
µ v+w + µ v−w + µ v+iw + µ v−iw
σ(T)
= C 4
(〈v + w, v + w〉 + 〈v − w, v − w〉 + 〈v + iw, v + iw〉 + 〈v − iw, v − iw〉)
= C(||v|| 2 + ||w|| 2 ) = 2C.
Also ist diese lineare Abbildung stetig. Daher existiert genau ein Vektor φ( f )v so dass
〈 〉
∫
φ( f )v, w = f (t) dµ v,w (t)
für alle w gilt. Nach der obigen Rechnung ist für ||v|| = ||w|| = 1 schon | 〈 φ( f )v, w 〉 | ≤ 2C,
also gilt für beliebige v, w:
| 〈 φ( f )v, w 〉 | ≤ 2C ||v|| ||w|| .
Die Abbildung v ↦→ φ( f )v ist schnell als linear erkannt. Sie ist auch stetig, denn für
σ(T)

FUNKTIONALANALYSIS 103
w = φ( f )v erhalten wir
also ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣φ( f )v
∣ ∣∣
∣ ∣∣ ≤ 2C ||v||.
∣ ∣ ∣ ∣φ( f )v
∣ ∣∣
∣ ∣∣ 2
= |
〈
φ( f )v, φ( f )v
〉
| ≤ 2C ||v||
∣ ∣∣
∣ ∣∣φ( f )v
∣ ∣∣
∣ ∣∣ ,
Wir behaupten nun, dass φ( f g) = φ( f )φ(g) für alle beschränkten messbaren
Funktionen f, g auf σ(T) gilt. Hierzu beachte, dass diese Gleichung für f, g ∈ C(σ(T))
richtig ist, also
∫
σ(T)
f (t)g(t) dµ v,w (t) = 〈 φ( f g)v, w 〉 = 〈 φ( f )φ(g)v, w 〉 ∫
=
σ(T)
f (t) dµ g(T)v,w .
Die Gleichheit dieser Integrale bleibt erhalten, wenn f durch eine beschränkte
messbare Funktion ersetzt wird. In diesem Fall schreiben wir dann
∫
f (t)g(t) dµ v,w (t) = 〈 φ( f g)v, w 〉 = 〈 φ(g)v, φ( f ) ∗ w 〉 ∫
= g(t) dµ v,φ( f ) ∗ w.
σ(T)
Jetzt können wir auch g durch eine beschränkte messbare Funktion ersetzen, so dass
wir erhalten
〈
φ( f g)v, w
〉
=
∫
σ(T)
∫
f g dµ v,w =
σ(T)
g dµ v,φ( f ) ∗ w
σ(T)
= 〈 φ(g)v, φ( f ) ∗ w 〉 = 〈 φ( f )φ(g)v, w 〉 .
Die Gleichung φ( f ) ∗ = φ( f ∗ ) vererbt sich ebenfalls von C(σ(T)) auf alle beschränkten
messbaren Funktionen. Wir definieren nun µ(A) = φ(1 A ) für eine messbare Teilmenge
A ⊂ σ(T). Dann ist µ(A) eine Orthogonalprojektion. Die Eigenschaften eines
Spektralmaßes sind erfüllt.
□
Beispiel 8.2.2 Sei H = L 2 ([0, 1]) und T : H → H definiert durch
T(ϕ)(x) = xφ(x).
Dann ist das Spektralmaß µ gegeben durch
µ(A)ϕ(x) = 1 A (x)ϕ(x).
Dass dies ein Spektralmaß ist, haben wir uns schon überlegt. Wir beweisen nun, dass

FUNKTIONALANALYSIS 104
es das Spektralmaß zu T ist, indem wir für ϕ, ψ ∈ H und f ∈ C(σ(T)) = C([0, 1])
rechnen:
〈(∫
) 〉 ∫
f (t) dµ(t) ϕ, ψ = f (t)dµ ϕ,ψ .
[0,1]
[0,1]
Sind ϕ = 1 A und ψ = 1 B für messbare Teilmengen A, B ⊂ [0, 1], dann gilt
µ ϕ,ψ (S) = 〈 µ(S)ϕ, ψ 〉 = 〈1 S 1 A , 1 B 〉 = λ(A ∩ B ∩ S),
wobei λ das Lebesgue-Maß auf [0, 1] ist. Daher ist in diesem Fall
〈(∫
[0,1]
) 〉 ∫
f (t) dµ(t) ϕ, ψ =
A∩B
f (t) dλ(t).
Andererseits ist f (T)ϕ(x) = f (x)ϕ(x) und daher
∫
〈 〉 f (T)ϕ, ψ = f (x) dλ(x).
Da die Funktionen der Form 1 A in L 2 ([0, 1]) einen dichten Teilraum erzeugen, folgt die
Gleichheit
〈(∫
) 〉
f (t) dµ(t) ϕ, ψ = 〈 f (T)ϕ, ψ 〉
[0,1]
allgemein.
□
A∩B

FUNKTIONALANALYSIS 105
9 Topologische Vektorräume
9.1 Netze
Sei I eine Menge. Eine partielle Ordnung auf I ist eine Relation ≤, die
• reflexiv ist: x ≤ x,
• anti-symmetrisch ist: x ≤ y und y ≤ x ⇒ x = y,
• transitiv ist: x ≤ y and y ≤ z ⇒ x ≤ z.
Beispiele 9.1.1 • Die natürliche Ordnung ≤ auf R.
• Sei X eine Menge. Auf der Menge P(X) aller Teilmengen von X gibt es eine
natürliche Ordnung durch Inklusion, also fuer A, B ⊂ X,
A ≤ B ⇔ A ⊂ B.
Eine partiell geordnete Menge (I, ≤) heisst gerichtet, falls je zwei Elemente eine obere
Schranke haben, falls also gilt
x, y ∈ I ⇒ ∃ z∈I : x ≤ z, y ≤ z.
Ist I gerichtet, so hat jede endliche Teilmenge eine obere Schranke.
Definition 9.1.2 Ein Netz in einem topologischen Raum X ist eine Abbildung
α : I → X,
wobei I eine gerichtete Menge ist. Man schreibt die Bilder als α i , i ∈ I, anstelle von α(i).
Beispiel 9.1.3 Jede Folge ist ein Netz.
Wir sagen, ein Netz α konvergiert gegen einen Punkt x ∈ X, falls es zu jeder
Umgebung U von x einen Index i 0 ∈ I gibt so dass
i ≥ i 0 ⇒ α i ∈ U.

FUNKTIONALANALYSIS 106
In dem Fall einer Folge, also I = N, stimmt dies mit der Definition der Konvergenz
einer Folge überein.
A priori kann ein Netz gegen mehrere Punkte konvergieren. Der Extremfall ist die
triviale Topologie in der jedes netz gegen jeden Punkt konvergiert. Die Eindeutigkeit
der Limiten ist äquivalent zur Hausdorff-Eigenschaft.
Proposition 9.1.4 Ein topologischer Raum X ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn
Limiten eindeutig sind, d.h., wenn jedes Netz höchstens einen Grenzwert hat.
Beweis: Sei X hausdorffsch und sei (x i ) ein konvergentes Netz. Nimm an, es
konvergiert gegen x und y mit x y. Wegen der Hausdorff-Eigenschaft gibt es offene
Mengen U ∋ x und V ∋ y so dass U ∩ V = ∅. Da (x i ) gegen x und y konvergiert, gibt es
einen Index i so dass x i ∈ U und x i ∈ V, ein Widerspruch!Also ist der Limes eines
Netzes in der Tat eindeutig bestimmt.
Fuer die Rückrichtung nimm an, dass Limiten eindeutig sind. Wir zeigen, dass der
Raum hausdorffsch ist. Seien also x y in X. Sei S die Menge aller Paare (U, V) so dass
U, V offene Teilmengen von X sind mit U ∋ x und V ∋ y. Die Menge S wird partiell
geordnet durch umgekehrte Inklusion, d.h.,
(U, V) ≤ (U ′ , V ′ ) ⇔ U ⊃ U ′ und V ⊃ V ′ .
Die Menge S ist gerichtet, da man Schnitte nehmen kann. Wir zeigen die
Hausdorff-Eigenschaft durch Widerspruch, indem wir also annehmen, dass
U ∩ V ∅ fuer jedes (U, V) ∈ S. Fuer jedes (U, V) ∈ S wähle ein Element z UV in U ∩ V.
Dann ist z UV ein Netz mit Indexmenge S. Da z UV sowohl in U als auch in V liegt,
konvergiert dieses Netz gegen x und gegen y. Wegen der Eindeutigkeit der Limiten ist
x = y, ein Widerspruch!
□
Eine Abbildung ϕ : J → I zwischen zwei gerichteten Mengen heisst streng cofinal,
falls es zu jedem i 0 ∈ I ein j 0 ∈ J gibt, so dass fuer jedes j ≥ j 0 gilt ϕ(j) ≥ i 0 . Das
bedeutet, dass die Abbildung ϕ nicht monoton zu sein braucht, sie kann vor und
zurückspringen, aber sie soll ”im Wesentlichen” monoton sein und die Zielmenge I
”ausschöpfen”.
Definition 9.1.5 Sei α : I → X ein Netz. EinTeilnetz ist ein Netz β : J → X zusammen

FUNKTIONALANALYSIS 107
mit einer Faktorisierung
J
ϕ
I
so dass die Abbildung ϕ streng cofinal ist.
β
α
X
Mit anderen Worten, Teilnetze werden gegeben durch streng cofinale Abbildungen in
die Indexmenge I.
Konvergiert α gegen x ∈ X, dann konvergiert jedes Teilnetz ebenfalls gegen x ∈ X.
Proposition 9.1.6 Sei X ein topologischer Raum und sei A ⊂ X. Der Abschluss Ā ist gleich
der Menge aller Limiten von Netzen in A.
Mit anderen Worten, ein Punkt x ∈ X liegt genau dann in Ā , wenn es ein Netz (α i ) i∈I gibt mit
α i ∈ A, fuer alle i ∈ I, welches in X gegen x konvergiert.
Beweis: Der Abschluss Ā ist die Menge aller x ∈ X so dass A ∩ U ∅ fuer jede
Umgebung von x gilt. Sei also x ∈ Ā und U eine Umgebung von x. Dann ist A ∩ U
nichtleer. Wähle ein Element α U in A ∩ U. Sei I die Menge aller Umgebungen U von x.
Versieh I mit der partiellen Ordnung:
U ≤ U ′ ⇔ U ⊃ U ′ .
Dann ist der Schnitt zweier Umgebungen eine obere Schranke fuer beide, also ist die
Menge I gerichtet. Das Netz (α U ) U∈I konvergiert nach Konstruktion gegen x.
Fuer die andere Richtung sei x ∈ X und α i ∈ A, i ∈ I ein Netz, das gegen x konvergiert.
Sei U eine Umgebung von x. Dann existiert ein i ∈ I mit α i ∈ U, also ist U ∩ A ∅. Da
U beliebig ist, folgt x ∈ Ā.
□
Proposition 9.1.7 Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen ist genau
dann stetig, wenn fuer jedes Netz (x j ) in X, das konvergiert, das Bildnetz f (x j ) ebenfalls
konvergiert. In diesem Falle gilt: konvergiert x j gegen x, so konvergiert f (x j ) gegen f (x).
Beweis: Der folgende Beweis ist fast wörtlich derselbe wie fuer Folgen in R. Sei f
stetig und sei (x i ) i∈I ein gegen x ∈ X konvergentes Netz. Wir müssen zeigen
f (x i ) → f (x). Sei hierzu U eine offene Umgebung von f (x), dann ist V = f −1 (U) eine

FUNKTIONALANALYSIS 108
offene Umgebung von x. Daher existiert ein i 0 so dass x i ∈ V fuer jedes i ≥ i 0 , also
f (x i ) ∈ U fuer jedes i ≥ i 0 , also konvergiert f (x i ) gegen f )x).
Fuer die umgekehrte Richtung nimm an, dass f die Limes-Bedingung erfüllt. Sei
A ⊂ Y abgeschlossen und sei B ⊂ X das Urbild zu A. Wir müssen zeigen, dass B
abgeschlossen ist. Sei hierzu b i ein Netz in B, konvergent gegen x ∈ X. Dann
konvergiert das Netz f (x i ) ∈ A gegen f (x). Da A abgeschlossen ist, folgt f (x) ∈ A, also
x ∈ f −1 (A) = B, damit ist B abgeschlossen.
□
Proposition 9.1.8 Ein topologischer Raum X ist genau dann kompakt, wenn jedes Netz in X
ein konvergentes Teilnetz hat.
Beweis: Sei X kompakt und sei (x i ) i∈I ein Netz in X. Fuer jedes i ∈ I sei A i der
Abschluss der Menge {x j : j ≥ i}. Jeder endliche Schnitt von Mengen der Form A i , i ∈ I
ist nichtleer, also ist nach der endlichen Schnitteigenschaft
⋂
A i ∅.
i∈I
Sei also x in jedem A i . Das bedeutet, dass man zu jeder Umgebung U von x und jedem
Index i ∈ I einen Index i ′ ≥ i findet mit x i ′ = x φ(U,i) ∈ U. Sei J die Menge aller Paare
(U, i), wobei U eine Umgebung von x ist und i ∈ I. Wir ordnen J wie folgt:
(U, i) ≤ (U ′ , i ′ ) ⇔ U ⊃ U ′ und i ≤ i ′ .
Wir haben eine Abbildung φ : J → I konstruiert, von der wir nun zeigen, dass sie
streng cofinal ist. Hierzu sei i ∈ I und wähle ein Element j = (U, i) ∈ J mit i als zweitem
Argument. Nach Konstruktion ist φ(j ′ ) ≥ i fuer jedes j ′ ≥ j, also ist φ streng cofinal.
Wir behaupten, dass das konstruierte Teilnetz φ : J → X konvergiert. Sei hierzu U eine
Umgebung von x und wähle ein Element j 0 = (U, i) ∈ J. Fuer jedes j ≥ j 0 gilt dann
φ(j) ∈ U, also hat (x i ) ein konvergentes Teilnetz.
Fuer die Rückrichtung nimm an, dass jedes Netz ein konvergentes Teilnetz hat. Sei A
ein System abgeschlossener Teilmengen so dass jeder endliche Schnitt nichtleer ist.
Wir müssen zeigen, dass der Schnitt aller Elemente von A nichtleer ist. Hierzu sei B
die Menge aller endlichen Schnitte von Elementen von A. Ordne B via
B 1 ≥ B 2 ⇔ B 1 ⊂ B 2 . Dann ist B gerichtet. Fuer jedes B ∈ B wähle ein x b ∈ B. Dann ist
(x B ) B∈B ein Netz in X und nach der Annahme existiert ein Teilnetz (x Bj ) j∈J das gegen
ein x ∈ X konvergiert. Aber dann gilt x ∈ B fuer jedes B ∈ B, denn fuer festes B können

FUNKTIONALANALYSIS 109
wir j 0 so wählen, dass B j ⊂ B fuer jedes j ≥ j 0 . Hieraus folgt x Bj ∈ B fuer alle j ≥ j 0 . Da
B abgeschlossen ist, liegt der Limes x von (x Bj ) ebenfalls in B.
□
9.2 Definitionen
Definition 9.2.1 Ein topologischer Vektorraum ist ein komplexer Vektorraum V mit
einer Topologie so dass {0} eine abgeschlossene Menge ist und die Abbildungen
V × V → V C × V → V
(v, w) ↦→ v + w (λ, v) ↦→ λv
stetig sind.
Lemma 9.2.2 (a) Jeder topologische Vektorraum ist ein Hausdorff-Raum.
(b) Ist V ein komplexer Vektorraum, so dass Addition und Skalarmultiplikation stetig sind,
Sei dann N = {0} der Abschluss der Null. Dann ist N ein Untervektorraum und V/N ist
ein topologischer Vektorraum. Jede stetige Abbildung f : V → X in einen
Hausdorff-Raum faktorisiert über V/N.
Beweis: (a) Sei V ein topologischer Vektorraum und seien x, y ∈ V mit x y. Dann ist
U = V {x − y} eine offene Umgebung der Null. Wegen der Stetigkeit der Addition
gibt es eine Nullumgebungen W 1 , W 2 mit W 1 + W 2 ⊂ U. Setze W 3 = W 1 ∩ W 2 und
W = W 3 ∩ (−W 3 ), dann ist W eine Nullumgebung mit W = −W und W + W ⊂ U.
Folglich sind x + W und y + W offene Umgebungen von x und y. Wir behaupten, dass
sie disjunkt sind. Angenommen, es gibt w, w ′ ∈ W mit x + w = y + w ′ , dann folgt
x − y = w ′ − w ∈ W + W ⊂ U = V {x − y}, ein Widerspruch!
(b) Seien n 1 , n 2 ∈ N. Dann konvergiert die konstante Folge x j = 0 gegen n 1 und gegen
n 2 . Da die Addition stetig ist, konvergiert die konstante Folge x j + x + j = x j = 0 gegen
n 1 + n 2 , also ist n 1 + n 2 ∈ N. Analog sieht man die Abgeschlossenheit unter Skalarer
Multiplikation. Damit ist N ein Untervektorraum. Sei nun f : V → X stetig, wobei X
ein Hausdorff-Raum ist. Sei x ∈ V und n ∈ N. Wir wollen zeigen, dass f (x) = f (x + n)
ist. Dies folgt aber aus der Stetigkeit, da die konstante Folge x j = x gegen x und gegen
x + n konvergiert, in dem Hausdorff-Raum X eine Folge aber nur einen Limes haben
kann.
□

FUNKTIONALANALYSIS 110
Beispiele 9.2.3
• Jeder normierte Raum (V, ||.||) ist ein topologischer Vektorraum,
wobei die offenen Mengen genau die Vereinigungen von offenen Bällen
B r (v) = {w ∈ V : ||v − w|| < r}
mit v ∈ V und r > 0 sind.
• Der Schwartz-Raum S ist ein topologischer Vektorraum, wobei die Topologie
von den offenen Bällen
B r,m,n ( f ) = {g ∈ S : σ m,n ( f − g) < r}
mit f ∈ S, r > 0 und m, n ∈ N 0 erzeugt wird.
• Sei 0 < p < 1. Dann ist der Raum L p (R) aller messbaren Funktionen f auf R mit
∫
R | f (x)|p dp < ∞ modulo Nullfunktionen ein topologischer Vektorraum,
allerdings kein normierter Raum, da ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ f
∣ ∣∣
∣ ∣∣p
= (∫ R | f (x)|p dx ) 1 p
ist! (Die Dreiecksungleichung gilt nicht.)
für p < 1 keine Norm
Proposition 9.2.4 Jeder endlich-dimensionale topologische Vektorraum ist isomorph zum C n .
Genauer gilt folgendes: Ist V ein endlich-dimensionaler topologischer Vektorraum und ist
f : C n → V ein Isomorphismus von Vektorräumen, dann sind f und f −1 stetig.
Beweis: Wir zeigen zunächst die Stetigkeit von f . Seien v 1 , . . . , v n die Bilder der
Standard-Basis-Vektoren e 1 , . . . e n des C n . Dann ist f (λ 1 , . . . , λ n ) = λ 1 v 1 + · · · + λ n v n . Die
Stetigkeit von f ist nun eine einfache Konsequenz der Stetigkeit der Skalaren
Multiplikation und der Addition.
Die Stetigkeit von f −1 folgt aus dem Satz der offenen Abbildung.
□
Eine Halbnorm auf einem K-Vektorraum E ist eine Abbildung p : E → [0, ∞) mit
folgenden Eigenschaften:
• p(αx) = |α|p(x) für α ∈ K und x ∈ E,
• p(x + y) ≤ p(x) + p(y)
Multiplikativität
Dreiecksungleichung
Eine Halbnorm ist also wie eine Norm, bis auf die Tatsache, dass sie nicht positiv
definit zu sein braucht.

FUNKTIONALANALYSIS 111
Beispiele 9.2.5
• Jede Norm ist eine Halbnorm.
• Die konstante Null ist eine Halbnorm.
• Auf C ∞ ([0, 1]) ist für k ∈ N die Abbildung
eine Halbnorm.
p k ( f ) = sup | f (k) (x)|
x∈R
• Ist p eine Halbnorm auf E und ist K = {v ∈ V : p(v) = 0}, dann ist K ein
Untervektorraum und p induziert eine Norm auf dem Quotientenraum V/K.
Sei p eine Halbnorm auf E. Sei
B(p) = {v ∈ V : p(v) < 1}.
Dann gilt
• B(p) ist konvex,
• B(p) ist ausgewogen, d.h. ist x ∈ B(p) und ist α ∈ K mit |α| ≤ 1, dann ist αx ∈ B(p),
• B(p) ist absorbierend, d.h., für jedes x ∈ E gibt es ein α ∈ K mit x ∈ αB(p).
Es gilt
p(x) = inf
{t > 0 : 1 }
t x ∈ B(p) .
Beachte, dass in einem topologischen Vektorraum jede Nullumgebung absorbierend
ist.
Proposition 9.2.6 Ist B eine Teilmenge eines Vektorraums E , die konvex, ausgewogen und
absorbierend ist, dann ist
eine Halbnorm auf E.
p(x)
{
def
= inf t > 0 : 1 }
t x ∈ B
Beweis: Da B absorbierend ist, nimmt p endliche Werte an. Da B ausgewogen ist, folgt
p(αx) = |α|p(x). Da B konvex ist, folgt die Dreiecksungleichung.
□

FUNKTIONALANALYSIS 112
Definition 9.2.7 Ein topologischer Vektorraum V heisst lokalkonvex, falls er eine
Nullumgebungsbasis von offenen konvexen ausgewogenen Teilmengen besitzt.
Definition 9.2.8 Sei V ein komplexer Vektorraum. Eine Familie (p α ) α∈A von
Halbnormen heisst positiv definit, falls
p α (v) = 0 ∀ α∈A ⇒ v = 0.
Die Topologie, die erzeugt wird von allen offenen Bällen
B r (v, p α ) = {w ∈ V : p α (v − w) < r},
mit r > 0, v ∈ V und α ∈ A, heisst die Topologie, die von der Familie (p α ) erzeugt wird.
Satz 9.2.9 (a) Sei der komplexe Vektorraum V mit der Topologie der Familie von
Halbnormen (p α ) α∈A versehen. Dann konvergiert ein Netz v i in V genau dann gegen
v ∈ V, wenn für jedes α ∈ A das Netz p α (v i − v) in C gegen Null geht.
(b) Die von einer Familie von Halbnormen erzeugte Topologie auf einem Vektorraum V
macht den Raum V genau dann zu einem topologischen Vektorraum, wenn die
Familie positiv definit ist.
(c) Ein topologischer Vektorraum V ist genau dann lokalkonvex, wenn es eine Familie
von Halbnormen gibt, die die Topologie erzeugt.
(d) Ist V lokalkonvex und ist (p i ) eine Familie wie in (b), dann ist jede Halbnorm p i eine
stetige Abbildung. Die Topologie eines lokalkonvexen Raums V wird von allen
stetigen Halbnormen erzeugt.
(e) Ist V ein lokalkonvexer Raum, dann ist die Familie aller Bälle
B p (1) = {v ∈ V : p(v) < 1},
wobei p über alle stetigen Halbnormen läuft, eine Nullumgebungsbasis.
Beweis: (a) Es konvergiere v i → v. Sei α ∈ A und sei ε > 0. Dann ist B ε (v, p α ) eine
Umgebung von v, also gibt es ein i 0 ∈ I so dass i ≥ i 0 ⇒ v i ∈ B ε (v, p α ), was soviel heisst

FUNKTIONALANALYSIS 113
wie p α (v i − v) < ε. Also konvergiert p α (v i − v) gegen Null. Für die Rückrichtung lässt
sich dieser Schluss umkehren.
(b) Sei (p α ) α∈A eine Familie von Halbnormen auf V. Wir versehen V mit der durch die
p α induzierten Topologie und zeigen, dass die Addition auf V stetig ist. Seien hierzu
v i → V und w i → w konvergente Netze. Dies bedeutet, dass für jedes α ∈ A die Netze
p α (v i − v) und p α (w i − w) gegen Null gehen. Dann folgt
p α (v i + w i − (v + w)) ≤ p α (v i − v) + p α (w i − w) → 0.
Also konvergiert v i + w i gegen v + w und die Addition ist also stetig. Die
Skalarmultiplikation ist aus ähnlichen Gründen stetig. Wir zeigen, dass die Menge {0}
genau dann abgeschlossen ist, wenn die Familie von Halbnormen definit ist. Liegt v
im Abschluss der Null, dann geht das konstante Netz 0 gegen v, also ist p α (v) = 0 für
jedes α. Umgekehrt impliziert aber p α (v) = 0 für jedes α auch, dass v im Abschluss der
Null liegt.
(c) Sei V lokalkonvex. Zu jeder offenen konvexen ausgewogenen Nullumgebung E
gibt uns Proposition 9.2.6 eine Halbnorm p E . Es gilt dann
B(p E ) = E.
Ferner ist für v ∈ V und r > 0,
B r (v, p E ) = v + rE,
also ist der Ball B r (v, p E ) offen. Die von der Halbnormen p E erzeugte Topologie liegt
also in der Ursprungs-Topologie von V. Da andererseits die E eine
Nullumgebungsbasis bilden, wird die Topologie von V von allen Mengen der Form
v + rE erzeugt.
Die Umkehrung ist klar.
(d) Sei die Topologie von V durch (p α ) α∈A erzeugt und sei α ∈ A. Sei v i → v ein
konvergentes Netz in V, dann folgt
|p α (v i ) − p α (v)| ≤ p α (v i − v) → 0.
Also ist p α stetig. Der Zusatz ist klar.
(e) folgt aus (a) und der Beobachtung, dann mit p auch Tp eine stetige Halbnorm ist,
wenn T > 0.
□

FUNKTIONALANALYSIS 114
Beispiele 9.2.10
• Sei V = C c (R) der Raum aller stetigen Abbildungen mit
kompaktem Träger. Für n ∈ N sei V n = C n (R) die Menge aller stetigen
Abbildungen mit Träger im Intervall [−n, n]. Es gilt dann V = ⋃ n V n . Auf V n
installieren wir die Norm ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ϕ
∣ ∣∣
∣ ∣∣n
= sup |t|≤n
|ϕ(t)|, damit ist V n ein Banach-Raum.
Dem Raum V geben wir die induktive Limestopologie, das heisst die
Finaltopologie der Inklusionen V n ↩→ V. Das bedeutet, dass eine Teilmenge
E ⊂ V genau dann offen ist, wenn für jedes n ∈ N die Menge E ∩ V n offen in V n
ist. Es ist leicht zu sehen, dass V damit ein topologischer Vektorraum ist.
Wir geben nun eine Nullumgebungsbasis aus konvexen ausgewogenen Mengen
an, so dass die zugehörigen Halbnormen die Topologie erzeugen. Sei
η : R → (0, 1) eine stetige Funktion. Sei U η = { f ∈ C c (R) : | f | < η}. Sei n ∈ N. Wir
zeigen, dass U η ∩ V n offen ist. Hierzu sei f ∈ U η ∩ V n . Da | f | < η und f stetig ist
mit kompaktem Träger, gibt es ein ε > 0 so dass | f | + ε < η, das heisst, dass eine
ε-Umgebung von f noch ganz in U η ∩ V n liegt, also ist U η ∩ V n offen. Damit ist die
Menge U η offen in V. Sie ist konvex und ausgewogen. Wir behaupten, dass die
Familie (U η ) η eine Nullumgebungsbasis ist. Sei hierzu W eine Nullumgebung.
Dann ist W ∩ V n offen in V n , enthält also eine ε n -Umgebung der Null für ein
ε n > 0. Wir können die Folge ε n als monoton fallend annehmen. Es gibt eine
stetige Funktion η mit 0 < η < ε n (x) falls n − 1 ≤ |x| ≤ n und also U η ⊂ W. Jedes
U η definiert eine Halbnorm und diese Halbnormen erzeugen die Topologie.
• Hier ein Beispiel für einen topologischen Vektorraum, der nicht lokalkonvex ist.
Sei 0 < p < 1 und sei I = [0, 1] das Einheitsintervall. Setze
∫
L p (I) = { f : I → C : messbar so dass ∆( f ) :=
modulo Nullfunktionen. Für a, b ≥ 0 gilt
X
| f (x)| p dx < ∞}
(a + b) p ≤ a p + b p ,
woraus sofort folgt
∆( f + g) ≤ ∆( f ) + ∆(g).
Hieraus folgt, dass L p (I) ein Vektorraum ist. Ferner ist
d( f, g) = ∆( f − g)
eine Metrik auf L p (I). Dieser metrische Raum ist vollständig, wie man mit

FUNKTIONALANALYSIS 115
demselben Beweis wie für p ≥ 1 zeigt. Wir zeigen, dass es sich um einen
topologischen Vektorraum handelt. Dazu seien f j → f und g j → g konvergente
Folgen. Es gilt
d( f j + g j , f + g) = ∆( f j + g j − f − g)
≤ ∆( f j − f ) + ∆(g j − g)
= d( f j , f ) + d(g j , g) → 0,
also ist die Addition stetig. Für die Skalarmultiplikation sei λ j → λ in C konvergent,
so folgt
d(λ j f j , λ f ) = ∆(λ j f j − λ f )
≤ ∆(λ j f j − λ j f ) + ∆(λ j f − λ f )
= |λ j | p d( f j , f ) + |λ| p d( f j , f ) → 0.
Wir zeigen, dass dieser topologische Vektorraum keine offenen konvexen Mengen enthält
ausser der leeren Menge und dem ganzen Raum.
Sei hierzu V ∅ offen und konvex in L p (I). Wir können 0 ∈ V annehmen. Dann gibt es
ein r > 0 so dass der offene Ball B r (0) um Null vom Radius r ganz in V liegt. Sei f ∈ L p .
Da p < 1, gibt es ein n ∈ N so dass n p−1 ∆( f ) < r. Man kann das Intervall I mit
Trennungspunkten 0 = x 0 < x 1 < · · · < x n = 1 so unterteilen, dass
∫ xj
x j−1
| f (x)| p dx = n −1 ∆( f ).
Sei g j (x) = n f (x) falls x j−1 < x ≤ x j und g j (x) = 0 sonst. Dann ist g j ∈ V, denn
∆(g j ) = n p−1 ∆( f ) < r.
Da nun V konvex ist und da
f = 1 n (g 1 + · · · + g n ),
folgt f ∈ V, also ist V = L p .
Folgerung: L p (I) ′ = 0, denn sei α : L p (I) → C eine stetige lineare Abbildung, Dann ist
α −1 (B ε ) offen, nichtleer und konvex in L p , also gleich L p . Da dies für jedes ε > 0 gilt, ist
α(L p ) = 0.

FUNKTIONALANALYSIS 116
Proposition 9.2.11 (a) Seien (V, (p i ) i∈I ) und (W, (q j ) j∈J ) Vektorräume mit definiten Familien
von Halbnormen. Dann ist eine lineare Abbildung T : V → W genau dann stetig, wenn
es zu jedem j ∈ J eine endliche Teilmenge E ⊂ I gibt, sowie eine Konstante C > 0, so dass
q j (T(v)) ≤ C ∑ i∈E p i (v) für jeden Vektor v ∈ V gilt.
(b) Eine lineare Abbildung T : V → W zwischen lokalkonvexen Räumen ist genau dann
stetig, wenn es zu jeder stetigen Halbnorm q auf W eine stetige Halbnorm p auf V gibt mit
q(T(v)) ≤ p(v) ∀ v∈V .
Beweis: (a) Wie im Fall von normierten Räumen ist eine lineare Abbildung T genau
dann stetig, wenn sie stetig in Null ist. Ein Netz (v α ) geht genau dann gegen Null in V,
wenn für jedes i ∈ I das reellwertige Netz p i (v α ) gegen Null geht.
Sei also T stetig und sei j ∈ J. Angenommen, es gibt kein i ∈ I und C > 0 wie oben,
dann gibt es zu jeder endlichen Teilmenge E ⊂ I und zu jedem k ∈ N ein v = v E,k ∈ V
so dass q j (T(v)) > k ∑ i∈E p i (v) gilt. Nach Multiplikation mit einem Skalar können wir
hierbei q j (T(v)) = 1 annehmen. Die Menge aller Paare (E, k) ist gerichtet durch
(E, k) ≤ (E ′ , k ′ ) ⇔ E ⊂ E ′ und k ≤ k ′ .
Wir erhalten ein Netz (v E,k ) (E,k) in V. Wir behaupten, dass dieses Netz gegen Null geht,
also dass p j (v E,k ) für jedes j ∈ J gegen Null geht. Sei hierzu ε > 0, dann existiert ein k 0
so dass für alle k ≥ k 0 gilt 1 k < ε. Ist dann (E, k) ≥ ({j 0}, k 0 ), dann folgt
∑
p j (v E,k ) < p i (v E,k ) < 1 k < ε,
i∈E
also konvergiert das Netz gegen Null. Da T stetig ist, folgt T(v E,k ) → 0, was aber der
Tatsache q j (T(v E,k )) = 1 widerspricht!
Sei umgekehrt die Bedingung des Lemmas erfüllt. Wir wollen zeigen, dass T stetig ist.
Sei hierzu v α ein gegen Null konvergentes Netz. Ist j ∈ J, so gilt wie oben
q j (T(v α )) ≤ C ∑ i∈E p i (v α ). Die rechte Seite geht gegen Null für α → ∞, also auch die
linke, also geht v α gegen Null.
(b) folgt aus (a), da C ∑ i∈E p i wieder eine stetige Halbnorm ist.
□

FUNKTIONALANALYSIS 117
Satz 9.2.12 (Hahn-Banach für lokalkonvexe Räume) Sei V ein lokalkonvexer
topologischer Vektorraum und U ⊂ V ein Teilraum. Dann besitzt jedes stetige lineare
Funktional α : U → K eine stetige lineare Fortsetzung nach V.
Beweis: Sei die Topologie von V erzeugt von der Familie (p i ) i∈I von Halbnormen.
Nach Proposition 9.2.11 gilt
|α(u)| ≤ C
n∑
p iν (u)
für alle v ∈ U. Für v ∈ V setze p(v) = C ∑ n
ν=1 p iν (v). Ist K = R, so folgt, dass α eine
Fortsetzung ˜α nach V hat mit | ˜α(v)| ≤ p(v) für alle v ∈ V, so dass ˜α in der Tat stetig ist.
Der Fall K = C wird nun auf der reellen Fall zurückgeführt wie beim Beweis von Satz
3.1.3: Das R-lineare Funktional Re(α) besitzt eine R-lineare Fortsetzung ˜α R nach V mit
| ˜α R (v)| ≤ p(v). Sei ˜α das komplex-lineare Funktional mit Re( ˜α) = ˜α R . Ist v ∈ V, so
existiert ein θ ∈ R, so dass e iθ ˜α(v) = ˜α(e iθ v) ∈ R gilt. Es folgt
ν=1
| ˜α(v)| = |e iθ ˜α(v)| = | ˜α R (e iθ v)| ≤ p(e iθ v) = p(v). □
9.3 Vollständigkeit
Definition 9.3.1 Ein Netz (v i ) i∈I in einem topologischen Vektorraum V heisst
Cauchy-Netz, falls es zu jeder Nullumgebung U ⊂ V einen Index i 0 ∈ I gibt so dass
i, j ≥ i 0 ⇒ v i − v j ∈ U.
Definition 9.3.2 Ein topologischer Vektorraum V heisst vollständig, falls jedes
Cauchy-Netz konvergiert.
Beispiel 9.3.3 Der Raum S der Schwartz-Funktionen auf R ist vollständig.
Beweis: Sei ( f i ) i∈I ein Cauchy-Netz. Insbesondere ist ( f i ) ein Cauchy-Netz in der Norm
∣ ∣ ∣ ∣∣ ∣∣R f = sup | f (x)|.
x∈R
Da der Raum der beschränkten stetigen Funktionen vollständig ist, konvergiert das
Netz gleichmässig gegen eine stetige Funktion f . Da für jedes k die Ableitungen f (k)
i

FUNKTIONALANALYSIS 118
ebenfalls ein Cauchy-Netz bilden, konvergieren alle Ableitungen. Da der
Ableitungsoperator stetig ist, konvergieren die Ableitungen des Netzes gegen die
Ableitungen von f . Es folgt nun leicht, dass f i → f in S gilt.
□
Beispiel 9.3.4 Der Raum C c (R) mit der induktiven Limestopologie (Beispiel 9.2.10) ist
vollständig. Sei hierzu ( f i ) i∈I ein Cauchy-Netz. Das heisst, dass es zu jeder stetigen
Funktion η : R → (0, 1) ein i 0 ∈ I gibt so dass f i − f j ∈ U η für alle i, j ≥ i 0 gilt. Sei C 0 (R)
der Raum aller stetigen Funktionen f : R → C mit lim |x|→∞ f (x) = 0. Dieser Raum ist
ein Banach-Raum mit der Supremumsnorm. Es folgt, dass ( f i ) ein Cauchy-Netz in
C 0 (R) ist, also konvergiert das Netz gleichmässig gegen eine stetige Funktion f . Wir
zeigen, dass f kompakten Träger hat. Angenommen, dies ist nicht der Fall. Dann gibt
es eine stetige Funktion η : R → (0, 1), so dass es zu jedem m ∈ N ein n ≥ m und ein
x n ∈ R mit n ≤ |x| ≤ n + 1 gibt so dass | f (x n )| = sup n≤|x|≤n+1
| f (x)| ≥ 2η(x n ). Sei nun i 0 ∈ I
so dass für alle i, j ≥ i 0 gilt f i − f j ∈ U η . Sei i ≥ i 0 . Dann ist für jedes n wie oben
| f i (x n ) − f (x n )| = lim
j
| f i (x n ) − f j (x n )| ≤ η(x n ).
Da aber | f (x n )| ≥ 2η(x n ), ist f i (x n ) 0, also hat f i keinen kompakten Träger.
Widerspruch!
Damit liegt f in C c (R). Sei nun η : R → (0, 1) eine stetige Funktion und sei i 0 ∈ I so dass
f i − f j ∈ U η/2 für alle i, j ≥ i 0 gilt. Da f der punktweise Limes der f j ist, folgt f i − f ∈ U η .
Da dies für jedes i ≥ i 0 gilt, folgt, dass das Netz f i in C c (R) gegen f konvergiert.

FUNKTIONALANALYSIS 119
10 Vektorwertige Integrale
10.1 Definition
Das hier eingeführte vektorwertige Integral wird nach seinem Erfinder auch
Bochner-Integral genannt. Sei (X, A , µ) ein Maßraum und sei V ein vollständiger
lokalkonvexer topologischer Vektorraum. Für eine Funktion f : X → V mit Werten in
V wollen wir ein Integral ∫ f dµ ∈ V definieren, so dass für jedes stetige lineare
X
Funktional α auf V die Formel
(∫ ) ∫
α f dµ = α( f ) dµ
X
X
gilt, wobei α( f ) als α ◦ f zu lesen ist.
Eine einfache Funktion ist eine Funktion s : X → V, die sich in der Form
s =
n∑
1 Aj b j
j=1
schreiben lässt, wobei A 1 , . . . , A n paarweise disjunkte messbare Mengen endlichen
Maßes sind, also µ(A j ) < ∞, und b j ∈ V. Wir definieren das Integral der einfachen
Funktion s als
∫
X
s dµ def
=
n∑
µ(A j )b j ∈ V.
j=1
Beachte, dass p (∫ s dµ) ≤ ∫ p(s) dµ für jede stetige Halbnorm p gilt und dass für jede
X X
lineare Abbildung T : V → W für einen Banach-Raum W gilt T (∫ s dµ) = ∫ T(s) dµ,
X X
wobei T(s) als T ◦ s zu lesen ist.
Wir versehen V mit der Borel-σ-Algebra. Eine messbare Funktion f : X → V heißt
integrabel, falls es ein Netz s n einfacher Funktionen gibt, so dass
lim
n
∫
X
p( f − s n ) dµ = 0
für jede stetige Halbnorm p gilt. In diesem Fall nennen wir (s n ) ein approximierendes
Netz.
Lemma 10.1.1 (netzfreie Formulierung) Eine messbare Funktion f : X → V ist genau

FUNKTIONALANALYSIS 120
dann integrabel, wenn es zu jeder stetige Halbnorm p eine einfache Funktion s p gibt, so dass
∫
X
p( f − s p ) dµ < 1.
Beweis: Gibt es ein approximierendes Netz, so ist die Bedingung aus dem Lemma
offensichtlich. Sei nun umgekehrt die Bedingung erfüllt. Auf der menge aller stetigen
Halbnormen gibt es eine natürliche partielle Ordnung Es ist p ≤ q äquivalent zu
U p ⊃ U q . Da jede Nullumgebung eine konvexe ausgeglichene Umgebung enthält, ist
die Menge aller stetigen Halbnormen gerichtet. Die einfachen Funktionen (s p ) p bilden
also ein Netz und dieses Netz approximiert f . Dies folgt aus der Tatsache, dass für
jede stetige Halbnorm p und jedes ε > 0 die Funktion 1 p wieder eine stetige Halbnorm
ε
ist und es gilt
∫
X
p( f − s 1
ε p ) dµ < ε. □
Satz 10.1.2 (a) Ist f integrabel und ist (s n ) ein approximierendes Netz, dann konvergiert
das Netz von Vektoren ∫ X s n dµ in V. Der Grenzwert dieses Netzes hängt nicht von
der Wahl des approximierenden Netzes ab. Wir definieren das Integral von f als
diesen Grenzwert:
∫
X
f dµ def
= lim n
∫
X
s n dµ.
(b) Für jede integrable Funktion f und jede stetige Halbnorm p gilt
p
(∫
X
) ∫
f dµ ≤
X
p( f ) dµ < ∞.
(c) Sei f integrabel. Für jeden stetigen linearen Operator T : V → W in einen
lokalkonvexen Raum W gilt
T
(∫
X
) ∫
f dµ =
X
T( f ) dµ.
(d) Im Falle V = C stimmt das so definierte Bochner-Integral mit dem üblichen Integral
überein.

FUNKTIONALANALYSIS 121
Beweis: Es reicht zu zeigen, dass für jedes approximierende Netz (s n ) n∈N das Netz
∫
X s n dµ konvergiert, denn ist (t m ) m∈M ein weiteres approximierendes Netz, dann ist
auch jedes Netz der Form (r n,m ) N×M mit r n,m ∈ {s n , t m } ein approximierendes Netz,
wobei wir auf N × N die Produktordnung installieren.
Da dann stets ∫ X r n,m dµ konvergiert, sind die Grenzwerte von ∫ X s n dµ und ∫ X t n dµ
gleich.
Um die Konvergenz zu zeigen, reicht es, zu zeigen, dass ∫ X s n dµ ein Cauchy-Netz ist.
Für m, n ∈ N und eine stetige Halbnorm p beachte
p
(∫
X
∫
s m dµ −
X
s n dµ
)
(∫ ) ∫
= p s m − s n dµ ≤ p (s m − s n ) dµ
X
X
∫
∫
≤ p(s m − f ) dµ + p( f − s n ) dµ,
X
wobei die rechte Seite gegen Null geht für m, n → ∞. Daher ist ∫ X s n dµ tatsächlich ein
Cauchy-Netz. Hieraus folgt (a).
Für (b) betrachte die Ungleichung ∣ ∣ ∣ p( f ) − p(sn ) ∣ ∣ ∣ ≤ p( f − sn ), welche impliziert, dass die
C-wertige Funktion p( f ) integrabel ist und dass das Netz p(s n ) gegen p( f ) in L 1 (X)
konvergiert. Es folgt
p
(∫
X
f dµ
)
= lim
n
p
(∫
X
s n dµ
)
≤ lim
n
∫
X
X
∫
p(s n ) dµ =
Schließlich zu Teil (c). Die Stetigkeit und Linearität von T impliziert
T
(∫
X
f dµ
)
= lim
n
∫
X
T(s n ) dµ.
X
p( f ) dµ.
Wir wollen zeigen, dass T( f ) integrierbar ist und dass die rechte Seite gleich ∫ T( f ) dµ
X
ist. Da T stetig ist, gibt es zu jeder stetigen Halbnorm q auf W eine stetige Halbnorm p
auf V so dass q(T(v)) ≤ p(v) für alle v ∈ V gilt. Wir können daher abschätzen:
∫
X
q(T( f ) − T(s n )) dµ =
∫
X
q(T( f − s n )) dµ ≤
∫
X
p( f − s n ) dµ.
Da die rechte Seite gegen Null geht, folgt die Behauptung. Teil (d) ist klar, da eine
approximierende Folge in der L 1 -Topologie gegen f konvergiert und das Integral ein
stetiges lineares Funktional auf L 1 ist.
□

FUNKTIONALANALYSIS 122
Definition 10.1.3 Ein topologischer Raum Y heißt separabel, falls Y eine abzählbare
dichte Teilmenge enthält.
Eine Abbildung f : X → Y in einen topologischen Raum Y heißt separable
Abbildung, falls es eine abzählbare Menge C ⊂ Y gibt so dass f (X) ⊂ C gilt.
Lemma 10.1.4 Jede Teilmenge eines separablen metrischen Raums ist separabel, also ist jede
Abbildung in einen separablen metrischen Raum eine separable Abbildung.
Beweis: Sei (X, d) ein separabler metrischer Raum und C ⊂ X eine abzählbare dichte
Teilmenge. Sei A ⊂ X eine beliebige Teilmenge, die wir als überabzählbar
voraussetzen können. Wir wollen zeigen, dass A selbst separabel ist. Sei B ⊂ A × n die
Menge aller Paare (c, n) so dass B 1/n (c) ∩ A ∅. Zu jedem b = (c, n) ∈ B wählen wir
einen Punkt a b ∈ A mit d(a b , c) < 1. Wir behaupten, dass die Menge aller a n b mit b ∈ B
dicht in A liegt. Dazu sei a ∈ A und ε > 0. Sei n ∈ N mit 1 n
c ∈ C mit d(a, c) < 1 n < ε/2, also ist b = (c, n) ∈ B, also d(a b, c) < 1 n
< ε/2. Dann existiert ein
< ε/2. Es folgt
d(a, a b ) ≤ d(a, c) + d(c, a b ) < ε 2 + ε 2 = ε.
□
Beispiele 10.1.5 • Die Menge R der reellen Zahlen enthält die abzählbare dichte
Teilmenge Q, ist also separabel.
• Ist (V, d) ein metrischer Raum, so ist jede kompakte Teilmenge K ⊂ V separabel.
Dies sieht man ein, indem man K durch offene Bälle vom Radius 1/n überdeckt,
wobei n in N läuft. Die Mittelpunkte all dieser Bälle ist eine abzählbare dichte
Teilmenge.
• Ein Hilbert-Raum H ist genau dann separabel, wenn er eine abzählbare
Orthonormalbasis (e i ) i∈N besitzt. In diesem Fall ist die Menge aller
Q-Linearkombinationen der Basisvektoren e i eine abzählbare dichte Teilmenge.
• Ist X ein topologischer Raum und (V, d) ein metrischer Raum, so ist jede stetige
Funktion f : X → V mit kompaktem Träger separabel, denn sei K der Träger,
dann ist f (X) = {0} ∪ f (K), also ist das Bild kompakt und damit separabel.
Definition 10.1.6 Ist X ein Maßraum, so heißt eine Abbildung f : X → V in einen
topologischen Raum V wesentlich separabel, falls es zu jeder stetigen Halbnorm p
eine Nullmenge N p ⊂ X und eine abzählbare Menge C p ⊂ V gibt, so dass
(p)
f (X N p ) ⊂ C p , wobei der Abschluss der p-Abschluss ist.

FUNKTIONALANALYSIS 123
Satz 10.1.7 Sei V ein vollständiger lokalkonvexer Raum. Für eine messbare Funktion
f : X → V sind äquivalent:
• f ist integrabel.
• f ist wesentlich separabel und ∫ p( f ) dµ < ∞ für jede stetige Halbnorm p auf V.
X
Beweis: Ist f integrabel, dann ist nach Satz 10.1.2 (b) die Funktion p( f ) ebenfalls
integrabel. Wir müssen zeigen, dass f wesentlich separabel ist. Sei p eine stetige
Halbnorm. Für gegebenes n ∈ N gibt es eine einfache Funktion s n : X → V mit
∫
X p( f − s n) dµ < 1 n . Sei E p der p-Abschluss des Vektorraums aufgespannt von der
Vereinigung aller Bilder der s n , n ∈ N. Dann ist E p der p-Abschluss einer abzählbaren
Menge C p , z.B. man kann den Q(i)-Vektorraum nehmen, der von den Bildern aller s n
aufgespannt wird. Für jedes n ∈ N ist die Menge
N n =
{
x ∈ X : p( f (x), E p ) > 1 }
n
eine Nullmenge, wobei
p(v, E p ) = inf{p(v − e) : e ∈ E p }.
Das Komplement in X von f −1 (E p ) ist die Vereinigung aller N n , also eine Nullmenge,
damit ist f wesentlich separabel.
Für die umgekehrte Richtung nimm an, f ist wesentlich separabel und p( f ) integrabel
für jedes stetige Halbnorm p. Wir konstruieren zu jeder stetigen Halbnorm p eine
einfache Funktion s p mit ∫ X p( f − s p) dµ < 1. Dann ist f integrabel nach Lemma 10.1.1.
Um s p zu konstruieren, sei C p = {c 1 , c 2 , . . . } die abzählbare Menge und sei N p ⊂ X die
Nullmenge zu p. Schreibe X p = X N p . Für n ∈ N und δ > 0 sei A δ n die Menge aller
x ∈ X p so dass p( f (x)) > δ und p( f (x) − c n ) < δ. Wir machen diese Folge paarweise
disjunkt:
⋃
D δ n = A δ m A δ k .
Die Menge ⋃ ⋃
n A δ n = ·
n D δ n ist gleich f −1 ( f (X p ) δU p ). Da p( f ) integrabel ist, hat die
⋃
Menge · D
δ
n endliches Maß. Sei s p,n = ∑ n
c j . Dies ist eine einfache Funktion. Die
k

FUNKTIONALANALYSIS 124
nach dem Satz über dominierte Konvergenz ist
∫
p( f − s p,n ) dµ → 0.
X
Insbesondere existiert ein n 0 ∈ N, so dass für s p = s p,n0 gilt ∫ X p( f − s p) dµ < 1.
□
Korollar 10.1.8 Sei V ein vollständiger, lokalkonvexer topologischer Vektorraum. Sei X ein
lokalkompakter Raum und µ ein Radon-Maß auf X. Dann ist jede stetige Funktion f : X → V
mit kompaktem Träger integrabel.
Beweis: Sei K ⊂ X der Träger von f . Dann ist das Bild von f gleich f (K) oder gleich
f (K) ∪ {0}. In jedem Fall ist das Bild kompakt.
Sei p eine stetige Halbnorm auf V und sei V p der normierte Raum V/{0}. Sei
π : V → V p die Projektion. Dann ist die induzierte Funktion f p : X → V p stetig und hat
kompaktes Bild, ist
(
also separabel. Sei C p ⊂ V abzählbar, so dass
π( f (X)) ⊂ π(C) = π C (p)) . Es folgt f (X) ⊂ C (p) , so dass f wesentlich separabel ist.
Die C-wertige Funktion p( f ) ist ebenfalls stetig und hat kompakten Träger, ist also
integrabel. Damit folgt die Behauptung aus Satz 10.1.7.
□
10.2 Faltung
Satz 10.2.1 Seien f, g ∈ L 1 (R n ). Dann existiert das Integral
∫
f ∗ g(x) =
R n
f (y)g(x − y)dy
fast überall in x ∈ R n und definiert eine Funktion f ∗ g ∈ L 1 (R n ) mit
Für f, g, h ∈ L 1 (R n ) gilt:
∣ ∣ ∣ ∣ f ∗ g
∣ ∣∣
∣ ∣∣1
≤ ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ f
∣ ∣∣
∣ ∣∣1
∣ ∣∣
∣ ∣∣g
∣ ∣∣
∣ ∣∣1
.
f ∗ g = g ∗ f, f ∗ (g ∗ h) = ( f ∗ g) ∗ h, und f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h.
Man nennt f ∗ g das Faltungsprodukt von f und g.

FUNKTIONALANALYSIS 125
Beweis: Wir rechnen zunächst formal
∣ ∣ ∣ ∣∣ ∣
∣∣1
∣∣∣∣
∫
∫
f ∗ g = f (y)g(x − y) dy
∣
∫R dx ≤ n
R
∫ ∫R n
n
∫
R
∫R n ∫
n
R n | f (y)g(x − y)| dy dx
= | f (y)g(x − y)| dx dy = | f (y)g(x)| dx dy
R n R
∫ ∫
n
= | f (y)| dy |g(x)| dx = ∣ ∣ ∣∣
∣ ∣∣ ∣∣1
∣ ∣∣ ∣∣g
∣ ∣∣ ∣∣1 f .
R n R n
Da die letzte Zeile existiert, existiert die davor und schliesslich folgt die Behauptung
aus dem Satz von Fubini. Die behaupteten Identitäten rechnet man leicht nach.
Wir zeigen nun, dass das Faltungsintegral als Bochner-Integral in L 1 (R n ) existiert.
Für x ∈ R n und f : R n → C sei L x f (y) = f (y − x).
Lemma 10.2.2 Sei 1 ≤ p < ∞.
(a) Der Raum C c (R n ) liegt dicht in L p (R n ).
(b) Sei g ∈ L p (R n ). Die Abbildung x ↦→ L x g ist eine stetige Abbildung von R n nach L p (R n ).
Beweis: (a) Sei f ∈ L p (R n ). Wir wollen zeigen, dass f ein L p -Limes von Funktionen aus
C c (R n ) ist. Indem wir f in Real- und Imaginärteil und dann weiter in Positiv- und
Negativteil zerlegen, sehen wir, dass es ausreicht, f ≥ 0 anzunehmen. Dann ist f ein
punktweiser Limes einer monoton wachsenden Folge von Lebesgueschen
Treppenfunktionen. Es reicht als aus, f selbst als Treppenfunktion anzunehmen, bzw
wegen Linearität kann man gleich f = 1 A voraussetzen, wobei A endliches Maß hat.
Wegen der äusseren Regularität des Lebesgue-Maßes, gibt es eine Folge U n offener
Mengen mit U n ⊃ U n+1 ⊃ A so dass µ(U n ) → µ(A), d.h., ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣1A
− 1 Un
∣ ∣∣
∣ ∣∣p
→ 0. Wir können
also annehmen, dass A selbst offen ist. Wegen der inneren Regularität existiert eine
Folge kompakter Mengen K n ⊂ K n+1 ⊂ A so dass ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣1A
− 1 Kn
∣ ∣∣
∣ ∣∣p
→ 0. Nach dem Lemma
von Urysohn gibt es zu jedem n ∈ N eine Funktion ϕ n ∈ C c (R n ) mit 1 Kn ≤ ϕ n ≤ 1 A .
Dann folgt ϕ n → 1 A in der L p -Norm.
(b) Wir zeigen, dass es zu jedem ε > 0 eine Nullumgebung U in R n gibt, so dass
□
y ∈ U ⇒ ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣Ly
g − g ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣p
< ε.
Hierzu nehmen wir zunächst an, dass g ∈ C c (R n ) ist. Wähle ε > 0 und sei K der Träger
von g. Der Träger von L y g ist dann y + K. Sei U 0 eine kompakte Nullumgebung in R n .
Für y ∈ U 0 gilt supp L y g ⊂ U 0 + K.

FUNKTIONALANALYSIS 126
Sei δ > 0. Da g gleichmässig stetig ist, gibt es eine Nullumgebung U ⊂ U 0 so dass für
y ∈ U die Supremumsnorm ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣Ly
g − g ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣G
kleiner als δ ist. Insbesondere hat man für
y ∈ U:
∣ ∣ ∣Ly g − g ∣ (∫
) 1
p
∣
∣∣p
= |g(x − y) − g(x)| p dx < δ vol(U 0 + K)
p 1 .
R n
Setzt man δ gleich ε/vol(U 0 + K) 1/p , so erhält man die Behauptung für g ∈ C c (R n ).
Für ein beliebiges g ∈ L p (R n ), wähle f ∈ C c (R n ) so dass ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ f − g
∣ ∣∣
∣ ∣∣p
< ε/3. Wähle eine
Nullumgebung U mit ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ f − Ly f ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣p
< ε/3 für jedes y ∈ U. Für y ∈ U hat man dann
∣ ∣ ∣ ∣g − Ly g ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣p
≤ ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣g − f
∣ ∣∣
∣ ∣∣p
+ ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ f − Ly f ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣p
+ ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣Ly
f − L y g ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣p
< ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε.
Hierbei wurde die Invarianz des Lebesgue-Maßes in der Gleichheit
∣ ∣ ∣Ly f − L y g ∣ ∣ ∣∣p
= ∣ ∣ ∣∣
∣ ∣∣ ∣∣p f − g benutzt.
□
Proposition 10.2.3 Sind f, g ∈ L 1 (R n ), so ist die Funktion φ : R n → L 1 (R n ); x ↦→ (L x f )g
Bochner-integrabel und es gilt ∫ R n φ = f ∗ g.
Beweis: Die Funktion ist stetig, also separabel und messbar und es gilt
∫
∣ ∣∣ ∣∣φ(x)
∣ ∣∣ ∣∣1
dx =
R n
∫R n ∫
R n | f (y − x)g(y)| dy dx ≤ ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ f
∣ ∣∣
∣ ∣∣1
∣ ∣∣
∣ ∣∣g
∣ ∣∣
∣ ∣∣1
< ∞.
□
10.3 Cauchy-Integralformel
Als Anwendung des Bochner-Integrals beweisen wir die Cauchy-Integralformel für
Banach-Raum-wertige Funktionen. Sei D ⊂ C eine offene Teilmenge und sei f : D → V
eine holomorphe Funktion. Ferner sei γ : [0, 1] → D ein Weg, also eine stetige
Abbildung, die stückweise stetig differenzierbar ist. Das Wegintegral über γ ist dann
definiert als
∫
γ
f (z) dz def
=
∫
γ ′ (t) f (γ(t)) dt.
[0,1]
(Bochner-Integral)
Sei a ∈ D, und sei B = B r (a) eine Kreisscheibe, deren Abschluss in der Menge D
enthalten ist. Wir schreiben ∫ f (z) dz für das Integral über den positiv orientierten
∂B

FUNKTIONALANALYSIS 127
Rand von B, also ∫ f (z) dz = ∫ ∂B γ
gegeben ist.
f (z) dz, wobei γ : [0, 1] → D durch γ(t) = a + re2πit
Satz 10.3.1 (Cauchy-Integralformel)
Sei D ⊂ C eine offenen Menge und f : D → V eine holomorphe Funktion mit Werten im
Banach-Raum V.
Sei B ⊂ C eine offene Kreisscheibe, deren Abschluss in D enthalten ist. Für jedes z ∈ B gilt
f (z) = 1 ∫
f (ξ)
2πi ∂B ξ − z dξ.
Beweis: Sei α : V → C ein stetiges lineares Funktional. Dann gilt
α
( ∫ )
1 f (ξ)
2πi ∂B ξ − z dξ = 1 ∫
α( f (ξ))
dξ = α( f (z)),
2πi ∂B ξ − z
wobei wir Cauchys Integralformel für C-wertige Funktionen verwendet haben. Also
stimmen die beiden Seiten der behaupteten Gleichheit überein, wenn man ein
beliebiges stetiges lineares Funktional anwendet. Da nach dem Hahn-Banach-Satz die
stetigen linearen Funktionale die Punkte von V trennen, folgt die behauptete
Gleichheit.
□
Korollar 10.3.2 In der Situation des Satzes sei B eine offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt a,
deren Abschluss in D enthalten ist. Dann gibt es Vektoren v n ∈ V so dass
f (z) =
∞∑
(z − a) n v n
n=0
für jedes z ∈ B gilt, wobei die Summe kompakt-gleichmässig auf B konvergiert.
Beweis: Es reicht, a = 0 anzunehmen. Ist z ∈ B und ξ ∈ ∂B, dann gilt |z/ξ| < 1, also
konvergiert die geometrische Reihe
∞∑
(z/ξ) n =
n=0
1
1 − z/ξ

FUNKTIONALANALYSIS 128
gleichmässig für (z, ξ) in einer gegebenen abgeschlossenen Teilmenge von B × ∂B. Wir
wenden Cauchys Formel an und erhalten
f (z) =
=
=
=
∫
1 f (ξ)
2πi ∂B ξ − z dξ
∫
1 1 f (ξ)
2πi ∂B ξ 1 − z/ξ dξ
∫
1 f (ξ)
∞∑
(z/ξ) n dξ
2πi ∂B ξ
n=0
1
∞∑ ∫
f (ξ)
z n dξ.
2πi ξn+1 n=0
∂B
Die Vertauschung von Summation und Integration ist wegen gleichmässiger
∫
Konvergenz gerechtfertigt. Mit v n = 1 f (ξ)
dξ folgt die Behauptung.
2πi ξ n+1
∂B
□

FUNKTIONALANALYSIS 129
11 Distributionen
11.1 Definition der Distributionen
Sei C ∞ (R n ) der Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen auf R n . Ist
α ∈ N n ein Multi-Index, so schreiben wir
0
∂ α f (x) = ∂α 1
∂x α 1
1
· · ·
∂ α n
∂x α f (x),
n
n
sowie
x α = x α 1
1 · · · xα n
n .
Weiter schreiben wir |x| für die euklidische Norm, also
Für x, y ∈ R n schreiben wir ferner
|x| =
√
x 2 1 + · · · + x2 n.
x · y = x 1 y 1 + · · · + x n y n .
Wir versehen C ∞ (R n ) mit der Topologie erzeugt durch die Halbnormen
σ K,α ( f ) = sup |∂ α f (x)|,
x∈K
wobei K ⊂ R kompakt ist und α ∈ N n 0 . damit ist C∞ (R n ) ein topologischer Vektorraum.
Sei C ∞ c (R n ) der Unterraum aller Funktion mit kompakten Trägern. Es ist nicht a priori
klar, dass dies nicht der Nullraum ist. Wir betrachten zunächst den Fall n = 1,
konstruieren also Funktionen in C ∞ c (R n ). Sei
Diese Funktion liegt in der Tat in C ∞ c (R n ).
⎧
0, x ≤ 0,
⎪⎨
f (x) = e − x 1 e
− 1−x 1
, 0 < x < 1,
⎪⎩ 0, x ≥ 1.
Da wir nun eine nichtverschwindende Funktion f in C ∞ c (R n ) haben, können wir nun
Linearkombinationen von Funktionen der Form h(x) f (ax + b), a 0, h ∈ C ∞ (R),

FUNKTIONALANALYSIS 130
nehmen und wir sehen, dass der Raum C ∞ c (R n ) in der Tat ein sehr grosser Raum ist.
Für beliebiges n können wir h 1 , . . . , h n ∈ C ∞ c (R n ) wählen, dann ist
h(x) = h 1 (x 1 ) · · · h n (x n )
ein Element von C ∞ c (R n ).
Wir könnten C ∞ c (R n ) die Teilraumtopologie von C ∞ (R n ) geben. Die ist für unsere
Zwecke aber nicht geeignet, denn wir wollen zB dass das Integral
I : C ∞ c (R n ) → C
∫
f ↦→ f (x) dx (Lebesgue-Maß)
R n
eine stetige Linearform wird. In der Teilraumtopologie von C ∞ (R n ) ist es das aber
nicht, sei zB f ∈ C ∞ c (R n ) mit ∫ R n
C ∞ (R), aber
I( f j ) = 1 j
f (x) dx 0. Die Folge f j (x) = 1 f (x/j) geht gegen Null in
j
∫
R
f (x/j) dx = j n−1 ∫
R
f (x) dx
geht nicht gegen Null. Wir wissen, dass das Integral mit Limiten vertauscht, wenn die
Träger einer Funktionenfolge alle in einem festen Kompaktum bleiben. Also müssen
wir C ∞ c (R n ) mit einer Topologie versehen, die dies berücksichtigt.
Für N ∈ N sei C ∞ N (Rn ) die Menge aller f ∈ C ∞ c (R n ) mit Träger im abgeschlossenen Ball
B N (0). Wir versehen C ∞ N (Rn ) mit der Teilraumtopologie von C ∞ (R n ), also der Topologie
induziert durch die Halbnormen
σ α ( f ) = sup |∂ α f (x)|, α ∈ N n 0 .
x∈B N (0)
Es gilt dann
C ∞ c (R n ) =
⋃
C ∞ N (Rn ).
N∈N
Wir versehen C ∞ c (R n ) nun mit der sogenannten induktiven Limes-Topologie, das ist
die Finaltopologie der Abbildungen C ∞ N (Rn ) → C ∞ c (R n ). Es gilt dann, dass eine
Abbildung ψ : C ∞ c (R n ) → Y in irgendeinen topologischen Raum Y genau dann stetig
ist, wenn die Einschränkung ψ| C ∞
N (Rn ) für jedes N ∈ N stetig ist.
Lemma 11.1.1 (a) Eine Folge (g j ) in C ∞ c (R n ) konvergiert genau dann gegen g ∈ C ∞ c (R n ).
wenn es ein N ∈ N gibt, so dass alle g j in C ∞ N (Rn ) liegen und jede Ableitung ∂ α g j

FUNKTIONALANALYSIS 131
gleichmässig gegen die entsprechende Ableitung ∂ α g konvergiert.
(b) Eine Abbildung ψ : C ∞ c (R n ) → X in einen metrischen Raum X ist genau dann stetig,
wenn für jede in C ∞ c (R n ) konvergente Folge Folge g j → g gilt
lim
j
ψ(g j ) = ψ(g).
Beweis: (a) Eine Teilmenge U von C ∞ c (R n ) ist genau dann offen, wenn für jedes N ∈ N
die Menge U ∩ C ∞ N (Rn ) in C ∞ N (Rn ) offen ist. Für eine stetige Funktion η : R n → (0, 1) sei
U η die Menge aller f ∈ C ∞ c (R n ) mit | f | < η. Dann ist U η eine offene Nullumgebung in
C ∞ c (R n ), siehe Beispiel 9.2.10. Sei g j → g in C ∞ c (R n ) konvergent. Ohne Einschränkung
kann g = 0 angenommen werden. Es ist zu zeigen, dass die Träger der g j beschränkt
sind. Angenommen, dies ist nicht der Fall. Dann existiert zu jedem Kompaktum
K ⊂ R n ein j so dass supp(g j ) keine Teilmenge von K ist. Sukzessive basteln wir eine
Teilfolge g jk und eine Folge von Kompakta K k ⊂ K k+1 so dass supp(g jk ) ⊂ K k aber
supp(g jk+1 ) liegt nicht in K k . Es existiert daher eine stetige Funktion η > 0 so dass kein
|g j | überall < η ist. Also gilt g j U η für alle j, was der Tatsache g j → 0 widerspricht.
Damit folgt (a).
Nun zu (b). Da die Topologie von C ∞ c (R n ) eine Finaltopologie ist, ist ψ genau dann
stetig, wenn jede Einschränkung Ψ N = Ψ| C ∞
N (Rn ) stetig ist. Wir müssen also zeigen, dass
ψ N bereits stetig ist, wenn es folgenstetig ist, d.h., wenn es konvergente Folgen in
konvergente Folgen überführt. Dies ist eine Konsequenz aus der Tatsache, dass die
Topologie von C ∞ N (Rn ) durch abzählbar viele Halbnormen erzeugt wird. Für j ∈ N sei
U j = { f ∈ C ∞ N (Rn ) : σ 0 ( f ), . . . , σ n ( f ) < 1 j }.
Dann ist die Familie (U j ) eine offene Nullumgebungsbasis in C ∞ N (Rn ). Sei ψ N
folgenstetig und sei (g µ ) µ∈I ein Netz, das gegen ein g ∈ C ∞ N (Rn ) konvergiert. Für j ∈ N
existiert dann ein µ j ∈ I so dass
µ ≥ µ j ⇒ g µ ∈ g + U j .
Angenommen, das Netz ψ N (g µ ) konvergiert nicht gegen ψ(g). Dann gibt es ein ε > 0
und zu jedem j ∈ N ein β j ∈ I so dass β j ≥ µ j und d(ψ N (g βj ), ψ N (g)) > ε. Wegen β j ≥ µ j
ist g βj ∈ U j , das heisst die Folge (g βj ) j konvergiert gegen g und damit konvergiert
ψ N (g βj ) gegen ψ N (g), Widerspruch!
□

FUNKTIONALANALYSIS 132
Definition 11.1.2 Eine Distribution auf R n ist eine stetige lineare Abbildung
T : C ∞ c (R n ) → C.
Beispiele 11.1.3
• Die Delta-Distribution
δ( f )
def
= f (0),
die auch Dirac-Distribution genannt wird.
• Das Integral
I( f )
def
=
∫
R n
f (x) dx.
• Eine Funktion φ auf R n heisst lokal integrierbar, falls jede Punkt x ∈ R n eine
Umgebung U besitzt, auf der φ integrierbar ist. Dies ist äquivalent dazu, dass φ
auf jedem Kompaktum integrierbar ist. Jede lokal integrierbare Funktion φ
definiert eine Distribution I φ durch
I φ ( f )
def
=
∫
R n
f (x) φ(x) dx.
Der komplexe Vektorraum der Distributionen wird mit C ∞ c (R n ) ′ bezeichnet. Eine
Distribution T ist im allgemeinen keine Funktion, also macht es keinen Sinn, T(x) zu
schreiben, es ist aber dennoch suggestiv zu schreiben
∫
T( f ) = T(x) f (x) dx.
R n
Zum Beispiel, ist T eine Distribution, so ist die Distribution T(x − a), a ∈ R n , definiert
durch
∫
R n T(x − a) f (x) dx def
=
∫
R n T(x) f (x + a) dx.
Also T(x − a) angewendet auf f ist dasselbe wie T angewendet auf x ↦→ f (x + a). So ist
also
∫
∫
δ(x − a) f (x) dx = δ(x) f (x + a) dx = f (a).
R n R n
Proposition 11.1.4 Sei L 1 lok (Rn ) der Raum der lokal-integrierbaren Funktionen modulo

FUNKTIONALANALYSIS 133
Nullfunktionen. Für jedes 1 ≤ p ≤ ∞ gilt
L p (R n ) ⊂ L 1 lok (Rn )
und die Abbildung L 1 lok (Rn ) → C ∞ c (R n ) ′ die φ auf I φ abbildet, ist injektiv.
Insbesondere kann also jeder L p -Raum als Teilraum des Distributionenraums aufgefasst
werden.
Beweis: Sei φ ∈ L p (R n ) bzw. in L p (R n ) und sei zunächst p < ∞. Sei A ⊂ R n die Menge
aller x ∈ R n mit |φ(x)| ≤ 1, sowie B = R n A. Für jedes Kompaktum K ist
∫
A∩K |φ(x)| dx < ∞ und ∫ B∩K |φ(x)| dx ≤ ∫ B∩K |φ(x)|p dx < ∞, also ist φ lokal integrierbar.
Der Fall p = ∞ ist ohnehin klar.
Sei nun φ ∈ L 1 lok (R) mit I φ = 0. Sei K ⊂ R n ein Kompaktum und f j eine Folge in C ∞ c (R n )
mit f j ≥ f j+1 ≥ 1 K , die punktweise gegen 1 K konvergiert. Es folgt
∫
K
φ(x) dx = lim
j
∫
R
f j (x)φ(x) dx = 0.
Also enthält das System A aller Lebesgue-messbaren A ⊂ R n für die gilt ∫ φ(x) dx = 0
A
alle kompakten Teilmengen. Das Mengensystem A ist eine σ-Algebra. Da die
kompakten Teilmengen und die Teilmengen von Nullmengen die Lebesgue-σ-Algebra
erzeugen, ist A gleich der Lebesgue-σ-Algebra. Sei nun A ⊂ R n die Teilmenge aller x
mit Re φ(x) > 0. Dann ist 0 = Re ∫ φ(x) dx = ∫ Re φ(x) dx. Dasselbe gilt für die Menge
A A
aller x mit Re φ(x) < 0. Es folgt, dass Re φ eine Nullfunktion ist. Analog für Im φ. □
11.2 Träger einer Distribution
Sei T eine Distribution. Für x ∈ R n sagen wir T(x) = 0, falls es eine Umgebung U von x
gibt mit T(C ∞ c (U)) = 0. Der Träger der Distribution T, geschrieben supp(T), ist die
Menge aller x ∈ R mit T(x) 0.
Beispiel 11.2.1 Sei φ eine stetige Funktion auf R. Dann gilt
supp(I φ ) = supp(φ) = {x ∈ R : φ(x) 0}.
Sei C ∞ (R n ) ′ die Menge der stetigen linearen Abbildungen L : C ∞ (R n ) → C.

FUNKTIONALANALYSIS 134
Satz 11.2.2 Ist S ∈ C ∞ (R n ) ′ , so ist die Einschränkung auf C ∞ c (R n ) eine Distribution mit
kompaktem Träger. Die Einschränkung definiert eine lineare Bijektion
Also kann man sagen:
res : C ∞ (R n ) ′
−→ {T ∈ C ∞ c (R n ) ′ : supp(T) ist kompakt}.
C ∞ (R n ) ′
ist der Raum der Distributionen mit kompaktem Träger.
Beweis: Sei S eine stetige Linearform auf C ∞ (R n ). Durch Einschränkung auf
C ∞ c (R n ) ⊂ C ∞ (R n ) definiert S eine lineare Abbildung, die mit Lemma 11.1.1 als stetig
erkannt wird. Wir wollen zeigen, dass diese Distribution kompakten Träger hat.
Angenommen, S habe keinen kompakten Träger, d.h., wir nehmen an, dass es zu
jedem Kompaktum K ⊂ R ein f ∈ C ∞ c (R n ) gibt mit Träger in R K so dass S( f ) 0, also
indem man f mit einem Skalar multipliziert, S( f ) = 1. Wir definieren nun induktiv
eine Folge von Funktionen. Sei f 1 ∈ C ∞ c (R n ) eine beliebige Funktion mit S( f 1 ) = 1. Sei f j
bereits konstruiert und sei f j+1 ∈ C ∞ c (R n ) mit Träger ausserhalb der 1-Umgebung von
supp f 1 ∪ supp f 2 ∪ · · · ∪ supp f j
und S( f j+1 ) = 1. Sei h j = f 1 + · · · + f j . Da die Träger der f j paarweise Abstand ≥ 1
voneinander haben, konvergiert die Folge h j lokal gleichmässig gegen eine Funktion
h = ∑ ∞
j=1 f j . Andererseits ist aber S(h j ) = S( f 1 ) + · · · + S( f j ) = j und diese Folge
konvergiert nicht, was der Stetigkeit von S widerspricht! Damit ist die Annahme
falsch, S hat also kompakten Träger.
Injektivität von res: Sei S im kern der Restriktionsabbildung, also S( f ) = 0 falls f
kompakten Träger hat. Sei nun h ∈ C ∞ (R n ) und für jedes j ∈ N sei χ j ∈ C ∞ c (R n ) so dass
⎧
⎪⎨ 1 falls |x| ≤ j,
χ j (x) =
⎪⎩ 0 falls |x| ≥ j + 1.
Dann konvergiert die Folge h j = χ j h in C ∞ (R n ) gegen h. Daher ist S(h) = lim j S(h j ) = 0.
Also ist S = 0 und res injektiv.

FUNKTIONALANALYSIS 135
Surjektivität: Sei T eine Distribution mit kompaktem Träger. Sei χ ∈ C ∞ c (R n ) so dass
χ ≡ 1 in einer Umgebung von supp T. Für f ∈ C ∞ (R n ) definieren wir ˜T( f ) = T(χ f ).
Dann gilt
(i) ˜T( f ) = T( f ) falls f kompakten Träger hat,
(ii) ˜T liegt in C ∞ (R n ) ′ und hängt nicht von der Wahl von χ ab.
Zum Beweis habe die Funktion f kompakten Träger, dann gilt
˜T( f ) − T( f ) = T((χ − 1) f ) = 0,
da (χ − 1) f Träger ausserhalb von supp T hat. Für die zweite Aussage sei χ ′ eine
weitere Wahl, dann ist
T(χ f ) − T(χ ′ f ) = T((χ − χ ′ ) f ) = 0,
da (χ − χ ′ ) Träger ausserhalb von supp T hat. Die Stetigkeit von ˜T ist klar, denn
konvergiert eine Folge f j in C ∞ (R) gegen f ∈ C ∞ (R), dann konvergiert χ f j in C ∞ c (R n )
gegen χ f .
□
Definition 11.2.3 Für N ∈ N und φ ∈ C ∞ c (R n ) sei
∣ ∣ ∣ ∣φ
∣ ∣∣
∣ ∣∣N
= sup { |∂ α φ(x)| : |α| ≤ N, x ∈ R n} .
Satz 11.2.4 Für eine lineare Abbildung T : C ∞ c (R n ) → C sind äquivalent:
(a) Sei T eine Distribution.
(b) Zu jedem Kompaktum K ⊂ R n gibt es ein N ∈ N und eine Konstante C > 0 so dass
für jedes φ ∈ C ∞ c (R n ) mit Träger in K gilt
|T(φ)| ≤ C ∣ ∣ ∣∣φ
∣ ∣∣ ∣∣N
.
Beweis: Für ein Kompaktum K ⊂ R n sei C ∞ K
die Menge aller glatten Funktionen auf Rn
mit Träger in K. Ein lineares T ist genau dann eine Distribution, wenn für jedes K die

FUNKTIONALANALYSIS 136
Abbildung
C ∞ K ↩→ C∞ c (R n )
T
−→ C
stetig ist. Die Topologie auf C ∞ K wird aber gerade von der Halbnormen ||.|| N erzeugt. □
Falls es ein N gibt, dass die obige Abschätzung (mit verschiedenen C) für alle K
erfüllt, so sagen wir, T hat endliche Ordnung. Das kleinste solche N heißt Ordnung
der Distribution T. Andernfalls hat T unendliche Ordnung.
Beachte, dass jede Distribution mit kompaktem Träger endliche Ordnung hat.
11.3 Die Ableitung einer Distribution
Sei φ eine glatte Funktion auf R n und sei α ∈ N n ein Multi-Index. Durch partielle
0
Integration sieht man, dass für g ∈ C ∞ c (R n ) gilt
∫
I ∂ α φ(g) = ∂
∫R α φ(x)g(x) dx = (−1) |α| φ(x)∂ α g(x) dx = (−1) |α| I φ (∂ α g),
n R n
wobei
|α| = α 1 + · · · + α n .
Dies motiviert die definition der Ableitung einer Distribution wie folgt. Sei T eine
Distribution und α ∈ N n 0 . Wir definieren die Ableitung ∂α T ∈ C ∞ c (R n ) ′ durch
∂ α T(g)
def
= (−1)|α| T(∂ α g).
Beispiele 11.3.1 • Ist die Funktion φ glatt, so gilt ∂ α I φ = I ∂ α φ.
• Sei n = 1 und φ die Indikatorfunktion des Intervalls [0, 1]. Für g ∈ C ∞ c (R) folgt
∫ 1
I ′ φ (g) = −T φ(g ′ ) = − g ′ (x) dx = g(0) − g(1),
0
wir können also schreiben I ′ (x) = δ(x) − δ(x − 1).
φ

FUNKTIONALANALYSIS 137
11.4 Temperierte Distributionen
Sei S = S(R n ) der Raum der Schwartz-Funktionen auf R n , also der Raum aller
f ∈ C ∞ (R n ) so dass σ α,β ( f ) < ∞ für alle α, β ∈ N n gilt, wobei
0
σ α,β ( f ) = sup
x∈R n |x α ∂ β f (x)|.
Wir sagen dass eine Folge ( f j ) j∈N in S gegen ein f ∈ S konvergiert, falls für je zwei
gegebene α, β ∈ N n 0 die Folge σ α,β( f j − f ) für j → ∞ gegen Null geht.
Lemma 11.4.1 Der Raum S ist ein Unterraum von L 2 (R n ). Die Inklusionsabbildung
S ↩→ L 2 (R n ) ist stetig, d.h. konvergiert die Folge ( f j ) in S gegen f , dann gilt
∣ ∣∣ ∣∣
lim j fj − f ∣ ∣ ∣∣
= 0.
2
Beweis: Es gelte f j → f in S. Insbesondere geht dann sup x∈R
| f j (x) − f (x)|(1 + |x| n )
gegen Null. Sei C = ∫ R n 1
(1+|x| n ) 2 dx und ε > 0. Es gilt dann C < ∞ und es gibt j 0 ∈ N so
dass für alle j ≥ j 0 gilt
Sei j ≥ j 0 . Dann gilt | f j (x) − f (x)| <
sup | f j (x) − f (x)|(1 + |x| n ) < √ ε/C.
x∈R
√
ε/C
1+|x| n
für jedes x ∈ R n . Damit
∣ ∣ fj − f ∣ ∫
∫
∣
∣∣ 2
= | f j (x) − f (x)| 2 dx <
2
R n
Eine temperierte Distribution ist eine lineare Abbildung
R n
ε/C
dx = ε. □
(1 + |x| n )
2
T : S → C
so dass
lim T( f k) = T( f )
k→∞
für jede gegen f konvergente Folge ( f k ) in S gilt. Es ist leicht zu sehen, dass jede in
C ∞ c (R n ) konvergente Folge g j → g ebenfalls in S gegen g konvergiert, so dass jede
temperierte Distribution T durch Einschränkung auf C ∞ c (R n ) auch eine Distribution
definiert. Wir schreiben S ′ für den Raum aller Distributionen.

FUNKTIONALANALYSIS 138
Proposition 11.4.2 Die Menge der Testfunktionen C ∞ c (R n ) ist dicht in S. Also ist die
Restriktionsabbildung
S ′ → C ∞ c (R n ) ′ ,
T ↦→ T| C ∞ c (R n ),
injektiv. Wir können also den Raum der temperierten Distributionen als einen Teilraum des
Raums der Distributionen auffassen. Die Inklusionskette C ∞ c (R n ) ⊂ S ⊂ C ∞ (R n ) dualisiert
sich damit zu
C ∞ (R n ) ′ ⊂ S ′ ⊂ C ∞ c (R n ) ′ .
Beweis: Sei η : R n → [0, 1] eine glatte Funktion mit η(x) = 1 für x ≤ 0 und η(x) = 0 für
x ≥ 1. Für j ∈ N setze
χ j (x)
def
=
η(|x| − j).
Die Funktion χ j ist glatt, hat kompakten Träger und es gilt χ j (x) = 1 für |x| ≤ j. Setze
f j (x) = χ j (x) f (x). Dann liegt f j in C ∞ c (R n ) und die Folge f j konvergiert in S gegen f , wie
man leicht sieht. Also T( f ) = lim j T( f j ) = 0.
Eine lokal integrierbare Funktion φ. Dann ist unter gewissen Bedingungen die
Distribution I φ temperiert.
Lemma 11.4.3 Sei φ eine lokal integrierbare Funktion auf R und nimm an, dass ein k ∈ N
existiert mit
∫
1
|φ(x)| dx < ∞.
R 1 + x n 2k
Dann konvergiert das Integral I φ ( f ) = ∫ R n φ(x) f (x) dx für jedes f ∈ S und definiert eine
temperierte Distribution f ↦→ I φ ( f ).
Beweis: Die Konvergenz ist klar, so dass I φ eine lineare Abbildung S → C definiert.
Wir müssen zeigen, dass diese stetig ist. Sei k wie im Lemma und sei
C = ∫ 1
|φ(x)| dx. Wir können C > 0 annehmen. Die Folge ( f
R n 1+x 2k j ) konvergiere gegen f
in S. Sei ε > 0. Dann existiert ein j 0 so dass für j ≥ j 0 gilt sup x∈R
| f j (x) − f (x)| <
Für j ≥ j 0 folgt
ε
. C(1+x 2k )
∫
|I φ ( f j ) − I φ ( f )| ≤ |φ(x)| | f j (x) − f (x)| dx
R n
< ε ∫
|φ(x)|
dx = ε. □
C 1 + x2k R n
□

FUNKTIONALANALYSIS 139
Proposition 11.4.4 Ist φ ∈ L 2 (R), dann ist die Distribution I φ temperiert. Wir erhalten eine
kanonische Einbettung L 2 (R) ↩→ S ′ .
Beweis: Klar nach dem letzten Lemma.
□

Inhaltsverzeichnis
140

Index
C ∞ (R n ), 125
L 2 -Kern, 93
äquivalent, 38
abgeschlossene Abbildung, 6
abgeschlossene Mengen, 3
Ableitung einer Distribution, 132
absorbierend, 107
adjungierte Operator, 58
Algebra, 19, 78
Algebrenhomomorphismus, 78
Algebrenisomorphismus, 78
ausgewogen, 107
Baire-Raum, 23
Banach-Raum, 17, 26
Basis, 12
Basis der Topologie, 5
bedingter Erwartungswert, 63
beschränkte lineare Abbildung, 27
Bochner-Integral, 115
Cauchy-Netz, 113
Cauchy-Schwarz-Ungleichung, 29
Cauchys Integralformel, 123
co-endlich Topologie, 3
Delta-Distribution, 128
dicht, 23
Dirac-Distribution, 128
diskrete Topologie, 3
Distribution, 128
Eigenraum, 85
Eigenwert, 68
einfache Funktion, 115
Einheitengruppe, 69
Einpunktkompaktifizierung, 18
Einselement, 78
endliche Ordnung, 132
ersten Abzählbarkeitsaxiom, 5
Erzeugendensystem, 39
erzeugte Topologie, 4
Faltungsprodukt, 120
Final-Topologie, 7
folgenstetig, 127
Fourier-Transformierte, 61
geometrische Reihe, 70
Graph, 47
Halbnorm, 106
Hamel-Basis, 39
Hausdorff-Metrik, 75
Hausdorff-Raum, 8
Hilbert-Raum, 30
Hilbert-Schmidt-Norm, 90
Hilbert-Schmidt-Operator, 91
holomorph, 71
Homöomorphismus, 6
induktive Limestopologie, 110
induktiven Limes-Topologie, 126
induktiven Limestopologie, 7
Initialtopologie, 7
integrabel, 115
Integral, 116
Isometrie, 35
isometrischer Isomorphismus, 31, 35
kompakter Operator, 84
141

FUNKTIONALANALYSIS 142
Kompaktifizierung, 18
Komplexifizierung, 25
konvex, 44
Laurent-Polynome, 23
linear geordnet, 11
linear unabhängig, 12, 39
lineare Isometrie, 31
linearen Operator, 27
lineares Funktional, 27
lokal integrierbar, 128
lokalkompakt, 11, 15
lokalkonvex, 107
maximales Element, 12
Norm, 29
normal, 65
normierter Vektorraum, 25
obere Schranke, 11
offene Abbildung, 6
offene Mengen, 3
offene Umgebung, 3
offenen Rechtecke, 9
offenen Umgebungsbasis, 5
ONB, 31
ONS, 31
Operatornorm, 27
Ordnung der Distribution, 132
Orthogonalprojektion, 62
Orthogonalraum, 34
Orthonormalbasis, 31
Orthonormalsystem, 31
Paarung, 50
perfekte Paarung, 50
Polarzerlegung, 82
positiv definit, 108
positiver Operator, 74
Prä-Hilbert-Raum, 29
Produkttopologie, 7
Projektion, 34, 62
Projektionsoperator, 62
Quotiententopologie, 7
reflexiv, 50
relativ kompakt, 15
Resolvente, 68
Resolventenmenge, 68
Satz von Plancherel, 61
schwach-*-Topologie, 56
schwache Topologie, 53
Schwartz-Funktionen, 133
selbstadjungiert, 58
separabel, 118
separable Abbildung, 118
separierten Topologischen Raum, 9
Shiftoperator, 61
singulären Werte, 94
Skalarprodukt, 28
Spektraldarstellung, 101
Spektralmaß, 99
Spektralradius, 71
Spektrum, 68
Spur, 97
Spur-Norm, 94
Spurklasse-Operator, 94
stetig, 5
stetig im Punkt, 6
stetigen Dualraum, 43
Teilraumtopologie, 7
temperierte Distribution, 133
Topologie, 3

FUNKTIONALANALYSIS 143
topologischer Raum, 3
topologischer Vektorraum, 105
Träger, 129
triviale Topologie, 3
Umgebung, 3
Umgebungsbasis, 5
unitär, 60
unital, 78
Unteralgebra, 19
Urysohn’s Lemma, 15
verschwindet im Unendlichen, 17
Vervollständigung, 35
vollständig, 35, 113
vollständiges ONS, 31
von endlichem Rang, 84
von zweiter Kategorie, 23
Wegintegral, 122
wesentlich separabel, 118
zweiten Abzählbarkeitsaxiom, 5