Funktionalanalysis - Mathematik

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FUNKTIONALANALYSIS 2 5.3 Projektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.4 Normale Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6 Funktionalkalkül 68 6.1 Spektrum und Resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.2 Funktionalkalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6.3 Polarzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 7 Kompakte Operatoren 84 7.1 Spektralsatz für normale kompakte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.2 Hilbert-Schmidt-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.3 Spurklasse-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 8 Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren 99 8.1 Spektralmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 8.2 Der Spektralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 9 Topologische Vektorräume 105 9.1 Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 9.2 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 9.3 Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 10 Vektorwertige Integrale 119 10.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 10.2 Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 10.3 Cauchy-Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 11 Distributionen 129 11.1 Definition der Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 11.2 Träger einer Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 11.3 Die Ableitung einer Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 11.4 Temperierte Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
FUNKTIONALANALYSIS 3 1 Allgemeine Topologie Wir erinnern an die Definition einer Topologie. Eine Topologie auf einer Menge X ist ein System von Teilmengen O ⊂ P(X), das unter endlichen Schnitten und beliebigen Vereinigungen abgeschlossen ist. Ein topologischer Raum ist ein Paar (X, O) bestehend aus einer Menge X und einer Topologie O auf X. Die Mengen A ∈ O heissen offene Mengen und ihre Komplemente abgeschlossene Mengen. Zu jeder Menge A ⊂ X gibt es eine kleinste abgeschlossene Menge A, die A enthält, genauer ist Beispiele 1.0.1 A = ⋂ C⊃A C⊂X abgeschlossen • Auf jeder Menge X gibt es die triviale Topologie O = {∅, X}, sowie die diskrete Topologie O = P(X). • Ist (X, d) ein metrischer Raum, so ist C. O = {U ⊂ X : x ∈ U ⇒ U ε (x) ⊂ U für ein ε > 0} eine Topologie. • Sei X eine unendliche Menge, die co-endlich Topologie ist die Topologie bestehend aus allen Mengen U ⊂ X die endliches Komplement haben, zusammen mit der leeren Menge. Sei x ∈ X ein Punkt. Eine offene Umgebung von x ist eine offene Menge U, die x enthält. Eine Umgebung von x ist eine Menge V ⊂ X, die eine offene Umgebung von x enthält. Lemma 1.0.2 Sei A eine Teilmenge des topologischen Raums X. Ein Punkt x ∈ X gehört genau dann zum Abschluss A von A, wenn A ∩ U ∅ für jede Umgebung U von x gilt. Beweis: Die Behauptung ist äquivalent dazu, dass x genau dann nicht in A liegt, wenn es eine Umgebung U von x gibt mit U ∩ A = ∅. Wir können in diesem Fall U als offen voraussetzen. Is also U eine offene Umgebung von x mit A ∩ U = ∅, dann ist A eine Teilmenge der abgeschlossenen Menge X U, also x Ā. Umgekehrt, nimm an x Ā. Dann ist U = X Ā eine offene Umgebung von x mit A ∩ U = ∅. □
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FUNKTIONALANALYSIS 59 Funktional α
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FUNKTIONALANALYSIS 61 auch eine Rec
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FUNKTIONALANALYSIS 63 Daher ist P s
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FUNKTIONALANALYSIS 65 Zerlege ein g
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FUNKTIONALANALYSIS 67 also bijektiv
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FUNKTIONALANALYSIS 69 fast überall
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FUNKTIONALANALYSIS 71 und damit ∣
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FUNKTIONALANALYSIS 73 aus denen der
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FUNKTIONALANALYSIS 75 und die Hausd
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FUNKTIONALANALYSIS 77 Satz 6.1.19 S
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FUNKTIONALANALYSIS 79 Sei C[X] die
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FUNKTIONALANALYSIS 83 Für v ∈ H
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FUNKTIONALANALYSIS 89 Beweis: Sei T
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FUNKTIONALANALYSIS 91 Sei nun(φ α
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FUNKTIONALANALYSIS 93 (d) Es existi
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FUNKTIONALANALYSIS 97 Nach der Pola
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FUNKTIONALANALYSIS 99 8 Der Spektra
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FUNKTIONALANALYSIS 101 A = ⋃ j A
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FUNKTIONALANALYSIS 103 w = φ( f )v
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FUNKTIONALANALYSIS 105 9 Topologisc
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FUNKTIONALANALYSIS 107 mit einer Fa
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FUNKTIONALANALYSIS 113 wie p α (v
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FUNKTIONALANALYSIS 115 demselben Be
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FUNKTIONALANALYSIS 119 10 Vektorwer
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