Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 53
Banach-Raum aller beschränkten Folgen z = (z 1 , z 2 , . . . ) in C mit der Norm
||z|| ∞ = sup |z j |.
j∈N
Ferner sei l 1 der Banach-Raum der Folgen mit ||z|| 1 = ∑ ∞
j=1 |z j | < ∞. Wir zeigen
zunächst, dass (l 1 ) ′ = l ∞ gilt via der Paarung
〈., .〉 : l 1 × l ∞ → C
∞∑
(z, w) ↦→ z j w j .
Die Isometrie ist klar. Für die Surjektivität sei α ∈ (l 1 ) ′ . Setze w n = α(e n ). Da α
beschränkt ist, liegt w ∈ l ∞ und es gilt α(z) = 〈z, w〉. Wäre nun der Raum l 1
reflexiv, so müsste die Paarung perfekt sein. ist sie aber nicht, denn die
entstehende Abbildung l 1 → (l ∞ ) ′ ist nicht surjektiv. Sei hierzu U ⊂ l ∞ der
abgeschlossene Unterraum der konvergenten Folgen. Sei α : U → C gegeben
durch
j=1
α(z) = lim
j→∞
z j .
Dann ist α ein stetigen lineares Funktional, also gibt es nach Hahn-Banach eine
stetige lineare Fortsetzung, die wir auch als α schreiben. Nun kann aber dieses α
nicht von l 1 kommen.
4.2 Schwache Topologien
Definition 4.2.1 Die schwache Topologie auf einem Banach-Raum V ist definiert als
die Initialtopologie aller α ∈ V ′ .
Es handelt sich also um die Topologie, die erzeugt wird von allen Mengen der Form
α −1 (U),
wobei α ∈ V ′ und U ⊂ K offen ist. da all diese Mengen in der Normtopologie offen
sind, ist die schwache Topologie gröber als die Normtopologie, hat also a priori
weniger offene Mengen.
Beispiele 4.2.2
• Ist V endlich-dimensional, dann ist die schwache Topologie