Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 92
(d) Sei T ein normaler kompakter Operator und seien λ 1 , λ 2 , . . . die Eigenwerte, wobei
jeder nach seiner Vielfachheit wiederholt wird. Dann ist
∑
|λ j | 2 = ||T|| 2 HS .
j
Das heisst, ein normaler kompakter Operator ist genau dann Hilbert-Schmidt, wenn
seine Eigenwerte eine l 2 -Folge bilden.
Beweis: (a) Nach der Cauchy-Schwarz-Ungleichung und der Hoelder-Ungleichung
gilt
∑
〉∣
∣ ∣∣∣ ∑
∣〈
Sej , Te j ≤ ∣ ∣ ∣
∣Sej
∣∣ ∣∣
∣ ∣∣ ∣∣Tej
∣ ∣∣ ∑ ∣∣ ≤
⎛⎜ ∣ ∣ ⎞ 1 ∣
∣Sej
∣∣ 2
∑ ∣∣ 2
⎝ ⎟⎠
⎛⎜ ∣ ∣ ⎞
∣
∣Tej
∣∣ ∣∣ 2
⎝ ⎟⎠
j
j
j
j
1
2
= ||S|| HS ||T|| HS < ∞,
also konvergiert die Reihe absolut. Für S, T ∈ HS folgt
∞ > | 〈S, S〉 HS + 〈T, T〉 HS + 〈S, T〉 HS + 〈T, S〉 HS | = ||S + T|| HS .
Damit ist auch S + T ∈ HS, die Menge HS also ein Vektorraum. Schließlich ist 〈., .〉 HS
ein Skalarprodukt mit Norm ||.|| HS und die Polarisierungsidentität aus Korollar 2.3.7
zeigt, dass 〈., .〉 HS nicht von der Wahl der ONB abhängt. Insbesondere gilt die
Cauchy-Schwarz-Ungleichung und aus dieser erhält man die Dreiecksungleichung
||S + T|| HS ≤ ||S|| HS + ||T|| HS ,
so dass ||.|| HS wirklich eine Norm ist.
(b) Sei v ∈ H mit ||v|| = 1. Dann existiert eine ONB (e j ) mit e 1 = v. Es folgt
∑
||Tv|| 2 = ||Te 1 || 2
≤ ∣ ∣ ∣
∣Tej
∣∣ ∣∣ 2
= ||T||
2
Da mit (e j ) auch (Ue j ) eine ONB ist, folgt der Rest.
(c) Sei T ein HS-Operator und sei (e j ) j∈N eine orthonormale Folge. Dann konvergiert
die Reihe ∑ ∞
∣ ∣ ∣
∣Tej
∣∣ ∣∣ 2
, also konvergiert die Folge Tej gegen Null. Damit ist T kompakt.
j=1
j
HS .