Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 73
aus denen der Satz folgt.
Für λ ∈ σ(T), gilt
∑n−1
λ n − T n = (λ − T) λ j T n−1−j .
j=0
Also λ n ∈ σ(T n ) und damit |λ| n ≤ ‖T n ‖ für jedes n ∈ N. Also r(T) ≤ ‖T n ‖ 1 n
n ∈ N, so dass die erste Ungleichung folgt.
für jedes
Um lim sup ‖T n ‖ 1 n
≤ r(T) zu zeigen, betrachte
(λ − T) −1 = λ −1 (1 − T λ )−1 =
∞∑
n=0
T n 1
λ n+1
für |λ| > ‖T‖. Da diese Funktion holomorph ist, konvergiert die Reihe schwach für
jedes |λ| > r(T). Für gegebenes |λ| > r(T) folgt, dass die Folge T n 1 schwach
λ n+1
konvergent, nach Lemma 4.2.6 also normbeschränkt ist. Also existiert ein C ≥ 0 so
dass ‖T n ‖ ≤ C|λ| n+1 für jedes n ∈ N. Nimmt man auf beiden Seiten n-te Wurzeln und
wendet lim sup an, erhält man lim sup ‖T n ‖ 1 n
lim sup ‖T n ‖ 1 n
≤ r(T).
(c) Sei T normal, so gilt
≤ |λ|. Da dies für jedes |λ| > r(T) gilt, folgt
∣ ∣ ∣ ∣T 2 v ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ 2
=
〈
T 2 v, T 2 v 〉 = 〈 Tv, T ∗ T 2 v 〉 = 〈T ∗ Tv, T ∗ Tv〉 = ||T ∗ Tv|| 2 .
Also folgt ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣T 2 ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ = ||T ∗ T|| = ||T|| 2 , siehe Satz 5.1.1 (b). Dies gilt ebenso für T k anstelle von
T, also folgt induktiv, dass ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣T 2 n∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ = ||T||
2 n ist. Daher r(T) = lim n
∣ ∣∣
∣ ∣∣T 2 n∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ 2 −n = ||T|| . □
Beispiele 6.1.11 • Der Nulloperator, Tv = 0 für alle v, hat Spektrum {0}.
• Ein Beispiel, dass der Spektralradius nicht mit der Operatornorm
übereinstimmen muss, ist leicht gefunden. Betrachte die Matrix A = ( )
1 1
0 1 als
⎛ ⎞ ⎞
1
Operator auf C 2 . Wegen A ⎜⎝
1
⎟⎠
⎛⎜ = 2
⎝
1
⎟⎠ , folgt ||A|| op > 1 = r(A).
Satz 6.1.12 (a) Ist T ein unitärer Operator und ist λ ∈ σ(T), dann ist |λ| = 1.
(b) Ist S ein selbstadjungierter stetiger Operator und ist λ ∈ σ(S), dann ist λ eine reelle
Zahl.