Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 37
Cauchy-Folgen, die gegen v und w in ˆV konvergieren, dann ist (v j + w j ) − (ṽ j + ˜w j ) eine
Nullfolge, also ist der Grenzwert wohldefiniert. Der Rest geht ähnlich.
□
2.5 Äquivalenz der Normen im endlich-dimensionalen
Satz 2.5.1 Seien ||·|| a und ||·|| b zwei Normen auf demselben K-Vektorraum V. Dann sind
äquivalent:
(a) Die beiden Normen definieren dieselbe Topologie auf V.
(b) Eine Folge konvergiert genau dann in ||·|| a , wenn sie in ||·|| b konvergiert. In diesem Fall
sind die Limiten gleich.
(c) Es gibt Zahlen C, c > 0 so dass gilt:
c ||·|| a ≤ ||·|| b ≤ C ||·|| a
Beweis: (a)⇒(b): Sei v j in ||·|| a gegen v konvergent. Das bedeutet, dass für jede
||·|| a -Umgebung U von v ein j 0 existiert mit
j ≥ j 0 ⇒ v j ∈ U.
Da jede ||·|| b -Umgebung auch eine ||·|| a -Umgebung ist, folgt, dass v j auch in der
||·|| b -Norm gegen v konvergiert.
(b)⇒(c): Wir zeigen die Existenz von c, die von C folgt dann analog. Angenommen, es
gäbe solches c nicht. Dann existiert zu jedem j ∈ N ein v j ∈ V mit
1
∣ ∣ ∣
∣vj
∣∣ ∣∣a
> ∣ ∣ ∣∣vj
∣ ∣∣ ∣∣b
.
j
Da dieselbe Abschätzung für tv j mit t > 0 gilt, können wir v j so skalieren, dass
∣ ∣ ∣
∣vj
∣∣ ∣∣a
= 1 gilt. Dann ist ∣ ∣ ∣∣vj
∣ ∣∣ ∣∣b
< 1, also geht v j j in der b-Norm gegen Null, also auch in
der a-Norm, was aber der Normierung ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣vj
∣ ∣∣
∣ ∣∣a
= 1 widerspricht!
(c)⇒(a): Die Abschätzung c ||·|| a ≤ ||·|| b hat zur Folge, dass jeder a-Ball um v ∈ V vom
Radius r > 0 schon einen b-Ball vom Radius cr und gleichen Mittelpunkt enthält, also,