Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 75
und die Hausdorff-Metrik durch
d(A, B) = max ( ˜ d(A, B), ˜ d(B, A)
)
.
Es ist dann
d(A, B) ∈ [0, ∞).
Lemma 6.1.16 Für nicht-leere, kompakte Teilmengen A, B, C ⊂ C gilt
• d(A, B) = 0 ⇔ A = B
• d(A, B) = d(B, A)
• d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B)
Definitheit
Symmetrie
Dreiecksungleichung
Damit ist d in der Tat eine Metrik auf der Menge aller nicht-leeren, kompakten Teilmengen
von C.
Beweis: Die Symmetrie ist klar.
Ist A = B, so folgt d(A, B) = 0. Für die Umkehrung sei d(A, B) = 0. Ist a ∈ A, so muss
inf b∈B |a − b| = 0 sein, es gibt also eine Folge b j ∈ B mit |a − b j | → 0, also a = lim j b j . Da B
abgeschlossen ist, folgt a ∈ B, also A ⊂ B. Aus Symmetriegründen folgt B ⊂ A, also
A = B.
Nun zur Dreiecksungleichung. Sei ε > 0 und sei a ∈ A. Für jedes c ∈ C gilt
inf
b∈B
|a − b| ≤ inf |a − c| + |c − b|.
b∈B
Also können wir rechts noch das Infimum über c ∈ C nehmen und erhalten
inf
b∈B
|a − b| ≤ inf |a − c| + inf
c∈C
inf
c∈C b∈B
|c − b| ≤ inf
c∈C
Nehmen wir nun noch das Supremum über A, so folgt
d(A, ˜ B) ≤ d(A, ˜ C) + d(C, ˜ B)
|a − c| + sup
c∈C
inf |c − b|.
b∈B
As Symmetriegründen folgt
˜ d(B, A) ≤ ˜ d(B, C) + ˜ d(C, A)