Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 96
Setze nun g j = U f j und das Lemma ist bewiesen.
□
Nun beweisen wir (b): Nach der Cauchy-Schwarz-Ungleichung gilt für je zwei ONBs
e, h,
∑
∑
∑
〈 〉 〈 〉 ∣ ∣∣∣∣∣
| 〈Te i , h i 〉 | =
s j ei , f j gj , h i
∣
i
i j
∑ ∑
〉 〈 〉∣
≤ s j
∣
∣∣∣
∣〈
ei , f j gj , h i
j i
∑ ∑
≤ s j
⎛⎜ ⎝ | 〈 ⎞ 1
〉 2 ∑
e i , f j |
2
⎟⎠
⎛⎜ ⎝ | 〈 ⎞
〉
g j , h i |
2
⎟⎠
j
i
∑ ∣ ∣∣ ∣∣
∣ ∣∣ ∣∣
∣ ∣∣ ∣∣gj
∣ ∣∣ ∑ ∣∣
= s j fj = s j .
j
j
Damit folgt der ≥-Teil der Aussage. Die andere Richtung folgt, indem man für e eine
ONB wählt, die die Folge f enthält und für h eine ONB, die die Folge g enthält, dann
ist ∑ i | 〈Te i , h i 〉 | = ∑ j s j .
(c) Der einzige kitzlige Teil ist die Dreiecksungleichung, die aber mit Teil (b) klar ist.
(d) Für eine beliebige ONB gilt
∑ 〈 〉 ∑ 〈 〉 ∑ 〈 〉 ∑ 〈 〉
Tej , Te j = T ∗ Te j , e j = |T| 2 e j , e j = |T|ej , |T|e j .
i
1
2
j
j
j
j
Benutzen wir nun eine ONB ( f j ) bestehend aus Eigenvektoren von |T|, so folgt die
Behauptung.
(e) ist Definition und für (f) sei T Spurklasse und sei T = U|T| die Polarzerlegung von
T. Nach dem Spektralsatz ist das Bild des Operators S 2 = √ |T| gleich dem Bild von|T|
und deshalb können wir den Operator S 1 = U √ |T| definieren. Die Operatoren S 1 und
S 2 sind Hilbert-Schmidt Operatoren und es gilt T = S 1 S 2 .
Für die umgekehrte Richtung müssen wir zeigen, dass für je zwei
Hilbert-Schmidt-Operatoren S und T der Operator TS von Spurklasse ist. Nun hat S ∗
dieselben singulären Werte und es folgt, dass S ∗ S ein Spurklasse Operator ist. Wir
betrachten die sesquilineare Abbildung b : B(H) × B(H) → B(H) gegeben durch
b(S, T) = T ∗ S.