Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 81
Proposition 6.2.6 Ein selbstadjungierter Operator ist genau dann positiv, wenn sein
Spektrum positiv ist.
Beweis: Ist T ≥ 0, so ist nach Proposition 6.1.14 σ(T) ≥ 0.
Sei umgekehrt σ(T) ≥ 0. Dann existiert nach dem Funktionalkalkül ein
selbstadjungierter Operator S = √ T so dass T = S 2 . Es folgt für v ∈ H,
〈Tv, v〉 = 〈 S 2 v, v 〉 = 〈Sv, Sv〉 ≥ 0.
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Korollar 6.2.7 Sei T ein selbstadjungierter Operator auf dem Hilbert-Raum H. Es gelte
σ(T) = A ∪ B mit zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen A, B. Dann existieren
eindeutig bestimmte selbstadjungierte Operatoren T A , T B so dass
• T = T A + T B ,
• σ(T A ) = A, σ(T B ) = B,
• die drei Operatoren T, T A , T B kommutieren miteinander.
Ferner gibt eine Orthogonalzerlegung H = H A ⊕ H B , so dass gilt
T A = P A T = TP A , T B = P B T = TP B ,
wobei P A und P B die entsprechenden Orthogonalprojektionen sind. Man kann diesen letzten
Tatbestand etwas lax so ausdrücken, dass in der Zerlegung H = H A ⊕ H B gilt
⎛
T A 0
T = ⎜⎝
⎞⎟
0 T ⎠ .
B
Beweis: Da A ∪ B = ∅ und beide abgeschlossen sind, liegen die Funktionen 1 A und 1 B
in C(σ(T). Setze f A (t) = t1 A und f B (t) = t1 B und T A = f A (T) sowie T B = f B (T). Wegen
f A + f B = Id σ(T) folgt T = T A + T B , ferner ist σ(T A ) = f A (σ(T)) = A und ebenso für B. Da
alle Operatoren eines Funktionalkalküls miteinander kommutieren sind die ersten
drei Punkte bewiesen.
Für den Rest setze P A = 1 A (T), dann ist P A eine selbstadjungierte Projektion, also eine
Orthogonalprojektion, sei H A das Bild. Wir machen dasselbe für B und stellen fest.
dass P A P B = 1 A 1 B (T) = 0 ist, sowie P A + P B = 1(T) = Id H .
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