Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 9
Mengen U, V ⊂ X gibt mit x ∈ U, y ∈ V und U ∩ V = ∅.
Beispiele 1.4.1
• Jeder metrische Raum ist hausdorffsch.
• Die diskrete Topologie P(X) ist hausdorffsch, aber die triviale Topologie {∅, X} ist
nicht hausdorffsch, falls X mehr als nur ein Element hat.
• Die co-endlich-Topologie auf einer unendlichen Menge ist nicht hausdorffsch.
Lemma 1.4.2 Ein topologischer Raum X ist genau dann hausdorffsch, wenn die Diagonale
∆ = {(x, x) : x ∈ X}
eine abgeschlossene Teilmenge von X × X ist.
Beweis: Der Raum X × X trägt die Produkttopologie, das heisst die Familie aller
offenen Rechtecke: U × V, wobei U, V ⊂ X offene Mengen sind, ist eine
Topologiebasis.
Nimm nun an, X ist hausdorffsch und sei (x, y) in ∆ c = X × X ∆, mit anderen Worten
x y. Es existieren dann offene Mengen U ∋ x und V ∋ y mit U ∩ V = ∅. Dies
bedeutet, dass U × V ∩ ∆ = ∅, also ist U × V eine offene Umgebung von (x, y), die ganz
in ∆ c enthalten ist, damit ist diese Menge offen, also ist ∆ abgeschlossen.
Sei umgekehrt die Diagonale abgeschlossen und x y in X, dann ist (x, y) in der
offenen Menge ∆ c . Diese offene Menge ist ein Produkt von offenen Rechtecken, also
existiert ein offenes Rechteck U × V mit (x, y) ∈ U × V ⊂ ∆ c . Dies bedeutet gerade
x ∈ U, y ∈ V und U ∩ V = ∅.
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Man nennt einen Hausdorff-Raum auch T 2 -Raum, oder einen separierten
Topologischen Raum.
1.5 Kompakte Räume
Ein topologischer Raum heisst kompakt, falls jede offene Überdeckung eine endliche
Teilüberdeckung besitzt.
In dem man zu den Komplementen übergeht erhält man