Funktionalanalysis - Mathematik

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FUNKTIONALANALYSIS 98 K, HS, SP Ideale in der Algebra B(H). Es gilt K ⊃ HS ⊃ HS 2 = SP. Beweis: Diese Proposition fasst nur einige Ergebnisse dieses Abschnitts zusammen. □
FUNKTIONALANALYSIS 99 8 Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren 8.1 Spektralmaße Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und A die Borel-σ-Algebra auf X und sei H ein Hilbert-Raum. Ein Spektralmaß ist ein Abbildung µ : A → B(H) mit folgenden Eigenschaften: (a) µ(∅) = 0 und µ(X) = Id. (b) Jedes µ(A) ist eine Orthogonalprojektion. (c) µ(A ∩ B) = µ(A)µ(B). (d) Ist A ∩ B = ∅, dann gilt µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B). (e) Für all v, w ∈ H ist die Funktion µ v,w (A) = 〈 µ(A)v, w 〉 ein C-wertiges Radon-Maß auf Ω. Erste Eigenschaften • Für jedes v ∈ H gilt µ v,v (A) = 〈 µ(A)v, v 〉 = 〈 µ(A)v, µ(A)v 〉 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣∣µ(A)v ∣ ∣∣ ∣ ∣∣ 2 , so dass µ v,v ein positives Radon-Maß ist mit µ v,v (Ω) = ||v|| 2 . • Je zwei Projektionen µ(A) und µ(B) kommutieren miteinander. • Ist A ∩ B = ∅, so stehen die Bilder von µ(A) und µ(B) senkrecht aufeinander, d.h. es gilt µ(A)µ(B) = 0. Beispiele 8.1.1 • Sei T : H → H ein selbstadjungierter Operator auf dem endlich-dimensionalen Hilbert-Raum H. Auf der Borel-σ-Algebra von C
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Funktionalanalysis Anton Deitmar WS
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FUNKTIONALANALYSIS 3 1 Allgemeine T
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FUNKTIONALANALYSIS 5 □ Definition
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FUNKTIONALANALYSIS 7 1.3 Initial- u
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FUNKTIONALANALYSIS 9 Mengen U, V
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FUNKTIONALANALYSIS 11 C, also gibt
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FUNKTIONALANALYSIS 13 Beweis: Sei L
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FUNKTIONALANALYSIS 15 Schnitteigens
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FUNKTIONALANALYSIS 17 1.9 Der Satz
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FUNKTIONALANALYSIS 19 (hier wird di
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FUNKTIONALANALYSIS 21 Beweis: Sei
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FUNKTIONALANALYSIS 23 Nach Lemma 1.
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FUNKTIONALANALYSIS 25 2 Normierte R
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FUNKTIONALANALYSIS 27 2.2 Stetige l
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FUNKTIONALANALYSIS 29 Definition 2.
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FUNKTIONALANALYSIS 31 Korollar 2.3.
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FUNKTIONALANALYSIS 33 Da dies ≥ 0
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FUNKTIONALANALYSIS 35 (b) Sei α :
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FUNKTIONALANALYSIS 37 Cauchy-Folgen
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FUNKTIONALANALYSIS 39 das heisst, d
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FUNKTIONALANALYSIS 41 3 Grundprinzi
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FUNKTIONALANALYSIS 43 und ebenso ˜
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FUNKTIONALANALYSIS 45 Es folgt p(λ
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