Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 77
Satz 6.1.19 Sind T j , j ∈ N und T normale Operatoren auf dem Hilbert-Raum H und gilt
∣ ∣ ∣Tj − T ∣ ∣ ∣∣ → 0, dann konvergiert σ(Tj ) gegen σ(T) in der Hausdorff-Metrik.
Beweis: Sei λ ∈ σ(T) und nimm an, λ wäre kein Limespunkt einer Folge λ j ∈ σ(T j ).
Dann gibt es ein ε > 0 so dass der offene Kreis B ε (λ) für jedes j ganz in der
Resolventenmenge Res(T j ) liegt. Das bedeutet aber r ( (T j − λ) −1) < 1 ε , denn ist |µ| > 1 ε ,
so ist
(T j − λ) −1 − µ = µ(T j − λ) −1 ( 1 µ − T j + λ)
invertierbar. Da T j normal ist, ist auch (T j − λ) −1 normal und daher nach Satz 6.1.10,
Es folgt für i, j ∈ N,
∣ ∣ ∣ ∣(Tj − λ) −1∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ <
1
ε .
∣ ∣ ∣ ∣(Ti − λ) −1 − (T j − λ) −1∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ ≤
∣ ∣∣
∣ ∣∣(Ti
− λ) −1∣ ∣ ∣
∣ ∣∣
∣ ∣∣
∣ ∣∣(Tj
− λ) −1∣ ∣ ∣
∣ ∣∣
∣ ∣∣
∣ ∣∣Ti
− T j
∣ ∣∣
∣ ∣∣ <
1
ε 2 ∣ ∣∣
∣ ∣∣Ti
− T j
∣ ∣∣
∣ ∣∣ ,
so dass (T j − λ) −1 eine Cauchy-Folge ist und daher konvergent gegen ein S(λ) ∈ B(H).
Es folgt
(T − λ)S(λ) = lim
j
(T j − λ)(T j − λ) −1 = 1
und ebenso S(λ)(T − λ) = 1, so dass λ in der Resolventenmenge von T liegt, im
Widerspruch zur Annahme! Also muss λ ein Limespunkt einer Folge λ j ∈ σ(T j ) sein.
Andererseits sei λ Limespunkt einer Folge λ j ∈ σ(T j ). Es gilt dann also
(T j − λ j ) → (T − λ).
Wäre nun λ ∈ Res(T), also (T − λ) ∈ B(H) × , so gäbe es ein j 0 so dass für j ≥ j 0 schon
(T j − λ j ) ∈ B(H) × , da die Einheitengruppe B(H) × offen ist. Dies ist aber nicht der Fall,
also folgt λ ∈ σ(T).
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