Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 57
Beweis: Sei W = V ′ , dann ist B die Einheitskugel in W ′ , also schwach-*-kompakt. Die
schwach-*-Topologie auf W ′ ist aber die Topologie erzeugt von W = V ′ , also gleich der
schwachen Topologie.
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Beachte, dass bei nicht-reflexiven Banach-Räumen W die schwache Topologie auf W ′
nicht mit der schwach-*-Topologie übereinstimmen muss.
Korollar 4.2.10 Ist V ein unendlich-dimensionaler reflexiver Banach-Raum, dann ist die
Norm-Topologie verschieden von der schwachen.
Beweis: In der Norm-Topologie ist die abgeschlossene Einheitskugel nicht kompakt. □
Satz 4.2.11 Ist (v j ) eine Folge paarweise orthogonaler Vektoren in einem Hilbert-Raum
H, so sind äquivalent:
(a)
(b)
(c)
∞∑
v j konvergiert in der Normtopologie,
j=1
∞∑
v j konvergiert schwach,
j=1
∞∑
∣ ∣ ∣
∣vj
∣∣ ∣∣ 2
< ∞.
j=1
Beweis: (a)→(b) ist klar.
(b)→(c): Da die v j paarweise orthogonal sind, gilt
||v 1 + · · · + v n || 2 = ||v 1 || 2 + · · · + ||v n || 2 .
Da die Folge v 1 + · · · + v n schwach konvergiert, ist sie normbeschränkt, damit folgt (c).
(c)→(a): Wieder wegen ||v 1 + · · · + v n || 2 = ||v 1 || 2 + · · · + ||v n || 2 ist ∑ n
j=1 v j eine Cauchy-Folge,
also konvergent.
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