Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 93
(d) Es existiert eine ONB (e j ), die aus Eigenvektoren besteht, also Te j = λ j e j . Dann ist
∑ ∑ 〈 〉
|λ j | 2 = Tej , Te j . □
j
j
Beispiel 7.2.2 Sei µ ein σ-endliches Maß auf einer σ-Algebra auf einer Menge X.
Betrachte den Hilbert-Raum L 2 (X). Sei k eine Funktion in L 2 (X × X). Wir nennen k
einen L 2 -Kern.
Sei k(x, y) ein L 2 -Kern auf X. Für ϕ ∈ L 2 (X) definiere
Kϕ(x)
def
=
∫
X
k(x, y)ϕ(y) dµ(y).
Dann existiert dieses Integral fast überall in x. Die Funktion Kϕ liegt in L 2 (X) und K
definiert einen Hilbert-Schmidt-Operator K : L 2 (X) → L 2 (X) mit
||K|| 2 HS = ∫
X
∫
X
|k(x, y)| 2 dµ(x) dµ(y).
Beweis: Um die Existenz des Integrals zu zeigen, sei ψ ein beliebiges Element von
L 2 (X). Dann liegt die Abbildung (x, y) ↦→ ψ(x)ϕ(y) in L 2 (X × X) und daher ist die
Funktion (x, y) → k(x, y)ϕ(y)ψ(x) integrierbar über X × X. Nach dem Satz von Fubini
folgt, dass
∫
X
∫
ψ(x)k(x, y)ϕ(y) dy = ψ(x) k(x, y)ϕ(y) dy
X
für fast alle x ∈ X existiert. Da ψ beliebig ist, folgt die behauptete Existenz des
Integrals.
Mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung schätzen wir ab
∣ ∣ ∣
∣Kϕ
∣∣ ∫
∣∣ 2
=
∫
≤
∫
=
X
X
X
∫
∫
|Kϕ(x)| 2 dx =
∣ k(x, y)ϕ(y) dy
∣
X X
∫
∫
|k(x, y)| 2 dx dy |ϕ(y)| 2 dy
X
X
∫
|k(x, y)| 2 dx dy ∣ ∣ ∣∣ϕ
∣ ∣∣ ∣∣ 2
.
X
2
dx
Also definiert K einen stetigen Operator auf L 2 (X). Sei (e j ) eine ONB von L 2 (X). Dann